第一篇：小學(xué)三年級奧數(shù)下學(xué)期歸一問題教案

小學(xué)三年級奧數(shù)下學(xué)期歸一問題教案

為什么把有的問題叫歸一問題？我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？

正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

例1一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

分析為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？12÷6=2（分米）

②1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。

解：1小時(shí)=60分鐘

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

例2一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？

方法1：

分析通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

方法2：用比例關(guān)系解。

解：設(shè)磨剩下的面粉還要x小時(shí)。

6000x＝3×14000

x=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

例3學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。

解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）

=37元

②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）

③共花多少元？32×5＋37×4=308（元）

答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

例4一個(gè)長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。

解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）

③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）

列綜合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）

答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。

例57輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

方法1：

分析要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。

解：①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？

560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？

112÷8-7＝7（輛）

列綜合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。

方法2：

在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同情況的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量。

在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：

求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。

例6某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

分析我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求出要加班的工時(shí)數(shù)，問題就解決了。

解：①原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時(shí)”：

8×18×7.5=1080（工時(shí)）

②增加6人后每天工作幾小時(shí)？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小時(shí)）

③每天加班工作幾小時(shí)？11.25-8=3.25（小時(shí)）

答：每天要加班工作3.25小時(shí)。

例7甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？

分析已知條件告訴我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).”既然知道了“時(shí)間相同”，問題就容易解決了.題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè).”這樣可以先求出“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，就可求出所用時(shí)間了.解：①甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)？

3600÷4＝900（個(gè)）

②“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

（2450＋2050）÷900＝5（小時(shí)）

③甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：

2450÷5=490（個(gè)）

④乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：

2050÷5=410（個(gè)）

答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)。

還可以這樣想：這道題的已知條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)；第二層，在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).由這兩個(gè)條件可以求出在相同的時(shí)間內(nèi)，甲乙二人共打字2450+2050=4500（個(gè)）；打字3600個(gè)用4小時(shí)，打字4500個(gè)用幾小時(shí)呢？先求出4500是3600的幾倍，也一定是4小時(shí)的幾倍，即“相同時(shí)間”。

解：①“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小時(shí)）

②甲每小時(shí)打字多少個(gè)？

2450÷5=490（個(gè)）

③乙每小時(shí)打字多少個(gè)？

2050÷5=410（個(gè)）

答：甲每小時(shí)打字490個(gè)，乙每小時(shí)打字410個(gè).

第二篇：奧數(shù) 歸一問題教案

第五講 歸一問題教案

教學(xué)目標(biāo)：

1.讓學(xué)生初步了解歸一化問題，并掌握解決正歸一問題，反規(guī)一問題的方法。2.通過老師講解，使學(xué)生掌握分析歸一問題的方法。3.熟悉并掌握歸一應(yīng)用題的解題步驟。

教學(xué)重點(diǎn)：會分析歸一應(yīng)用題，使之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決。教學(xué)難點(diǎn)：反歸一問題的計(jì)算。教學(xué)過程：

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？ 正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量； 不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

學(xué)習(xí)例1 ： 一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

集體討論：一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，那么蝸牛一分鐘爬行多遠(yuǎn)？

分析與解答：

為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

小結(jié)

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。

解：1小時(shí)=60分鐘

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

學(xué)習(xí)例2：

一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？

集體討論：加工廠一小時(shí)磨多少千克面粉？ 分析與解答： 方法1：

通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

方法2：用比例關(guān)系解。

解：設(shè)磨剩下的面粉還要 x 小時(shí)。

6000x＝3×14000 x=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。學(xué)習(xí)例3：

學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析與解答

要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。

解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）=37元

②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）

③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）

答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

學(xué)習(xí)例4：

一個(gè)長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿； 單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析與解答

要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。

解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）

③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）

列綜合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）

答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。

學(xué)習(xí)例5： 7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

分析與解答： 方法1：

要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。

解：①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（噸）

② 560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？

560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？

112÷8-7＝7（輛）

列綜合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。方法2：

在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同情況的算式： 336÷6÷7 ①，336÷7÷6.② 算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量。在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：

求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。

學(xué)習(xí)例6：

某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

分析與解答：

我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求出要加班的工時(shí)數(shù)，問題就解決了。

解：①原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時(shí)”：

8×18×7.5=1080（工時(shí)）

②增加6人后每天工作幾小時(shí)？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小時(shí)）

③每天加班工作幾小時(shí)？ 11.25-8=3.25（小時(shí)）

答：每天要加班工作3.25小時(shí)。

練習(xí)：

1.花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請算出桃樹有幾棵？

2.5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？ 作業(yè)：

3.4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車同時(shí)運(yùn)貨到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，問是否夠用？

4.5臺拖拉機(jī)24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機(jī)多少臺？

第三篇：四年級奧數(shù)講義之：歸一問題

四年級數(shù)學(xué)講義 奧數(shù)：歸一問題

一、教學(xué)銜接

二、教學(xué)內(nèi)容

（一）知識揭示

1、歸一法的來歷

我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！

2、歸一法的分類

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？ 另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？

3、正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

（二）例題講解

例1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

分析： 為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。解：1小時(shí)=60分鐘 12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

例2.一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？ 分析： 通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

例3.學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析： 要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）=37元 ②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

例4.一個(gè)長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析： 要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）列綜合算式： 480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。

例5.7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析： 要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？ 336÷6÷7=56÷7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？ 560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？ 112÷8-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。

三、教學(xué)練習(xí)

1、一批產(chǎn)品,28人25天可以生產(chǎn)完,生產(chǎn)5天后,此項(xiàng)任務(wù)要提前10天完成,應(yīng)增加_____人.2、某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.1、小明3小時(shí)走6千米路，照這樣計(jì)算他7小時(shí)走了多少千米？

4、5輛載重量相同的卡車6趟運(yùn)走糧食300噸，照這樣計(jì)算，7輛這樣的卡車8趟運(yùn)糧食多少噸？如果倉庫有糧食1200噸，要求5次運(yùn)完，則須增加多少輛車？

5、媽媽買水果，如果她買了3斤蘋果和5斤荔枝，那么需要41元，如果買了6斤蘋果和5斤荔枝那么需要47元。媽媽現(xiàn)在買5斤蘋果和3斤荔枝共需要多少錢？

6、甲乙兩個(gè)修路隊(duì)4天修路770米，現(xiàn)在兩個(gè)修路隊(duì)同時(shí)修路，在相同的天數(shù)里，甲隊(duì)修路840米，乙隊(duì)修路700米，求甲乙兩隊(duì)每天各修路多少米。

四、教學(xué)小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了什么？你都會了嗎？

五、教學(xué)拓展

1、某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

2、甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？

六、課后練習(xí)

1、加工一批39600件的大衣,30個(gè)人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加_____人.2、54人12天修水渠1944米,如果人數(shù)增加18人,天數(shù)縮到原來的一半,可修水渠_____米.3、4輛大卡車5次運(yùn)煤80噸,3輛小卡車8次運(yùn)煤36噸.現(xiàn)在有煤77噸,用一輛大卡車和小卡車同時(shí)運(yùn)_____次運(yùn)完.4、個(gè)人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要_____天.5、一列火車5小時(shí)行375千米，照這樣計(jì)算，8小時(shí)行多少千米？

6、一個(gè)車間要加工48個(gè)零件，4小時(shí)加工了24個(gè)，照這樣計(jì)算，加工完剩下的零件還要多少小時(shí)？

7、一個(gè)修路隊(duì)6人12天修路1440米，照這樣計(jì)算，20人修4800米要多少天？

8、一個(gè)水池可以容水360噸，水池裝有一根進(jìn)水管和一根出水管，單開進(jìn)水管，6小時(shí)可把空池注滿，單開排水管，9小時(shí)可把滿池水排空，如果兩管一齊開，需多少小時(shí)把空池注滿？

9、學(xué)校買來一些足球和排球，如果3個(gè)足球和4個(gè)排球，共需花費(fèi)196元，如果買3個(gè)足球和7個(gè)排球，共需花費(fèi)271元，現(xiàn)在要買4個(gè)足球和5個(gè)排球，共需多少錢。

10、小明和小華4分鐘共打字720個(gè)，現(xiàn)在2人同時(shí)打字，在相同時(shí)間內(nèi)，小明打字490個(gè)，小華打字410個(gè)，問小明和小華每分鐘各打字多少個(gè)？

第四篇：陸老師奧數(shù)培訓(xùn)講義歸一問題

陸老師奧數(shù)培訓(xùn)講義

【四年級】歸一問題

報(bào)名電話；*** 例1． 加工一批39600件的大衣,30個(gè)人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加多少人.例2．

54人12天修水渠1944米,如果人數(shù)增加18人,天數(shù)縮到原來的一半,可修水渠多少米.例3.一批產(chǎn)品,28人25天可以收割完,生產(chǎn)5天后,此項(xiàng)任務(wù)要提前10天完成,應(yīng)增加多少_人.。

例4.，某工程隊(duì)施工時(shí),欲將一個(gè)池塘的水排完,若用15臺抽水機(jī),并且每天抽水8小時(shí),則7日可排水1260噸;若每天抽水12小時(shí),要求14天排水7560噸,則應(yīng)需幾臺抽水機(jī)?

例5.光華機(jī)械廠一個(gè)車間,原計(jì)劃15人3天做900個(gè)零件,生產(chǎn)開始后,又增加一批任務(wù),在工作效率相同下,要10個(gè)人8天完成,問增加了幾個(gè)零件? 練習(xí)題 1 某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃多少_天.某生產(chǎn)小組12個(gè)人,9天完成,零件1620個(gè).現(xiàn)在有一批任務(wù),零件數(shù)為2520個(gè),問14個(gè)人要多少天完成.3.一項(xiàng)工程預(yù)計(jì)15人每天做4小時(shí),18天可以完成,后來增加3人,并且工作時(shí)間增加1小時(shí),這項(xiàng)工程多少天完成.4某機(jī)床廠第一車間的職工,用18臺車床,2小時(shí)生產(chǎn)機(jī)器零件720件,20臺這樣的車床3小時(shí)可生產(chǎn)機(jī)器零件多少件.5.4輛大卡車5次運(yùn)煤80噸,3輛小卡車8次運(yùn)煤36噸.現(xiàn)在有煤77噸,用一輛大卡車和小卡車同時(shí)運(yùn)多少次運(yùn)完.6.某車間接到任務(wù),要在15天制造12000個(gè)零件.后來任務(wù)增加28%日產(chǎn)量也提高.這樣多少天完成.7，.8個(gè)人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要多少天.8，光明小學(xué)有50個(gè)學(xué)生幫學(xué)校搬磚,要搬2000塊,4次搬了一半,照這樣算,再增加50個(gè)學(xué)生,還要幾次運(yùn)完? ,9..一根木料,鋸成2段,要3分鐘,如果鋸成6段要多少分鐘?

10.一列火車3小時(shí)行240千米,照這樣算,7小時(shí)行多少千米.11.糧站加工切面,5天加工440千克,照這樣算,30天可加工切面多少千克.加工4840千克切面要多少天.12.兩輛汽車一個(gè)月用油1200千克,5輛汽車8個(gè)月用汽油_____千克.現(xiàn)有36000千克汽油,夠__多少輛汽車用3個(gè)月.(一個(gè)月算30天).8個(gè)人10天修公路840米,照這樣算,20人要修4200米,要用多少天.5.筑路隊(duì),修一段路,6個(gè)人45天完成,如果增加9人,_____天完成.6.學(xué)校平整操場,35人3小時(shí)平整1260平方米,照這樣算,40人平整2880平方米,要_____小時(shí).7.某工程隊(duì),16個(gè)工人9天能挖水溝1872米,27個(gè)工人14天能挖_____米.8.紅光大隊(duì)用拖拉機(jī)耕地,2臺3小時(shí)耕75公畝,照這樣算,4臺5小時(shí)耕_____公畝.9.磚廠用3臺制磚機(jī)4小時(shí)生產(chǎn)紅磚坯4.8萬塊,照這樣算,8臺制磚機(jī)8小時(shí)可制_____紅磚坯.10.3臺磨面機(jī)8小時(shí)可磨面粉33.6噸,現(xiàn)在磨面機(jī)增加到12臺,要磨面粉168噸,要_____小時(shí).解答題: 11.李莊大隊(duì)修水渠1800米,計(jì)劃用75人12天修完,如果增加15人,幾天修完?

12.某水泥廠計(jì)劃24天生產(chǎn)1080噸水泥,由于技術(shù)改進(jìn),平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)15噸,可比計(jì)劃提前幾天完成?

13.某小水泥廠計(jì)劃24天完成一批任務(wù),每天應(yīng)生產(chǎn)45噸水泥.改進(jìn)技術(shù)后,每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)15噸,這樣提前幾天完成?

14.機(jī)器廠原來制造50臺機(jī)器要用鋼材75噸,技術(shù)革新后,每臺機(jī)器用的鋼材節(jié)省了半噸.原來制造50臺用的鋼材,現(xiàn)在可造多少臺.

第五篇：小學(xué)奧數(shù)牛吃草問題教案(一)

奧數(shù)十二講 牛吃草問題

（一）牛吃草問題也叫牛頓問題或是消長問題，因由牛頓提出而得名，也有人稱這一類問題叫做牛吃草問題。英國著名的物理學(xué)家學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？ 解題關(guān)鍵

牛頓問題，俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環(huán)節(jié)主要有四步：

1、求出每天長草量；

2、求出牧場原有草量；

3、求出每天實(shí)際消耗原有草量(牛吃的草量--生長的草量= 消耗原有草量)；

4、最后求出可吃天數(shù)

想：這片草地天天以勻速生長是分析問題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個(gè)條件，把所有頭牛分成兩部分來研究，用其中頭吃掉新長出的草，用其余頭數(shù)吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)。

設(shè)一頭牛1天吃的草為一份。

那么10頭牛22天吃草為1×10×22=220份，16頭牛10天吃草為1×16×10=160份

（220-160）÷（22-10）=5份，說明牧場上一天長出新草5份。

220-5×22=110份，說明原有老草110份。

綜合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。牛頓曾提出的問題

牛頓在其著作《普遍的算術(shù)》(1707年出版)中提出如下問題：“12條公牛在四個(gè)星期內(nèi)吃掉了三又三分之一由格爾的牧草；21條公牛在9星期吃掉10由格爾的牧草，問多少條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草？”

（由格爾是古羅馬的面積單位，1由格爾約等于2,500平方米）。這個(gè)著名的公牛問題叫做“牛頓問題”。牛頓曾說過：“如果我看得比別人更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀薄?/p>

牛頓的解法是這樣的：在牧草不生產(chǎn)的條件下，如果12條公牛在四星期內(nèi)吃掉三又三分之一由格爾的牧草、則按比例36頭公牛四星期內(nèi)，或16頭公牛九個(gè)星期內(nèi)，或八頭公牛18星期內(nèi)吃掉10由格爾的牧草，由于牧草在生長，所以21頭公牛9星期只吃掉10由格爾牧草，即在隨后的五周內(nèi)，在10由格爾的草地上新長的牧草足夠21-16=5頭公牛吃9星期，或足夠5/2頭公牛吃18個(gè)星期，由此推得，14個(gè)星期（即18個(gè)星期減去初的四個(gè)星期）內(nèi)新長的牧草可供7頭公牛吃18個(gè)星期，因?yàn)?：14=5/2：7。前已算出，如牧草不長，則10由格爾草地牧草可供八頭公牛吃18個(gè)星期，現(xiàn)考慮牧草生長，故應(yīng)加上7頭，即10由格爾草地的牧草實(shí)際可供15頭公牛吃18個(gè)星期，由此按比例可算出。24由格爾草地的牧草實(shí)際可供36頭公牛吃18星期。

牛頓還給出代數(shù)解法：他設(shè)1由格爾草地一個(gè)星期內(nèi)新長的牧草相當(dāng)于面積為y由格爾，由于每頭公牛每個(gè)星期所吃牧草所占的面積看成是相等的，根據(jù)題意，設(shè)若所求的公牛頭數(shù)為x，則（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x

解得x=36 即36條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草。

還有一種方法就是使用方程式的解法。

例如有一塊牧場，可供9頭牛吃3天，或者5頭牛吃6天，請問多少牛能夠2天吃完？

我們做方程式：設(shè)牧場原有草量為y，每天新增加的牧草可供x頭牛食用，N頭牛能夠2天將草吃完，根據(jù)題目條件，我們列出方程式：

y=(9-x）×3

y=(5-x)×6

y=(N-x)×2

解方程組得x=1 y=24 N=13

其實(shí)這種牛吃草問題的核心公式是：原有草量=（牛數(shù)-單位時(shí)間長草量可供應(yīng)的牛的數(shù)量）×天數(shù)

解法二：

牛吃草問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于這個(gè)問題隱藏了一個(gè)基本的平衡在其中，那就是：假若每頭牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此題無解，為什么？因?yàn)楹芸赡芤活^牛心情好一天就能吃完這些草，也可能10頭牛食欲不佳一個(gè)月吃都不完這些草，因此每頭牛每天的吃草速率和數(shù)量必須都是相同的是這個(gè)問題成立并且能夠得到答案的充要條件。

得到這個(gè)結(jié)論后，我們就要開始確定一個(gè)平衡的方程式出來，如何確定？不難想到，可以是吃草量和草本身量之間的平衡，也就是吃草量=草總量。于是我們就可以假設(shè)一頭牛一天的吃草量為M，并假設(shè)第三種情況牛吃草的天數(shù)為N；接下來開始尋找平衡方程，我們可以看到，在問題提供的條件中，第一種情況的草地總量為10×M×22，第二種情況的草地總量為16×M×10，第三種情況的草地總量為25×M×N。

然后我們開始尋找方程的平衡：既然我們現(xiàn)在已經(jīng)找到三種情況里草地的總量，那么不難想到方程的另一邊就要靠草的量來進(jìn)行平衡，于是，我們假設(shè)原有草量為Y，草每天的生長量為X，得到如下方程組：

10×M×22=22X+Y

16×M×10=10X+Y

25×M×N=NX+Y

解此方程組，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25頭牛用五天半的時(shí)間就能吃完這些草。規(guī)律總結(jié)

牛頓問題的難點(diǎn)在于草每天都在不斷生長，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量。顯而易見，原有的草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個(gè)不變量——每天（每周）新長出的草的數(shù)量。

方法指導(dǎo)：通常思路

①把每頭牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生長的草量是多少；③求出原來的草量是多少；④假設(shè)幾頭牛專門去吃新生長的草，剩下的牛吃原來的草所用幾天（周）數(shù)即為所求。由于牛吃草的天數(shù)不同。

例題：例1 牧場上長滿牧草，每天都勻速生長。這片牧場可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？

【分析】這片牧場上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出飛草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變??？草是以勻速生長的，也就是說每天長的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對吧？這就是我們解題的關(guān)鍵。這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們設(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設(shè)草每天增長的數(shù)量是a份，設(shè)原來的草的數(shù)量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a 【思考1】一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？

15天．設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份?？晒?8頭牛吃60÷（18-14）=15天

例2 因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場可供多少頭牛吃10天? 【分析】與例1不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量 【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？

8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。

總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但是因?yàn)槭莿蛩偕L，所以每天新長出的草量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天新長出的草，問題就會迎刃而解。

知識衍變 牛吃草基本問題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問題，驢吃草問題也知道怎么做，甚至，以下這些問題都可以應(yīng)用牛吃草問題解決方法 例3 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級臺階，小麗每分鐘走20級臺階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級臺階？

【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總級數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“牛”變成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”問題來解答。【思考3】兩只蝸牛同時(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？

大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？

15米。

蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米 所以井深：（20+10）×5=150分米=15米

例4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完。現(xiàn)在要想在2小時(shí)舀完，需要多少人？

【分析】典型的“牛吃草”問題，找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵 【思考4】一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？

5小時(shí)。設(shè)一臺抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池內(nèi)原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水機(jī)需要:100÷(25-5)=5小時(shí)1、2、牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時(shí)打開2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？

3、4、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？ 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？

5、