第一篇：高中數(shù)學(xué)：排列組合與二項式定理測驗試題(A)

《數(shù)學(xué)》第十章—排列組合與二項式定理測驗試題(A卷)

班別：學(xué)號：姓名：成績：

一、填空題：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要區(qū)別在于：加法原理針對的是問題；乘法原理針

對的是問題。

2.一般地，從n個不同元素中，任取m(m?n)個元素，按照排成一列，叫

做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

3.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān)，與順序的屬于組合問題。4.從n個不同元素中取出m(m?n)個元素的所有組合的，叫做從n個不同元素

中取出m個元素的組合數(shù)。

5.乘積(a1?a2?a3)(b1?b2)(c1?c2?c3?c4)展開后共有

6.從3個不同元素a、b、c中任取2個元素的所有組合是。7.A

1?A2?A3?A4?。C1?C2?C3?C4

444

?

8.已知9!=362880，則A7

9?9.已知A32320?6840，則C19?C19?

10.(n?m?1)!?(n?m)!

11.(x?3x)1

2的展開式共有13項，其中，中間的項是第項。

12.(x

3?2x)7的展開式的第6項的二項式系數(shù)是6項的系數(shù)是

二、選擇題：(每題3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n?

1An?1nn?1

n?1C．An?1D．nAn?12.已知Cn?1

n?1?21，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同學(xué)聽同時進行的4個外語講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中1個講座，不同選

法的種數(shù)是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展開式中，C0210131111?C11???C11()C11?C11???C11

。A．>B．=C．>D．無法確定5.凸8邊形的對角線的條數(shù)是()。A．8?72B．8?7C．8?5

2D．8?5

三、計算題：(每題8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5這5個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中有多

少個是偶數(shù)？

(2)壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種不同的幣值？

2.從1、3、5、7、9中任取三個數(shù)，從2、4、6、8中任取兩個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可組成多少個？

3.幼師某實習(xí)小組7名同學(xué)站成一排照相，(1)如果甲、乙兩人必須站在兩端，有多少種

照相方法？(2)如果7名同學(xué)站兩排，其中3個女同學(xué)站在前排，4個男同學(xué)站在后排，四、證明題：(15分)m?1m?1mm?11．求證：Cn?Cn?2Cn?Cn?2(7分)有多少種照相方法？

4.區(qū)教育廳幼兒園某興趣班有10名小朋友,其中正副班長各1名，現(xiàn)選4名小朋友參加

某項活動：(1)如果正副班長必須在內(nèi)，有多少種選法？

(2)如果正副班長至少有一人參加，有多少種選法？

5.在(1?1

2x)10展開式中，求含x-5的項的系數(shù)。

2.用二項式定理證明9910-1能被100整除。(8分)

第二篇：高中數(shù)學(xué) 排列組合與二項式定理

排列組合與二項式定理

1．（西城區(qū)）在(2x2?

A．－5 1x)的展開式常數(shù)項是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（東城區(qū)）8名運動員參加男子100米的決賽.已知運動場有從內(nèi)到外編號依次為1，2，3，4，5，6，7，8的八條跑道，若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)

數(shù)字（如：4，5，6），則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有（）A．360種 B．4320種 C．720種 D．2160種

3．（海淀區(qū)）從3名男生和3名女生中，選出2名女生1名男生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語的課代表，則選派方案共有（）

A．18種B．36種C．54種D．72種

4．(崇文區(qū))某運動隊從5名男運動員和6名女運動員中選出兩名男運動員和兩名女運動員舉行乒乓球混合雙打比賽，對陣雙方各有一名男運動員和一名女運動員，則不同的選法共有

A．50種B．150種C．300種 D．600種（）

5．（豐臺區(qū)）把編號為1、2、3、4的4位運動員排在編號為1、2、3、4的4條跑道中，要求有且只有兩位運動員的編號與其所在跑道的編號相同，共有不同的排法種數(shù)是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝陽區(qū)）從4位男教師和3位女教師中選出3位教師，派往郊區(qū)3所學(xué)校支教，每校1人.要求這3位教師中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）

A．210種

x

6B．186種 7C．180種 D．90種 7．（東城區(qū)）已知(x?)展開式的第4項的值等于5，則x= 48．（海淀區(qū)）在(ax?1)的展開式中x的系數(shù)是240，則正實數(shù)a9．（宣武區(qū)）設(shè)二項式(33x?1

x)的展開式的各項系數(shù)的和為P，所有二項式系數(shù)的和為S，n

若P+S=272，則n=,其展開式中的常數(shù)項為.210．(崇文區(qū))若(x?1

x2)展開式中只有第四項的系數(shù)最大，則，展開式中的第五n

項為

11．（豐臺區(qū)）.在(x?1

a)的展開式中，含x與x項的系數(shù)相等，則a的值是 754

12．（朝陽區(qū)）若(1－ax)6的展開式中x4的系數(shù)是240，則實數(shù)a的值是

13．（宣武區(qū)）現(xiàn)有A、B、C、D、E、F、共6位同學(xué)站成一排照像，要求同學(xué)A、B相鄰，C、D不相鄰，這樣的排隊照像方式有

DBCCBC7.?1715x411.53;12.±213.144

第三篇：高中數(shù)學(xué)排列組合與二項式定理知識點總結(jié)

排列組合與二項式定理知識點

１．計數(shù)原理知識點

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分類)２． 排列（有序）與組合（無序）

Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!

Cnm = n!/(n-m)!m!

Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k!

３．排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排

排列組合題的主要解題方法：優(yōu)先法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.捆綁法（集團元素法，把某些必須在一起的元素視為一個整體考慮）

插空法（解決相間問題）間接法和去雜法等等

在求解排列與組合應(yīng)用問題時，應(yīng)注意：

(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；

(2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；

(3)分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；

(4)列出式子計算和作答.經(jīng)常運用的數(shù)學(xué)思想是：

①分類討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③對稱思想.４．二項式定理知識點：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn

特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性質(zhì)和主要結(jié)論：對稱性Cnm=Cnn－m

最大二項式系數(shù)在中間。（要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù)，答案是中間一項還是中間兩項）所有二項式系數(shù)的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇數(shù)項二項式系數(shù)的和＝偶數(shù)項而是系數(shù)的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n-1 ③通項為第r+1項： Tr+1= Cnran－rbr 作用：處理與指定項、特定項、常數(shù)項、有理項等有關(guān)問題。

5.二項式定理的應(yīng)用：解決有關(guān)近似計算、整除問題，運用二項展開式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。

6.注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)（字母項的系數(shù)，指定項的系數(shù)等，指運算結(jié)果的系數(shù)）的區(qū)別，在求某幾項的系數(shù)的和時注意賦值法的應(yīng)用。

第四篇：高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)---二項式定理

高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)---二項式定理

0n01n?1rn?rrn0n1.⑴二項式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.展開式具有以下特點：

① 項數(shù)：共有n?1項；

012r,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn② 系數(shù)：依次為組合數(shù)Cnn;

③ 每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項展開式的通項.（a?b)n展開式中的第r?1項為：Tr?1?Cnarn?rrb(0?r?n,r?Z).⑶二項式系數(shù)的性質(zhì).①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；

②二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大.．．．．．

nI.當(dāng)n是偶數(shù)時，中間項是第?1項，它的二項式系數(shù)C2n最大； 2

n?1n?1II.當(dāng)n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第項和第它們的二項式系數(shù)C?1項，22n?1n?12?C2nnn

最大.③系數(shù)和：

01nCn?Cn???Cnn?2

02413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1

附：一般來說(ax?by)n(a,b為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求．．．．．．．．．．．

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak為Tk?1的系數(shù)或系數(shù)A?AA?Ak?1k?1?k?k解.當(dāng)a?1或b?1時，一般采用解不等式組?的絕對值）的辦法來求解.⑷如何來求(a?b?c)n展開式中含apbqcr的系數(shù)呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把

r(a?b?c)n?[(a?b)?c]n視為二項式，先找出含有Cr的項Cn(a?b)n?rCr，另一方面在npqrqn?r?qqqpq(a?b)n?r中含有bq的項為Cn?rab?Cn?rab，故在(a?b?c)中含abc的項為

rqpqrrCnCn?rabc.其系數(shù)為CnCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr.r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!

第五篇：1排列組合與二項式定理教案(多份)

2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.1 計數(shù)原理1—乘法原理（分步計數(shù)原理）

一、問題引入

常見船上懸掛有紅、藍、白三種顏色的旗幟，代表了不同的信號、不同的含義，隨著排列順序不同、懸掛數(shù)目不同，能表達多少種不同的信號？

路上有10盞路燈，為了節(jié)能，關(guān)閉其中三盞燈有多少種關(guān)法？如果三盞燈還要不相鄰，又有多少種關(guān)法？

這便是我們這一章節(jié)主要要學(xué)習(xí)、討論的內(nèi)容，先從最基本的計數(shù)原理講起．

二、教學(xué)過程

1、（1）參照《課本》P49圖，討論從A到B的不同走法情況．

答：

（2）從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地．一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分為n個步驟，而完成其中每一步驟又有若干種不同方法，則做成這件事情的方法總數(shù)，可以用分步計數(shù)原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，??，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1m2m3?mn種不同的方法． ②注意：m1、m2、mn對應(yīng)的都是完成每一相應(yīng)步驟的方法數(shù)，必須所有步驟都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？（3）4名同學(xué)爭奪跑步項目的前三名，有多少種可能？（4）4名同學(xué)中選3人分別報名跑步、跳高、跳遠三個項目，有多少種報名方法？（5）3封信投4個郵箱，幾種投法？（6）四種型號電視機搞促銷，3個顧客各選購一臺，幾種選法？（7）四臺不同型號電視機搞促銷呢？（8）5名同學(xué)去聽同時進行的4個課外知識講座

例

2、（1）?a1?a2?a3??b1?b2?b3?b4??c1?c2?展開后共有多少項？（2）540的不同正約數(shù)有多少個？

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例

3、已知x???1,?2,3,4,5?，y???3,4,5,6?，則M?x,y?共可以表示多少個不同的點？多少個第2象限點？多少個不在直線y?x上的點？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能組成多少四位數(shù)？

（2）0、1、2、3、4、5能組成多少無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（3）0、1、2、3、4、5能組成多少無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？（4）1、2、3、4、5能組成多少無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

例

5、（1）已知A??0,1,2,3?，若a,b,c?A，且a,b,c互不相等，則可表示的所有一元二次方程ax2?bx?c?0有多少？

（2）若a??1,2,3,5?，b??1,2,3,5?，則能表示多少條不同的直線y?bx？ a22（3）若a??3,4,5?，b??0,2,7,8?，r??1,8,9?，可表示多少不同的圓?x?a???y?b??r2？

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§16.2 排列

一、教學(xué)過程

1、排列：一般地，從n個元素中取出m（m?n）個元素，按照一定次序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 特點：元素順序不同，對應(yīng)了不同的情況． 如果問題3中改為選取2人充當(dāng)主持而不分正副，則還是排列問題嗎？

2、如何判斷兩個排列是否相同？ 答：判斷元素是否相同；排列順序是否相同． 例

1、判斷下列問題是否排列問題：

（1）從1，2，3，5中任取兩個不同的數(shù)相減（除），可得多少種不同的結(jié)果？（2）從1，2，3，5中任取兩個不同的數(shù)相加（乘），可得多少種不同的結(jié)果？（3）有12個車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通票？（4）在（3）中共有多少種不同的票價？

（5）某班有50名同學(xué)，假期約定每2人通一次信，共需寫信多少封？（6）把（5）中寫信問題改為會面，共需通電話多少次？（7）把（5）中通信換成互贈照片，共需準(zhǔn)備照片多少張？

3、排列數(shù) 從n個不同元素中取出m（m?n）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Pnm表示． 注：關(guān)于排列數(shù)的計算，Pn1表示n個元素里選取1個元素排成一列的情況，即n個元素選1個元素的選法，所以Pn1?n，至于其他情況，有如下分析．

4、排列數(shù)公式：一般地，排列數(shù)Pnm可以按從n個不同元素中取出m個元素依次填入m個空位來考慮． Pnm?n?n?1??n?2??????n??m?1? ?????????????共m項

例

2、用排列數(shù)表示?n?m??n?m?1???n?m?15?，其中m,n?N，m?n．

5、全排列

①n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列． 這時，排列數(shù)公式中的m?n，即有 ?

Pnn?n??n?1???n?2????3?2?1 這就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積． ②正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示． 規(guī)定，0!?1． ③Pnn?n!為了保證全排列m?n時也能成立，我們規(guī)定0!?1．

例3、1!?2!?3!?4!?5!???100!的個位數(shù)字是多少？

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例

4、解方程：（1）?n?3?!1m?1 ?

（2）P23n?10Pn

3（3）5P9m?3mP10?n?2?!3

nn?1n例

5、求證：Pm?nPm?Pm?1．

例

6、從0，1，2，3，4中選取3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中比200大的三位數(shù)有幾個？

例7、15支球隊進行雙循環(huán)賽，即每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1場，共進行多少場比賽？（如改為單循環(huán)賽呢？）

例8、10個人排隊，按以下要求有多少種不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成兩排，每排5人；（3）甲不在隊首；

（4）甲乙丙必須在奇數(shù)位上；

（5）甲在奇數(shù)位上，乙丙在偶數(shù)位上；（6）甲乙丙三人必須在一起；

（7）甲乙丙三人必須在一起，丙又在甲乙中間；（8）甲乙丙三人中任意兩人不排在一起；（9）甲始終坐在乙的右側(cè)．

例9、5男5女共10個同學(xué)排成一行，（1）女生都排在一起，有幾種排法？（2）女生與男生相間，有幾種排法？

（3）任何兩個男生都不相鄰，有幾種排法？（4）5名男生不排在一起，有幾種排法？

（5）男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右側(cè)，有幾種排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，若2，4，6次序一定，有多少種不同的七位數(shù)？如改為1，3，5，7次序一定呢？2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.3 計數(shù)原理2—加法原理（分類計數(shù)原理）

一、教學(xué)過程

1、加法原理

如果完成一件事有n類的辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，??，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1?m2?m3???mn種不同的方法．

2、注意

①各類方法間相互獨立，通過每一類方法都能完成整件事； ②分類時，確定一個分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)不遺漏； ③分類時要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性；分步時要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性． 例

1、給定數(shù)字0，1，2，3，4，5，每個數(shù)字最多用一次，（1）可以組成多少個自然數(shù)？（2）可以組成多少個奇數(shù)？（3）可以組成多少個四位偶數(shù)？

（4）可以組成多少個比2300大的四位數(shù)？（5）可以組成多少個比240135大的數(shù)？（6）可以組成多少個能被5整除的四位數(shù)？（7）可以組成多少個能被25整除的四位數(shù)？

例

2、在3000和8000之間，有多少個無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？

例

3、某天課程表排入數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、英語、體育各一節(jié)，（1）體育不排第一節(jié)，也不排第三節(jié)，幾種不同排法？（2）第一節(jié)不排體育，第三節(jié)不排數(shù)學(xué)，有多少種不同的排法？

二、課后練習(xí)

1、將a、b、c、d、e、f六個不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有幾種排法？

2、從9本不同的書中取出6本排在書架上，滿足下列條件之一，分別有幾種方法？（1）某一本書必須排在左端或右端；（2）某一本書不能排在兩端；

（3）某兩本書，A不能排在左端，B不能排在右端．2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.4 組合

一、教學(xué)過程

1、組合：一般地，從n個不同元素中取出m（m?n）個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的次序有關(guān)，而組合與元素的次序無關(guān)．

2、如何判斷兩個組合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、組合數(shù) 從n個不同元素中取出m（m?n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cnm表示． 1注：關(guān)于排列數(shù)的計算，Cn表示n個元素里選取1個元素的情況，即n個元素選1個元素的選法，所100n?Pn1?n；Cn?1；Cn以Cn表示n個元素里一個都不選的選法數(shù)，顯然Cn表示n個元素里選取n個元素的選法數(shù)，顯然，Cnn?1，至于其他情況，有如下分析． Pnmn?n?1??n?2???n!?n??m?1????

4、組合數(shù)公式：C?m?，其中m?n． m!m!?n?m?!Pmmn例

1、解方程：C?C?C．

m?1m?1m例

2、證明：Cn?Cn?1．

n?

15、組合的應(yīng)用題

例

3、現(xiàn)從5位男同學(xué)、4位女同學(xué)中選出5名代表，（1）男甲、女A都必須當(dāng)選，有幾種選法？

（2）男甲必須當(dāng)選，女A不能當(dāng)選，有幾種選法？（3）至少有一個女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？（4）最多有三個女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？

例

4、要從12人中選出5人去參加一項活動，按下列要求，有多少種不同選法？（1）A、B、C三人必須入選；（2）A、B、C三人不能入選；（3）A、B、C三人只有一人入選；（4）A、B、C三人至少一人入選；（5）A、B、C三人至多二人入選．2n2n?12n?2 2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

例

5、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？

（3）甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？（4）隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷．現(xiàn)從這11人中選出4人排版、4人印刷，有幾種不同的選法？

（2）由13個人組成的課外活動小組，其中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，3個人既會唱歌，也會跳舞，若從中選出4個會跳舞和4個會唱歌的人去演節(jié)目，共有多少種不同的選法？

6、組合數(shù)的性質(zhì) ①性質(zhì)

1、Cnm?Cnn?m mm?1m?1?Cn?Cn②性質(zhì)

2、Cn?1 例

7、計算：C?C

例

8、解方程：

x?12x?283?C17?Cn（1）C17

（2）Cn

?n3n12n?3?C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nn??n?n；3?Cn?1

例

10、計算：

***6?C4?C5?C6?C7?C8?C9?C6?C7?C8?C9?C7?C8?C9（1）C4；（2）C5；（3）C52?C6

13m?12?C32?C4???Cm?Cm例

11、證明：C2?1?1 1315810 2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.5 二項式定理

一、教學(xué)過程

1、二項式定理： ①一般地，對于任意正整數(shù)n有 ?a?b?n0n01n?112n?22n?rrn?rn?11n?1n0n?Cnab?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab?Cnab ②右邊的多項式叫做?a?b?的二項展開式，它一共有n?1項，其中各項的系數(shù)Cnr（r?0，1，2，?）叫做二項式系數(shù)，式中的Cnran?rbr叫做二項展開式的通項，它是二項展開式中的第r?1項，用Tr?1表示，即 rn?rrTr?1?Cnab． n例

1、求?1??的二項展開式．

x???1?4

1??例

2、求?2x??的二項展開式．

x??6

12例

3、（1）求?x?a?的二項展開式的中間項；

1??（2）求?x??的展開式中第四項的系數(shù)及二項式系數(shù)；

x??91??（3）求?2x??的展開式中x3的系數(shù)及二項式系數(shù)；

x??91??2（4）求?x??的二項展開式中x的系數(shù)．

x??8

?x3?例

4、（1）求???的二項展開式中的常數(shù)項；

x??31??（2）求?3x??的二項展開式中的常數(shù)項；

x??2??（3）求?x?4?的二項展開式中的有理項；

x??1?5?（4）若?x2??的二項展開式中x3的系數(shù)為，求a的值．

ax?2?691516

2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

1??例

5、已知?x?4?的二項展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求二項展開式中的所有有理項．

2x??n

1??例

6、（1）設(shè)?x2??的展開式中含有非零常數(shù)項，求正整數(shù)n的最小值；

2x??n（2）若?x?2??xn?xn?1???ax3?bx2?cx?2n（n?N，n?3）且a:b?3:2，求n．

例

7、計算：

1n?12n?2rn?rn（1）2n?Cn； 2?Cn2?????1?Cn2?????1?Cn01n?1n?Cn???Cn?Cn（2）Cn；

12n?1n?4Cn???2n?1Cn?2nCn（3）1?2Cn；

例

8、求5051被7除所得的余數(shù)．

二、二項式系數(shù)性質(zhì)： nrn1、觀察二項式系數(shù)表，探究規(guī)律 ①每一行中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等； ②每一行兩端都是1，其余位置的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和； ③每一行中，二項式系數(shù)先是逐漸增大至最大，然后逐漸減小，越靠近中間越大，左右對稱．

2、一般地，二項式系數(shù)有如下兩個性質(zhì)： ①性質(zhì)

1、?a?b?的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等； 這一性質(zhì)可直接由公式Cnm?Cnn?m得到． ②性質(zhì)

2、?a?b?的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于2n． 1n?1n將a?b?1分別代入?a?b?和它的二項展開式中，即有2n?Cn0?Cn???Cn?Cn． nnn

例

8、求證：在?a?b?的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．

n 9