第一篇：量子力學(xué)曾謹嚴 第6章作業(yè)答案

第6章 中心力場

教材P115 ~116：1、3、4、5、8、9 1.解：略。見電子教案§ 6.3 氫原子。3.解：

氫原子：En??19 ?e412?2n2，??mempme?mp，En??13.61eV，n?1,2,? 2n電子偶素：??me1，En??6.82eV，n?1,2,? 2n?原子：??m?mpm??mpm?2，m??105.66MeV

?子偶素：??4.解：

氫原子基態(tài)

?0(r,?,?)?1?a32e?ra

?x?x2?x2

x??x?0dxdydz?0

x??x?022221214?dxdydz?4???r?0r2dr?r4e?2radr?a2 3?303?a0??2?px?2為計算px和px，作Fourier變換

2px?px

2?0(p)??1i??3?(r)exp(?p?r)dr32?0?(2??)1?21?(2??)32??a322??drrexp(?ra)?exp(?00iprcos?)sin?d? ?2?22a??32?a(p??2a2)2第6章 中心力場

?20

?2px??px?0(p)dpxdpydpz?0

???2p??p?0(p)dpxdpydpz2x2x???1?2??p2?0(p)dpxdpydpz3??8?5p4?252??sin?d??2dp2243?a(p??a)00?2?23a2?x??px?x2?px??

???3?? 25.解：

氫原子基態(tài)

?0(r,?,?)?1?a32e?ra,E???e42?2

?e4e2?2V?E，V????2?E（基態(tài)總能量）因a?，當(dāng)r?2a時，則當(dāng)r?2a時，22a2??eE?V?0，“動能”?0，為經(jīng)典禁區(qū)。

處于經(jīng)典禁區(qū)的概率

?24?W??rdr??02a021d??4??3?r2e?2radr?13e?4?0.238

?a2a?8.解：

對于庫侖勢，由維里定理

1Ze21En?nlmV(r)nlm??nlmnlm

22r2En12Z2e21Znlmnlm??2?2? 22rZeZe2anna由Feynman-Hellmann定理 第6章 中心力場

?(l)?En?H?nlmnlm ?l?l22?2?1?L???Hr??V(r)222?r?r2?r?2nlm?l(l?1)?2nlm，所以 因為L9.解：略。

(l)???21?2l(l?1)?2H?2?r?r2r?2?r2?V(r)???21?2l(l?1)e2

a12?r?r2r?2r2?V(r)a??22? EZ2e21n??2an2，n?nr?l?1

?E2n?l?Z2e22an3 nlm?H?(l)(2l?1)e2a1?lnlm?2nlmr2nlm

nlm1Z21r2nlm?(l?12)n3a2

第二篇：量子力學(xué)導(dǎo)論第4章答案

第四章

力學(xué)量用算符表達與表象變換

4.1）設(shè)與為厄米算符，則和也是厄米算符。由此證明，任何一個算符均可分解為，與均為厄米算符，且

證：ⅰ）

為厄米算符。

ⅱ）

也為厄米算符。

ⅲ）令，則，且定義

（1）

由?。?，ⅱ）得，即和皆為厄米算符。

則由（1）式，不難解得

4.2）設(shè)是的整函數(shù)，證明

整函數(shù)是指可以展開成。

證：

（1）先證。

同理，現(xiàn)在，而。

又

而

4.3）定義反對易式，證明

證：

4.4）設(shè)，為矢量算符，和的標(biāo)積和矢積定義為，為Levi-civita符號，試驗證

（1）

（2）

（3）

證：

（1）式左端

（1）式右端也可以化成。

（1）式得證。

（2）式左端

（）

（2）式右端

故（2）式成立。

（3）式驗證可仿（2）式。

4.5）設(shè)與為矢量算符，為標(biāo)量算符，證明

（1）

（2）

證：（1）式右端

（1）式左端

（2）式右端

（2）式左端

4.6）設(shè)是由，構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明

（1）

證：

（2）

（3）

同理可證，（4）

（5）

將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。

4.7）證明。

證：

利用基本對易式

即得。

因此

其次，由于和對易，所以

因此，4.8）證明

（1）

（2）

（3）

（4）

證:

（1）利用公式，有

其中

因此

（2）利用公式，（Δ）

可得

①

②

③

由①②③，則（2）得證。

（3）

（4）就此式的一個分量加以證明，由4.4）（2），其中

（即）

類似地?？梢缘玫椒至亢头至康墓?，故（4）題得證。

4.9）定義徑向動量算符

證明：，，證：，即為厄米算符。

據(jù)4.8）（1）。

其中，因而

以左乘上式各項，即得

4.10)利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。

解：一維諧振子能量。

又奇，，（由(3.8)、(3.9)題可知），由測不準(zhǔn)關(guān)系，得。，得

同理有。

諧振子（三維）基態(tài)能量。

4.11)

利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。

解：類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)換成（為氫原子系數(shù)）而理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑，在類氫原子中變?yōu)椤?/p>

類氫原子基態(tài)波函數(shù)，僅是的函數(shù)。

而，故只考慮徑向測不準(zhǔn)關(guān)系，類氫原子徑向能量為：。

而，如果只考慮基態(tài)，它可寫為，與共軛，于是，（1）

求極值

由此得（：玻爾半徑；：類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得

基態(tài)能量，運算中做了一些不嚴格的代換，如，作為估算是允許的。

4.12)證明在分立的能量本征態(tài)下動量平均值為0。

證：設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有

為求的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符與的對易關(guān)系：。

這里已用到最基本的對易關(guān)系，由此

這里用到了的厄米性。

這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符可以表示為兩個厄米算符和的對易子，則在或的本征態(tài)中，的平均值必為0。

4.13）證明在的本征態(tài)下。

（提示：利用，求平均。）

證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理有：。

4.14)

設(shè)粒子處于狀態(tài)下，求和

解：記本征態(tài)為，滿足本征方程，，利用基本對易式，可得算符關(guān)系

將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后兩項對平均值的貢獻互相抵消，因此

又

上題已證。

同理。

4.15)設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即），求

（a）的可能測值及平均值;

（b）的可能測值及相應(yīng)的幾率；

（c）的可能測值及相應(yīng)的幾率。

解：，。

（a）由于已歸一化，故的可能測值為，0，相應(yīng)的幾率為。平均值。

（b）的可能測值為，相應(yīng)的幾率為。

（c）若，不為0，則（及）的可能測值為：，0。

1）在的空間，對角化的表象中的矩陣是

求本征矢并令，則，得，。

?。┤?，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。

ⅱ）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。

ⅲ）取，得，歸一化后可得本征矢為。

在態(tài)下，取的振幅為，取的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為；

取的振幅為，相應(yīng)的幾率為。總幾率為。

2）在的空間，對角化表象中的矩陣

利用，。，本征方程，，。

ⅰ），，本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；

ⅱ），，，本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為，幾率為。

ⅲ），，，本征矢為，在態(tài)下，測得幾率為。

ⅳ），，，本征矢為，在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；

ⅴ），，，本征矢為，在態(tài)下，測得的幾率為。

在態(tài)中，測（和）的可能值及幾率分別為：

4.16）設(shè)屬于能級有三個簡并態(tài)，和，彼此線形獨立，但不正交，試利用它們構(gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。

解：，。

是歸一化的。。

它們是正交歸一的，但仍然是簡并的（可驗證：它們?nèi)詫?yīng)于同一能級）。

4.17）設(shè)有矩陣等，證明，，，表示矩陣相應(yīng)的行列式得值，代表矩陣的對角元素之和。

證：（1）由定義，故上式可寫成：，其中是的任意一個置換。

（2）

（3）

（4）

（5）

第三篇：量子力學(xué)導(dǎo)論第2章答案

第二章

波函數(shù)與Schr?dinger方程

2.1設(shè)質(zhì)量為的粒子在勢場中運動。

（a）證明粒子的能量平均值為，（能量密度）

（b）證明能量守恒公式

（能流密度）

證：（a）粒子的能量平均值為（設(shè)已歸一化）

（1）

（勢能平均值）

（2）

其中的第一項可化為面積分，而在無窮遠處歸一化的波函數(shù)必然為。因此

（3）

結(jié)合式（1）、（2）和（3），可知能量密度

（4）

且能量平均值。

（b）由（4）式，得

（：幾率密度）

（定態(tài)波函數(shù)，幾率密度不隨時間改變）

所以。

2.2考慮單粒子的Schr?dinger方程

（1）

與為實函數(shù)。

（a）證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。

（b）證明粒子在空間體積內(nèi)的幾率隨時間的變化為

證：（a）式（1）取復(fù)共軛，得

（2）

（1）-（2）,得

（3）

即，此即幾率不守恒的微分表達式。

（b）式（3）對空間體積積分，得

上式右邊第一項代表單位時間內(nèi)粒子經(jīng)過表面進入體積的幾率（），而第二項代表體積中“產(chǎn)生”的幾率，這一項表征幾率（或粒子數(shù)）不守恒。

2.3

設(shè)和是Schr?dinger方程的兩個解，證明。

證：

（1）

（2）

?。?）之復(fù)共軛：

（3）

（3）（2）,得

對全空間積分：，（無窮遠邊界面上，）

即。

2.4）設(shè)一維自由粒子的初態(tài)，求。

解：

2.5

設(shè)一維自由粒子的初態(tài)，求。

提示：利用積分公式

或。

解：作Fourier變換：，（）

（指數(shù)配方）

令，則。

2.6

設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為，證明在足夠長時間后，式中

是的Fourier變換。

提示：利用。

證：根據(jù)平面波的時間變化規(guī)律，任意時刻的波函數(shù)為

（1）

當(dāng)時間足夠長后（所謂），上式被積函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)具有函數(shù)的性質(zhì)，取，（2）

參照本題的解題提示，即得

（3）

（4）

物理意義：在足夠長時間后，各不同k值的分波已經(jīng)互相分離，波群在處的主要成分為，即，強度，因子描述整個波包的擴散，波包強度。

設(shè)整個波包中最強的動量成分為，即時最大，由（4）式可見，當(dāng)足夠大以后，的最大值出現(xiàn)在處，即處，這表明波包中心處波群的主要成分為。

2.7

寫出動量表象中的不含時Schr?dinger方程。

解：經(jīng)典能量方程。

在動量表象中，只要作變換，所以在動量表象中，Schr?dinger為：。

第四篇：量子力學(xué)導(dǎo)論第1章答案

第一章

量子力學(xué)的誕生

1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動，試用de

Broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。

解：據(jù)駐波條件，有

（1）

又據(jù)de

Broglie關(guān)系

（2）

而能量

（3）

1.2設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為的箱內(nèi)運動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。

解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運動。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向為軸方向，把粒子沿軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有

即

（：一來一回為一個周期）,同理可得，，粒子能量

1.3設(shè)質(zhì)量為的粒子在諧振子勢中運動，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。

提示：利用

解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為

（1）

其中由下式?jīng)Q定：。

0

由此得，（2）

即為粒子運動的轉(zhuǎn)折點。有量子化條件

得

（3）

代入（2），解出

（4）

積分公式：

1.4設(shè)一個平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為I，求能量的可能取值。

提示：利用

是平面轉(zhuǎn)子的角動量。轉(zhuǎn)子的能量。

解：平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角（角位移）記為。

它的角動量（廣義動量），是運動慣量。按量子化條件，因而平面轉(zhuǎn)子的能量，

第五篇：量子力學(xué)導(dǎo)論第5章答案

第五章

力學(xué)量隨時間的變化與對稱性

5.1）設(shè)力學(xué)量不顯含，為本體系的Hamilton量，證明

證.若力學(xué)量不顯含，則有,令

則,5.2）設(shè)力學(xué)量不顯含，證明束縛定態(tài)，證：束縛定態(tài)為:：。

在束縛定態(tài)，有。

其復(fù)共軛為。

5.3）表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數(shù)（Bloch波函數(shù)）,是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為

證：,證畢。

5.4）設(shè)表示的本征態(tài)（本征值為），證明

是角動量沿空間方向的分量的本征態(tài)。

證：算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，原為的本征態(tài)，本征值為，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動，固定于體系的坐標(biāo)系（即隨體系一起轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系）的軸（開始時和實驗室軸重合）已轉(zhuǎn)到實驗室坐標(biāo)系的方向，即方向，變成了，即變成了的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性，不受坐標(biāo)變換的影響，故仍為。（還有解法二，參

錢..《剖析》.P327）

5.5）設(shè)Hamilton量。證明下列求和規(guī)則。

是的一個分量，是對一切定態(tài)求和，是相應(yīng)于態(tài)的能量本征值。

證：

（）

又。

不難得出，對于分量，亦有同樣的結(jié)論，證畢。

5.6）設(shè)為厄米算符，證明能量表象中求和規(guī)則為

（1）

證：式（1）左端

（2）

計算中用到了公式。

由于是厄米算符，有下列算符關(guān)系：

（3）

式（2）取共軛，得到

（4）

結(jié)合式（2）和（4），得

證畢。

5.7）證明schr?dinger方程變換在Galileo變換下的不變性，即設(shè)慣性參照系的速度相對于慣性參照系運動（沿軸方向），空間任何一點

兩個參照系中的坐標(biāo)滿足下列關(guān)系：。

（1）

勢能在兩個參照系中的表示式有下列關(guān)系

（2）

證明schr?dinger方程在參照系中表為

在參照系中表為

其中

證：由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，和的意義完全相同。，是時刻在點找到粒子的幾率密度；，是時刻在點找到粒子的幾率密度。

但是在給定時刻，給定地點發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)與參照系的選擇無關(guān)，所以相應(yīng)的幾率應(yīng)相等，即

（6）

從（1）式有

（6’）

由此可以得出，和兩個波函數(shù)彼此只應(yīng)差絕對值為1的相因子，所以

（7）

（7）

由（1）式，，（3）式變?yōu)椋?/p>

（8）

將（7’）代入（8）式，可得

（9）

選擇適當(dāng)?shù)?，使得?）（4）。

（10）

（10’）

從（10）可得。

（11）

是的任意函數(shù)，將（11）代入（10’），可得

積分，得。

為積分常數(shù)，但時，系和系重合，應(yīng)等于，即應(yīng)等于，故應(yīng)取，從而得到

（12）

代入（7’）式，最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律：

（13）

逆變換為

（13’）

相當(dāng)于式（13）中的，帶的量和不帶的量互換。

討論：的函數(shù)形式也可用下法求出：

因和勢能無關(guān)，所以只需要比較平面波（自由粒子）在和系中的表現(xiàn)形式，即可確定.沿方向運動的自由粒子，在伽利略變換下，動量、能量的變換關(guān)系為

（14）

據(jù)此，系和系中相應(yīng)的平面波波函數(shù)為，（15）

（1）、（14）代入（15），即得

此即（13）式，由于這個變換關(guān)系僅取決于和系的相對速度，而與粒子的動量無關(guān)，所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關(guān)系。