第一篇：解析幾何教學漫談（小編推薦）

解析幾何教學漫談（1）

學生在解決有關解析幾何的問題時，最大的問題是沒有掌握解析幾何的思維方法，誤以為用代數(shù)方法解決幾何問題就是算.我們常?？吹降膶W生的情況是：只要有方程，如直線方程和圓錐曲線方程，就是聯(lián)立，代入消元，轉化為關于一個變量的一元二次方程，判別式、根與系數(shù)的關系等，一直做到做不下去為止.在一些老師的復習中，給學生傳授的秘籍也是能聯(lián)立你就聯(lián)立，能算到哪里就算到哪里，總可以得一些分數(shù).如果我們的解析幾何的教學最終淪落到能夠得幾分為目標，實在讓人感到悲哀！

作為教師，一定要交給學生研究數(shù)學問題的思維方法！讓學生會想，會思考，才是我們的教學目的！

解決解析幾何問題首先要做的就是要將幾何問題代數(shù)化.如何代數(shù)化？很多老師在教學中，并沒有好好思考這個問題.實際上，要將幾何問題轉化為代數(shù)的問題，不是簡簡單單的聯(lián)立方程組就可以解決的，如是這樣，那解析幾何也太好學了！

我的教學體會是：要交給學生審題的思維過程，要引導學生歸納概括出思考解析幾何問題的思維方法.當我們面臨解決一個幾何問題的時候，要分析幾何對象的幾何特征！從哪里分析呢？主要從兩個方面：一個方面是從幾何的背景、幾何的圖形中得到幾何的性質.如果一個點在某條線段的垂直平分線上，那么它必然到線段的兩個端點的距離相等；如果一個點是三角形的一邊上的中點，那么就可以考慮在另外的一邊上取中點，用三角形的中位線的性質；如果是有關三角形的內(nèi)切圓的圖形，那就要分析出線段相等，角相等的有關性質,等等.舉一個非常典型的例子！已知一條直線y=kx-1和圓（已知方程，含參數(shù)k,m）相交與M,N兩點，（學生讀到這里就會情不自禁地將這兩個方程聯(lián)立了）并且M,N點關于直線x+y=0對稱，求k+m的值.我們可以問學生：直線和圓交于兩點這個已知條件的幾何含義是什么呢？結合畫出的圖象，讓學生看到，此時得到圓的弦MN；第二個條件即點M,N關于直線x+y=0對稱的幾何含義又是什么呢？要讓學生說出直線x+y=0垂直平分弦MN.學生如果能夠分析到這里，下面一句話他就自然會脫口而出：直線x+y=0過圓心！這正是我們需要的幾何的性質.我們只需要把圓心的坐標如（-k,-m）代入，就可以得到m+k=0了.學生如果不會這么想，責任在我們.是我們沒有這樣教給學生去思考問題；沒有在我們的習題教學中幫助學生如何去分析問題.還有一個方面就是沒有訓練學生如何從方程、數(shù)據(jù)等代數(shù)的結論中得到幾何的性質.學生缺乏從代數(shù)結果中分析幾何性質的意識和能力.如直線ax+by+b-a=0，這是什么樣的直線？可以問問學生.讓學生思考，為什么這么多的直線可以用一個方程來表示？在這個問題上，很多教師介紹了許多的證明直線過定點的方法.其實這些方法的確很重要，但更為重要的是要讓學生能夠意識到這些直線之所以能夠用同一個代數(shù)的形式表達出來，一定是有共同的幾何特征！也就是要交給學生提出問題、思考問題的方法.解析幾何教學漫談（2）

在解析幾何的習題教學中，如何分析題目，讓學生學會理解問題是最為重要的.分析的思維方法要符合解析幾何的思維特點，即：對于題目中的幾何元素要會分析它的幾何特征并進行有效的代數(shù)化；對于題目中的代數(shù)的結論如方程或數(shù)值要學會分析它的幾何含義.例1：直線l:ax+y+2=0與過A(-2,3)與B（3,2）的線段相交，求a的取值范圍.這道題目學生都是從斜率的角度進行計算，這也是老師們教給學生的典型方法.這個方法是沒有學線性規(guī)劃時的方法，學生掌握起來并不是很容易.但從幾何特征的角度看，A,B兩點與直線的位置關系是分析的要點.即A,B兩點在直線l的兩側.而這個特征的代數(shù)化就非常的簡單！只要把兩點坐標帶入到直線l方程的左側所得到的兩個數(shù)值乘積小于等于零即可！

例2：如何理解直線l:x/a+y/b=1過點M(cos&,sin&)呢？

對于這個問題的理解，一般思維層次的學生只是把M點的坐標帶入到直線l方程中去再進行相關的運算！除了點的坐標滿足直線l方程和解析幾何有關系之外，后面的計算都是三角變換的內(nèi)容了，其難度無形中增大.而我們的解析幾何教學的目的是要學生能夠從代數(shù)的結果或形式中發(fā)現(xiàn)（挖掘）幾何的特征，這應該是我們教師在本段教學或復習的追求.我們可以啟發(fā)學生：點M是一個點嗎？點M是什么樣的點？實際上點M是動點，其代數(shù)特征是橫縱坐標的平方和為一，對應的幾何特征是單位圓.只有看到了這一層含義，才叫真正的理解了本題，而隨后要進行的代數(shù)化就非常的簡單！因為直線l與單位圓相切或相交，圓心（0,0）到

直線l:x/a+y/b=1的距離小于等于1，得解.高考的時候如果我們的學生能夠按后一種思維的方式理解問題才是我們解析幾何教學的成功！現(xiàn)在特別是臨近高考的最后階段，很多教師對解析幾何的復習表現(xiàn)出很無奈，我認為其原因是失去了復習的目標和方向！不是我們已經(jīng)把該講的都講完了！我們可以反思一下，學生是不是真正會用解析幾何的思維方法解決問題？你的復習是不是在不斷地滲透解析幾何的思維特征和方法？

解析幾何教學漫談（3）

在解析幾何的復習中，學生遇到了許多的困難，老師也很感到困惑甚至是無奈;由于每次考試學生都無法在這部分的考題中拿到理想的分數(shù).一些教師甚至放棄了這部分內(nèi)容特別是解析幾何解答題的復習，大有黔驢技窮的態(tài)勢.怎樣在最后的兩個多月的時間里，有效地提高解析幾何的復習效率呢？

我認為，最為關鍵的一點是，要讓學生真正地理解解析幾何這門學科的思維特點，要教給學生如何思考、理解一個解析幾何的問題.和數(shù)學的其它單元的知識的復習一樣，要能夠充分的認識你所面臨的是什么問題.我們的學生存在的最大的問題是不會思考問題，把解析幾何的所有問題都歸結為算，一算了之！看似是在用代數(shù)的方法解決幾何問題，實際上只是了解個皮毛而已.例如：直線l:y=4x+m和橢圓C（方程略去），如果橢圓C上有兩個點A,B關于直線l對稱，求m的取值范圍.部分學生見到此題幾乎不假思索就把直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立，消y之后，得到關于x的一元二次方程，利用判別式大于零得出m的取值范圍.這是學生最為熟悉的套路，可惜套錯了.我們的老師為了學生能夠掌握所謂的方法，總結出了許多的題型套路，但效果奇差！原因就是套路等等是違背了數(shù)學思維的特點，是僵化的思維.這樣的教學最終是讓學生放棄了思考問題的意識，喪失了思考問題的能力.本題學生理解題目的關鍵是：橢圓C上有兩個點A,B關于直線l對稱的真正含義.實際上，直線l和橢圓相交，在橢圓上未必一定有兩個點關于直線l對稱.但斜率為-1/4的直線AB與橢圓C相交得到的弦AB一定有斜率為4的中垂線，即直線l.因此可以利用直線AB與橢圓相交，得出直線AB的縱截距的范圍，再通過AB弦的中點在直線l上，找到直線AB的縱截距與m的關系，最終得m的取值范圍.代數(shù)化的具體方法經(jīng)過這么長的時間的復習，學生已經(jīng)非常熟練！但如何使代數(shù)化等價、有效，確是今后復習的難點，也是提高學生解析幾何復習效率的突破口！

第二篇：解析幾何

清華大學校長畢業(yè)致辭

字號: 小 中 大 發(fā)布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 評分(6 / 0)/ 我要評論(3)個人分類: 心意小語

清華校長送給畢業(yè)生5句話——未來的世界：方向比努力重要，能力比知識重要，健康比成績重要，生活比文憑重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

現(xiàn)在是講究績效的時代，公司、企業(yè)、政府，需要的是有能力且能與企業(yè)方向共同發(fā)展的人，而不是一味努力但卻南轅北轍的人。自己適合哪些行業(yè)，哪些職業(yè)，有很多東西是先天決定的，只有充分地發(fā)掘自己的潛力，而不是總與自己的弱點對抗，一個人才能出人頭地，就像現(xiàn)在很多企業(yè)招聘的時候，他們相信通過培訓和教育可以讓火雞學會爬樹，但是還是覺得選只松鼠方便一些。方向不對，再努力、再辛苦，你也很難成為你想成為的那種人。

能力比知識重要

知識在一個人的構架里只是表象的東西，就相當于有些人可以在答卷上回答如何管理企業(yè)、如何解決棘手的問題、如何當好市長等等，但是在現(xiàn)實面前，他們卻顯得毫無頭緒、不知所措，他們總是在問為什么會是這種情況，應該是哪種情況等等。他們的知識只是知識，而不能演化為能力，更不能通過能力來發(fā)掘他們的潛力。現(xiàn)在很多企業(yè)都在研究能力模型，從能力的角度來觀察應聘者能否勝任崗位。當然，高能力不能和高績效直接掛鉤，能力的發(fā)揮也是在一定的機制、環(huán)境、工作內(nèi)容與職責之內(nèi)的，沒有這些平臺和環(huán)境，再高的能力也只能被塵封。

健康比成績重要

成績只能代表過去，這是很多人已經(jīng)認同的一句話。對于畢業(yè)后走入工作崗位的畢業(yè)生，學生階段的成績將成為永久的獎狀貼在墻上，進入一個工作單位，就預示著新的競賽，新的起跑線。沒有健康的身心，如何應對變幻莫測的市場環(huán)境和人生變革，如何應對工作壓力和個人成就欲的矛盾？而且在現(xiàn)代社會，擁有強健的身體已經(jīng)不是最重要的，健康的心理越來越被提上日程，處理復雜的人際關系、承受挫折與痛苦、緩解壓力與抑郁，這些都將成為工薪族乃至學生們常常面對的問題。為了防止英年早逝、過勞死，還是多注意一下身體和心理的健康投資吧。

生活比文憑重要

曾經(jīng)有一個故事，說有個記者問放羊的小孩，為什么放羊？答：為了掙錢，掙錢干啥？答：蓋房子，蓋房子干啥？答：娶媳婦，娶媳婦干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

記得去年在人大聽一個教授講管理學基礎課，他說你們雖然都是研究生，但很多人本質上還是農(nóng)民！大家驚愕，竊竊私語。他說你們?yōu)槭裁醋x研究生，很多人是不是想找個好工作，找好工作為了什么，為了找個好老婆，吃喝住行都不錯，然后生孩子，為了孩子的前途更光明，這些不就是農(nóng)民的樸素想法嗎？哪個農(nóng)民父母不希望自己的子女比自己更好？說說你們很多人是不是農(nóng)民思想，什么時候，你能突破這種思維模式，你就超脫了。當這個社會看重文憑的時候，假文憑就成為一種產(chǎn)業(yè)，即使是很有能力的人，也不得不弄個文憑，給自己臉上貼點金。比起生活，文憑還重要嗎？很多人找女朋友或者男朋友，把學歷當作指標之一，既希望對方能夠給他/她伴侶的溫暖與浪漫，又希望他/她知識豐富、學歷相當或更高，在事業(yè)上能蒸蒸日上；我想說，你找的是伴侶，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，這個人適合你，即使你是博士他/她斗大字不識一個，那也無所謂，適合就會和諧融洽，人比文憑更重要。很多成功的人在回頭的時候都說自己太關注工作和事業(yè)了，最遺憾的是沒有好好陪陪父母、愛人、孩子，往往還傷心落淚，何必呢，早意識到這些，多給生活一些空間和時間就可以了。我們沒有必要活得那么累。

情商比智商重要

這個就很有意思了。大家忽然一下子對情商重視了起來，因為在新的世紀，情商將成為成功領導中最重要的因素之一。比如在許多員工和自己的親人因恐怖襲擊喪生的時刻，某公司CEO Mark Loehr讓自己鎮(zhèn)定下來，把遭受痛苦的員工們召集到一起，說：我們今天不用上班，就在這里一起緬懷我們的親人，并一一慰問他們和親屬。在那一個充滿陰云的星期，他用自己的實際行動幫助了自己和他的員工，讓他們承受了悲痛，并把悲痛轉化為努力工作的熱情，在許多企業(yè)經(jīng)營虧損的情況下，他們公司的營業(yè)額卻成倍上漲，這就是情商領導的力量，是融合了自我情緒控制、高度忍耐、高度人際責任感的藝術。曾經(jīng)有個記者刁難一位企業(yè)家：聽說您大學時某門課重考了很多次還沒有通過。這位企業(yè)家平靜地回答：我羨慕聰明的人，那些聰明的人可以成為科學家、工程師、律師等等，而我們這些愚笨的可憐蟲只能管理他們。要成為卓越的成功者，不一定智商高才可以獲得成功的機會，如果你情商高，懂得如何去發(fā)掘自己身邊的資源，甚至利用有限的資源拓展新的天地，滾雪球似得積累自己的資源，那你也將走向卓越。在世界上出人頭地的人，都能夠主動尋找他們要的時勢；若找不到，他們就自己創(chuàng)造出來！

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? ? ? ? ? ? ? 彭艷：美女校長演繹的精彩（原創(chuàng)）（未經(jīng)許可，請勿轉載）(gong7266, 2009-3-03)轉載：清華大學孫立平教授的《對中國最大的威脅不是社會動蕩而是社會潰敗（更新中）》(馬津龍, 2009-3-06)校長的喟嘆(谷園春草, 2009-3-16)又見老校長(lhuihui, 2009-3-18)[轉發(fā)]校長校長，是誰束縛了你的翅膀(李玲瓏, 2009-4-01)關于中國普通高等學校的校長問題(大慶商江, 2009-4-03)高二學生被清華大學“預定”(hubert888, 2009-4-06)

第三篇：解析幾何初步教學反思

直線與方程教學反思總結

學習解析幾何知識，“解析法”思想始終貫穿在全章的每個知識點，同時“轉化、討論”思想也相映其中，無形中增添了數(shù)學的魅力以及優(yōu)化了知識結構，解析幾何初步教學反思。在學習直線與方程時，重點是學習直線方程的五種形式，以直線作為研究對象，通過引進坐標系，借助“數(shù)形結合”思想，從方程的角度來研究直線，包括位置關系及度量關系。大多數(shù)學生普遍反映：相對立體幾何而言，平面解析幾何的學習是輕松的、容易的，但是，也存在“運算量大，解題過程繁瑣，結果容易出錯”等致命的弱點等，無疑也影響了解題的質量及效率。

在進行直線與方程的教學中，要重視過程教僅要重視公式的應用，教師更要充分展示公式的背景，與學生一道經(jīng)歷公式的形成過程，同時在應用中鞏固公式，教學反思《解析幾何初步教學反思》。在推導公式的過程中，要讓學生充分體驗推導中所體現(xiàn)的數(shù)學思想、方法，從中學會學習，樂于學習。應該說，自己在教學過程中也是遵循上述思路開展教學的，而且也取得了一定的效果。下面談一下對直線與方程的教學反思：

（1）教學目標與要求的反思：

基本上達到了預定教學的目標，由于個別學生基礎較差，沒有達到教學目標與要求，課后要對他們進行個別輔導。

（2）教學過程的反思：

通過問題引入，從簡單到復雜，由特殊到一般思維方法，讓學生參與到教學中去，學生的積極性很高，但師生互動與溝通缺少一點默契，尤其基礎較差的學生，有待以后不斷改進。

（3）教學結果的反思：

基本上達到了預定教學的效果，通過數(shù)形結合思想方法，培養(yǎng)學生能提出問題和解決問題的思維方式，學會反思，從而提高學生綜合解題的能力。

第四篇：《解析幾何》教案

《解析幾何》教案

第一章 向量與坐標

本章教學目的：通過本章學習，使學生掌握向量及其運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質、運算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標系和解決某些幾何問題，為以下各章利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質打下基礎.本章教學重點：（1）向量的基本概念和向量間關系的各種刻劃。（2）向量的線性運算、積運算的定義、運算規(guī)律及分量表示.本章教學難點：（1）向量及其運算與空間坐標系的聯(lián)系；（2）向量的數(shù)量積與向量積的區(qū)別與聯(lián)系；（3）向量及其運算在平面、立體幾何中的應用.本章教學內(nèi)容：

§1.1 向量的基本概念

一、定義：既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等.二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線段表示向量，箭頭表示向量的方向，線段長度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（長度）.始點為A，終點為B的向量，記作，其模記做.注：為方便起見，今后除少數(shù)情形用向量的始、終點字母標記向量外，我們一般用小寫黑體字母a、b、c??標記向量，而用希臘字母λ、μ、ν??標記數(shù)量.三、兩種特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡稱零向量，以0記之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.特別地，與非0向量同向的單位向量稱為的單位向量，記作.四、向量間的幾種特殊關系：

1、平行（共線）：向量a平行于向量b，意即a所在直線平行于b所在直線，記作a∥b，規(guī)定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b.注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無關，這種與位置無關的向量稱為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱為a的反向量，記作-a，顯然，零向量的反向量還是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.易見，任兩個向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線，則三向量一定共面，零向量與任何共面向量組共面.注意：應把向量與數(shù)量嚴格區(qū)別開來：

①向量不能比較大小，如

沒有意義； ②向量沒有運算，如類似的式子沒有意義.§1.2 向量的加法

一 向量的加法： 定義1 設、為，以與

與

為鄰邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，如圖1-1，稱之和，并記作（圖1-1）

這種用平行四邊形的對角線向量來規(guī)定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則.如果向量若與與向量在同一直線上，那么，規(guī)定它們的和是這樣一個向量： 的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等于兩向量的模之和.若與的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差的絕對值，其方向與模值大的向量方向一致.由于平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量： 定義2 作，以的終點為起點作，聯(lián)接

（圖1-2）得

（1-2）

該方法稱作向量加法的三角形法則.（圖1-2）向量加法的三角形法則的實質是：

將兩向量的首尾相聯(lián)，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量.據(jù)向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運算規(guī)律： 定理1 向量的加法滿足下面的運算律：

1、交換律 ,（1.2-2）

2、結合律.（1.2-3）證 交換律的證明從向量的加法定義即可得證.下證結合律.自空間任一點O開始依次作

所以

由定理1知，對三向量.二 向量的減法 定義3 若，則我們把叫做與的差，記為，.，只要把與、長度相同而方向相反的向量，以

與

加到向量上去.由平行，則

.相加，不論其先后順序和結合順序如何，結果總是相同的，可以簡單的寫作

，則有

顯然，特別地，由三角形法則可看出：要從減去四邊形法可如下作出向量對角線向量..設

為鄰邊作一平行四邊形例1 設互不共線的三向量、與，試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量.證 必要性 設三向量、、可以構成三角形

（圖1-3），（圖1-3），那么, 即 充分性 設

.，作

那么，所以，從而，所以、、可以構成三角形.例2 用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證 設四邊形因此從圖可看出：所以，∥，且，即四邊形的對角線、交于

點且互相平分（圖1-4），為平行四邊形.（圖1-4）

定義1.3.1 設是一個數(shù)量，向量與

§1.3 數(shù)量乘向量 的乘積是一向量，記作時，向量的方向與，其模等于的方向相同；當?shù)谋?，即時，向量

是.；且方向規(guī)定如下：當零向量，當時，向量的方向與的方向相反.特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負向量的定義知： 據(jù)向量與數(shù)量乘積的定義，可導出數(shù)乘向量運算符合下列運算規(guī)律： 定理1.3.1.數(shù)量與向量的乘法滿足下面的運算律： 1)122)結合律 3)分配律 =,(1.3-1),(1.3-2)

4)證 1)據(jù)定義顯然成立.2)顯然，向量且 = 或、=、=

.(1.3-3)的方向是一致，.3）分配律 如果反之 ⅰ)若 ,中至少有一個為0，等式顯然成立；

顯然同向，且

所以ⅱ）若若所以不妨設則有

由ⅰ)可得，對的情形可類似證明.一個常用的結論： 定理3.若行且設由于即，則是非零向量，用與(為數(shù)量)，則向量(是數(shù)量).同方向的單位向量.與

亦同方向，而且，與向量

平行，記作

；反之，若向量

與向量

平表示與同方向，從而.我們規(guī)定：若，.于是.這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量.請注意：向量之間并沒有定義除法運算，因此決不能將式子十分顯然，這種錯誤是受實數(shù)運算法則的“慣性作用”所造成.例1 設AM是三角形ABC的中線，求證

.改寫成形式.（圖1-5）

證 如圖1-5，因為，所以

但 因而，即.例2 用向量法證明：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證 設△ABC兩邊AB,AC中點分別為M，N，則所以，且.§1.4 向量的線性關系與向量的分解

定義1.4.1 由向量

與數(shù)量

所組成的向量

線性表示,或稱可以分解成向量

叫做向量的的線性組合,或稱可以用向量線性組合.定理1.4.1 如果向量使得 并且系數(shù)證 若存在實數(shù)再證，那么向量與向量共線的充要條件是可用向量線性表示，即存在實數(shù)，(1.4-1)被，唯一確定.成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線.反之，如果向量與向量共線，那么一定使得（見1.3節(jié)中1.3.5的證明）.，那么不共線，那么向量與，而，所以，.線性表示，即 的唯一性：如果定理1.4.2 如果向量 并且系數(shù)證： 被

共面的充要條件是可用向量，(1.4-2)，唯一確定.（圖1-6）因與不共線，由定義1.1.4知，其中，并設

.設與都不共線，中之一共線，那么由定理1.4.1有中有一個為零；如果與，于，把它們歸結共同的始點別作設反之，設如果共面.最后證，那么，那么經(jīng)過的終點分，由定理 1.4.1，可.的平行線依次交直線（圖1-6），因，即，那么

與，所以由平行四邊形法則得，如果

中有一個為零，如

共線，因此與共面.，從向量加法的平行四邊形法則知與

=，，將有，這與假設矛盾，所以

都共面，因此與的唯一性.因為那么 如果，那么，這就證明了唯一性.定理1.4.3 如果向量數(shù)

.同理

不共面，那么空間任意向量可以由向量線性表示，即存在一組實使得，(1.4-3)

并且系數(shù)x,y,z被，唯一確定.證明方法與定理1.4.2類似.定義1.4.2 對于個向量，若存在不全為零的實數(shù)，(1.4-4)

則稱向量線性相關.線性無關：.定理1.4.4 在組合.證 設向量時，向量

線性相關的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性，使得

不是線性相關的向量叫做線性無關，即向量線性相關，則存在不全為零的實數(shù)，且

使得，中至少有一個不等于0，不妨設則 反過來，設向量 即 中有一個向量，不妨設為

；，它是其余向量的線性組合，即，.因為數(shù)，-1不全為0，所以向量線性相關.定理1.4.5 如果一組向量中的部分向量線性相關，那么這一組向量就線性相關.證 設使得中有一部分，不妨設前r個向量線性相關，即存在不全為零的實數(shù)

.則有，因為，不全為零，所以線性相關.推論 如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關 類似地可證明下面的定理： 定理1.4.6 兩向量與共線

線性相關.定理1.4.7 三向量與共面線性相關.定理1.4.8 空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關的.例1 試證明：點，其中在線段

上的充要條件是：存在非負實數(shù)，使得，且是任意取定的一點.在線段.，證（先證必要性）設所以 任取一點所以，取，所以，上，則與同向，且，.，則，，使得

.，且，（充分性）若對任一點則 所以 有非負實數(shù)

與共線，即在直線上.又，所以在線段上.例2設證 為兩不共線向量，證明共線,線性相關，使，共線的充要條件是.即存在不全為0的實數(shù)即，(1.4-5)

.又因為不共線 即線性無關，故方程有非零解

.§1.5 標架與坐標

一 空間點的直角坐標:

平面直角坐標系使我們建立了平面上的點與一對有序數(shù)組之間的一一對應關系，溝通了平面圖形與數(shù)的研究.為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們用類似于平面解析幾何的方法，通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn).1、空間直角坐標系

過空間一定點，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們以為原點，且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統(tǒng)稱為坐標軸.通常把軸，軸配置在水平面上，而

軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規(guī)則：

(圖1-7)右手握住軸，當右手的四個指頭從三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點

角度轉向軸與

軸正向時，大拇指的指向就是軸正向.左右.當然，它們的實

軸的正向以

叫做坐標原點.軸間的夾角畫成注：為使空間直角坐標系畫得更富于立體感，通常把際夾角還是.2、坐標面與卦限

三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面.由軸與軸所決定的坐標面稱為面，另外還有面與三個坐標面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限.面.(圖1-8)

3、空間點的直角坐標

取定空間直角坐標系之后，我們就可以建立起空間點與有序數(shù)組之間的對應關系.7 設為空間的一已知點，過點分別作垂直于

點的坐標.軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點依次為了一個有序數(shù)組依次稱，，這三點在軸、，這組數(shù)叫為點

軸、軸的坐標依次為

.的點，于是：空間點就唯一地確定的橫坐標、縱坐標和豎坐標，記為，我們可以在、、軸上取坐標為

軸、反過來，若已知一有序數(shù)組在軸取坐標為的點，在軸上取坐標為的點，然后過分別作軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是以有序數(shù)組為坐標的空間點.和有序數(shù)組

之間的一一對應關系..這樣，通過空間直角坐標系，我們建立了空間點定義1 我們把上面有序數(shù)組

二 空間兩點間的距離公式 定理1 設、叫點

在此坐標系下的坐標，記為

為空間的兩點，則兩點間的距離為

(1.5-1)

證 過、體，如圖所示 各作三個分別垂直于三坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方

(圖1-9)

是直角三角形，故因為是直角三角形，故

；，，故 特別地，點與坐標原點的距離為.三 空間向量的坐標

.，從而 而

定義2 設使得標，記為定理

2設向量是與坐標軸，同向的單位向量，對空間任意向量都存在唯一的一組實數(shù)，，那么我們把這組有序的實數(shù)或

.、叫做向量在此坐標系下的坐的始終點坐標分別為，那么向量

.(1.5-2)的坐標為

證 由點及向量坐標的定義知所以

=由定義知

定理3 兩向量和的分量等于兩向量對應的分量的和.證 設，==所以

類似地可證下面的兩定理： 定理

4設定理5 設，則，則+，.(1.5-3)，那么

..，.共線的充要條件是

定理6

三非零向量，.(1.5-4)，共面的充要條件是 證 因為.(1.5-5)

不共面，所以存在不全為0的實數(shù)

使得，由此可得

因為不全為0，所以.§1.6 向量在軸上的射影

一、空間點在軸上的投影：

設已知點及軸，過點作軸的垂直平面，則平面

與軸的交點叫做點

在軸

上的投影.(圖1-10)

二、向量在軸上的投影： 定義1 設向量叫做向量的始點在軸與終點

在軸的投影分別為、，那么軸稱為投影軸.上的有向線段的值上的投影，記作，軸(圖1-11)這里，(1)的值是這樣的一個數(shù)： 即，數(shù)的絕對值等于向量

；當?shù)哪?的方向與

(2)當?shù)姆较蚺c軸的正向一致時，三、空間兩向量的夾角：

軸的正向相反時，.設有兩向量、交于點(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點在兩向量所決定的平面內(nèi)旋轉，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉角度(限定)稱為、間的夾角，記作

.(圖1-12)

若、平行，當它們指向相同時，規(guī)定它們之間的夾角為；當它們的指向相反時，規(guī)定它們的夾角為.類似地，可規(guī)定向量與數(shù)軸間的夾角.將向量平行移動到與數(shù)軸相交，然后將向量繞交點在向量與數(shù)軸所決定的平面內(nèi)旋轉，使向量的正方向與數(shù)軸的正方向重合，這樣得到的旋轉角度四 投影定理： 定理1.6.1 向量在軸上的投影等于向量的模

稱為向量與數(shù)軸的夾角.乘以軸與向量的夾角的余弦.即 ,(1.6-1)

(圖1-13)證 過向量等于軸的始點引軸，且軸

與軸

平行且具有相同的正方向，那未軸

與向量的夾角與向量的夾角，而且有

故 由上式可知：向量當非零向量在軸

上的投影是一個數(shù)值，而不是向量.成銳角時，向量

都有，設，.分別是的投影為正..(1.6-2)

在軸上的投影，那么顯然與投影軸定理1.6.2 對于任何向量證 取有 因為 所以 即 類似地可證下面的定理：，那么定理1.6.3 對于任何向量與任何實數(shù)

有.(1.6-3)

§1.7 兩向量的數(shù)性積

定義1.7.1 對于兩個向量a和b?把它們的模|a|,|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量和的數(shù)量積?記作ab,即 ab=|a||b|cos.由此定義和投影的關系可得?ab|b|Prjb a=|a|Prjab?.數(shù)量積的性質?

2(1)a2a=|a|,記a2aa，則a|a|.(2)對于兩個非零向量 a、b?如果 a2?b=0?則 ab? 反之?如果ab?則a2?b?0.定理1.7.1 如果認為零向量與任何向量都垂直?則a?b?a2?b?0.定理1.7.2 數(shù)量積滿足下面運算律：?(1)交換律? a2?b= b2a?(2)分配律(??ab)cacbc

(?(3)a)2?b a2(b?)(a2b)?(a)2(b?)(a2b)??

證（1）由定義知顯然.(2)的證明

因為當c0時 上式顯然成立

當c0時 有

(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcb acbc

（3）可類似地證明.例1 試用向量證明三角形的余弦定理

證 設在ΔABC中?∠BCA c 記2|c| 2

2||=a ||=b |?

|=c 要證

a 2+b 22 a b cos a?b?=c??則有 cc

c(ab)(ab)a2-2 2 2

ab 從而???

2ab+b|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

即 ca+b2 a b cos ?

數(shù)量積的坐標表示?:

定理1.7.3 設a{ax ay az }?b{bx by bz } 則

a2baxbxaybyazbz

證 a2?b(ax ?i ay j az k)2(bx i by j bz k)ax bx i2i ax by i2j ax bz i2k

ay bx j 2i ay by j 2j ay bz j2k

az bx k2i az by k2j az bz k2k ax bx ay by az bz ?

定理1.7.4 設a={ |a|=證 由定理1.7.2知

|a|=a=2

},則向量a的模

.，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量與坐標軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 設a={

}，則a的方向余弦為

cos =, cos，cos且 其中

；，分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角.證 因為 ai=|a|cos

且ai==，所以 |a|cos從而 cos=.同理可證 cos

cos且顯然

兩向量夾角的余弦的坐標表示?

定理1.7.6

設(a ^ b)則當a

0、b0時?有

.證 ?因為 a2b|a||b|cos

，所以

.例2 已知三點M(11?1)?、A(22?1)?和B(21?2)??求AMB ?

解 從M到A的向量記為a 從M到B的向量記為b 則AMB 就是向量a與b的夾角?.a{11?0}??b{10?1}??

因為

ab1110011?

所以 從而.? ?

?

§1.8 兩向量的向量積

定義1.8.1 兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個順序構成右手標架｛O;a,b,ab｝.從定義知向量積有下列性質：(1)aa0

(2)對于兩個非零向量a，b如果ab0則a//b；反之如果a//b則ab 0.定理1.8.1 兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構成的平行四邊形的面積.定理1.8.2 兩向量a與b共線的充要條件是ab0.證 當a與b共線時，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b| sin(a、b)=0，從而ab0；反之，當ab0時，由定義知，a =0，或b =0，或a//b，因零向可看成與任向量都共線，所以總有a//b，即a與b共線.定理1.8.3 向量積滿足下面的運算律

(1)反交換律 abba，(2)分配律(ab)cacbc，(3)數(shù)因子的結合律(a)ba(b)(ab)().證（略）.推論: c(ab)c a c b

定理1.8.4 設a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

證 由向量積的運算律可得

ab(ax iay jaz k)(bx iby j bz k)axbx iiaxby ij axbz ik

aybx jiayby jjaybz jkazbx kiazby k azbz kk

由于 iijjkk0ijkjkikij 所以 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k.為了幫助記憶利用三階行列式符號上式可寫成

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k

例1 設a(2 1 1)b(11 2)計算ab

解 =2ij2kk4ji i5j 3k

例2 已知三角形ABC的頂點分別是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面積

解 根據(jù)向量積的定義可知三角形ABC的面積

由于(222)(124)因此

4i6j2k

于是

例3 設剛體以等角速度 繞l 軸旋轉計算剛體上一點M的線速度

解 剛體繞l 軸旋轉時我們可以用在l 軸上的一個向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它即以右手握住l 軸當右手的四個手指的轉向與剛體的旋轉方向一致時大姆指的指向就是n的方向

設點M到旋轉軸l的距離為a 再在l軸上任取一點O作向量r并以 表示n與r的夾角那么

a|r| sin

設線速度為v那么由物理學上線速度與角速度間的關系可知v的大小為

|v||n|a |n||r| sin

v的方向垂直于通過M點與l軸的平面即v垂直于n與r又v的指向是使n、r、v符合右手規(guī)則因此有

vnr

§1.9 三向量的混合積

定義1.9.1 給定空間的三個向量或.定理1.9.1 三個不共面向量且當右手系時構成右手系時混合積為正；當,當構成左手系時的混合積的絕對值等于以

為棱的平行六面體的體積

=

當，并構成，我們把

叫做三向量的混合積，記做

構成左手系時混合積為負,也就是.可構成以證 由于向量的底面是以不共面，所以把它們歸結到共同的試始點，它的高為，為棱的平行六面體，它

.為邊的平行四邊形，面積為，體積是根據(jù)數(shù)性積的定義其中是當與的夾角.構成右手系時，.，.共面的充要條件是共面，由定理1.9.1知，因而可得

當構成左手系時，因而可得

定理1.9.2 三向量證 若三向量.反過來，如果，即

.，所以，從而，那么根據(jù)定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面.定理1.9.3輪換混合積的三個因子，并不改變它的值；對調(diào)任何倆因子要改變混合積符號，即

.證 當共面時，定理顯然成立；當

不共面時，混合積的絕對值等于以

為棱的平行六面體的體積，又因輪換的順序時，不改變左右手系，因而混合積不變，而對調(diào)任意兩個之間的順序時，將右手系變?yōu)樽螅笞冇?，所以混合積變號.推論: 定理1.9.4設

.，，那么

證 由向量的向性積的計算知

.再根據(jù)向量的數(shù)性積得，==

=推論: 三向量

.共面的充要條件是

例1 設三向量證明：由

且所以例2 已知四面體，求它的體積。，即

滿足

.，證明：

兩邊與做數(shù)量積，得：，共面。

共面。，，的頂點坐標解：

，，所以，§1.10三向量的雙重外積

定義1.10.1 給定空間三向量，先做其中兩個的向量積，再把所得的向量與第三個向量做向量積，那么，最后的結果仍然是一個向量，叫做三個向量的雙重向量積。

就是三向量也垂直，所以定理1.10.1 證 若中有一個是零向量，或定理顯然成立。

現(xiàn)設都為非零向量，且的一個雙重向量積。且和

共面。

（1.10.1）

共線，或與

都垂直，則（1.10.1）兩邊都是零向量，與

都垂直，與

不共線，為了證明（1.10.1）成立，先證

（1）

由于（2）式兩邊分別與，解得，即（1）式成立。共面，而

不共線，故可設，（2）

作數(shù)量積可得

下證（1.10.1）成立。由于則有利用（1）式可得例1.試證: 證明：

三式相加得例2． 證明： 證明：設，則

不共面，對任意，可設。

。，小 結

知識點回顧：

解析幾何的基本思想就是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，為了把代數(shù)運算引到幾何中來，最根本的做法就是把空間的幾何結構有系統(tǒng)地代數(shù)化，數(shù)量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運算，并通過向量了坐標系，從而使得空間中的點都和三元有序數(shù)組建立了一一對應的關系，為空間的幾何結構代數(shù)化打好了基礎。

通過本章的學習，應掌握向量及其各種運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質、運算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標系和解決某些幾何問題，如利用兩向量的數(shù)量積為零來判斷各種垂直關系，兩向量的向量積為零向量來判斷各種平行問題，三向量的混合積為零來判斷共面問題，以及在空間直角坐標系下，利用向量積的模求面積，混合積來求體積等問題。

1.向量加法的運算規(guī)律：

（1）

（2）（3）

（4）

2.數(shù)乘的運算規(guī)律：

（1）12（2）

（3）（4），.=，.3.兩向量的數(shù)量積

（1）ab=|a||b|cos.（2）a?b?a2?b?0.（3）在空間直角坐標系下，設a a2b 4．兩向量的向量積

{ax ay az }?baxbxaybyazbz

{bx by bz } 則

（1）兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個順序構成右手標架｛O;a,b,ab｝

（2）兩向量a與b共線的充要條件是ab0..（3）在空間直角坐標系下設a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

（4）兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構成的平行四邊形的面積

5.三向量的混合積

（1）三個不共面向量并且當也就是

.（2）三向量

共面的充要條件是，.，的混合積的絕對值等于以構成右手系時混合積為正；當=

當

構成右手系時

為棱的平行六面體的體積，構成左手系時混合積為負，當

構成左手系時（3）在空間直角坐標系下設那么

.典型習題

1.已知四面體ＡＢＣＤ的頂點坐標Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。

求（１）△ＢＣＤ的面積。

（２）四面體ＡＢＣＤ的體積。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距離。解：（1）

所以 △BCD的面積，-------2分

（2）四面體ABCD的體積為

（3）設C到BCD平面的距離為h,則

從而有。

．，即

2.用向量法證明：P是ΔABC重心的充要條件為證明：設P為△ABC的重心，D為BC邊中點，則 又因為PD為△PBC的中線，所以 所以有 設D為BC邊中點，則，即。

又因為，與共線，即P在BC邊的中線上，同理可得P也在AB，AC邊的中線上，從而有P為△ABC的重心。

3.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍.用四面體的頂點坐標把交點坐標表示出來.[證明]：設四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使＝3, 從而設Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，則

＝，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(P1(同理得P24.在四面體，,)

P3P

4,).P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.是的重心（三中線之交點），求矢量

對于矢量 中，設點的分解式。

解：是的重心。連接并延長與BC交于P 同理

（1）

由（1）（2）（3）得

（2）

（3）

即

第二章 軌跡與方程

本章教學目的：通過本章學習，使學生理解空間坐標系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程.本章教學重點：空間坐標系下曲面與空間曲線方程的定義.本章教學難點：（1）空間坐標系下母線平行于坐標軸的柱面方程與平面坐標系下有關平面曲線方程的區(qū)別；（2）空間坐標系下，空間曲線一般方程的規(guī)范表示.本章教學內(nèi)容：

§2.1平面曲線的方程

在平面上或空間取定了坐標系之后，平面上或空間的點就與有序數(shù)組(坐標):或建立了一一對應的關系.曲線、曲面(軌跡)就與 方程

或建立一一對應的關系.1.平面上的曲線: 具有某種特征性質的點的集合(軌跡).曲線的方程:1 曲線上的點都具有這些性質.2具有這些性質的點都在曲線上.2.曲線的方程, 方程的圖形

定義2.1.1 當平面上取定了坐標系之后,如果一個方程與一條曲線有著關系:1滿足方程的線上某一點的坐標;2曲線上任何一點的坐標這條曲線叫做這個方程的圖形.例1.求圓心在原點,半徑為R的圓的方程.必是曲

滿足這個方程,那么這個方程叫做這條曲線的方程,而解: 任意點類似地, 圓心在 例2.已知兩點解: 動點在圓上,半徑為R的圓的方程為和在軌跡上,求滿足條件

..的動點的軌跡方程.即

平方整理得

再平方整理得

.為所求軌跡方程.注: 在求曲線的方程時,化簡過程中可能造成范圍 的變化,得到的方程所代表曲線上的點與條件并不

完全相符,必須補上或除去.3.曲線的參數(shù)方程 變向量: 隨的變化而變化的向量.:對每一個

都唯一確定的一個.（）叫做曲線的向量式 向量函數(shù)= 定義2.1.2 在坐標系上,向量函數(shù)==參數(shù)方程.曲線的坐標式參數(shù)方程: 曲線的普通方程:.21

例3.一個圓在一直線上無滑動地滾動,求圓周上一點的軌跡.(圖2-3)

解:取直角坐標系,設半徑為的圓在軸上滾動,開始時點P恰好在原點O(圖2-3),經(jīng)過一段時間的滾動,圓與直線軸的切點移到A點,圓心移到C點,這時有

.設為到的有向角,則到的角為,則

.又

, ,這即是P點軌跡的向量式參數(shù)方程.其坐標式參數(shù)方程為:取時,消去參數(shù),得其在的一段的普通方程: 這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線.例4.已知大圓半徑為,小圓半徑為,設大圓不動,而小圓在大圓內(nèi)無滑動地滾動,動圓周上某一點P的軌跡叫做內(nèi)旋輪線(或稱內(nèi)擺線),求內(nèi)旋輪線的方程.解:

設運動開始時動點P與大圓周上的A點重合，并取大圓中心O為原點，OA為x軸，過O與OA垂直的直線為y軸建立坐標系，經(jīng)過某一過程后，小圓與大圓的接觸點為B，小圓中心為C，則C一定在OB上，且有，設為到則有又由弧AB等于弧BP可得所以

.的有向角，為

到的有向角，從而有到的有向角為，23 即為P點的向量式參數(shù)方程，其坐標式參數(shù)方程為

（-∞﹤<+∞）

例5 把線繞在一個固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡.解 設圓的半徑為是圓周上的點，如右圖，建立坐標系，那么 設 且矢量 所以 =從而得，，那么，對軸所成的有向角為，線頭的最初位置

，這就是所求點軌跡的矢量式參數(shù)方程.由上式可得該軌跡的坐標式參數(shù)方程為

該曲線叫漸伸線或切展線.一、曲面的方程：

§2.2 曲面的方程

定義2.2.1 設Σ為一曲面，F(xiàn)（x，y，z）=0或以后，若Σ上任一點P（x,y,z）的坐標都滿足F（x，y，z）=0或都在曲面Σ上，則稱F（x，y，z）=0或

為一三元方程，空間中建立了坐標系，而且凡坐標滿足方程的點

為曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的圖形.不難看出，一點在曲面Σ上〈═〉該點的坐標滿足Σ的方程，即曲面上的點與其方程的解之間是一一對應的 ∴Σ的方程的代數(shù)性質必能反映出Σ的幾何性質.三元方程的表示的幾種特殊圖形：

空間中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空間中的一個曲面呢？一般而言這是成立的，但也有如下特殊情況

1° 若F（x，y，z）=0的左端可分解成兩個（或多個）因式F1（x，y，z）與F2（x，y，z）的乘積，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），則

F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此時 F（x，y，z）=0表示兩葉曲面與，它們分別以F1（x，y，z）=0，F(xiàn)2（x，y，z）=0為其方程，此時稱F（x，y，z）=0表示的圖形為變態(tài)曲面.如

即為三坐標面.2方程 僅表示坐標原點和點（1，2，3）3°方程可能表示若干條曲線，如

0

即表示z軸和x軸 4°方程 不表示任何實圖形，如，此時，稱所表示的圖形為虛曲面 3 求法：

例1：求平行于坐標面的平面的方程.解：設平行于 面的平面為π，π與z軸的交點為∈π〈═〉

共面，則

=0 即

同理，平行于其他兩坐標面的平面的方程為

例2：求作兩定點A（1，-2，1），B（0，1，3）等距離的點的軌跡.解：

（圖2.1）

設所求軌跡為Σ，則

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求軌跡為x-3y-2z+2=0

例3：求半徑為R的球面的方程

解：建立直角坐標系{O；i,j,k}，并設球心 P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣

（a,b,c），則

∣=R〈═〉

特別地，若M.（a,b,c）為坐標原點，則球面Σ的方程為 x2+y2+z2=R2

綜合上述條例，可歸納出求曲面方程的一般步驟如下： 1°建立適當?shù)淖鴺讼?；（方程易求且求出的方程簡單?/p>

2°設動點Σ坐標為P（x,y,z），并根據(jù)已知條件，推出曲面上的點的坐標應滿足的方程； 3°對方程作同解化簡.二、曲面的參數(shù)方程：

定義2.2.2 設DR2為有序數(shù)對集，若對任意（u，v）∈D，按照某對應規(guī)則，有唯一確定的向量r與之對應，稱這種對應關系為D上的一個二元向量函數(shù)，記作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定義2.2.3 設Σ為一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D為一二元向量函數(shù)，在空間坐標系下，若對任意（u，v）∈D，徑向

=r（u，v）的終點P總在曲面Σ上，而且對任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），則 稱r=r（u，v）為Σ的向量式參數(shù)方程，記作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令 r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，則 稱

（u，v）∈D

為Σ的坐標式參數(shù)方程，記作Σ：（u，v）∈D

(圖2.2)(圖2.3)例：建立球面的參數(shù)方程：

解：為簡單起見，設坐標原點位于球心，球面半徑為R，如圖

對任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P為M 在x.y面上投影，并令=∠（r= =，），則

∣cos

i+∣

∣sin

j+∣∣sin sinj +Rcos

∣cos

j+∣

∣cos =∣ =∣∣sin cos i+ ∣ =Rsin cos i+Rsin sin ∴球面的參數(shù)方程 為： 0π 0<2π

三、球坐標系與柱坐標系

定義2.2.4 空間中建立了直角坐標系之后，對空間中任一點M（x,y,z），設∣OM∣=ρ 則M在以O為中心，以ρ為半徑的球面上，從而存在φ，θ，使

（*）

反之，對任意ρ（ρ?0），φ（0π），θ（0<2π），通過（*）也能確定空間中一點M（x,y,z），我們稱有序三數(shù)組ρ，φ，θ為M點 的球坐標（空間極坐標），記作M（ρ，φ，θ）

注：1°空間中的點與其球坐標間并非一一對應.2°已知M點的球坐標，通過（*）可求其直角坐標，而若已知M的直角坐 標，則

（**）

便可求其球坐標.定義2.2.5 空間中建立了直角坐標系之后，對

M（x,y,z），設其到z軸的距離為ρ，則 M落在以z軸為中心軸，以ρ為半徑的圓柱面上，從而θ，u，使

（*）

反之，對給的ρ（ρ?0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依據(jù)（*）式

也可確定空間中一點M（x,y,z），稱有序三數(shù)組ρ，θ，u為M點的柱坐標，記作M（ρ，θ，u）.注：1°空間中的點與其柱坐標并非一一對應.2°由柱面坐標求直角坐標,利用(*)即可,而由直角坐標求柱坐標,則需按下式進行.例：在直角坐標系下，圓柱面的圖形如下：，雙曲柱面，平面

和拋物柱面 27

(圖2.4)

(圖2.5)

(圖2.6)(圖2.7)

§2.3 空間曲線的方程

一、空間曲線的一般方程

1.定義2.3.1 設L為空間曲線,為一三元方程組,空間中建立了坐標系之后,若L上任一點M(x,y,z)的坐標都滿足方程組,而且凡坐標滿足方程組的點都在曲線L上,則稱

為曲線L的一般方程,又稱普通方程,記作L:

28(圖2.8)

注: 1°在空間坐標系下,任一曲線的方程定是兩方程聯(lián)立而成的方程組;

2°用方程組去表達曲線,其幾何意義是將曲線看成了二曲面的交線（如圖2.8）;3°空間曲線的方程不唯一(但它們同解),如

與 均表示z軸

2.用曲線的射影柱面的方程來表達曲線

以曲線L為準線,母線平行于坐標軸的柱面稱為L的射影柱面,若記L的三射影柱面的方程為

(x,y)=0，(y,z)=0，(z,x)=0,則

，便是L的用射影柱面表達的方程

若已知曲線L:的方程(y,z)=0, ,只需從L的方程中,分別消去x,y,z便三射影柱面(z,x)=0，(x,y)=0

例:設有曲線L: ,試求L的射影柱面,并用射影柱面方程表達曲線.解:從L的方程中分別消去x,y,z得到 z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0 它們即為L的射影柱面,而

(1),便均是L的用射影柱面表達的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草圖 二、空間曲線的參數(shù)方程:

(2),(3)

1.定義2.3.2 設L為一空間曲線，r=r(t),t∈A為一元向函數(shù),在空間坐標系下，若對P∈L，t∈A，使 =r（t），而且對t∈A，必有P∈L，使r（t）=，則稱r=r（t），t∈A為曲線L的向量式參數(shù)方程，記作L=r=r（t），t∈A，t ——參數(shù)

若點r（t）={x（t），y（t），z（t）}

則稱 t∈A

為L的坐標式參數(shù)方程

注：空間曲線的參數(shù)方程中，僅有一個參數(shù)，而曲面的參數(shù)方程中，有兩個參數(shù)，所以習慣上，稱曲線是單參數(shù)的，而曲面是雙參數(shù)的。

2.求法： 例：一質點，在半徑=a的圓柱面上，一方面繞圓柱面的軸作勻速轉動，一方面沿圓柱面的母線方向作勻速直線運動，求質點的運動軌跡。

解：以圓柱面的軸作為z軸，建立直角坐標系{O；i，j，k}，如圖，不妨設質點的起始點在x軸上，質點的角速率與線速率分別為ω。，ν。，質點的軌跡為L，則對∈L，在x。y面上的投影為′，(圖2.9)r= = +，=acos=b，則

i+asin

j+

k

若令 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式參數(shù)方程

而

小結

知識點回顧：

在平面上或空間取定了坐標系后，平面上或空間的點就與有序實數(shù)組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對應的關系，在此基礎上，把平面上的曲線或空間的曲面都看成具有某種特征性質的點的集合，而其特征性質在坐標系中反映為它的坐標之間的某種特定關系，把這種關系找出來，就是它的方程，而圖形的方程和圖形間有一一對應的關系，這樣就把研究曲線與曲面的幾何問題轉化為了代數(shù)問題。如曲面的方程為F（x，y，z）=0，要研究空間中三曲面是否有公共點的問題就可歸結為求三曲面方程的公共解，也就是解三元聯(lián)立方程組的問題。例如方程組

如果有實數(shù)解，則三曲面點的坐標。若方程組無實數(shù)解，三曲面就沒有公共點。

平面曲線的普通方程為

就有公共點，方程組的解就是公共，參數(shù)，參數(shù)方程為單參數(shù)的；曲面的普通方程為方程為雙參數(shù)的；空間曲線的普通方程為，參數(shù)方程為單參數(shù)的。

參數(shù)方程若能消去參數(shù)可得到普通方程，普通方程化為參數(shù)方程時形式卻是不唯一的，但一定要保證與原方程等價。典型習題：

1.有一長度為段中點的軌跡。解：設 ＞0）的線段，它的兩端點分別在軸正半軸與，為兩端點，為此線段的中點。

.在中有

軸的正半軸上移動，是求此線

:.則即.∴此線段中點的軌跡為.2.有一質點，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸（旋轉軸）作等速的運動，這時質點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程.解：取圓錐面的頂點為坐標原點，圓錐的軸為z軸建立直角坐標系，并設圓錐頂角為，旋轉角速度為，直線運動速度為V，動點的初始位置在原點，而且動點所在直母線的初始位置在xoz面上，t秒后質點到達P點，P點在xoy面上的射影為N，N在x軸上的射影為M，則有

而

所以，圓錐螺旋線的向量式參數(shù)方程為

坐標式參數(shù)方程為

（﹣∞

本章教學目的： 通過本章的學習，使學生掌握空間坐標系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點、平面與空間直線間各種位置關系的解析條件及其幾何直觀概念.本章教學重點：（1）空間坐標系下平面方程的點位式和點法式、直線方程點向式與標準式；（2）點、平面與空間直線間各種位置關系的解析條件；（3）平面與空間直線各種度量關系的量化公式.本章教學難點：（1）異面直線的公垂線方程；（2）綜合運用位置關系的解析條件求平面、空間直線方程.本章教學內(nèi)容：

§3.1平面的方程

1．平面的點位式方程

在空間給定了一點M0與兩個不共線的向量a，b后，通過點M0且與a，b平行的平面? 就惟一被確定.向量a，b叫平面? 的方位向量.任意兩個與?平行的不共線的向量都可作為平面? 的方位向量.取標架==，設點M0的向徑，平面? 上任意一點M的向 = {x，y，z}（如圖）.點M在徑為r =平面?上的充要條件為向量與向量a，b共面.由于a，b不共線，這個共面的條件可以寫成

= ua＋vb

而= r －r0，所以上式可寫成

r = r0＋ua＋vb(3.1－1)

此方程叫做平面? 的點位式向量參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).31 若令a = {，}，b = {，}，則由(3.1－1)可得

(3.1－2)

此方程叫做平面? 的點位式坐標參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).(3.1－1)式兩邊與a3b作內(nèi)積，消去參數(shù)u，v得

(r －r0，a，b)=

0(3.1-3)

此即

=0(3.1－4)

這是? 的點位式普通方程.例1：已知平面?上三非共線點

（i = 1，2，3）.求通過

={，（i = 1，2，3）的平面方程。}，i = 1，2，3.對動點M，設r =

={x，解： 建立坐標系{O；e1, e2, e3}，設ri = y，z}，取次為 和為方位向量，M1為定點，則平面?的向量參數(shù)方程，坐標參數(shù)方程和一般方程依r = ＋u(－)＋v(－r1)(3.1－5)

(3.1－6)

= 0(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)統(tǒng)稱為平面的三點式方程.特別地，若是? 與三坐標軸的交點，即≠0，則平面? 的方程就是

(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc=0(3.1－8)

即

(3.1－9)

此方程叫平面?的截距式方程，其中a，b，c稱為? 在三坐標軸上的截距.2．平面的一般方程

在空間，任一平面都可用其上一點M0(x0，y0，z0)和兩個方位向量a = {，}，b = {，}確定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.將(3.1－4)展開就可寫成

Ax＋By＋Cz＋D =

0(3.1－10)其中 A =，B =，C =

由于a = {，}與b = {，}不共線，所以A，B，C不全為零，這說明空間任一平面都可用關于a，b，c的一三元一次方程來表示.32 反之，任給一三元一次方程(3.1－10)，不妨設A≠0，則(3.1－10)可改寫成

即

它顯然表示由點M0(－D / A，0，0)和兩個不共線的向量{B，－A，0}和{C，0，－A }所決定的平面.于是有

定理3.1.1 空間中任一平面的方程都可表為一個關于變數(shù)x，y，z的三元一次方程；反過來，任一關于變數(shù)x，y，z的三元一次方程都表示一個平面.方程(3.1－10)稱為平面? 的一般方程.現(xiàn)在先來討論幾種特殊的平面方程（平面對于坐標系來講具有某種特殊位置）： 1.D=0的平面都通過原點。

2.A、B、C中有一個為0，例如C=0，則平面通過Z軸。

3.A、B、C中有兩個為0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐標面。.其余情況同學們自己討論。

3．平面的法式方程。

若給定一點M0和一個非零向量n，則過M0且與n垂直的平面?也被惟一地確定.稱n為?的法向量.在空間坐標系{O；i，j，k}下，設={x，y，z}，則因總有

=

={x0，y0，z0}，n = {A，B，C}，且平面上任一點M的向徑r =⊥n，有

n(r－r0)=

0(3.1－11)也就是 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面? 的點法式方程.(3.1－12)中的系數(shù)A，B，C有簡明的幾何意義，它們就是平面? 的一個法向量的分量.特別地，取M0為自O向? 所作垂線的垂足，而n為單位向量.當平面不過原點時，取n為與00的單位向量n，當平面過原點時取n的正向為垂直與平面的兩個方向中的任一個.設|| = p，則0n(r－p n0)= 0 = p n，由點P和n確定的平面的方程為，上式可寫成 n0r－p =

0(3.1－13)

0

0

同向式中r是平面的動向徑.由于此方程叫平面的向量式法式方程.0若設r = {x，y，z}，n = {cos?，cos?，cos?}，則由(3.1－13)得

x cos?＋y cos?＋z cos?－p = 0(3.1－14)

此為平面的坐標法式方程，簡稱法式方程.平面的坐標法式方程有如下特征：

1°一次項系數(shù)是單位向量的分量，其平方和等于1； 2°常數(shù)項－p?0（意味著p ? 0）.3°p是原點到平面的距離.例3: 求通過點

且平行于z軸的平面方程。，所以有2A 解：設平行于z軸的平面方程為Ax＋By＋D = 0，因為它又要通過－B＋D = 0，3A－2B＋D = 0，由上兩式得A:B:C= 所以所求平面方程為x＋y－1= 0

4．化一般方程為法式方程

在直角坐標系下，若已知?的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D = 0，則n = {A，B，C}是?的法向量，Ax＋By＋Cz＋D = 0可寫為

nr＋D =

0(3.1－15)

與(3.1－13)比較可知，只要以

去乘(3.1－15)就可得法式方程

?Ax＋?By＋?Cz＋?D = 0(3.1－16)

其中正負號的選取，當D≠0時應使(3.1－16)的常數(shù)項為負，D＝0時可任意選.以上過程稱為平面方程的法式化，而將例2：已知兩點解： 中點坐標為：

化為法式方程，并求出原點指向平面的單位法向量。，，求線段

叫做法化因子.垂直平分面的方程。

平面的點法式方程為： 整理后得：例3：把平面 解： ：所以

法式方程為：

§3.2平面與點的相關位置

平面與點的位置關系，有兩種情形，就是點在平面上和點不在平面上.前者的條件是點的坐標滿足平面方程.點不在平面上時，一般要求點到平面的距離，并用離差反映點在平面的哪一側.1．點到平面的距離 定義3.2.1 自點M0向平面? 引垂線，垂足為Q.向量面?之間的離差，記作

? = 射影

n0

在平面?的單位法向量n0上的射影叫做M0與平

(3.2－1)

顯然 ? = 射影n0當0.0

= 2n =∣

0

0

∣cos∠(，n)=±∣

0

∣

與n同向時，離差? > 0；當與n反向時，離差? < 0.當且僅當M0在平面上時，離差? =

顯然，離差的絕對值就是點M0到平面? 的距離.定理3.2.1 點M0與平面（3.1－13）之間的離差為 ? = n0r0－p(3.2－2)證：根據(jù)定義3.2.2和上圖得? = 射影n0 其中q== n（0

0

-）= n（r0－q）= nr0－n q

0

000，而Q在平面（3.1-13）上，因此n q= p，所以? = nr0－p。，則

與?間的離差 推論1 若平面? 的法式方程為

3)

推論2 點與平面Ax＋By＋Cz＋D = 0間的距離為

(3.2－

(3.2－4)

2．平面劃分空間問題 三元一次不等式的幾何意義 設平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D = 0 則空間中任一點M（x，y，z）與間的離差為

= ?(Ax＋By＋Cz＋D)式中?為平面的法化因子，由此有

Ax＋By＋Cz＋D

=(3.2－5)

對于平面同側的點，? 的符號相同；對于在平面的異側的點，? 有不同的符號，而?一經(jīng)取定，符號就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D > 0；而對于另一部分的點，則有Ax＋By＋Cz＋D < 0，在平面上的點有Ax＋By＋Cz＋D = 0.§3.3 兩平面的相關位置

空間兩平面的相關位置有3種情形，即相交、平行和重合.設兩平面?1與?2的方程分別是

?1：(1)

?2：(2)

則兩平面?1與?2相交、平行或是重合，就決定于由方程（1）與（2）構成的方程組是有解還是無解，或無數(shù)個解，從而我們可得下面的定理.定理3.3.1兩平面（1）與（2）相交的充要條件是

(3.3－1)

平行的充要條件是

(3.3－2)

重合的充要條件是

(3.3－3)

由于兩平面?1與?2的法向量分別為，當且僅當n1不平行于n2時?1與?2相交，當且僅當n1∥n2時?1與?2平行或重合，由此我們同樣能得到上面3個條件.下面定義兩平面間的夾角.設兩平面的法向量間的夾角為?，稱?1與?2的二面角∠(?1，?2)=? 或?－?為兩平面間的夾角.顯然有

=±cos? =±定理3.3.2兩平面（1）與（2）垂直的充要條件是

(3.3－5)

例 一平面過兩點 和且垂直于平面x＋y＋z = 0，求它的方程.解 設所求平面的法向量為n = {A，B，C}，(3.3－4)

由于在所求平面上，有，即.又n垂直于平面x＋y＋z = 0的法線向量{1，1，1}，故有A＋B＋C = 0 解方程組 得

所求平面的方程為，約去非零因子C得，即 2x－y－z =0，§3.4 空間直線的方程

1．直線的點向式方程 在空間給定了一點與一個非零向量v = {X，Y，Z}，則過點M0且平行于向量v的直線l就惟一地被確定.向量v叫直線l的方向向量.顯然，任一與直線l上平行的飛零向量均可作為直線l的方向向量.下面建立直線l的方程.如圖，設M(x，y，z)是直線l上任意一點，其對應的向徑是r = { x，y，z }，而對應的向徑是r0，則因有 //v，有t∈R，= t v.即r－r0= t v

所以得直線l的點向式向量參數(shù)方程

r = r0＋t v(3.4－1)

以諸相關向量的分量代入上式，得

根據(jù)向量加法的性質就得直線l的點向式坐標參數(shù)方程為

－∞ < t < ＋∞(3.4－2)

消去參數(shù)t，就得直線l的點向式對稱方程為

(3.4－3)

此方程也叫直線l的標準方程.今后如無特別說明，在作業(yè)和考試時所求得的直線方程的結果都應寫成對稱式.例1 設直線L通過空間兩點M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，則取M1為定點，就得到直線的兩點式方程為

(3.4－4)

根據(jù)前面的分析和直線的方程(3.4－1)，可得到

為方位向量，這個式子清楚地給出了直線的參數(shù)方程(3.4－1)或(3.4－2)中參數(shù)的幾何意義：參數(shù)t的絕對值等于定點M0到動點M之間的距離與方向向量的模的比值，表明線段M0M的長度是方向向量v的長度的 |t| 倍.0特別地，若取方向向量為單位向量v = {cos?，cos?，cos?} 則(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次變?yōu)?/p>

0 r = r0＋t v(3.4－5)

－∞ < t < ＋∞(3.4－6)

和

(3.4－7)

此時因 |v| = 1，t的絕對值恰好等于l上兩點M0與M之間的距離.直線l的方向向量的方向角?，?，? cos?，cos?，cos? 分別叫做直線l的方向角和方向余弦.由于任意一個與v平行的非零向量v'都可作為直線l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我們一般稱X ：Y ：Z為直線l的方向數(shù)，用來表示直線l的方向.2．直線的一般方程

空間直線l可看成兩平面?1和?2的交線.事實上，若兩個相交的平面?1和?2的方程分別為

?1：

那么空間直線l上的任何一點的坐標同時滿足這兩個平面方程，即應滿足方程組 ?2：

(3.4－8)

反過來，如果點不在直線l上，那么它不可能同時在平面?1和?2上，所以它的坐標不滿足方程組(3.4－8).因此，l可用方程組(3.4－8)表示，方程組(3.4－8)叫做空間直線的一般方程.一般說來，過空間一直線的平面有無限多個，所以只要在無限多個平面中任選其中的兩個，將它們的方程聯(lián)立起來，就可得到空間直線的方程.直線的標準方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.將標準方程化為一般式，得到的是直線的射影式方程.將直線的一般方程化為標準式，只需在直線上任取一點，然后取構成直線的兩個平面的兩個法向量的向量積為直線的方向向量即可.例 將直線的一般方程

化為對稱式和參數(shù)方程.解 令y = 0，得這直線上的一點（1，0，－2）.兩平面的法向量為

a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}

因a3b = {4，－1，－3}，取為直線的法向量，即得直線的對稱式方程為

令，則得所求的參數(shù)方程為

§3.5 直線與平面的相關位置

直線與平面的相關位置有直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上3種情形.設直線l與平面? 的方程分別為

l：(1）

? ：Ax＋By＋Cz＋D = 0(2)

（1）也就是

.將（2）代入（1），整理可得

(AX＋BY＋CZ)t = －(Ax0＋By0＋Cz0＋D)(3)

當且僅當AX＋BY＋CZ≠0時，（3）有惟一解

這時直線l與平面? 有惟一公共點；當且僅當AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時，（3）無解，直線l與平面? 沒有公共點；當且僅當AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0時，（3）有無數(shù)多解，直線l在平面? 上.于是有

定理3.5.1 關于直線（1）與平面（2）的相互位置，有下面的充要條件： 1）相交： AX＋BY＋CZ≠0

2）平行： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0 3）直線在平面上： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0

以上條件的幾何解釋：就是直線l的方向向量v與平面? 的法向量n之間關系.1）表示v與n不垂直；

2）表示v與n垂直且直線l上的點（x0，y0，z0）不在平面? 上； 3）表示v與n垂直且直線l上的點（x0，y0，z0）在平面? 上.當直線l與平面? 相交時，可求它們的交角.當直線不與平面垂直時，直線與平面的交角? 是指直線和它在平面上的射影所構成的銳角；垂直時規(guī)定是直角.設v = {X，Y，Z}是直線l的方向向量，n = {A，B，C}是平面? 的法向量，則

令 ∠(l，?)=，∠(v，n)= ?，就有 =? 或= ?－（? 為銳角）

(3.5－1)因而,sin =∣cos?∣==從這個公式也可直接得到定理3.5.1中的條件.§3.6 空間直線與點的相關位置

任給一條直線l的方程和一點M0，則l和M0的位置關系只有兩種：點在直線上和點不在直線上。從代數(shù)上，這兩種情況對應點的坐標滿足方程和點的坐標不滿足方程.當點不在直線上時，可求此點到直線的距離.設空間中有一點M0(x0，y0，z0)，和一條直線l：

l：

此處M1(x1，y1，z1)是l上的一點，v = {X，Y，Z}是l的方向向量.以v和

為鄰邊作一平行四變形，則其面積為 | v3|，點M0到直線l的距離d就是此平行四變形的對應于底 | v | 的高，所以

=(3.7－1)

在實際計算中，記憶上式的第二個等號后面的部分是沒有實際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計算即可.§3.7空間兩直線的相關位置 1．空間兩直線的位置關系：

空間兩直線的相關位置有異面與共面，共面時又有相交、平行和重合3種情形.設二直線的方程為

：

i = 1，2

此處直線l1是由點和方向向量v1 = {X1，Y1，Z1}決定的，而直線l2是由點和方向向量v2 = {X2，Y2，Z2}決定的.由圖容易看出，兩直線的相關位置決定于三向量，v1，v2的相互關系.當且僅當這三個向量異面時，兩直線異面；當且僅當這三個向量共面時，兩直線共面.共面時，若v1，v2不平行，則l1和l2相交，若v1∥v2但不與平行，則l1和l2平行，v1∥v2∥則l1和l2重合.因此有

定理3.6.1 空間兩直線l1和l2的相關位置有下面的充要條件 1）異面：

(3.6－1)

2）相交：(3.6－2)3）平行：(3.6－3)4）重合：(3.6－4)2．空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線的兩向量間的夾角，叫空間兩直線的夾角.顯然，若兩直線間的夾角是?，則也可認為它們之間的夾角是?－?.定理3.6.2 空間兩直線l1和l2的夾角的余弦為

(3.6－5)，推論 兩直線l1與l2垂直的充要條件是

X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 =

0(3.6－6)

3．二異面直線間的距離與公垂線的方程

空間兩直線的點之間的最短距離叫這兩條直線之間的距離.兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點到另一直線的距離.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫兩異面直線的公垂線.兩異面直線間的距離就等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長.39 設兩異面直線l1和l2的方程如前，l1和l2與它們的公垂線的交點分別為N1和N2，則l1和l2之間的距離

也就是

(3.6－6)

現(xiàn)在求兩異面直線l1和l2的公垂線的方程.如上圖，公垂線l0的方向向量可取作= {X，Y，Z}，而公垂線l0可看作兩個平面的交線，這兩個平面一個通過點M1，以v1和

和為方向向量，另一個平面通過點M2，以v2和

和為方向向量.因此公垂線l0的一般方程可寫為(3.6－7).例1求通過點方程。

解：設直線方程為：由條件可得： 而與平面平行，且與直線相交的直線的即

從而，且所以，直線方程為：例2 已知兩直線：

與

⑴ 證明它們?yōu)楫惷嬷本€；

⑵ 求它們公垂線的方程

解： ⑴ ⑵ 公垂線方向為：，所以，兩直線異面。

公垂線方程為：，化簡得： 即：

§3.8平面束

1．平面束

定義3.8.1 空間中過同一直線l的所有平面的集合稱為有軸平面束，l稱為這平面束的軸.定義3.8.2 空間中平行于一定平面?的所有平面的集合稱為平行平面束.有軸和平行平面束統(tǒng)稱為平面束.定理3.8.1 如果兩個平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

交于一條直線L，那么以直線L為軸的有軸平面束的方程是

?(x＋y＋z＋)＋?(x＋y＋其中? 和 ? 是不全為零的任意實數(shù).證 先證(3.8－1)表示過L的平面.z＋)= 0(3.8－1)

(3.8－1)即為(?+?)x＋(?+?)y＋(?+? 上式中x，y，z的系數(shù)必不全為零，若不然，則有

－?：? =

：

=

：)z＋?=

：

＋? = 0

這與與相交矛盾.故表示(3.8－1)一平面?，?顯然通過與的交線L.再證明對于過L的任一平面?，必存在不全為零的實數(shù)?，?，使?的方程為(3.8－1).首先，若?是一般地，若?≠件是，取? = 1，? = 0；若?是，取? = 0，? =1即可.，i = 1，2，取?上一點A(a，b，c)L，則由于(3.8－1)表示的平面要通過L的條?(a+b+c+)＋?(a+b+

b+c+

c+)= 0

即 ?：? =－(a+)：(a+b+c+)

不妨取 ? =－(a+b+c+)，? =a+b+c+

則由于A不在L上，? 和 ? 不全為零，因而過L且過A的平面? 的方程必可寫成(3.8－1)的形式.例 求過二平面4x－y＋3z－1 = 0與x＋5y－z＋2 = 0的交線，且過原點的平面的方程.解 略（講解時實推）.定理3.8.2 如果兩個平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

為平行平面，那么方程

41)＋?(x＋y＋z＋)= 0(3.8－1)

為平行平面束，平面束中任一平面都和?1或?2平行.式中? 和 ? 是不全為零的任意實數(shù)，且

－? ：?≠A1 ：A2 = B1 ：B2 = C1 ：C2

定理3.8.3平行于平面?：Ax＋By＋Cz＋D = 0的所有平面的方程可表為

Ax＋By＋Cz＋? = 0(3.8－2)

例 求與平面3x＋y－z＋4 = 0平行，且在z軸的截距等于－6的平面的方程.解 設所求的平面是3x＋y－z＋t = 0，則由于點(0，0，－6)在平面上，有

t＋6 = 0, t =－6

所求的平面方程為 3x＋y－z－6 = 0

2．平面把

定義3.8.3 空間中過一定點的所有平面的集合稱為平面把，稱為把心.?(x＋y＋z＋定理3.8.4 過定點(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－3)

其中A，B，C是任意不全為零的實數(shù).更一般地，我們有

定義3.8.3 空間中過一定點的所有平面的集合稱為平面把，稱為把心.定理3.8.5 過定點(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－4)

其中A，B，C是任意不全為零的實數(shù).定理3.8.6 對任意不全為0的? , ?，?，方程

(3.8－5)

表示過三平面

：的（惟一）交點(，?，使? 的方程為(3.8－4).)的一個平面?；反之，對任意過, 3 的平面?，必存在不全為零的? , ?，小結

知識點回顧：

通過本章的學習，使學生掌握空間坐標系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點、平面與空間直線間各種位置關系的解析條件及其幾何直觀概念.（1）空間坐標系下平面方程的點位式和點法式.在空間取仿射坐標系則平面設點的向量式參數(shù)方程為的坐標分別為，并設點的向徑其中，那么，平面

為參數(shù)。

；并設

上任意一點的向徑為

則平面的坐標式參數(shù)方程為，為參數(shù)。

平面的點位式方程為

空間中任一平面的方程都可以表示成一個關于變量 x,y,z 的一次方程；反過來，每一個關于變量 x,y,z 的一次方程都表示一個平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空間直角坐標系，設點的向徑為

，平面上的任意一點的向徑為，則平面的點法式方程.（2）空間直線的各種方程.42 在空間取仿射坐標系則其向量式參數(shù)方程為，已知直線上一點。，動點，方向向量.坐標式參數(shù)方程為：對稱式方程或標準方程為：

.。

設有兩個平面的方程為中的系數(shù)行列式

（＊）如果，即方程組（＊）

不全為零，那么相交，它們的交線設為，因為 上的任意一點同在這兩平面上，所以它的坐標必滿足方程組（＊）；反過來，坐標滿足方程組（＊）的點同在兩平面上，因而一定在這兩平面的交線即直線 上，因此方程組（＊）表示直線的方程，把它叫做直線的一般方程（3）點的離差和點到平面的距離； 如果自點與平面到平面引垂線，其垂足為，那么向量

在平面的單位法向量

上的射影叫做點之間的離差，記做點到平面距離公式：（4）點到直線的的距離：.（5）異面直線的公垂線方程

兩異面直線 典型習題：

1、一平面過兩點 和，求它的方程.解 設所求平面的法線向量為 顯然，故 即 又垂直于平面故有

；

且垂直于平面，在所求平面上，，.的法線向量，43

解方程組

得 據(jù)點法式方程有，約去非零因子

得，故所求方程為

2、用對稱式方程及其參數(shù)方程硎局畢?/span>

解 先找出這直線上的一點，如：取

代入方程組得

解此二元一次方程組得 于是，得到直線上的一點 再找該直線的一個方向向量都垂直，可取

.，由于兩平面的交線與兩平面的法線向量，因此，所給直線的對稱式方程為

；

直線的參數(shù)方程為

3分別在下列條件下確定（1）使（2）使與的值：

和

表示二平行平面；

表示同一平面；

（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：

即：

從而：。

（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：

所以：。

所以：

：

。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：4.試驗證直線：解：

直線與平面相交。

與平面

相交，并求出它的交點和交角。

又直線的坐標式參數(shù)方程為： 設交點處對應的參數(shù)為，從而交點為（1，0，-1）。又設直線與平面的交角為，則：，5.給定兩異面直線：解：因為公垂線方程為：，與，試求它們的公垂線方程。

即，亦即

第四章 柱面、錐面、旋轉曲面及常見二次曲面

本章教學目的： 使學生掌握柱面、錐面和旋轉曲面的定義、方程求法和方程特征；熟練掌握五種常見二次曲面的定義、標準方程及幾何特征，了解它們的性質，會畫它們的草圖.本章教學重點：（1）常見二次曲面的定義、標準方程及圖形的特征；（2）坐標面上的曲線繞坐標軸旋轉時所產(chǎn)生旋轉曲面方程的求法.（3）通過求柱面、錐面和旋轉曲面的方程，理解動曲線產(chǎn)生曲面的思想方法.本章教學難點 ：（1）柱面及錐面方程的求法中消去參數(shù)的幾何意義的理解；（2）雙曲拋物面的幾何性質的分析；（3）二次曲面直紋性的證明.本章教學內(nèi)容：

§4.1 柱面

一 柱面

定義4.1.1 在空間，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所產(chǎn)生的曲面叫做柱面.其中定方向叫柱面的方向，定曲囈兄條都叫柱面的母線.注：1°一個柱面的準線不惟一（舉例）.2°平面和直線也是柱面.以下建立柱面的方程.設在給定的坐標系下，柱面S的準線為

(1)

母線的方向數(shù)為X，Y，Z.若M1(x1，y1，z1)為準線上任一點，則過M1的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個三元方程

F(x，y，z)= 0

就是以（1）為準線，以{X，Y，Z}為方向的柱面的方程.這里需要特別強調(diào)的是，消去參數(shù)的幾何意義，就是讓點M1遍歷準線上的所有位置，就是讓動直線（1）“掃”出符合要求的柱面.例1 已知一個柱面的準線方程為，其母線的方向數(shù)是－1，0，1，求該柱面的方程.解 設M1(x1，y1，z1)是準線上的點，過M1(x1，y1，z1)的母線為

(1)

且有

(2)(3)

由(1)得

將(4)代入(2)和(3)得

(4)

(5)

(6)

由（5）和（6）得

(7)

將（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程為即.例2 已知圓柱面的軸為，點M1(1，－2，1)在此柱面上，求這個圓柱面的方程.解法一 記所求的圓柱面為S.因S的母線平行于其軸，母線的方向數(shù)為1，－2，－2，若能求得圓柱面的準線圓，則用例1的方法即可解題.空間的圓總可看成某一球面與某一平面的交線，故圓柱面的準線圓可看成以軸上的點.M0(0，1，－1)為中心，為半徑的球面的交線，即準線圓 是

設為 上的任意點，則

（1）（2）

與過已知點M1(1，－2，1)且垂直于軸的平面S的過的母線為

（3）

由（1）、（2）、（3）消去參數(shù)x1，y1，z1，得S的方程為.將圓柱面看成動點到軸線等距離點的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 因軸的方向向量為v = {1，－2，－2}，軸上的定點為M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定點，點M1到l的距離

.設M(x，y，z)是圓柱面上任意一點，則M到軸l的距離為，即

化簡整理就得S的方程為

二、柱面的判定定理 定理4.1.1

在空間直角坐標系中，只含有兩個元（坐標）的三元方程所表示的曲面是一個柱面，它的母線平行于所缺元（坐標）的同名坐標軸。

在空間直角坐標系里，因為這些柱面與 xoy坐標面的交線分別是橢圓，雙曲線與拋物線，所以它們依次叫做橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，統(tǒng)稱為二次柱面.三、空間曲線的射影柱面

空間曲線L:(15),如果我們從（15）中依次消去一個元，可得，任取其中兩個方程組，比如（16）那么方成這樣（16）和（15）是兩個等價的 方程組，也就是（16）表示的曲線和（15）是同一條，從而曲面都通過已知曲線(15)；同理方程知，曲面

表示的曲面也通過已知曲線(15)。有定理4.1.1表示一個母線平行于z軸的柱面，在直角坐標系下，起母線垂直于xoy坐標面，我們把曲面叫做空間曲線（15）對xoy坐標面射影的射影柱面，而曲線曲線（15）在xoy坐標面上的射影曲線。同理，與

叫做空間

分別叫做曲線（15）對xoz坐標面與yoz坐標面射影的射影柱面，而曲線和叫做空間曲線（15）在xoz坐標面與yoz坐標面上的射影曲線。

§4.2 錐面

定義4.2.1 在空間，通過一定點且與一條定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.這里定點叫做錐面的頂點，定曲線叫錐面的準線，直線族中的每一條都叫錐面的母線.注：1°一個錐面的準線不惟一（舉例）.2°平面既是柱面也是錐面.3°一條直線也是錐面.4°若將柱面的母線看成在無窮遠處相交的話，則柱面是一個頂點在無窮遠點的錐面.以下建立錐面的方程.設錐面S的準線為

(1)

頂點為A(x0，y0，z0).若M1(x1，y1，z1)為準線上任一點，則過M1的錐面的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個三元方程F(x，y，z)= 0 就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面的方程.這里消去參數(shù)的幾何意義與柱面的情形類似，就是讓點M1跑遍準線上的所有點，從而讓動直線（2）“掃”出符合要求的錐面.下面的定理給出了錐面方程的特征.先介紹齊次函數(shù)的概念.設為實數(shù)，對于函數(shù)，若

此處t的取值應使有確定的意義，則稱為n元次齊次函數(shù)，對應的方程= 0為次齊次方程.22例 u = xy＋2yz＋xyz為三次齊次函數(shù).定理4.2.1 一個關于x，y，z的齊次方程總表示一個頂點在原點的錐面.48 證： 由齊次方程的定義有當設直線的方程為 時有，故曲面S：為S上非原點的任意點，則

.過原點.滿足，即有

.而

代入= 0，得，即直線

上的所有點的坐標滿足曲面S的方程.因此直線在曲面S：上，故曲面S：是由這種通過坐標原點的直線組成，因而是以原點為頂點的錐面.推論 一個關于x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程總表示一個頂點在(x0，y0，z0)的錐面.證 設有x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程

F(x－x0，y－y0，z－z0)=0(*)

作坐標變換(**)為齊次方程，故表示頂點在點的錐面.的齊次方程可能只表示原點.例如

.這樣的曲面，表示以，則(*)化為(**)

為頂點的錐面.從而

注 在特殊情況下，一個關于一般稱為有實頂點的虛錐面.例1 錐面的頂點為原點，準線為解 設，求錐面的方程.為準線上任意一點，則過M1的母線為：

(4)

且有(5)

(6)

將(6)代入(4)得(7)

將(7)代入(3)得(4.2－1)這就是所求的錐面，稱為為二次錐面.二次錐面的方程(4.2－1)所表示的圖形，當a = b時就是我們熟悉的圓錐面.例2 已知一圓錐面的頂點為A(1，2，3)，軸l垂直于平面30°的角，試求該圓錐面的方程.解 設，母線與軸l組成為所求曲面S的任一母線上的任一點，則過M的母線的方向向量為

n = {2，2，－1}.由題，圓錐的軸線的方向向量即為平面根據(jù)題意v和n的夾角是30°或150°，故有

即 化簡整理得圓錐面的方程是

這是一個關于x－1，y－2，z－3的二次齊次方程.此結果也是對定理4.2.1的推論的一個直接驗證.因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種適合于圓錐面的特殊方法.我們當然可以先求出圓錐面的準線，再利用頂點與準線求出該圓錐面的方程.§4.3 旋轉曲面

1．一般的旋轉曲面方程 定義4.3.1 在空間，一條曲線 繞一定直線l旋轉一周所產(chǎn)生的曲面S叫做旋轉曲面（或回轉曲面）.叫做S的母線，l稱為S的的旋轉軸，簡稱為軸.設為旋轉曲面S的母線上的任一點，在 繞軸l旋轉時，也繞l旋轉而形成一個圓，稱其為S的緯圓、緯線或平行圓.以l為邊界的半平面與S的交線稱為S的經(jīng)線.S的緯圓實際上是過母線 上的點且垂直于軸l的平面與S的交線.S的所有緯圓構成整個S.S的所有經(jīng)線的形狀相同，且都可以作為S的母線，而母線不一定是經(jīng)線.這里因為母線不一定為平面曲線，而經(jīng)線為平面曲線.在直角坐標系下，設旋轉曲面S的母線為

：旋轉軸為

(1)

l這里為l上一點，X，Y，Z為l的方向數(shù).(2)

設M1(x1，y1，z1)為母線 上的任意點，過M1的緯圓總可看成過中心，(3)

為半徑的球面的交線.故過M1的緯圓的方程為

且垂直于軸l的平面與以P0為

(4)

當M1跑遍整個母線時，就得出旋轉曲面的所有緯圓，所求的旋轉曲面就可以看成是由這些緯圓構成的.由于M1(x1，y1，z1)在母線 上，有

(5)

從（3）、（4）、（5）4個等式消去參數(shù)x1，y1，z1得一個方程

F(x，y，z)= 0

即為S的方程.例1 求直線 ：繞直線旋轉所得的旋轉曲面S的方程.解 設M1(x1，y1，z1)為母線 上的任一點，因旋轉軸過原點，過M1的緯圓方程為

(7)

第五篇：平面解析幾何

? 《“平面解析幾何”復習教學的目標與設計》的學習心得體會

本人學習了《“平面解析幾何”復習教學的目標與設計》的視頻，感觸很深。授課老師能深入淺出的分析函數(shù)與導數(shù)高三復習的方法及注意點，并對相關知識的專題內(nèi)容進行分析，并對體系進行很好整理。在培養(yǎng)學生函數(shù)意識、掌握函數(shù)的思維方法、學會運用函數(shù)思想解決問題方面提出見解。對函數(shù)與導數(shù)專題蘊含的核心觀點、思想和方法進行剖析。通過學習，我認為在今后的數(shù)學教學中，要努力做好如下幾方面的工作。

? ?

一、《解析幾何》的教育價值

隨著時代的發(fā)展，人們對數(shù)學和數(shù)學教育本質的認識在不斷地發(fā)展、變化與更新，數(shù)學已經(jīng)從單純的工具演變提升為所有公民所必備的一種精神、一種文化、一種觀念、一種思維方式，因此數(shù)學教育純粹向學生傳授知識和解題方法的單一化目標正在被包含“文理融合，德智兼顧，完善人格，提高素養(yǎng)”在內(nèi)的多元化、立體化目標所取代.《解析幾何》正是在這些方面顯示出非凡的教育價值.? 美國應用數(shù)學家M·克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學》中指出：“數(shù)學是一種精神，一種理性的精神.正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵.”

? 《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》[1]在開頭也明確指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分”，“高中數(shù)學課程對于認識數(shù)學與自然界、數(shù)學與人類社會的關系，認識數(shù)學的科學價值、文化價值，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎性的作用.”

? 提到數(shù)學的理性精神，不能不說說愛因斯坦震撼人心的論述：“為什么數(shù)學比其它一切科學更受到特殊的重視？一個理由是，它的命題是絕對可靠和無可爭議的，而其它一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險之中.”《解析幾何》的所有命題就具有“連上帝”都認為“絕對可靠”與“無可爭議”的理性特征.? 世界文明全方位的進步越來越離不開數(shù)學理論、數(shù)學技術與數(shù)學思維.不僅自然科學與技術依靠著數(shù)學，就是社會人文科學也大量應用著數(shù)學的理念、方法與思維方式.正如日本著名學者、數(shù)學教育家米山國藏所說：“我搞了多年的數(shù)學教育，發(fā)現(xiàn)學生們在初中、高中接受的數(shù)學知識因畢業(yè)進入社會后，幾乎沒有什么機會應用這些作為知識的數(shù)學，通常是出校門不到

一、兩年就很快忘掉了.然而，不管他們從事什么業(yè)務工作，惟有深深銘刻于腦中的數(shù)學精神，數(shù)學的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”精辟深邃的見解在《解析幾何》中得到淋漓盡致的體現(xiàn).? 文[2]說：“數(shù)學在人類文明史中一直是一種主要的文化力量.?人類歷史上每一個重大事件的背后都有數(shù)學的身影：哥白尼的日心說，牛頓的萬有引力定律，無線電波的發(fā)現(xiàn)，三權分立的政治結構，?等都與數(shù)學思想有密切的聯(lián)系.” ? 十六、七世紀，許多數(shù)學家在思考，能否找到一種可以解決所有數(shù)學問題的統(tǒng)一方法.雖然許多數(shù)學家沒有獲得成功，但在長期思索、探尋的過程中孕育著一項超越前人的，數(shù)學發(fā)展史，乃至科學發(fā)展史上劃時代、里程碑式的偉大成果，這就是法國數(shù)學家笛卡兒創(chuàng)立的《解析幾何》.? 笛卡兒長期思考用代數(shù)方法來研究幾何問題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察蜘蛛在墻角結網(wǎng)，那縱橫交錯的蛛絲網(wǎng)絡引發(fā)了他的靈感，那不正是“用代數(shù)方法來研究幾何問題”的絕佳工具嗎？基于此種構想，平面直角坐標系以及解決幾何圖形問題的坐標法、解析法應運而生，“數(shù)”和“形”神奇地結合了起來，函數(shù)、方程實現(xiàn)了視覺化、形象化；曲線與幾何圖形實現(xiàn)了數(shù)量化.點、線和曲線的運動與數(shù)量變化融為一體，并達到完美的境界，“動”與“靜”的辨證關系被刻畫得惟妙惟肖.對此，恩格斯給予了極高的評價：“數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了.”[3]

? 有了平面直角坐標系，在函數(shù)的研究中可充分發(fā)揮其圖像的優(yōu)勢，在方程的研究中又可發(fā)揮對應圖形的優(yōu)勢，真是數(shù)形結合，優(yōu)勢互補，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐標系，可以將復數(shù)a+bi(a，b∈R)表示在平面內(nèi)，構建出復平面，使復數(shù)的研究逐步提升能到一個前所未有的高度.有了平面直角坐標系，隨著函數(shù)研究的逐步深入，發(fā)明了導數(shù)，于是推動現(xiàn)代化科學技術發(fā)展的微、積分誕生了.有了平面直角坐標系，人們又將平面向量表示成坐標(x，y)，那么平面向量的所有運算都可以實現(xiàn)坐標化，使有關問題的解決變得更加簡捷流暢，這是向量研究的重大突破.平面直角坐標系又發(fā)展到空間直角坐標系，于是誕生了空間向量、空間解析幾何.完全可以說，對大到宇宙天體中各種星球的運行，小到物質的分子原子的結構以及電子運動的研究，都可以歸結為對函數(shù)及其圖像、曲線及其方程的研究，都是以坐標系為重要工具，都與《解析幾何》結下了不解之緣.下面的框圖以濃縮的方式揭示的就是源于坐標系而發(fā)展成的“一棵參天大樹”.? ? ? ?

? 進入高中的學生，隨著知識、技能、思想和閱歷的逐漸豐富，思維水平的長足提升，審美意識的開始樹立，辨證唯物主義世界觀的逐步形成，將實現(xiàn)從幼稚蒙昧的少年“破繭化蛹成蝶”的巨變，在學生整個人生發(fā)展的這個非常關鍵的時期，《解析幾何》的教學正是促進學生這種巨變的重要推動力.? 數(shù)學思維是人的綜合素質中最重要的組成部分，廣闊性、深刻性、敏捷性、縝密性、創(chuàng)造性、批判性等數(shù)學思維的各種特性在《解析幾何》中都有極為豐富的背景內(nèi)容.從《解析幾何》中提煉出的各種數(shù)學思想可在極大的程度上豐富學生的大腦.從《解析幾何》中反映出的數(shù)學美是隨處可見的，問題是要能去發(fā)現(xiàn)、揭示和欣賞，并用這種美激發(fā)興趣，引發(fā)思維的創(chuàng)造.數(shù)學中充滿辨證法，對立統(tǒng)一的法則、矛盾的普遍性與特殊性、偶然性與必然性、矛盾雙方在一定條件可以互相轉化、量變到質變等哲學基本原理，在《解析幾何》中都可以找到大量生動鮮活的實例.教師高瞻遠矚、縱橫捭闔，巧妙地將這些內(nèi)容編織進課堂教學之中，學生在感到賞心悅目、情趣盎然的同時，更會覺得自己的“思維得以運用到最完善的程度”，這是思維與各種能力趨于成熟的標志.? ?

二、《解析幾何》的教學建議

對《解析幾何》教育、教學價值的深刻理解，可使教師形成一種高屋建瓴的磅礴氣勢，能高瞻遠矚地洞悉整個教材的體系，以便將《解析幾何》當作一部“長篇巨著”，然后再將它創(chuàng)編為一集集既相互獨立，又有內(nèi)在聯(lián)系的“電視連續(xù)劇”，設計并實施科學性與藝術性雙具的一節(jié)節(jié)教學精品，以取得最大限度的教育、教學效益.為此，提出《解析幾何》教學的一些建議.? ? 1 突出主線 副線交叉 和諧統(tǒng)一

《解析幾何》的靈魂是“解析”，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的坐標法，這是貫穿于《解析幾何》教學的一條主線.但這條主線又與多條副線交叉組合，構成了和諧統(tǒng)一的有機系統(tǒng).?(1)認識并處理好函數(shù)及其圖像與曲線及其方程的聯(lián)系與區(qū)別.雖然這兩者都是以坐標系為紐帶，但函數(shù)y=f(x)與二元方程F(x，y)=0有著本質的區(qū)別.直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖像最多只能有一個公共點，而直線x=a與方程F(x，y)=0的曲線的公共點卻可以超過一個.在一定條件下，曲線方程可以轉化為函數(shù).如由方程x2+y2=R2可解得，但這卻不能稱為函數(shù)，只有

與

? 才能稱為函數(shù).在這里，函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與方程的曲線實現(xiàn)了溝通.在解決有關弦長、圖形的面積、直線的斜率、離心率的問題中，常轉化為對目標函數(shù)的求解與研究.可見函數(shù)與《解析幾何》結下了不解之緣，函數(shù)堪稱《解析幾何》中的一號副線.?(2)一般方程堪稱《解析幾何》中的二號副線.在研究曲線位置關系的問題中，常轉化為對一元二次方程的討論，判別式△的幾種情況、根與系數(shù)的關系就成了解決《解析幾何》中的“常客”.?(3)不等式堪稱《解析幾何》中的三號副線.不等式的性質、不等式的求解、不等式的證明、均值不等式的應用與《解析幾何》的綜合問題常處于各級各類考試試卷的把關位置.?(4)三角函數(shù)堪稱《解析幾何》中的四號副線.直線傾斜角、直線方程中x、y的系數(shù)中常含三角函數(shù)、圓的方程x2+y2=R2與橢圓方程? ?

a＞b＞0)的參數(shù)形式 等

都與三角函數(shù)有著密切的親緣關系.(5)平幾知識的頻繁介入.求動點的軌跡、解決有關圖形的問題，常與平幾圖形聯(lián)袂，“小小的”平幾知識常成為解決大問題的杠桿.直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、線段的中點常在《解析幾何》問題中扮演著重要“角色”.?(6)《解析幾何》的問題常與平面向量的運算、平行、垂直、夾角等攜手組成絢麗多姿的綜合題.(7)《立體幾何》與《解析幾何》的綜合.近年來發(fā)現(xiàn)一些與《立體幾何》有關的軌跡問題，是“立體”與“解析”兩大幾何的聯(lián)手，值得關注.在高中數(shù)學的選修部分，更進一步揭示了圓錐曲線與圓錐的淵源關系，是拓寬學生數(shù)學視野、豐富數(shù)學手段、發(fā)展思維的良機.?

? ?(8)數(shù)列知識的介入.雖然這類問題不是太多，但也應值得重視.2 重研究對象，更重數(shù)學方法

? 從對象看，《解析幾何》研究的無非是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，但在研究它們的各種性質與解決有關問題的過程更要重

? ? ? ? ? 視數(shù)學方法的構建與應用.最重要的、處于核心位置的 數(shù)學方法當屬坐標法，如右面的 框圖所示.以直角坐標系為工具，實現(xiàn)幾何條件的代數(shù)化，得到曲線(動點的軌跡)的方程，又在直角坐標系中結合方程研究曲線的性質，深入理解這個方法的精髓，所有研究對象的性質將成為顯然的幾何事實，記憶、掌握與運用就變得十分自然、順暢.? 以坐標法為樞紐，還要輔以若干重要的支線，總結一些另外的典型方法也是十分必要的.?(1)設直線l：y=kx+b與曲線 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一個關于x的一元二次方程，那么研究直線l與曲線C的位置關系就轉化為對這個方程的解的研究.當△＞0時，直線l與曲線C有不同的兩個交點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|=

.特別地，當k=1時，|AB|=，? =圖形中出現(xiàn)了等腰直角三角形.? 這就是著名的弦長公式，給長度、面積、最值，特別是求范圍等問題的解決提供了方便.但思維不可僵化，有時直線l的方程也可設為x=my+a，則可巧妙地避免對直線的斜率是否存在的繁瑣討論，當然這時的弦長公式就變?yōu)閨AB|=

.?

? 類似的結論固然須牢固掌握，但更重要的是要帶領學生一起來追尋它們形成的“歷史足跡”，重視與突出其推導過程.(2)增強應用圓錐曲線定義的意識.現(xiàn)以橢圓為例.在坐標系xOy中，設定點F1(-c，0)、F2(c，0)，若動點M(x，y)滿足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)① ? ?

? 經(jīng)代數(shù)化，得 ②

? 則可化得橢圓的標準方程.? ? 橢圓的標準方程又可變形為在將②式化為標準方程的過程中，有一個過度式

③，?

? ? 進而可化為 ④

結合圖1，那么①②兩式以不同的形式展示了橢圓的第一定義，④ ? 式展示的是橢圓的第二定義，③式即，展示的是橢圓

? 的另一定義，不妨稱之為橢圓的第三定義.由④式還可得|MF2|=a-ex，其中

? 的就是橢圓的離心率.這樣就將橢圓的三個定義與橢圓的準線、離心

? 率、橢圓的焦半徑公式融為一體，組成一個完整的知識體系.不過，在③式中，由于x≠±a，所以必須增補點(a，0)與(-a，0)，才能得到一個完整的橢圓.?(3)“將幾何條件代數(shù)化”當然是求動點軌跡的最重要的基本方法，但此外還要總結另外一些典型的方法，如定義法、參數(shù)法、反代法.現(xiàn)僅以反代法為例，闡述其基本形式.? 設已知曲線C：F(x，y)=0上的一動點P(x0，y0)，Q(x，y)是與P相關的動點，則求點Q的軌跡方程按以下步驟進行：

? 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

?o

求相關

條件方程組：由P與Q的相關條件得

?

?

? 3o求反代式：由上述方程組解得用x、y表示x0、y0的反代式 ?

? 4o反代置換：將反代式代入①式，即得Q點的軌跡方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.?(4)曲線的切線越來越受到重視.圓的切線自不必說，其他曲線的切線，一方面可用上面(1)所說的△=0來解決，但更值得關注的是有關拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的切線的問題，常用導數(shù)方法來解決.?(5)一個典型奇特的方法，即同構式的應用.限于篇幅，這里僅舉一例.? A、B是拋物線y=x2的上的兩個動的動點，O是原點，若OA⊥OB，過O作OH⊥AB于H，求H點的軌跡方程.? ? ? ? ? 設A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以OA為直徑的圓的方程是化為

同理，由以OB為直徑的圓的方程，得②③兩式中，只是t的下標數(shù)字不同，其余的結構完全相同，兩式一“碰撞”，下標消失，得

? ?

④

則t1、t2是關于t的方程④的兩根，所以t1t2=-(x2+y2)，結合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).這就是欲求的H點的軌跡方程.②③兩式叫做同構式，從初中到高中，無數(shù)問題的解答都可以仰仗同構式的奇特功能.這里展示的是同構式的最單純的形式，當然還有許多變化，但再復雜的相關問題其基本原理與之是一致的.? ?

? ? 3 體現(xiàn)學生的“四個主體”

“四個主體”指的是樹立學生的主體精神，強化學生的主體意識，確立學生的主體地位，發(fā)揮學生的主體作用.弘揚學生的“四個主體”，但決不意味著削弱教師的主導作用，反而對教師的主導作用提出了更高層次的要求.僅舉一個課例：《直線的傾斜角和斜率》.? 在講授選擇傾斜角的什么三角函數(shù)值為直線的斜率時，學生會質疑，為什么不選正弦或余弦，而偏要選正切？教師不可用“這是規(guī)定”來搪塞，而要發(fā)動學生進行深入的討論、爭辯，教師以平等的身份參與其中，用詼諧幽默的語言進行點撥、啟發(fā)、誘導和評析.? 直線傾斜角的取值范圍是，現(xiàn)在分別畫出y=sinx、y=cosx、y=tanx在區(qū)間上的圖像(如圖2、3、4)，讓它們來個“公開、公平、公正、透明的競聘”，看到底哪個函數(shù)能“勝出”.? ? y=sinx在區(qū)間上的值都是非負的，且對于不同的角，可能有相同的函數(shù)值，它失去了“當選”的資格；y=cosx在區(qū)間上的值域為-1，1]，且=0，而當傾斜角為時，直線垂直于x軸，此時說“直線的斜率為0”，不合情理，它也不具備“勝出”的條件；可是y=tan在與上分別是增函數(shù)，對應于直線斜率從負無窮逐漸增大到0；從0逐漸增大到正無窮，而當垂直于x軸，tan情合理地認定tan? ?

時，直線

不存在，即直線的斜率不存在，直線就一點也不傾斜了，多么自為直線的斜率.然與和諧！學生哈哈大笑，在笑聲中領悟了多方面知識的實質，并達成了共識，合4 優(yōu)化思維品質是教學的核心內(nèi)容

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學的根本任務就是優(yōu)化學生的思維品質，所有知識、技能、思想的理解、接受、掌握與運用都有著思維活動的深刻與豐富的背景，所以在《解析幾何》教學的始終都要將這個重要目標放在首位.? 前文中的所有框圖雖然不必向學生講述，但只有當教師深刻理解后才能做到“底氣足”、理直氣壯.選擇傾斜角的正切函數(shù)作為直線的斜率涉及覆蓋了眾多的知識與技能.體現(xiàn)的是思維廣闊性.? 關于橢圓的三個定義的討論，將原本似乎彼此無關的內(nèi)容納入到一個體系之中，反映的是思維的深刻性.在不同的問情境中迅速識別、判斷與檢索，如應用反代法、同構式，是思維敏捷性的體現(xiàn).在求動點軌跡方程時，需要去掉那些點，補上哪些點，以保證軌跡與方程的完備性與純粹性，反映的是思維的縝密性.直線方程設為x=my+a、由方程②③判斷t1、t2是關于t的方程④的兩根，不拘一格、別出心裁，顯示的是思維的創(chuàng)造性.檢驗軌跡和方程是否保證完備性與純粹性、拋物線等圓錐曲線的定義中的“定點”必須在“定直線外”、橢圓定義中的“定長”必須“大于|F1F1|”等，顯示的都是思維的批判性.?

?

?

?

? ? 5 用數(shù)學的人文精神關懷學生的人文發(fā)展

數(shù)學雖然是理科，但其中飽含的人文精神對于學生綜合素養(yǎng)的提高起著舉足輕重的作用.關鍵是要做到有機結合、潛移默化、潤物無聲.前文談到笛卡兒創(chuàng)立了《解析幾何》，竟將時間精確到年、月、日與“傍晚”時刻，使這個故事更具震撼力與穿透力.教師還可“借題發(fā)揮”：笛卡兒的創(chuàng)造看似偶然，? 但必然性包含在偶然性之中，偶然的創(chuàng)造發(fā)明是長期殫精竭慮、思索探尋的必然結果.請問笛卡兒是在多大歲數(shù)時作出了這項創(chuàng)造？學生會回應：23歲！那么“有志不在年高，無志空長百歲”的箴言則躍然紙上.? 恩格斯說：“數(shù)學中充滿辨證法.”又說：“數(shù)學：辨證的輔助工具和表現(xiàn)形式.”[4]，所以文[1]規(guī)定了高中數(shù)學教育的一項重要目標，那就是樹立學生的“辯證唯物主義的世界觀.”

? “學生聽不懂所講解的辯證法”，這種擔心是多余的，只要你理解透徹了，結合具體鮮活形象的事例，運用通俗淺顯的語言，學生是能領會的.如直線l：y=kx+b，若k是變量，b是常量，則直線l就在平面內(nèi)圍繞點(0，1)作旋轉運動；若b是變量，k是常量，則直線l就在平面內(nèi)作斜率為定值的平行移動.這種“動中寓靜，變中求定”的特征就是對立統(tǒng)一法則的生動體現(xiàn).? 再如“量變到質變”的基本原理，在《解析幾何》中可找到無數(shù)生動的事例.點與直線的位置關系、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、兩圓的位置關系、曲線與曲

? ? 線的位置關系，都能深入淺出地揭示這一原理.再如圖5，設平面內(nèi)的一 條定直線l以及l(fā)外的一個定點F，平面內(nèi)的動點P、Q、R到直線l的距

? 離分別為PN、QN、RN，若，則P點的軌跡是橢圓；若1，? ? 則Q點的軌跡是拋物線；若，則R點的軌跡是雙曲線.量的不斷

積累，超越一定的界值，就會發(fā)生質的變化，或說飛躍，淺顯之中反映的是深刻的道理，且能引發(fā)諸多聯(lián)想.另外，數(shù)學美對于情操的熏陶、數(shù)學美對于創(chuàng)造思維的誘發(fā)、優(yōu)良的意志品質在解決問題過程的巨大作用、對科學真理不懈的追求與舍命的堅持、為全球人類造福的獻身精神，都可以巧妙地融入《解析幾何》的教學之中.?

? 行文至此，深深地感到，通過《解析幾何》的教學，可實現(xiàn)師生的互惠雙贏。