第一篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—09百分?jǐn)?shù)

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—09百分?jǐn)?shù)

本教程共30講

百分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。

（1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。

（2）表示一個(gè)數(shù)（比較數(shù)）是另一個(gè)數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。

百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“％”來(lái)表示，叫做百分號(hào)。

在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：

比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比較數(shù)，比較數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。

根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。

例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問(wèn)：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？

分析與解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80％”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80％=20％。

又因?yàn)椤耙卉囬g的男工占全廠男工的25％”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20％×25％=5％。

例2 學(xué)校去年春季植樹(shù)500棵，成活率為85％，去年秋季植樹(shù)的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹(shù)，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹(shù)？

分析與解：去年春季種的樹(shù)活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹(shù)，死了75-20=55（棵），活了 55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。

例3 一次考試共有5道試題。做對(duì)第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對(duì)三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？

分析與解：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。

由此得到做錯(cuò)第1題的有100×（1-85％）=15（人）；

同理可得，做錯(cuò)第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。

總共做錯(cuò)15+5+10+25+20=75（題）。

一人做錯(cuò)3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說(shuō)至少有75人及格，及格率至少是75％。

例4 育紅小學(xué)四年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多25％，五年級(jí)學(xué)生比四年級(jí)學(xué)生少10％，六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生多10％。如果六年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多38人，那么三至六年級(jí)共有多少名學(xué)生？

分析：以三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級(jí)是三年級(jí)的125％，五年級(jí)是三年級(jí)的125％×（1-10％），六年級(jí)是三年級(jí)的125％×（1-10％）×（1+10％）。因?yàn)橐阎昙?jí)比三年級(jí)多38人，所以可根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)列方程。

解：設(shè)三年級(jí)有x名學(xué)生，根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)可列方程：

x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。

三年級(jí)有160名學(xué)生。

四年級(jí)有學(xué)生 160×125％=200（名）。

五年級(jí)有學(xué)生200×（1-10％）＝180（名）。

六年級(jí)有學(xué)生 160+38=198（名）。

160+200+180+198=738（名）。

答：三至六年級(jí)共有學(xué)生738名。

在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問(wèn)題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值決定的，這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：

溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。

溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶

例5 有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？

分析與解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖（溶質(zhì)）600×7％=42（克）。

設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時(shí)溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程

需要再加入20克糖。

例6 倉(cāng)庫(kù)運(yùn)來(lái)含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？

分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開(kāi)始，果重

100×（1-90％）=10（千克）。

一星期后含水量變?yōu)?0％，“果”與“水”的比值為

因?yàn)椤肮笔冀K是10千克，可求出此時(shí)“水”的重量為

所以總重量是10+40=50（千克）。

練習(xí)9

1.某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長(zhǎng)的20％。照此計(jì)算，完成任務(wù)還需多少天？

2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25％，二車間人數(shù)比一車間少20％，三車間人數(shù)比二車間多30％。已知三車間有156人，全廠有多少人？

3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。

4.某工廠四個(gè)季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問(wèn)：全年全勤的人至少占百分之幾？

5.有酒精含量為30％的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?/p>

6.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？

7.有一堆含水量14.5％的煤，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的風(fēng)干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來(lái)的百分之幾？

答案與提示 練習(xí)9

1.20天。

解：5÷20％-5=20（天）。

2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600（人）。

3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公頃），第二塊地為25×80％=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。

4.62％。解；設(shè)全廠有100人，則四個(gè)季度沒(méi)有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個(gè)季度沒(méi)有全勤的人互不相同時(shí)，全年沒(méi)有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62％。

5.20％。

解：設(shè)酒精含量為30％的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?/p>

30÷(100+25+25)=20％。

6.600克，400克。

提示：設(shè)需要18％的溶液x克，則需要23％的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得

x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。

7.95％。

解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含

現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來(lái)的95％。

第二篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：行程問(wèn)題

第一講 行程問(wèn)題

走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量： 距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等;速度在單位時(shí)間內(nèi)(例如1小時(shí)內(nèi))行走或移動(dòng)的距離;時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來(lái)表示： 距離=速度×?xí)r間

很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見(jiàn)的，例如

總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問(wèn)題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問(wèn)題.當(dāng)然，行程問(wèn)題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問(wèn)題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問(wèn)題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度-乙的速度)×?xí)r間.通常，“追及問(wèn)題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開(kāi)出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問(wèn)學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計(jì)算，從學(xué)校開(kāi)出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此

所用時(shí)間=9÷6=1.5(小時(shí)).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說(shuō)明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時(shí)).城門離學(xué)校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問(wèn)家到公園多遠(yuǎn)? 解一：可以作為“追及問(wèn)題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上;如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問(wèn)自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時(shí)走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差

1小時(shí)與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請(qǐng)看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時(shí)).解二的想法與第二講中年齡問(wèn)題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分? 解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問(wèn)題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度+乙的速度)×?xí)r間.“相遇問(wèn)題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長(zhǎng)的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說(shuō)，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時(shí)多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是 2÷(5-4)=2(小時(shí)).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡(jiǎn)單地說(shuō)這是什么問(wèn)題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬(wàn)不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來(lái)都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)

(或E點(diǎn))相遇所用時(shí)間是 28÷5= 5.6(小時(shí)).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6=0.4(小時(shí)).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時(shí)).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時(shí)).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成是“相遇問(wèn)題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問(wèn)：(1)小張和小王分別從A，D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問(wèn)多少時(shí)間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時(shí)間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走

小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問(wèn)題

人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長(zhǎng))，因此需要的時(shí)間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).解：第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng);第二次相遇，兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開(kāi)始算，兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問(wèn)小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是 40×3÷60=2(小時(shí)).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時(shí))，小王 8÷2=4(千米/小時(shí)).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回)，他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問(wèn)題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘;小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問(wèn)：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了

此時(shí)兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是 5÷(4+6)=0.5(小時(shí)).2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.例14 一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较蜓刂鴪A周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開(kāi)始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6，24，42，78，96，…

對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請(qǐng)思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求

解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過(guò)程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出

分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們?cè)贏B中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間 =DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =18-12 =6.而(PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間)是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得 PC上所需時(shí)間是(24+6)÷2=15，PD上所需時(shí)間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時(shí)間相等，就有 BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間 =P→D→A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間 =16.立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出，對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些.三、稍復(fù)雜的問(wèn)題

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn);(2)靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問(wèn)：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時(shí)間是 130+65=195(分鐘)=3小時(shí)15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.上面的問(wèn)題有3個(gè)人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問(wèn)題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡(jiǎn)明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問(wèn)姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說(shuō)：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過(guò)2千米時(shí)，回家取車才合算.”請(qǐng)推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成： 騎車從家開(kāi)始，步行從B點(diǎn)開(kāi)始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計(jì)算如下：

不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個(gè)單位，從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個(gè)單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來(lái)方便，是值得讀者仿照采用的.請(qǐng)?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時(shí)開(kāi)出，相向而行.經(jīng)過(guò)5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問(wèn)：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：

設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí)，從C到A用了12.5-5=7.5(小時(shí)).我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位，C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位，快車每小時(shí)走3個(gè)單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了.慢車從C到A，再加停留半小時(shí)，共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢?去掉它在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí)，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1=14(單位).現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時(shí)出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時(shí)間是 14÷(2+3)=2.8(小時(shí)).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時(shí)).答：從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來(lái)時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了B地.我們?cè)贐之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖

第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭?，與C至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此 順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時(shí)20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.第一段所用時(shí)間∶第三段所用時(shí)間=5∶2.時(shí)間一樣.第一段所用時(shí)間∶第二段所用時(shí)間=5∶9.因此，三段路程所用時(shí)間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時(shí)間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開(kāi)往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá);如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設(shè)原速度是1.%后，所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的

這是具體地反映：距離固定，時(shí)間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時(shí)間縮短到原來(lái)的

如果一開(kāi)始就加速25%，可少時(shí)間

現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說(shuō)明有一段路程未加速而沒(méi)有少這個(gè)32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長(zhǎng)

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長(zhǎng)還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長(zhǎng)為x，就有 x∶120=72∶32

第三篇：六年級(jí)奧數(shù)教案

思源學(xué)校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學(xué)要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、推理方法解決問(wèn)題。

(2)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、推理方法解決問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn): 理解、掌握分析、推理方法。

教學(xué)方法:講解法、圖表法、練習(xí)法。

（一）教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)。

上節(jié)課的習(xí)題例2

二、教學(xué)新課 教學(xué)例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個(gè)人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個(gè)人如果看見(jiàn)別人（一個(gè)或兩個(gè)）戴的是紅帽子就舉手，并且誰(shuí)能斷定自己頭上帽子的顏色，誰(shuí)就馬上離開(kāi)房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個(gè)人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開(kāi)了，他是怎么推導(dǎo)出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關(guān)鍵：注意到甲乙兩人沒(méi)有立即離開(kāi)房間這個(gè)事實(shí)。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據(jù)乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應(yīng)走出房間，乙會(huì)做同樣的推理離開(kāi)房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說(shuō)明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說(shuō)說(shuō)你的推理過(guò)程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習(xí)。教學(xué)例4 學(xué)田小學(xué)舉行科技知識(shí)競(jìng)賽，同學(xué)們對(duì)一貫刻苦學(xué)習(xí)愛(ài)好讀書的四名學(xué)生的成績(jī)作了如下估計(jì)：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前四名。但以上三種估計(jì)，每一種都對(duì)了一半錯(cuò)一半。他們各得第幾名？（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學(xué)生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯(cuò)，乙第二對(duì)”出現(xiàn)矛盾。照此推理“丙第一對(duì)，乙第二錯(cuò)”沒(méi)有出

現(xiàn)矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過(guò)程。

四、小結(jié)。

這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？

第四篇：六年級(jí)奧數(shù)十二.分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.教師版

學(xué)遠(yuǎn)教育小六奧數(shù)資料

小六奧數(shù)專題十二：分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

一、知識(shí)點(diǎn)概述

1.分析題目確定單位“1”

2.準(zhǔn)確找到量所對(duì)應(yīng)的率，利用量÷對(duì)應(yīng)率＝單位“1”解題 3.抓住不變量，統(tǒng)一單位“1”

4.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是研究數(shù)量之間份數(shù)關(guān)系的典型應(yīng)用題，一方面它是在整數(shù)應(yīng)用題上的延續(xù)和深化，另一方面，它有其自身的特點(diǎn)和解題規(guī)律．在解這類問(wèn)題時(shí)，分析中數(shù)量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確找出“量”與“率”之間的對(duì)應(yīng)是解題的關(guān)鍵．

二、解題技巧：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題經(jīng)常要涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的量，我們往往把其中的一個(gè)量看作是標(biāo)準(zhǔn)量．也稱為：?jiǎn)挝弧?”，進(jìn)行對(duì)比分析。在幾個(gè)量中，關(guān)鍵也是要找準(zhǔn)單位“1”和對(duì)應(yīng)的百分率，以及對(duì)應(yīng)量三者的關(guān)系 例如：（1）a是b的幾分之幾，就把數(shù)b看作單位“1”．

1，乙比甲少幾分之幾？ 819191方法一：可設(shè)乙為單位“1”，則甲為1??，因此乙比甲少??.888891方法二：可設(shè)乙為8份，則甲為9份，因此乙比甲少1?9?.9（2）甲比乙多

三、怎樣找準(zhǔn)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中單位“1”

（一）、部分?jǐn)?shù)和總數(shù)

在同一整體中，部分?jǐn)?shù)和總數(shù)作比較關(guān)系時(shí)，部分?jǐn)?shù)通常作為比較量，而總數(shù)則作為標(biāo)準(zhǔn)量，那么總數(shù)就是單位“1”。例如：

我國(guó)人口約占世界人口的幾分之幾？——世界人口是總數(shù)，我國(guó)人口是部分?jǐn)?shù)，世界人口就是單位“1”。解答題關(guān)鍵：只要找準(zhǔn)總數(shù)和部分?jǐn)?shù)，確定單位“1”就很容易了。

（二）、兩種數(shù)量比較

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，兩種數(shù)量相比的關(guān)鍵句非常多。有的是“比”字句，有的則沒(méi)有“比”字，而是帶有指向性特征的“占”、“是”、“相當(dāng)于”。在含有“比”字的關(guān)鍵句中，比后面的那個(gè)數(shù)量通常就作為標(biāo)準(zhǔn)量，也就是單位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)（單位“1”），解題關(guān)鍵：在另外一種沒(méi)有比字的兩種量相比的時(shí)候，我們通常找到分率，看“占”誰(shuí)的，“相當(dāng)于”誰(shuí)的，“是”誰(shuí)的幾分之幾。這個(gè)“占”，“相當(dāng)于”，“是”后面的數(shù)量——誰(shuí)就是單位“！”。

（三）、原數(shù)量與現(xiàn)數(shù)量

有的關(guān)鍵句中不是很明顯地帶有一些指向性特征的詞語(yǔ)，也不是部分?jǐn)?shù)和總數(shù)的關(guān)系。這類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的單位“1”比較難找。需要將題目文字完善成我們熟悉的類似帶“比”的文字，然后在分析。

典型例題

【例 1】 甲、乙兩人星期天一起上街買東西，兩人身上所帶的錢共計(jì)是86元.在人民市場(chǎng)，甲買一雙運(yùn)動(dòng)鞋4花去了所帶錢的，乙買一件襯衫花去了人民幣16元．這樣兩人身上所剩的錢正好一樣多．問(wèn)甲、9乙兩人原先各帶了多少錢?

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【鞏固】 一實(shí)驗(yàn)五年級(jí)共有學(xué)生152人，選出男同學(xué)的正好相等。五年級(jí)男、女同學(xué)各有多少人？

1和5名女同學(xué)參加科技小組，剩下的男、女人數(shù)11

1【例 2】 甲、乙兩個(gè)書架共有1100本書，從甲書架借出，從乙書架借出75%以后，甲書架是乙書架的2倍

3還多150本，問(wèn)乙書架原有多少本書？

11【例 3】 五年級(jí)上學(xué)期男、女生共有300人，這一學(xué)期男生增加，女生增加，共增加了13人．這一

2520學(xué)年六年級(jí)男、女生各有多少人?

11【鞏固】 把金放在水里稱，其重量減輕，把銀放在水里稱，其重量減輕．現(xiàn)有一塊金銀合金重770克，1910放在水里稱共減輕了50克，問(wèn)這塊合金含金、銀各多少克？

42【例 4】 光明小學(xué)有學(xué)生900人，其中女生的與男生的參加了課外活動(dòng)小組，剩下的340人沒(méi)有參加．這

73所小學(xué)有男、女生各多少人?

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【例 5】 從飛機(jī)窗向外看去，看見(jiàn)了部分海島、部分白云以及不大的一塊海域，假定白云占窗口畫面的一半，它遮住了島的1【例 6】 養(yǎng)殖專業(yè)戶王老伯養(yǎng)了許多雞鴨，雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的 1倍．鴨比雞少幾分之幾？

43【鞏固】 某校男生比女生多，女生比男生少幾分之幾？ 11，因此島在窗口畫面上只占，問(wèn)被白云遮住的那部分海洋占畫面的多少？ 44

【例 7】 學(xué)校閱覽室里有36名學(xué)生在看書，其中女生占有看書人數(shù)的

4，后來(lái)又有幾名女生來(lái)看書，這時(shí)女生人數(shù)占所99．問(wèn)后來(lái)又有幾名女生來(lái)看書? 19

【鞏固】 有甲、乙兩桶油，甲桶油的質(zhì)量是乙桶的乙桶的5倍，從甲桶中倒出5千克油給乙桶后，甲桶油的質(zhì)量是24倍，乙桶中原有油 千克．

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【例 8】（1）某工廠二月份比元月份增產(chǎn)10％，三月份比二月份減產(chǎn)10％．問(wèn)三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？

【例 9】（2）一件商品先漲價(jià)15％，然后再降價(jià)15％，問(wèn)現(xiàn)在的價(jià)格和原價(jià)格比較升高、降低還是不變？

【例 10】 某校三年級(jí)有學(xué)生240人，比四年級(jí)多

【鞏固】 把100個(gè)人分成四隊(duì)，一隊(duì)人數(shù)是二隊(duì)人數(shù)的1倍，一隊(duì)人數(shù)是三隊(duì)人數(shù)的1少個(gè)人?

【例 11】 新光小學(xué)有音樂(lè)、美術(shù)和體育三個(gè)特長(zhǎng)班，音樂(lè)班人數(shù)相當(dāng)于另外兩個(gè)班人數(shù)的相當(dāng)于另外兩個(gè)班人數(shù)的【例 12】 小剛給王奶奶運(yùn)蜂窩煤，第一次運(yùn)了全部的，比五年級(jí)少 ．四年級(jí)、五年級(jí)各多少人？

54131倍，那么四隊(duì)有多42，美術(shù)班人數(shù)53，體育班有58人，音樂(lè)班和美術(shù)班各有多少人？ 73，第二次運(yùn)了50塊，這時(shí)已運(yùn)來(lái)的恰好是沒(méi)運(yùn)來(lái)的85．問(wèn)還有多少塊蜂窩煤沒(méi)有運(yùn)來(lái)？ 7

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1【鞏固】 五(一)班原計(jì)劃抽的人參加大掃除，臨時(shí)又有2個(gè)同學(xué)主動(dòng)參加，實(shí)際參加掃除的人數(shù)是其余人51數(shù)的．原計(jì)劃抽多少個(gè)同學(xué)參加大掃除？

3【例 13】 小莉和小剛分別有一些玻璃球，如果小莉給小剛24個(gè)，則小莉的玻璃球比小剛少小莉24個(gè)，則小剛的玻璃球比小莉少

3；如果小剛給75，小莉和小剛原來(lái)共有玻璃球多少個(gè)？ 8【例 14】 小明是從昨天開(kāi)始看這本書的，昨天讀完以后，小明已經(jīng)讀完的頁(yè)數(shù)是還沒(méi)讀的頁(yè)數(shù)比昨天多讀了14頁(yè)，這時(shí)已經(jīng)讀完的頁(yè)數(shù)是還沒(méi)讀的頁(yè)數(shù)的【例 15】 某校有學(xué)生465人，其中女生的【例 16】 一爐鐵水凝成鐵塊，其體積縮小了

【鞏固】 水結(jié)成冰后體積增大它的【例 17】 某工廠二月份比元月份增產(chǎn)

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1，他今天91，這本書共有多少頁(yè)？” 324比男生的少20人，那么男生比女生少多少人? 351，那么這個(gè)鐵塊又熔化成鐵水，其中體積增加了幾分之幾? 341.問(wèn)：冰化成水后體積減少它的幾分之幾？ 1011，三月份比二月份減產(chǎn)．問(wèn)三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？ 1010學(xué)遠(yuǎn)教育小六奧數(shù)資料

課后練習(xí):

1某小學(xué)六年級(jí)有三個(gè)班，一班和二班人數(shù)相等，三班的人數(shù)是全年級(jí)總?cè)藬?shù)的7，并且比一班多3人，六20年級(jí)共有多少人？

2有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2，把這三堆棋子集中在一起，問(wèn)白子占全部棋子的幾分之幾?

53有一塊菜地和一塊稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公頃，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公頃。那么這塊稻田有多少公頃？

14五年級(jí)選出男生的和12名女生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，剩下的男生人數(shù)是女生的2倍．已知五年級(jí)共有

11學(xué)生156人，其中男生有多少人?

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15甲、乙兩個(gè)書架，已知甲書架有600本書，從甲書架借出，從乙書架借出75%以后，甲書架是

3乙書架的2倍還多150本，乙書架原有多少本書？

356甲、乙兩班共有學(xué)生100人，甲班的比乙班的少1人，乙班有學(xué)生有多少人．

7一堆圍棋子，黑子的個(gè)數(shù)是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，還剩11枚黑子．這堆棋子中，共有白子有多少個(gè)．

18某公司有的職員參加新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)工作，后來(lái)又有2名職工主動(dòng)參加，這樣參加新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)的職

51工人數(shù)是其余人數(shù)的，原來(lái)有多少職工參加開(kāi)發(fā)工作？

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第五篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案幾何類

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：圖形面積

簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把

這些圖形畫在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形，它的面積是 4×4= 16(格);右圖是 3×5的長(zhǎng)方形，它的面積是 3×5= 15(格).上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2= 10(格);右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2=8(格).這里特別說(shuō)明，這兩個(gè)三角

形的高線一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3= 15(格);右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長(zhǎng)是1米，1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.一、三角形的面積

用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：

三角形面積= 底×高÷2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例1 右圖中BD長(zhǎng)是4，DC長(zhǎng)是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?

解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4×高÷2.三角形 ADC面積=2×高÷2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，BD，DE，EC的長(zhǎng)分別是2，4，2.F是線段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積= 8× 4÷2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長(zhǎng)是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 16÷4=4.例3 右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái)，就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是

FE×BE÷2，它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，也就是

20×12÷2=120.通過(guò)方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫出中間兩個(gè)三角形的高線，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形ABCD是由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長(zhǎng)方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?

解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個(gè)，三角形ABC和三角形ADC.對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō)，AB是底邊，高是10，因此

面積=4×10÷2= 20.對(duì)三角形 ADC來(lái)說(shuō)，DC是底邊，高是 8，因此

面積=7×8÷2=28.四邊形 ABCD面積= 20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF，線段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積

三角形 ABE面積=3×6×2= 9.三角形 BCF面積= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面積=2×(6-3)÷2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：

三角形 BEF面積=6×6-9-12-3=12.例6 在右圖中，ABCD是長(zhǎng)方形，三條線段的長(zhǎng)度如圖所示，M是線段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來(lái)，將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2=7.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2=3.5.因?yàn)?BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是

3.5×4=14.長(zhǎng)方形 ABCD面積=7×(8+2)=70.四邊形 ABMD面積=70-7-14= 49.二、有關(guān)正方形的問(wèn)題

先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角(90度)，還有兩個(gè)角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖(a).四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖(b).一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖(a)知，它的面積是

直角邊長(zhǎng)的平方÷2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖(b)知，它的面積是

斜邊的平方÷4

例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是8×8÷2=32.這一個(gè)圖形的面積是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是2，A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少?

解：為了說(shuō)明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2=4.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC面積÷2=1.陰影部分的總面積是 4+1=5.例9 如右圖，已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長(zhǎng)度AD=7，BC=3，三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45°.求這個(gè)四邊形的面積.解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)?/p>

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何，千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題.例10 在右圖 11×15的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形(標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì))，每一對(duì)是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形(陰影部分)面積是多少?

解：長(zhǎng)方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和.長(zhǎng)-寬 =15-11=4

是“三”正方形的邊長(zhǎng).寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此

中間小正方形邊長(zhǎng)=11-4×2=3.中間小正方形面積=3×3= 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地(見(jiàn)圖)，剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解：剩下的長(zhǎng)方形土地，我們已知道

長(zhǎng)-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢?

如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問(wèn)題了.我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)

大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形邊長(zhǎng)是 8米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的 長(zhǎng)+寬=8(米).因此 長(zhǎng)=(8+1)÷2= 4.5(米).寬=8-4.5=3.5(米).那么劃出的長(zhǎng)方形面積是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長(zhǎng)是6，求三角形AEG(陰影部分)的面積.解：四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四邊形AECD面積=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))×大正方形邊長(zhǎng)÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng)DG=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))，因此

三角形ADG面積=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))×大正方形邊長(zhǎng)÷2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

陰影部分面積=三角形ECG面積

=小正方形面積的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系.三、其他的面積

這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例13 畫在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形(如右圖)，求它的面積.解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的，我們通過(guò)扣除周圍正方形和直角三角形來(lái)計(jì)算.周圍小正方形有3個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 ABCD是 6×8的長(zhǎng)方形，AF長(zhǎng)是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長(zhǎng)，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬，即BC的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面積.因此

三角形AEF面積=(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?

解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 10×2的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 10×2的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁(yè)右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來(lái)一樣大小，因此

草地面積=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來(lái)求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長(zhǎng)減去3，高就是DC的長(zhǎng).因此陰影部分面積等于

梯形 ABCD面積=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面積=(4+4)× 3÷2=12.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF= FE= EC=3，所以 AGF，F(xiàn)GE，EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃B=BD=4，所以CGB，BGD是兩個(gè)面積相等的三角形.2×三角形DEC面積

= 2×2×(三角形 GBC面積)+2×(三角形 GCE面積).三角形ABC面積

=(三角形 GBC面積)+3×(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積

=(三角形GBC面積)+(三角形GCE面積)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求圖形面積=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下頁(yè)左圖，ABCG是4×7長(zhǎng)方形，DEFG是 2×10長(zhǎng)方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來(lái)是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)

=(梯形ABEF面積)-(兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右圖中，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少?

解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此

(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)+(13+49+35)

=(長(zhǎng)方形面積)+(陰影部分面積).三角形ABC，底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬;三角形CDE，底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半，就有

陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙兩地相距465千米，一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，以每小時(shí)60千米的速度行駛一段后，每小時(shí)加速15千米，共用了7小時(shí)到達(dá)乙地。每小時(shí)60千米的速度行駛了幾小時(shí)?

答案：1.解：設(shè)每小時(shí)60千米的速度行駛了x小時(shí)。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小時(shí)60千米的速度行駛了4小時(shí)。

某班42個(gè)同學(xué)參加植樹(shù)，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，已知男生比女生多種56棵，男、女生各有多少人？

解：設(shè)男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28