第一篇：高一數(shù)學(xué)《集合》教學(xué)案例

高一數(shù)學(xué)《集合》教學(xué)案例

石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué) 白芹彩

§1．1．1 集合（—）

一、教學(xué)目標(biāo)

（—）教學(xué)知識點(diǎn)

1.集合的概念和性質(zhì)

2．集合的元素特征

3．有關(guān)數(shù)的集合

（二）能力訓(xùn)練要求

1．培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

2．提高學(xué)生理解掌握概念的能力

（三）德育滲透目標(biāo)

1．培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識事物的能力

2．引導(dǎo)學(xué)生愛班，愛校，愛國

二、教學(xué)重點(diǎn)

1．集合的概念

2．集合元素的三個特征

三、教學(xué)難點(diǎn)

1．集合元素的三個特征

2．?dāng)?shù)集與數(shù)集的關(guān)系

四、教學(xué)方法—— 嘗試指導(dǎo)法

學(xué)生依集合概念的要求，集合元素的特征，在教師指導(dǎo)下，能自己舉出符合要求的實(shí)

例，加深對概念的理解，特征的掌握

五、教具準(zhǔn)備

投影片四張

第一張：（記作§1．1．1 A）觀察下列實(shí)例

⑴數(shù)組

1，3，5，7 ⑵到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)距離的點(diǎn) ⑶滿足3x-2〉x+3的全體實(shí)數(shù) ⑷所有直角三角形

⑸高一（3）班全體男同學(xué)

⑹所有絕對值等于6的數(shù)的集合 ⑺所有絕對值小于3的整數(shù)的集合 ⑻中國足球男隊(duì)的隊(duì)員

⑼參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員 ⑽參與中國加入WTO談判的中方成員 第二張：（記作§1．1．1 B）問題及解釋

⑴A={1，3}，問3，5哪個是A的元素？ ⑵A={所有素質(zhì)好的人}能否表示為集合？ ⑶A={2，2，4}表示是否準(zhǔn)確？

⑷A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}是否表示為同一集合 第三張：（記作§1．1．1 C）

判斷下面說法是否正確，正確的在（）內(nèi)填“√”，錯誤的填“х” ⑴所有在N中的元素都在N*中

（）⑵所有在N中的元素都在Z中

（）

⑶所有不在N*中的數(shù)都不在Z中

（）⑷所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中

（）

⑸由既在R中又在Z*中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0

（）⑹不在N中的數(shù)不能使方程4x=8成立

（）第四張：（記作§1．1．1 D）

3．常見數(shù)集的專用符號

N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）（全體非負(fù)整數(shù)的集合）N*或N+：正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合）Z：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）

Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）

六、教學(xué)過程 1．

復(fù)習(xí)回顧

師生共同回顧初中代數(shù)涉及“集合”的提法

[師]同學(xué)們回憶一下，在初中代數(shù)第六章不等式的解法一節(jié)中提到：

一般的說，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

不等式的解集的定義中涉及到“集合”。2．

講授新課

下面我們再看一組實(shí)例 投影片：（§1．1．1 A）觀察下列實(shí)例

⑴數(shù)組

1，3，5，7 ⑵到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)距離的點(diǎn) ⑶滿足3x-2〉x+3的全體實(shí)數(shù) ⑷所有直角三角形

⑸高一（3）班全體男同學(xué)

⑹所有絕對值等于6的數(shù)的集合 ⑺所有絕對值小于3的整數(shù)的集合 ⑻中國足球男隊(duì)的隊(duì)員

⑼參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員 ⑽參與中國加入WTO談判的中方成員

通過以上實(shí)例，教師指出：

1．定義

一般地，某些指定對象集在一起就成為一個集合（集）師進(jìn)一步指出：

集合中每個對象叫做這個集合的元素。

[師]上述各例中集合的元素是什么？

[生]例⑴的元素為1，3，5，7。

例⑵的元素為到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)尖距離的點(diǎn)。

例⑶的元素為滿足不等式3x-2〉x+3的實(shí)數(shù)x

例⑷的元素為所有直角三角形

例⑸為高一（3）班全體男同學(xué)

例⑹的元素為-6，6

例⑺的元素為-2，-1，0，1，2

例⑻的元素為中國足球男隊(duì)的隊(duì)員

例⑼的元素為參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員

例⑽的元素為參與WTO談判的中方成員

[師]請同學(xué)們另外舉出三個例子，并指出其元素。

[生]⑴高一年級所有女同學(xué)。

⑵學(xué)校學(xué)生會所有成員。

⑶我國公民基本道德規(guī)范。

其中例⑴的元素為高一年級所有女同學(xué)。

例⑵的元素為學(xué)生會所有成員。

例⑶的元素為愛國守法，明禮誠信，團(tuán)結(jié)友愛，勤儉自強(qiáng)，敬業(yè)奉獻(xiàn)。

[師]一般地來講，用大括號表示集合。師生共同完成上述例題集合的表示。

如：例⑴{1，2，5，7}；

例⑵到{兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)尖距離的點(diǎn)}；

例⑶{3x-2}x+3的解}

例⑷{直角三角形}；

例⑸{高一（3）班全體男同學(xué)}；

例⑹{-6，6}；

例⑺{(lán)-2，-1，0，1，2}；

例⑻{中國足球男隊(duì)的隊(duì)員}；

例⑼{參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員}；

例⑽{參與中國加入WTO談判的中方成員}。

2集合元素的三個特征 投影片：（§1．1．1 B）問題及解釋

⑴A={1，3}，問3，5哪個是A的元素？ ⑵A={所有素質(zhì)好的人}能否表示為集合？ ⑶A={2，2，4}表示是否準(zhǔn)確？

⑷A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}是否表示為同一集合？

生在師的指導(dǎo)下回答問題：

例⑴ 3是集合A的元素，5不是集合A的元素。例⑵由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化，故A不能表示為集合。例⑶的表示不準(zhǔn)確，應(yīng)表示為A={2，4}。例⑷的A與B表示同一集合，因其元素相同。

由此從所給問題可知，集合元素具有以下三個特征：

⑴確定性

集合中的元素必須是確定的，也就是說，對于一個給定的集合，其元素的意義是明確的。

如上的例⑴，例⑵，再如{參加學(xué)校運(yùn)動會的年齡較小的人}也不能表示為一個集合。⑵互異性

集合中的元素必須是互異的，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的。如例⑶，再如A={1，1，2，4，6}應(yīng)表示為A={1，2，4，6} ⑶無序性

集合中的元素是無先后順序，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是可以交換的。如上例⑴

[師]元素與集合的關(guān)系有“屬于∈”及“不屬于”兩種。

如A={2，4，8，16}

4∈A

8∈A

32不屬于A 請同學(xué)們考慮：

A={2，4}，B={{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}，A與B的關(guān)系如何？ 雖然A本身是一個集合。但相對B來講，A是B的一個元素。故A∈B。投影片：（§1．1．1 C）3．常見數(shù)集的專用符號

N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）（全體非負(fù)整數(shù)的集合）N*或N+：正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合）Z：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）

[師]請同學(xué)們熟記上述符號及其意義。3．課堂練習(xí)

1)（口答）下面集合中的元素。⑴{大于3小于11的偶數(shù)} 其元素為4，6，8，10 ⑵{平方等于1的數(shù)} 其元素為1，-1 ⑶{15的正約數(shù)} 其元素為1，3，5，15 2)用符號∈或不屬于填空

1∈N

O∈N

-3不屬于N

0．5不屬于N

1∈Z

O∈Z

-3∈Z

0．5不屬于Z

1∈Q

O∈Q

-3∈Q

0．5∈Q

1∈R

O∈R

-3∈R

0．5∈R

（一）補(bǔ)充練習(xí)投影片：（§1．1．1 D）

判斷下面說法是否正確，正確的在（）內(nèi)填“√”，錯誤的填“х” ⑴所有在N中的元素都在N*中

（х）⑵所有在N中的元素都在Z中

（√）⑶所有不在N*中的數(shù)都不在Z中

（х）

⑷所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中

（√）

⑸由既在R中又在Z*中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0

（х）⑹不在N中的數(shù)不能使方程4x=8成立

（√）

4.課時(shí)小結(jié)

1)

集合的概念中，“某些指定的對象”，可以是任意的具體確定的事物，例如數(shù)，點(diǎn)，形，物等。

2)

集合元素的三個特征：確定性，互異性，無序性，要能熟練運(yùn)用之。

5.課后作業(yè)

（一）課本P6習(xí)題1．1.1

（二）1．預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P4~P5 1．

預(yù)習(xí)提綱：

⑴集合的表示方法有幾種？怎樣表示？試舉例說明。⑵集合如何分類？依據(jù)是什么？ 板書設(shè)計(jì)§1．1．1 集合

1．集合的概念

練習(xí)

2．集合元素的三個特征

⑴確定性

⑵互異性

⑶無序性

作業(yè)

教學(xué)反思

本堂課是遵循充分尊重學(xué)生，相信學(xué)生，依靠學(xué)生的“主體”教學(xué)思想，運(yùn)用助思，助學(xué)，助練的啟發(fā)式教學(xué)方法，啟動師生交流的“匣門”，是教學(xué)相長的教學(xué)過程真正成為師生間的雙向活動。要求教師在備課時(shí)，除常規(guī)內(nèi)容外還要突出地精備學(xué)生，要備學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，心理活動，要備學(xué)生在“觸新”時(shí)，可能回憶，再現(xiàn)哪些“舊知”？可能萌生哪些“猜想”？在理解，掌握“新知”時(shí)可能出現(xiàn)哪些正確的，不正確的；不完全，不嚴(yán)密的思維??設(shè)法在“前，后，左，右”給予幫助，這也正是教師“主導(dǎo)”作用的重要所在。

第二篇：高一數(shù)學(xué)教學(xué)案例

高一數(shù)學(xué)教學(xué)案例

鞏義五中：李小舉

§1．1．1集合（—）

教學(xué)目標(biāo)

（—）教學(xué)知識點(diǎn)

1．集合的概念和性質(zhì)

2．集合的元素特征

3．有關(guān)數(shù)的集合（二）能力訓(xùn)練要求

1．培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

2．提高學(xué)生理解掌握概念的能力

（三）德育滲透目標(biāo)

1．培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識事物的能力

2．引導(dǎo)學(xué)生愛班，愛校，愛國

教學(xué)重點(diǎn)

1．集合的概念

2．集合元素的三個特征

教學(xué)難點(diǎn)

1．集合元素的三個特征

2．?dāng)?shù)集與數(shù)集的關(guān)系

教學(xué)方法

嘗試指導(dǎo)法

學(xué)生依集合概念的要求，集合元素的特征，在教師指導(dǎo)下，能自己舉出符合要求的實(shí)例，加深對概念的理解，特征的掌握

教具準(zhǔn)備

投影片四張

第一張：（記作§1．1．1A）

觀察下列實(shí)例

⑴數(shù)組1，3，5，7

⑵到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)距離的點(diǎn)

⑶滿足3x-2〉x+3的全體實(shí)數(shù)

⑷所有直角三角形

⑸高一（3）班全體男同學(xué)

⑹所有絕對值等于6的數(shù)的集合⑺所有絕對值小于3的整數(shù)的集合⑻中國足球男隊(duì)的隊(duì)員

⑼參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員

⑽參與中國加入WTO談判的中方成員

第二張：（記作§1．1．1B）

問題及解釋

⑴A={1，3}，問3，5哪個是A的元素？ ⑵A={所有素質(zhì)好的人}能否表示為集合？ ⑶A={2，2，4}表示是否準(zhǔn)確？

⑷A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}是否表示為同一集合 第三張：（記作§1．1．1C）

判斷下面說法是否正確，正確的在（）內(nèi)填“√”，錯誤的填“х” ⑴所有在N中的元素都在N*中（）⑵所有在N中的元素都在Z中（）⑶所有不在N*中的數(shù)都不在Z中（）⑷所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中（）

⑸由既在R中又在Z*中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0（）⑹不在N中的數(shù)不能使方程4x=8成立（）第四張：（記作§1．1．1D）3．常見數(shù)集的專用符號

N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）（全體非負(fù)整數(shù)的集合）N*或N+：正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合）Z：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）

Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）

教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)回顧

師生共同回顧初中代數(shù)涉及“集合”的提法

[師]同學(xué)們回憶一下，在初中代數(shù)第六章不等式的解法一節(jié)中提到：

一般的說，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

不等式的解集的定義中涉及到“集合”。2．講授新課

下面我們再看一組實(shí)例

投影片：（§1．1．1A）觀察下列實(shí)例

⑴數(shù)組1，3，5，7

⑵到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)距離的點(diǎn) ⑶滿足3x-2〉x+3的全體實(shí)數(shù) ⑷所有直角三角形

⑸高一（3）班全體男同學(xué)

⑹所有絕對值等于6的數(shù)的集合 ⑺所有絕對值小于3的整數(shù)的集合 ⑻中國足球男隊(duì)的隊(duì)員

⑼參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員 ⑽參與中國加入WTO談判的中方成員通過以上實(shí)例，教師指出： 1．定義

一般地，某些指定對象集在一起就成為一個集合（集）

師進(jìn)一步指出：

集合中每個對象叫做這個集合的元素。[師]上述各例中集合的元素是什么？ [生]例⑴的元素為1，3，5，7。

例⑵的元素為到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)尖距離的點(diǎn)。例⑶的元素為滿足不等式3x-2〉x+3的實(shí)數(shù)x例⑷的元素為所有直角三角形例⑸為高一（3）班全體男同學(xué)例⑹的元素為-6，6

例⑺的元素為-2，-1，0，1，2例⑻的元素為中國足球男隊(duì)的隊(duì)員

例⑼的元素為參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員例⑽的元素為參與WTO談判的中方成員

[師]請同學(xué)們另外舉出三個例子，并指出其元素。[生]⑴高一年級所有女同學(xué)。⑵學(xué)校學(xué)生會所有成員。⑶我國公民基本道德規(guī)范。

其中例⑴的元素為高一年級所有女同學(xué)。例⑵的元素為學(xué)生會所有成員。

例⑶的元素為愛國守法，明禮誠信，團(tuán)結(jié)友愛，勤儉自強(qiáng)，敬業(yè)奉獻(xiàn)。[師]一般地來講，用大括號表示集合。師生共同完成上述例題集合的表示。如：例⑴{1，2，5，7}；

例⑵到{兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)尖距離的點(diǎn)}；例⑶{3x-2}x+3的解}例⑷{直角三角形}；

例⑸{高一（3）班全體男同學(xué)}；例⑹{-6，6}；

例⑺{(lán)-2，-1，0，1，2}；例⑻{中國足球男隊(duì)的隊(duì)員}；

例⑼{參加2008年奧運(yùn)會的中國代表團(tuán)成員}；例⑽{參與中國加入WTO談判的中方成員}。2集合元素的三個特征

投影片：（§1．1．1B）問題及解釋 ⑴A={1，3}，問3，5哪個是A的元素？ ⑵A={所有素質(zhì)好的人}能否表示為集合？ ⑶A={2，2，4}表示是否準(zhǔn)確？

⑷A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}是否表示為同一集合？ 生在師的指導(dǎo)下回答問題：

例⑴ 3是集合A的元素，5不是集合A的元素。例⑵由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化，故A不能表示為集合。例⑶的表示不準(zhǔn)確，應(yīng)表示為A={2，4}。例⑷的A與B表示同一集合，因其元素相同。

由此從所給問題可知，集合元素具有以下三個特征： ⑴確定性

集合中的元素必須是確定的，也就是說，對于一個給定的集合，其元素的意義是明確的。

如上的例⑴，例⑵，再如{參加學(xué)校運(yùn)動會的年齡較小的人}也不能表示為一個集合。⑵互異性

集合中的元素必須是互異的，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的。如例⑶，再如A={1，1，2，4，6}應(yīng)表示為A={1，2，4，6} ⑶無序性

集合中的元素是無先后順序，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是可以交換的。如上例⑴

[師]元素與集合的關(guān)系有“屬于∈”及“不屬于”兩種。

如A={2，4，8，16}4∈A8∈A32不屬于A 請同學(xué)們考慮：

A={2，4}，B={{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}，A與B的關(guān)系如何？ 雖然A本身是一個集合。但相對B來講，A是B的一個元素。故A∈B。投影片：（§1．1．1C）3．常見數(shù)集的專用符號

N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）（全體非負(fù)整數(shù)的集合）N*或N+：正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合）Z：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）

Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）

[師]請同學(xué)們熟記上述符號及其意義。3．課堂練習(xí)

1)（口答）下面集合中的元素。⑴{大于3小于11的偶數(shù)} 其元素為4，6，8，10 ⑵{平方等于1的數(shù)} 其元素為1，-1 ⑶{15的正約數(shù)}

其元素為1，3，5，15 2)用符號∈或不屬于填空

1∈NO∈N-3不屬于N0．5不屬于N∏不屬于N 1∈ZO∈Z-3∈Z0．5不屬于Z∏不屬于Z 1∈QO∈Q-3∈Q0．5∈Q∏不屬于Q 1∈RO∈R-3∈R0．5∈R∏∈R

（一）補(bǔ)充練習(xí)

投影片：（§1．1．1D）

判斷下面說法是否正確，正確的在（）內(nèi)填“√”，錯誤的填“х” ⑴所有在N中的元素都在N*中（х）⑵所有在N中的元素都在Z中（√）⑶所有不在N*中的數(shù)都不在Z中（х）⑷所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中（√）

⑸由既在R中又在Z*中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0（х）⑹不在N中的數(shù)不能使方程4x=8成立（√）

4.課時(shí)小結(jié)

1)集合的概念中，“某些指定的對象”，可以是任意的具體確定的事物，例如數(shù)，點(diǎn)，形，物等。

2)集合元素的三個特征：確定性，互異性，無序性，要能熟練運(yùn)用之。

5.課后作業(yè)

（一）課本P6習(xí)題1．1.1

（二）1．預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P4~P5 1．預(yù)習(xí)提綱：

⑴集合的表示方法有幾種？怎樣表示？試舉例說明。⑵集合如何分類？依據(jù)是什么？

板書設(shè)計(jì)§1．1．1集合1．集合的概念練習(xí)2．集合元素的三個特征

⑴確定性小結(jié) ⑵互異性

⑶無序性作業(yè)

教學(xué)反思

本堂課是遵循充分尊重學(xué)生，相信學(xué)生，依靠學(xué)生的“主體”教學(xué)思想，運(yùn)用助思，助學(xué)，助練的啟發(fā)式教學(xué)方法，啟動師生交流的“匣門”，是教學(xué)相長的教學(xué)過程真正成為師生間的雙向活動。要求教師在備課時(shí)，除常規(guī)內(nèi)容外還要突出地精備學(xué)生，要備學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，心理活動，要備學(xué)生在“觸新”時(shí)，可能回憶，再現(xiàn)哪些“舊知”？可能萌生哪些“猜想”？在理解，掌握“新知”時(shí)可能出現(xiàn)哪些正確的，不正確的；不完全，不嚴(yán)密的思維??設(shè)法在“前，后，左，右”給予幫助，這也正是教師“主導(dǎo)”作用的重要所在。

高一數(shù)學(xué)教學(xué)案例

鞏義五中：李小舉

第三篇：高一數(shù)學(xué)集合的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

高一數(shù)學(xué)集合的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

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題：1.1集合－集合的概念教學(xué)目的：（1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及記法（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義（3）使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義

教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教

具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：

．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的基本概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點(diǎn)集至于邏輯，可以說，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對邏輯知識的掌握和運(yùn)用，基本的邏輯知識在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義，也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中，這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯

本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對集合的概念作了說明然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子

這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念

集合是集合論中的原始的、不定義的概念在開始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過實(shí)例，對概念有一個初步認(rèn)識教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集”這句話，只是對集合概念的描述性說明教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：1．簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)；2．教材中的章頭引言；3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學(xué)家）（見附錄）；4．“物以類聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）

二、講解新課：閱讀教材第一部分，問題如下：（1）有那些概念？是如何定義的？（2）有那些符號？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有關(guān)概念：由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說，每一組對象的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合．

1、集合的概念（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素

2、常用數(shù)集及記法（1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合記作N，（2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合記作Z,（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合記作Q,（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合記作R

注：（1）自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0

（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*

3、元素對于集合的隸屬關(guān)系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

4、集合中元素的特性（1）確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可（2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù)（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、c、P、Q……元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的開口方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過來寫

三、練習(xí)題：

1、教材P5練習(xí)1、22、下列各組對象能確定一個集合嗎？（1）所有很大的實(shí)數(shù)（不確定）（2）好心的人

（不確定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重復(fù)）

3、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么可能取的值組成集合的元素是_-2,0,2__

4、由實(shí)數(shù)x,－x,｜x｜,所組成的集合，最多含（A）

（A）2個元素

（B）3個元素

（c）4個元素

（D）5個元素

5、設(shè)集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z,b∈Z）的數(shù)，求證：

當(dāng)x∈N時(shí),x∈G;

若x∈G，y∈G，則x＋y∈G，而不一定屬于集合G證明：在a＋b（a∈Z,b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,則x=x＋0*=a＋b∈G,即x∈G

證明：∵x∈G，y∈G，∴x=a＋b（a∈Z,b∈Z）,y=c＋d（c∈Z,d∈Z）∴x+y=+=+∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z∴∈Z,∈Z∴x+y=+

∈G，又∵＝且不一定都是整數(shù)，∴＝不一定屬于集合G

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．集合的有關(guān)概念：（集合、元素、屬于、不屬于）2．集合元素的性質(zhì)：確定性，互異性，無序性3．常用數(shù)集的定義及記法

五、課后作業(yè)：

六、板書設(shè)計(jì)（略）

七、課后記：

八、附錄：康托爾簡介

發(fā)瘋了的數(shù)學(xué)家康托爾（Georgcantor，1845－1918）是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷

康托爾11歲時(shí)移居德國，在德國讀中學(xué)1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授

由于研究無窮時(shí)往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結(jié)果，許多大數(shù)學(xué)家唯恐陷進(jìn)去而采取退避三舍的態(tài)度在1874—1876年期間，不到30歲的年輕德國數(shù)學(xué)家康托爾向神秘的無窮宣戰(zhàn)他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點(diǎn)能夠和一個平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)這樣看起來，1厘米長的線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋面上的點(diǎn)，以及整個地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”，后來幾年，康托爾對這類“無窮集合”問題發(fā)表了一系列，通過嚴(yán)格證明得出了許多驚人的結(jié)論

康托爾的創(chuàng)造性工作與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念發(fā)生了尖銳沖突，遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院

真金不怕火煉，康托爾的思想終于大放光彩1897年舉行的第一次國際數(shù)學(xué)家會議上，他的成就得到承認(rèn)，偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素稱贊康托爾的工作“可能是這個時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”可是這時(shí)康托爾仍然神志恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)康托爾創(chuàng)立了集合論作為實(shí)數(shù)理論，以至整個微積分理論體系的基礎(chǔ)從而解決17世紀(jì)牛頓（I.Newton，1642－1727）與萊布尼茨（G.w.Leibniz，1646－1716）創(chuàng)立微積分理論體系之后，在近一二百年時(shí)間里，微積分理論所缺乏的邏輯基礎(chǔ)和從19世紀(jì)開始，柯西（A.L.cauchy，1789－1857）、魏爾斯特拉斯（k.weierstrass，1815－1897）等人進(jìn)行的微積分理論嚴(yán)格化所建立的極限理論克隆尼克（L.kronecker，1823－1891），康托爾的老師，對康托爾表現(xiàn)了無微不至的關(guān)懷他用各種用得上的尖刻語言，粗暴地、連續(xù)不斷地攻擊康托爾達(dá)十年之久他甚至在柏林大學(xué)的學(xué)生面前公開攻擊康托爾橫加阻撓康托爾在柏林得到一個薪金較高、聲望更大的教授職位使得康托爾想在柏林得到職位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法國數(shù)學(xué)家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我個人，而且還不只我一人，認(rèn)為重要之點(diǎn)在于，切勿引進(jìn)一些不能用有限個文字去完全定義好的東西集合論是一個有趣的“病理學(xué)的情形”，后一代將把（cantor）集合論當(dāng)作一種疾病，而人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了德國數(shù)學(xué)家魏爾（c.H.Her-mannwey1，1885－1955）認(rèn)為，康托爾關(guān)于基數(shù)的等級觀點(diǎn)是霧上之霧菲利克斯．克萊因（F.klein，1849－1925）不贊成集合論的思想數(shù)學(xué)家H．A．施瓦茲，康托爾的好友，由于反對集合論而同康托爾斷交從1884年春天起，康托爾患了嚴(yán)重的憂郁癥，極度沮喪，神態(tài)不安，精神病時(shí)時(shí)發(fā)作，不得不經(jīng)常住到精神病院的療養(yǎng)所去變得很自卑，甚至懷疑自己的工作是否可靠他請求哈勒大學(xué)當(dāng)局把他的數(shù)學(xué)教授職位改為哲學(xué)教授職位健康狀況逐漸惡化，1918年，他在哈勒大學(xué)附屬精神病院去世流星埃．伽羅華（E.Galois，1811－1832），法國數(shù)學(xué)家伽羅華17歲時(shí)，就著手研究數(shù)學(xué)中最困難的問題之一一般π次方程求解問題許多數(shù)學(xué)家為之耗去許多精力，但都失敗了直到1770年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日對上述問題的研究才算邁出重要的一步伽羅華在前人研究成果的基礎(chǔ)上，利用群論的方法從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體上徹底解決了根式解的難題他從拉格朗日那里學(xué)習(xí)和繼承了問題轉(zhuǎn)化的思想，即把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來，并在阿貝爾研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉(zhuǎn)化成或者歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析上同時(shí)創(chuàng)立了具有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)分支——群論，數(shù)學(xué)發(fā)展史上作出了重大貢獻(xiàn)1829年，他把關(guān)于群論研究所初步結(jié)果的第一批論文提交給法國科學(xué)院科學(xué)院委托當(dāng)時(shí)法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人在1830年1月18日柯西曾計(jì)劃對伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會然而，第二周當(dāng)柯西向科學(xué)院宣讀他自己的一篇論文時(shí)，并未介紹伽羅華的著作1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細(xì)地寫成論文交上去了以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎評選，論文寄給當(dāng)時(shí)科學(xué)院終身秘書j．B．傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月就去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿1831年1月伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院這篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家S．k．泊松為了理解這篇論文絞盡了腦汁盡管借助于拉格朗日已證明的一個結(jié)果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的，但最后他還是建議科學(xué)院否定它1832年5月30日，臨死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙寫成后，委托他的朋友薛伐里葉保存下來，從而使他的勞動結(jié)晶流傳后世，造福人類1832年5月31日離開了人間死因參加無意義的決斗受重傷1846年，他死后14年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾著手整理伽羅華的重大創(chuàng)作后，首次發(fā)表于劉維爾主編的《數(shù)學(xué)雜志》上

第四篇：高一數(shù)學(xué)集合的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

課 題：1.1集合－集合的概念

教學(xué)目的：

（1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及記法

（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

（3）使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義 教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教 具：多媒體、實(shí)物投影儀

內(nèi)容分析：

1．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的基本概念，在小學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題。例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點(diǎn)集，至于邏輯，可以說，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對邏輯知識的掌握和運(yùn)用?；镜倪壿嬛R在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具。這些知識可以幫助認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義,也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中，這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯

本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對集合的概念作了說明然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。

這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念。

集合是集合論中的原始的、不定義的概念在開始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過實(shí)例，對概念有一個初步認(rèn)識教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集”這句話，只是對集合概念的描述性說明

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1．簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)；

2．教材中的章頭引言；

3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學(xué)家）（見附錄）；

4．“物以類聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）

二、講解新課：

閱讀教材第一部分，問題如下：

（1）有那些概念？是如何定義的？

（2）有那些符號？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有關(guān)概念：

由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說，每一組對象的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合．

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）

（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素

2、常用數(shù)集及記法

（1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合記作N，（2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合記作Z ,（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合記作Q ,（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合記作R

注：（1）自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括

數(shù)0

（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+、Q、Z、R等其它

3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

4、集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可

（2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù)

（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… ⑵“∈”的開口方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過來寫

三、練習(xí)題：

1、教材P5練習(xí)1、2

2、下列各組對象能確定一個集合嗎？

（1）所有很大的實(shí)數(shù)（不確定）

（2）好心的人（不確定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重復(fù)）

3、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么可能取的值組成集合的元素是_-2,0,2__

4、由實(shí)數(shù)x,－x,｜x｜,所組成的集合，最多含（A）

（A）2個元素（B）3個元素（C）4個元素（D）5個元素

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1．集合的有關(guān)概念：（集合、元素、屬于、不屬于）

2．集合元素的性質(zhì)：確定性，互異性，無序性

3．常用數(shù)集的定義及記法

五、課后作業(yè)：

六、板書設(shè)計(jì)（略）

七、課后記：

八、附錄：康托爾簡介

發(fā)瘋了的數(shù)學(xué)家康托爾（Georg Cantor，1845－1918）是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷

康托爾11歲時(shí)移居德國，在德國讀中學(xué)1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授

由于研究無窮時(shí)往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結(jié)果(稱為“悖論”)，許多大數(shù)學(xué)家唯恐陷進(jìn)去而采取退避三舍的態(tài)度在1874—1876年期間，不到30歲的年輕德國數(shù)學(xué)家康托爾向神秘的無窮宣戰(zhàn)他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點(diǎn)能夠和一個平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)這樣看起來，1厘米長的線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋面上的點(diǎn)，以及整個地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”，后來幾年，康托爾對這類“無窮集合”問題發(fā)表了一系列文章，通過嚴(yán)格證明得出了許多驚人的結(jié)論

康托爾的創(chuàng)造性工作與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念發(fā)生了尖銳沖突，遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院

真金不怕火煉，康托爾的思想終于大放光彩1897年舉行的第一次國際數(shù)學(xué)家會議上，他的成就得到承認(rèn)，偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素稱贊康托爾的工作“可能是這個時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”可是這時(shí)康托爾仍然神志恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

康托爾創(chuàng)立了集合論作為實(shí)數(shù)理論，以至整個微積分理論體系的基礎(chǔ)從而解決17世紀(jì)牛頓（I.Newton，1642－1727）與萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）創(chuàng)立微積分理論體系之后，在近一二百年時(shí)間里，微積分理論所缺乏的邏輯基礎(chǔ)和從19世紀(jì)開始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等人進(jìn)行的微積分理論嚴(yán)格化所建立的極限理論克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托爾的老師，對康托爾表現(xiàn)了無微不至的關(guān)懷他用各種用得上的尖刻語言，粗暴地、連續(xù)不斷地攻擊康托爾達(dá)十年之久他甚至在柏林大學(xué)的學(xué)生面前公開攻擊康托爾橫加阻撓康托爾在柏林得到一個薪金較高、聲望更大的教授職位使得康托爾想在柏林得到職位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法國數(shù)學(xué)家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我個人，而且還不只我一人，認(rèn)為重要之點(diǎn)在于，切勿引進(jìn)一些不能用有限個文字去完全定義好的東西集合論是一個有趣的“病理學(xué)的情形”，后一代將把（Cantor）集合論當(dāng)作一種疾病，而人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了

德國數(shù)學(xué)家魏爾（C.H.Her-mann Wey1，1885－1955）認(rèn)為，康托爾關(guān)于基數(shù)的等級觀點(diǎn)是霧上之霧菲利克斯．克萊因（F.Klein，1849－1925）不贊成集合論的思想數(shù)學(xué)家H．A．施瓦茲，康托爾的好友，由于反對集合論而同康托爾斷交從1884年春天起，康托爾患了嚴(yán)重的憂郁癥，極度沮喪，神態(tài)不安，精神病時(shí)時(shí)發(fā)作，不得不經(jīng)常住到精神病院的療養(yǎng)所

去變得很自卑，甚至懷疑自己的工作是否可靠他請求哈勒大學(xué)當(dāng)局把他的數(shù)學(xué)教授職位改為哲學(xué)教授職位健康狀況逐漸惡化，1918年，他在哈勒大學(xué)附屬精神病院去世

流星埃．伽羅華（E.Galois，1811－1832），法國數(shù)學(xué)家伽羅華17歲時(shí)，就著手研究數(shù)學(xué)中最困難的問題之一一般π次方程求解問題許多數(shù)學(xué)家為之耗去許多精力，但都失敗了直到1770年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日對上述問題的研

究才算邁出重要的一步伽羅華在前人研究成果的基礎(chǔ)上，利用群論的方法從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體上徹底解決了根式解的難題他從拉格朗日那里學(xué)習(xí)和繼承了問題轉(zhuǎn)化的思想，即把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來，并在阿貝爾研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉(zhuǎn)化成或者歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析上同時(shí)創(chuàng)立了具有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)分支——群論，數(shù)學(xué)發(fā)展史上作出了重大貢獻(xiàn)1829年，他把關(guān)于群論研究所初步結(jié)果的第一批論文提交給法國科學(xué)院科學(xué)院委托當(dāng)時(shí)法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人在1830年1月18日柯西曾計(jì)劃對伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會然而，第二周當(dāng)柯西向科學(xué)院宣讀他自己的一篇論文時(shí)，并未介紹伽羅華的著作1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細(xì)地寫成論文交上去了以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎評選，論文寄給當(dāng)時(shí)科學(xué)院終身秘書J．B．傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月就去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿1831年1月伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院這篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家S．K．泊松為了理解這篇論文絞盡了腦汁盡管借助于拉格朗日已證明的一個結(jié)果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的，但最后他還是建議科學(xué)院否定它1832年5月30日，臨死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙寫成后，委托他的朋友薛伐里葉保存下來，從而使他的勞動結(jié)晶流傳后世，造福人類1832年5月31日離開了人間死因參加無意義的決斗受重傷1846年，他死后14年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾著手整理伽羅華的重大創(chuàng)作后，首次發(fā)表于劉維爾主編的《數(shù)學(xué)雜志》上

在小學(xué)中,就滲透了集合的初步概念,到了初中,更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題 例如,在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等;在幾何中用到的有點(diǎn)集 至于邏輯,可以說,從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對邏輯知識的掌握和運(yùn)用,基本的邏輯知識在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中,也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具 這些可以幫助認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義,也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學(xué)的最開始,是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中,這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系,它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ) 例如,下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì),就離不開集合與邏輯

本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手,引出集合與集合的元素的概念,并且結(jié)合實(shí)例對集合的概念作了說明 然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫圖表示集合的例子

這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念 學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念

集合是集合論中的原始的、不定義的概念 在開始接觸集合的概念時(shí),主要還是通過實(shí)例,對概念有一個初步認(rèn)識 教科書給出的“一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集 ”這句話,只是對集合概念的描述性說明

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入:

1.簡介數(shù)集的發(fā)展,復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),質(zhì)數(shù)與和數(shù);

2.教材中的章頭引言;

3.集合論的創(chuàng)始人——康托爾(德國數(shù)學(xué)家)(見附錄);

4.“物以類聚”,“人以群分”;

5.教材中例子(p4)

二、講解新課:

閱讀教材第一部分,問題如下:

(1)有那些概念?是如何定義的?

(2)有那些符號?是如何表示的?

(3)集合中元素的特性是什么?

(一)集合的有關(guān)概念:

由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說,每一組對象的全體形成一個集合,或者說,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.定義:一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合.1、集合的概念

(1)集合:某些指定的對象集在一起就形成一個集合(簡稱集)

(2)元素:集合中每個對象叫做這個集合的元素

2、常用數(shù)集及記法

(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):全體非負(fù)整數(shù)的集合 記作n，(2)正整數(shù)集:非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集 記作n*或n+

(3)整數(shù)集:全體整數(shù)的集合 記作z ，(4)有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合 記作q ，(5)實(shí)數(shù)集:全體實(shí)數(shù)的集合 記作r

注:(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的,也就是說,自然數(shù)集包括

數(shù)0

(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集 記作n*或n+ q、z、r等其它

數(shù)集內(nèi)排除0的集,也是這樣表示,例如,整數(shù)集內(nèi)排除0 的集,表示成z*

3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

(1)屬于:如果a是集合a的元素,就說a屬于a,記作a∈a

(2)不屬于:如果a不是集合a的元素,就說a不屬于a,記作

4、集合中元素的特性

(1)確定性:按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里，或者不在,不能模棱兩可

(2)互異性:集合中的元素沒有重復(fù)

(3)無序性:集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗?

5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

元素通常用小寫的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

⑵“∈”的開口方向,不能把a(bǔ)∈a顛倒過來寫

三、練習(xí)題:

1、教材p5練習(xí)1、2

2、下列各組對象能確定一個集合嗎?

(1)所有很大的實(shí)數(shù)(不確定)

(2)好心的人(不確定)

(3)1,2,2,3,4,5.(有重復(fù))

3、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),那么 可能取的值組成集合的元素是_-2,0,2__

4、由實(shí)數(shù)x,-x,|x|, 所組成的集合,最多含(a)

(a)2個元素(b)3個元素(c)4個元素(d)5個元素

5、設(shè)集合g中的元素是所有形如a+b(a∈z, b∈z)的數(shù),求證:

(1)當(dāng)x∈n時(shí), x∈g;

(2)若x∈g,y∈g,則x+y∈g,而 不一定屬于集合g

證明(1):在a+b(a∈z, b∈z)中,令a=x∈n,b=0，則x= x+0* = a+b ∈g,即x∈g

證明(2):∵x∈g,y∈g，∴x= a+b(a∈z, b∈z),y= c+d(c∈z, d∈z)

∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

∵a∈z, b∈z,c∈z, d∈z

∴(a+c)∈z,(b+d)∈z

∴x+y =(a+c)+(b+d)∈g，又∵ =

且 不一定都是整數(shù)，∴ = 不一定屬于集合g

四、小結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:

1.集合的有關(guān)概念:(集合、元素、屬于、不屬于)

2.集合元素的性質(zhì):確定性,互異性,無序性

3.常用數(shù)集的定義及記法

五、課后作業(yè):

六、板書設(shè)計(jì)(略)

七、課后記:

第五篇：《集合》教學(xué)案例

循循善誘 引爆激情

——《數(shù)學(xué)廣角――集合問題》

一、創(chuàng)設(shè)探究情境，引領(lǐng)學(xué)生初步感知。

1、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣。

腦筋急轉(zhuǎn)彎：房間里有兩位爸爸和兩位兒子，請問一共有幾個人？學(xué)生猜測各種可能性，你一言我一語地發(fā)表自己的高見。

活動分析：通過學(xué)生喜愛的腦筋急轉(zhuǎn)彎引入，激發(fā)了學(xué)生無限的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生大膽的猜想，讓學(xué)生在猜測中學(xué)會思考，在爭論中學(xué)會傾聽、學(xué)會交流、學(xué)會整合。

二、創(chuàng)設(shè)實(shí)踐情境，引領(lǐng)學(xué)生深入理解。

（一）活動：報(bào)名參加學(xué)校組織的競賽：足球和電子比賽

數(shù)一數(shù)，參加足球的有幾位同學(xué)？（7人）參加電子的有幾位同學(xué)？（5人）那么，參加比賽的一共有幾位同學(xué)？ 全班同學(xué)異口同聲：“12人”

片刻，有少許聲音：“不對，不是12人”

接著，有人舉手：“老師，不是12人，是10人?！?/p>

爭論聲漸起：“就是12人，7+5＝12，怎么會不是12人呢？”

“7+5是等于12，可這里不能這樣加?！?/p>

“為什么呀？不用加法那用什么方法？”

“7+5，還要減掉2才對”

越來越多的學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同，但仍有一部分不解的聲音：“為什么要減掉2？”“是啊，為什么還要減？”

更多的聲音喊出來了：“因?yàn)橛?個人重復(fù)了”、師：“同學(xué)們的發(fā)言真是精彩，報(bào)名參加比賽的一共有多少名同學(xué)呢？” ??

再次異口同聲：“10人”

活動分析：通過組織報(bào)名參加校體育訓(xùn)練的活動，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與的熱情。學(xué)校每年都要舉行運(yùn)動會，都要從每個班級中選拔體育特長生，這樣的活動是切合學(xué)生生活實(shí)際的，也是真真實(shí)實(shí)存在的，因此，學(xué)生非常愿意加入到這樣的課堂中來。在活動中，學(xué)生七嘴八舌地說著，你一言我一語地爭論著，在一場公說公有理，婆說婆有理的辯論中，學(xué)生們積極地參與著、聆聽著、思考著、辯論著、理解著并整合著?！皡⒓颖荣惖囊还灿卸嗌偃?？”不是教師告訴學(xué)生的，也不是教師引導(dǎo)的學(xué)生去理解，而是學(xué)生與學(xué)生之間在爭論中話越說越明，理越辯越清。在這樣的氛圍中學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)得更輕松，更快樂，也理解得更深刻了。

（二）、畫一畫

1、誰能用畫圖的方法來表示一下剛才看到的情形？學(xué)生組內(nèi)討論，畫出自己設(shè)計(jì)的圖來。師一邊觀察并及時(shí)指導(dǎo)創(chuàng)作。

2、分組展示自己設(shè)計(jì)的圖畫，并介紹自己的創(chuàng)意或想法。

3、學(xué)生評價(jià)，進(jìn)行整理和改進(jìn)

“老師，我覺得左邊的同學(xué)是代表參加足球的，應(yīng)該圈在一起，右邊的同學(xué)代表參加電子的，他們也應(yīng)該圈在一起”

“不行，那中間的同學(xué)怎么辦？”

“中間的同學(xué)再畫一個圈，”

師：“這樣的話，能不能讓人家一看就知道中間的是參加了足球的，又參加了電子的，再想想，看還有沒有更好的畫法?！?/p>

“老師，中間的同學(xué)也應(yīng)該和左邊的圈在一起，因?yàn)樗麄円矃⒓恿俗闱虻难健?/p>

“那我還說中間的還可以圈到右邊一起呢，他們還參加了電子啊”

師：“那就按你們說的試試吧”

學(xué)生動手試著畫圖，片刻，有同學(xué)歡呼起來了：“老師，我畫出來了” 說著，高舉著自己創(chuàng)作的畫，向全班同學(xué)展示了起來。

4、向?qū)W生介紹韋恩圖：像這樣的圖早在很多年前就有人發(fā)明了，他就是英國的數(shù)學(xué)家韋恩，所以就以“韋恩”來命名，叫韋恩圖。也可以叫集合圖。

“同學(xué)們，想想如果我們比韋恩更早出生的話，我們也能發(fā)明這樣的圖，那這圖就該怎么命名了呀？”

活動分析：蘇霍姆林斯基說了這樣一句話，“ 當(dāng)知識與積極的活動緊密聯(lián)系在一起的時(shí)候，學(xué)習(xí)才能成為孩子精神生活的一部分 ”。在畫一畫的過程中，學(xué)生體腦結(jié)合，手腦并用，共同交流、思考，經(jīng)歷了創(chuàng)作韋恩圖的過程，得到了成功的體驗(yàn)。也從中感受到了愉悅、輕松、快活。他們的興趣、愛好和個性特長得以充分發(fā)揮，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力得以進(jìn)一步發(fā)展。

5、明確“韋恩圖”各部分表示的意思

看圖，說說每一部分分別表示什么；

注意語言的表述：左邊：只參加足球的右邊：只參加電子的

中間：既參加足球的，又參加電子的

6、你能列式計(jì)算這兩個小組的人數(shù)嗎？

①5+2+3＝10人 ②7+5-2＝10人

活動分析：經(jīng)歷了創(chuàng)作韋恩圖的過程，學(xué)生對其每一部分所表示的含義理解得更為深刻，更感受到其應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)學(xué)生對韋恩圖有了比較清晰的認(rèn)識之后，再引導(dǎo)學(xué)生借助韋恩圖來理解各種計(jì)算方法的意義，水到渠成。與其說很多話讓學(xué)生去體會、去理解，何不讓學(xué)生親身參與、主動思考呢？

因此，本節(jié)課是在找準(zhǔn)了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和困惑點(diǎn)的基礎(chǔ)上，尋找到了一條符合學(xué)生學(xué)習(xí)的有效教學(xué)途徑。首先從學(xué)生喜愛的腦筋急轉(zhuǎn)彎出發(fā)導(dǎo)入新課，喚醒學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，并激起學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的欲望；在探究的過程中，設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)活動，在活動過程中關(guān)注學(xué)生活動過程經(jīng)驗(yàn)的積累，關(guān)注活動表面之下活動的內(nèi)涵，讓學(xué)生付諸思考，并獲得真正意義上的理解。教師只有課前知學(xué)，然后才能知教。然而怎樣去知學(xué)？又怎樣去知教？是需要課前花足時(shí)間去思考的事。