第一篇：小學(xué)奧數(shù)教案——容斥問題

教案

容斥問題

一 本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解并掌握容斥問題。

二 重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)分析

容斥問題涉及到一個重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即當(dāng)兩個計數(shù)部分有重復(fù)包含時，為了不重復(fù)的計數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。

三 概念解析

容斥原理：對幾個事物，如果采用兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)1和性質(zhì)2分類，那么具有性質(zhì)1或性質(zhì)2的事物個數(shù)等于性質(zhì)1加上性質(zhì)2減去它們的共同性質(zhì)。

四 例題講解

一班有48人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業(yè)？請舉手”有37人舉手，又問：“誰做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？請舉手”有42人舉手，最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒做完？請舉手”結(jié)果沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個？

四年級一班有54人，訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人，訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人，每人至少訂閱一種讀物，訂閱《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？

某班有36個同學(xué)在一項(xiàng)測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的人有23人，兩題都答對的有15人。問多少個同學(xué)兩題都答的不對？

某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么參加語文、數(shù)學(xué)兩科競賽的有多少人？

在1到100的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？

光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個年級學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品一共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？

學(xué)校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手提琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩樣都會的有8人。這個文藝組一共有多少人？

一個班有55名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》的有32人，訂閱《中國少年報》的有29人，兩種都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？

一個俱樂部有103人，其中會下中國象棋的有69人，會下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有12人。問這個俱樂部里兩種棋都會下的有多少人？

100個人參加測試，要求回答五道試題，并且規(guī)定凡答對3題或3題以上的為測試合格。測試結(jié)果是：答對第一題的有81人，答對第二題的有91人，答對第三題的有85人，答對第四題的79人，答對第五題的有74人，那么至少有多少人合格。

五 課堂練習(xí)

在1到130的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？

實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展，學(xué)校的櫥窗里展出了每個年級學(xué)生的書法作品，其中有28幅不是五年級的，有24幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有20幅。

一、二年級參展的作品總數(shù)比三、四年級參展的作品總數(shù)少4幅。

一、二年級參展的書法作品共有多少幅？

六 課后作業(yè)

六

（一）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個年級學(xué)生的圖畫作品，其中有25幅不是三年級的，有19幅不是四年級的，三、四年級參展的圖畫共有8幅，其他年級參展的畫共有多少幅？

五年級有22名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每個至少有一門功課取得優(yōu)秀成績，其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？

七 勵志或?qū)W科小故事——阿契塔

阿契塔（Archytas）希臘數(shù)學(xué)家。公元前約420年生于意大利塔倫通（現(xiàn)塔蘭托）；公元前約350年卒。阿契塔是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員，居住在塔倫通，那里是當(dāng)時保留到最后的一個紡織畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的活動中心。阿契塔象公元前四世紀(jì)的許多希臘學(xué)者那樣，致力于說服希臘各城邦聯(lián)合起來反對日

效力增長的外來勢力?？墒?，同所有其他希臘學(xué)者一樣，他也失敗了。希臘人堅(jiān)持彼此之間的自相殘殺，直到被馬其頓所征服。

阿契塔的灑趣在于希臘的三大問題之一——立方倍積，即給定一個立方體，僅用圓規(guī)和直尺作另一個立方體，使這個立方體的體積是給定的立方體的兩倍。后來發(fā)現(xiàn)，在所指定的條件下，這個問題是不可解，但是在經(jīng)過一番努力之后，阿契塔發(fā)現(xiàn)了與比例中項(xiàng)（即在兩個外項(xiàng)之間插入的一些線或數(shù)值）有關(guān)的一些定理，他使用比立方倍積問題所給條件的嚴(yán)格要求要自由一引起的工具，通過精巧的三維構(gòu)體這個問題。他是試圖把純粹的技藝應(yīng)用于力學(xué)的第一個希臘數(shù)學(xué)家，當(dāng)時他按照自己的方式創(chuàng)立了關(guān)于聲音和音理論。他仿照算術(shù)級數(shù)（1，2，3，4??）和幾何級數(shù)（1，2，4，8，??），提出了調(diào)和級數(shù)（1，0.5，0.33，0.25，??）的概念，他主張音調(diào)取決于空氣的振動速度。他是正確的，但是他完全沒有波動的概念。他相信音調(diào)高的聲音在空氣、物體中傳播的速度比音調(diào)低的聲音快，這當(dāng)然是錯誤的。據(jù)信他還是滑輪的發(fā)明者。

第二篇：小五班容斥問題講義

小五班容斥問題講義

容斥原理1.二量重疊問題：總和=A+B-AB 容斥原理2.三量重疊問題：總和=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 例題1.一個班有45個小學(xué)生,統(tǒng)計借課外書的情況是:全班學(xué)生都借有語文或數(shù)學(xué)課外書。借語文課外書的有39人,借數(shù)學(xué)課外書的有32人。語文、數(shù)學(xué)兩種課外書都借的有（）人。

練習(xí)1.某區(qū)100個外語教師懂英語或俄語,其中懂英語的75人,既懂英語又懂俄語的20人,那么懂俄語的教師為（）人。

練習(xí)2.六一班有學(xué)生46人,其中會騎自行車的17人,會游泳的14人,既會騎車又會游泳的4人,問兩樣都不會的有（）人。

練習(xí)3.民兵進(jìn)行訓(xùn)練，每橫排人數(shù)一樣多，每豎行人數(shù)也一樣多，李軍站的位置從前面數(shù)是第4人，從后面數(shù)是第6人，從左面數(shù)是第3人，從右面數(shù)是第2人，一共有多少人參加訓(xùn)練? 練習(xí)4.王紅從前面數(shù)是第6人，郝文排在最后，和王紅間隔3個人，王紅和黃克在同一橫排上，王紅從左數(shù)是第2個人，黃克從右數(shù)是第1人，他們間隔5人。三二班同學(xué)一共有多少人? 練習(xí)5.六一兒童節(jié)那天，全班45人到頤和園去玩，有33人劃了船，20人爬了山，5名同學(xué)因身體不好，他們既沒劃船也沒爬山，他們游覽了長廊。問：既劃了船也爬了山的同學(xué)有多少？

例題2.在100個學(xué)生中,音樂愛好者有56人,體育愛好者有75人,那么既愛好音樂,又愛好體育的人最少有（）人,最多有（）人。

例題3.在1至100的自然數(shù)中,是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有（）個。練習(xí)1.在1至10000中不能被5或7整除的數(shù)共有（）個。

練習(xí)2.在1至10000之間既不是完全平方數(shù),也不是完全立方數(shù)的整數(shù)有（）個。練習(xí)3.在1到10000這10000個自然數(shù)中，即不能被8整除也不能被125整除的數(shù)有多少個？ 練習(xí)4.有若干卡片，每張卡片上寫著一個數(shù)，它是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)，其中標(biāo)有3的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有4的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片有15張．那么，這些卡片一共有多少張?

例題4.五一小學(xué)舉行小學(xué)生畫展，其中18幅不是六年級的，20幅不是五年級的?，F(xiàn)在知道五、六年級共展出22幅畫，問：其它年級共展出多少幅畫？ 練習(xí)1.東河小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的。現(xiàn)知道五、六年級共有25幅畫，那么其他年級的畫共有多少幅? 練習(xí)2.光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個年級學(xué)生的書法作品,其中有24幅不是五年級的,有22幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有10幅,其他年級參展的書法共有多少幅?

練習(xí)3.實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展.學(xué)校的櫥窗里展出每個年級學(xué)生的書法作品,其中有28幅不是五年級的,有24幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有20幅.一、二年級參展的作品總數(shù)比三、四年級參展作品的總數(shù)少4幅.一、二年級參展的書法作品共有多少幅?

例題5.洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個夾子？(9)練習(xí)1.把圖畫每兩張重疊在一起釘在墻上，現(xiàn)在有5張畫要多少個圖釘呢？(12)例題6.羅明、李陽和趙剛每人都有幾本書，羅明和李陽共有33本，羅明和趙剛共有39本，李陽和趙剛共有34本。問：他們?nèi)烁饔袔妆緯?/p>

練習(xí)3.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？

例題7.二年一班共42名同學(xué)，其中少先隊(duì)員33人。這個班男生20人，女生中有4人不是少先隊(duì)員，求男生中有多少人是少先隊(duì)員。

練習(xí)1.某班有學(xué)生46人，在調(diào)查他們家中是否有電子琴和小提琴時發(fā)現(xiàn)，有電子琴的22人，兩種琴都沒有的14人，只有小提琴的與兩種琴都有的人數(shù)之比是5∶3。問：只有電子琴的有多少人？

例題8.一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，甲答錯了題目總數(shù)的1/4，乙答錯了3道題，兩人都答錯的題目是題目總數(shù)的1/6。求甲、乙都答對的題目數(shù)。

練習(xí)1.一次數(shù)學(xué)速算練習(xí)，甲答錯題目總數(shù)的1/9，乙答對7道題，兩人都答對的題目是題目總數(shù)的1/6。問：甲答對了多少道題？

例題9.有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標(biāo)有記號的地方剪斷．問繩子共被剪成了多少段?

例題10.某班共有30名男生，其中20人參加足球隊(duì)，12人參加藍(lán)球隊(duì)，10人參加排球隊(duì)．已知沒一個人同時參加3個隊(duì)，且每人至少參加一個隊(duì)，有6人既參加足球隊(duì)又參加藍(lán)球隊(duì)，有2人既參加藍(lán)球隊(duì)又參加排球隊(duì)，那么既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有（4）人．

練習(xí)1.某班有42人，其中26人愛打藍(lán)球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打藍(lán)球又愛踢足球，4人既愛打排球又愛踢足球。沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好。問：既愛打藍(lán)球又愛打排球的有幾人？ 練習(xí)2.100個學(xué)生只有一人沒學(xué)過外語，學(xué)過英語的有39人，學(xué)過法語的有49人，學(xué)過俄語的有41人，學(xué)過英語也學(xué)過法語的有14人，學(xué)過英語也學(xué)過俄語的有13人，學(xué)過法語也學(xué)過俄語的有9人。問：三種語言都學(xué)過的有多少人？ 練習(xí)3.64個小學(xué)生都訂了報紙，其中訂A報的28人，訂B報的41人，訂C報的20人，并且同時訂A、B報的10人，同時訂A、C報的12人，同時訂B、C報的也是12人。問：三種報都訂的有多少人？

練習(xí)4.在一個炎熱的夏日，10個小學(xué)生去冷飲店每人都買了冷飲。其中6人要了汽水，6人要了可樂，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可樂，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可樂又要了果汁。問：(1)三樣都要的有幾人？(2)只要一樣的有幾人？

練習(xí)5.在某個風(fēng)和日麗的日子，10個同學(xué)相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中6個人帶了漢堡，6個人帶了雞腿，4個人帶了芝士蛋糕，有3個人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕，2個人既帶了漢堡又帶了芝士蛋糕。問：

（1）三種都帶了的有幾人？（2）只帶了一種的有幾人？ 答案：0人，4人

練習(xí)6.六年級100名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)。其中，愛好體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛好的15人，只愛好體育和科學(xué)的4人，只愛好體育和文藝的17人。問：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛好體育的有多少人？

練習(xí)7.五年級三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人。求這個班的學(xué)生人數(shù)。

練習(xí)8.建平學(xué)校第14屆秋季運(yùn)動會中，參加100米短跑的共156人，比參加200米短跑的少40人，比參加50米短跑的多26人，同時參加100米和50米短跑的有74人，同時參加200米和100米的有80人，是同時參加50米和200米人數(shù)的2倍，同時參加50米、100米和200米的有30人，求這屆運(yùn)動會中參加50、100米和200米的共有多少人？

練習(xí)9.在游藝會上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎券．按獎券標(biāo)簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：①標(biāo)簽號為2的倍數(shù)，獎2支鉛筆；②標(biāo)簽號為3的倍數(shù)，獎3支鉛筆；③標(biāo)簽號既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎；④其他標(biāo)簽號均獎1支鉛筆．那么游藝會為該項(xiàng)活動準(zhǔn)備的獎品鉛筆共有多少支? 例題11.分母是1001的最簡真分?jǐn)?shù)有（）個。練習(xí)1.以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個？

練習(xí)2.在前200個自然數(shù)中，能被2或3或5整除的有多少個？

練習(xí)3.試求：在1000以內(nèi)(含1000)的自然數(shù)中，不能被3、5、8任何一個整除的數(shù)的個數(shù)。

例題12.有28人參加田徑運(yùn)動會，每人至少參加兩項(xiàng)比賽。已知有8人沒參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與同時參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是17人。問：僅參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？

練習(xí)1.學(xué)校數(shù)學(xué)競賽出了A、B、C三道題，至少做對一道的有25人，其中做對A題的有10人，做對B題的有13人，做對C題的有15人。如果三道題都做對的只有一人，那么只做對兩道題和只做對一道題的各有多少人？

練習(xí)2.某年級60人中有2/3的同學(xué)愛打乒乓球，3/4的同學(xué)愛踢足球，4/5的同學(xué)愛打藍(lán)球，這三項(xiàng)運(yùn)動都愛好的有22人。問：這個年級最多有多少人這三項(xiàng)運(yùn)動都不愛好？

練習(xí)3.某班共有學(xué)生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球。那么，這個班至少有多少學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動都會？

練習(xí)4.康大六校五年二班學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)、英語三科考試，90分以上的語文有21人，數(shù)學(xué)有19人，英語有20人，語文、數(shù)學(xué)都在90分以上的有9人，數(shù)學(xué)、英語在90分以上的有7人，語文、英語都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，這個班最多能有多少人？

練習(xí)5.圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書為29本，同時有甲、丙簽名的圖書為25本，同時有乙、丙簽名的圖書為36本．問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過? 練習(xí)6.甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個故事．每個人都從某一個故事開始，按順序往后讀．已知甲讀了7.5個故事，乙讀了60個故事，丙讀了52個故事．那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個? 練習(xí)7.學(xué)校舉行棋類比賽，設(shè)象棋、圍棋和軍棋三項(xiàng)，每人最多參加兩項(xiàng)。根據(jù)報名的人數(shù)，學(xué)校決定對象棋的前六名、圍棋的前四名和軍棋的前三名發(fā)放獎品。問：獲獎人數(shù)最多為幾人？最少為幾人？

例題13.某小學(xué)的統(tǒng)計數(shù)字表明：學(xué)校共有學(xué)生1200名，其中男生650名，高年級學(xué)生300名，三好學(xué)生100名，男生中的三好學(xué)生60名，高年級學(xué)生中男生160名，高年級女生中三好學(xué)生20名，非高年級女生中不是三好學(xué)生的400名。試證明：這個統(tǒng)計數(shù)字一定有錯誤。

練習(xí)1.全班有25個學(xué)生，其中17人會騎自行車，13人會游泳，8人會滑冰，這三個運(yùn)動項(xiàng)目沒有人全會。至少會這三項(xiàng)運(yùn)動之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀。如果全班有6個人數(shù)學(xué)不及格，問：(1)全班數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有幾名？(2)全班有幾個人即會游泳又會滑冰？

例題14.某工廠一季度有80％的人全勤，二季度有85％的人全勤，三季度有95％的人全勤，四季度有90％的人全勤。問：全年全勤的人至多占全廠人數(shù)的百分之幾？至少占百分之幾？

練習(xí)1.五（6）班有54人參加秋游活動其中35人喜歡玩“捉特務(wù)”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋，你是否可以肯定這個班至少有多少學(xué)生對這四項(xiàng)活動都喜歡。

第三篇：容斥問題知識點(diǎn)及實(shí)例解析

一、知識點(diǎn) ?

1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一個集合。每個集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，??，9}，其中0，1，2，?9為A的元素。

2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，B的并集A∪B。

? 例：已知6的約數(shù)集合為A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B兩個集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表示：

? 例：已知6的約數(shù)集合A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含與排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的個數(shù)，如A={1，2，3}，則|A|=3）

原理一：給定兩個集合A和B，要計算A∪B中元素的個數(shù)，可以分成兩步進(jìn)行：

第一步：先求出?A?+?B?（或者說把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）；

第二步：減去?A∩B?（即“排除”加了兩次的元素）

總結(jié)為公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B? 原理二：給定三個集合A，B，C。要計算A∪B∪C中元素的個數(shù)，可以分三步進(jìn)行：

第一步：先求?A?+?B?+?C?；

第二步：減去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；

第三步：再加上?A∩B∩C?。

即有以下公式：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?-|C∩A|+|A∩B∩C?

二、例題分析：

例1 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。

分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，要求計算2或3的倍數(shù)個數(shù)，即求?A∪B?。

解1：A={2，4，6，?20}，共有10個元素，即|A|=10 B={3，6，9，?18}，共有6個元素，即|B|=6 A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個元素，即|A∩B|=3 所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13個元素。

解2：本題可直觀地用圖示法解答

? 如圖,其中,圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個數(shù)即可。例2 某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人？

解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績90分以上的學(xué)生} B={語文成績90分以上的學(xué)生} 那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38 現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求?A∩B?，由容斥原理得 ?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8 點(diǎn)評：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項(xiàng)體育活動的總?cè)藬?shù)是多少？

解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)}；B={跑步的同學(xué)} 則 A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)} A∪B={參加打籃球或跑步的同學(xué)} 應(yīng)用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51（人）

例4 求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個？

分析：這個問題與前幾個例題看似不相同，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)?！钡?，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。”再從100中減去就行了。

解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)} B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)} A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)} A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)} 則有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2 由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32 因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：100-32=68（個）

點(diǎn)評：從以上的解答可體會出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過細(xì)心的推敲就會發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)善于將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題。

例5 某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人；同時參加數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有4人，同時參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人；三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學(xué)科小組共有多少人？

解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語文小組的同學(xué)}，C={外語小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)}，A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)}，B∩C={參加語文、外語小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個小組都參加的同學(xué)} 由題意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18 ?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2 根據(jù)容斥原理二得：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C? =23+27+18-（4+5+7）+2 =54（人）

解2： 利用圖示法逐個填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個數(shù)，然后求出最后結(jié)果。? ? ? 設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、語文、外語小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三個小組都參加的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表示僅參加數(shù)學(xué)與語文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為4-2=2（人）。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數(shù)學(xué)與外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為7-2=5（人）。區(qū)域Ⅴ表示僅參加語文、外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為5-2=3（人）。區(qū)域Ⅰ表示只參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為23-2-2-5=14（人）。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數(shù)逐個算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為：

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

點(diǎn)評：解法2簡單直觀，不易出錯。由于各個區(qū)域所表示的集合的元素個數(shù)都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。

例6 學(xué)校教導(dǎo)處對100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇（但不喜歡看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學(xué)只喜歡看電影？有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看電影（但不喜歡看戲劇）？（假定每人至少喜歡一項(xiàng)）

解法1：畫三個圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分（如圖）這三個圓圈分別表示三種不同愛好的同學(xué)的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個圓圈的公共部分內(nèi)（圖中陰影部分），其它6部分填上題目中所給出的不同愛好的同學(xué)的人數(shù)（注意，有的部分的人數(shù)要經(jīng)過簡單的計算）其中設(shè)既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為χ，這樣，全班同學(xué)人數(shù)就是這7部分人數(shù)的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14 只喜歡看電影的人數(shù)為 36-14=22 ? 解法2：設(shè)A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（這里加12是因?yàn)槿N都喜歡的人當(dāng)然喜歡其中的兩種），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設(shè)|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴36-14=22 所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為14，只喜歡看電影的人數(shù)為22。

點(diǎn)評：解法1沒有用容斥原理公式，而是先分別計算出（未知部分設(shè)為х）各個部分（本題是7部分）的數(shù)目，然后把它們加起來等于總數(shù)，這種計算方法也叫“分塊計數(shù)法”，它是利用圖示的方法來解決有關(guān)問題，希望同學(xué)們能逐步掌握此類方法，它比直接用容斥原理公式更直觀，更具體。

例

7、某車間有工人100人，其中有5個人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人？

解：工人總數(shù)100，只能干電工工作的人數(shù)是5人，除去只能干電工工作的人，這個車間還有95人。利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分，其總數(shù)為163，然后找出這一公共部分，即163-95=68 例

8、某次語文競賽共有五道題（滿分不是100分），丁一只做對了（1）、（2）、（3）三題得了16分；于山只做對了（2）、（3）、（4）三題，得了25分；王水只做對了（3）、（4）、（5）三題，得了28分，張燦只做對了（1）、（2）、（5）三題，得了21分，李明五個題都對了他得了多少分？

解：由題意得：前五名同學(xué)合在一起，將五個試題每個題目做對了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+28+21=90。因此，五道題滿分總和是90÷3=30。所以李明得30分。

例9，某大學(xué)有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名？

解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)，才能求出不教這三門課的外語教師的人數(shù)。至少教英、日、法三門課中一種教師人數(shù)可根據(jù)容斥原理求出。根據(jù)容斥原理,至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)為50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教這三門課的外語教師的人數(shù)為120-106=14（人）。

第四篇：小學(xué)奧數(shù)教案平均數(shù)問題（定稿）

小學(xué)奧數(shù)教案---平均數(shù)問題

第1講

平均數(shù)(一)

一、知識要點(diǎn)

把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。

如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？

平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量×平均數(shù)

二、精講精練

【例題1】 有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？

【思路導(dǎo)航】（1）1箱蘋果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（個）；

（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（個）（3）1箱蘋果＋1箱桃=37×2=72（個）由（1）（2）兩個等式可知：

1箱蘋果比1箱桃多126－108=18（個），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（個），1箱蘋果有28＋18=46（個）。

1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37×2=74（個）1箱蘋果比1箱桃多多少個：42×3－36=18（個）1箱蘋果有多少個：28＋18=46（個）練習(xí)1：

1.一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？

2.甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？

【例題2】 一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？

【思路導(dǎo)航】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），應(yīng)補(bǔ)給每個男生0.7分，16.8里包含有24個0.7，即全班有24個男生。

練習(xí)2：

1.兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？

2.有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？

【例題3】 某3個數(shù)的平均數(shù)是2.如果把其中一個數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少？

【思路導(dǎo)航】原來三個數(shù)的和是2×3=6，后來三個數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3.是因?yàn)榘涯莻€數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是4－3=1。

練習(xí)3： 1.已知九個數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？

2.有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1.那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8。這個改動的數(shù)原來是多少？

【例題4】 五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學(xué)的98分誤作89分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？

【思路導(dǎo)航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有幾個0.2.五一班就有幾名同學(xué)。

練習(xí)4：

1.五（1）班有40人，期中數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平均分為92分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為100分，這次五（1）班同學(xué)期中考試的平均分是多少分？

2.某班的一次測驗(yàn)，平均成績是91.3分。復(fù)查時發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作97分計算，經(jīng)重新計算，該班平均成績是91.1分。問全班有多少同學(xué)？

【例題5】 把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個數(shù)的平均數(shù)是27，后三個數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個數(shù)是多少？

【思路導(dǎo)航】先求出五個數(shù)的和：38×5=190，再求出前三個數(shù)的和：27×3=81.后三個數(shù)的和：48×3=144。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中間的那個數(shù)就算了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)。

練習(xí)5：

1.甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？

2.十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？

第2講

平均數(shù)

二、精講精練

【例題1】 小明前幾次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均成績是84分，這次要考100分，才能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗(yàn)？

【思路導(dǎo)航】100分比86分多14分，這14分必須填補(bǔ)到前幾次的平均分84分中去，使其平均分成為86分。每次填補(bǔ)86－84=2（分），14里面有7個2.所以，前面已經(jīng)測驗(yàn)了7次，這是第8次測驗(yàn)。

練習(xí)1：

1.老師帶著幾個同學(xué)在做花，老師做了21朵，同學(xué)平均每人做了5朵。如果師生合起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學(xué)在做花？

2.一位同學(xué)在期中測驗(yàn)中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是94分，如果數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分，問這位同學(xué)一共考了多少門功課？

【例題2】 小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、自然五科的平均成績是89分，政治、數(shù)學(xué)兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，英語比語文多10分。小亮的各科成績是多少分？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)檎Z文、英語兩科平均分84分，即語文＋英語=168分，而英語比語文多10分，即英語－語文=10分，所以，語文是（168－10）÷2=79分，英語是79＋10=89分。又因?yàn)檎?、英語兩科平均86分，所以政治是86×2－89=83分；而政治、數(shù)學(xué)兩科平均分91.5分，數(shù)學(xué)是91.5×2－83=100分；最后根據(jù)五科的平均成績是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。

練習(xí)2：

1.甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是82.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86，乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？

2.小華的前幾次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均成績是80分，這一次得了100分，正好把這幾次的平均分提高到85分。這一次是他第幾次測驗(yàn)？

【例題3】 兩地相距360千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?0小時，已知這條河的水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？

【思路導(dǎo)航】用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因?yàn)?60÷10=36（千米）是順?biāo)俣龋瞧У撵o水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是36－6=30（千米）。而逆水速度=靜水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水行全程時所用時間是360÷24=15（小時），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8（千米）。

練習(xí)3：

1.甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達(dá)甲碼頭，已知汽船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達(dá)乙碼頭？

2.一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。已知客輪的靜水速度是每小時30千米，水速每小時3千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？

【例題4】 幼兒園小班的20個小朋友和大班的30個小朋友一起分餅干，小班的小朋友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊。求一共分掉多少塊餅干？

【思路導(dǎo)航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（30＋20）人就能求出餅干的總塊數(shù)。因?yàn)榇蟀嗟男∨笥衙咳吮却蟆⑿“嘈∨笥训钠骄鶖?shù)多2塊，30個小朋友一共多2×30=60（塊），這60塊平均分給20個小班的小朋友，每人可得60÷20=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是10＋3=13（塊）。一共分掉13×（30＋20）=650（塊）。

練習(xí)4：

1.數(shù)學(xué)興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學(xué)競賽中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？

2.兩組同學(xué)跳繩，第一組有25人，平均每人跳80下；第二組有20人，平均每人比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多5下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？ 【例題5】 王強(qiáng)從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩下的步行，每小時走4千米。王強(qiáng)行完全程的平均速度是每小時多少千米？

【思路導(dǎo)航】求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。由于題中沒有告訴我們A地到B地間的路程，我們可以設(shè)全程為24千米（也可以設(shè)其他數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時間是12÷12＋12÷4=4（小時），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小時6千米。

練習(xí)5：

1.小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明往返的平均速度。

2.運(yùn)動員進(jìn)行長跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中每分鐘跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。

作業(yè)

1.甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？

2.把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千克8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？

3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分?？墒?，甲在抄分?jǐn)?shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？

4.五個數(shù)的平均數(shù)是18，把其中一個數(shù)改為6后，這五個數(shù)的平均數(shù)是16。這個改動的數(shù)原來是多少？

5.兩組同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，如果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？

6.五個數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是7，后四個數(shù)的平均數(shù)是10，那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？

7.甲船逆水航行300千米，需要15小時，返回原地需要10小時；乙船逆水航行同樣的一段水路需要20小時，返回原地需要多少小時？

8.一個技術(shù)工帶5個普通工人完成了一項(xiàng)任務(wù)，每個普通工人各得120元，這位技術(shù)工人的收入比他們6人的平均收入還多20元。問這位技術(shù)工得多少元？

9.把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？

第五篇：小學(xué)奧數(shù)工程問題教案.

小學(xué)奧數(shù)工程問題教案

一、本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

聯(lián)系生活實(shí)際，弄清楚工作量、時間、效率之間的關(guān)系，提高解決行程問題的能力。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)分析

工程問題的實(shí)質(zhì)就是工作量、工作時間和工作效率之間的關(guān)系問題。工程問題的解題思路和行程問題相似，需要找出三個基本量之間的關(guān)系，通過三個基本量之間的換算找出解題方法。工程問題當(dāng)中，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)與運(yùn)算較為常見，因此，解決工程問題首先要學(xué)好分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。

三、知識框架

解決工程問題首先弄清行程問題中這三個量的關(guān)系： 工作量=時間×效率(a=t×e)時間=工作量÷效率(t=a÷e)效率=工作量÷時間(e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程問題中的工作量是工程問題的總體量，在未知情況下，可假設(shè)工作量為1 ； 時間：工程問題中的時間是工程問題的因子量；

效率：和時間一樣，效率也是工程問題的因子量，其地位和形式與時間類似。

五、例題講解

甲、乙兩個工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程需18天，如果甲隊(duì)干3天、乙隊(duì)干4天則完成工程的1/5。問：甲、乙兩隊(duì)獨(dú)立完成該工程各需多少天？

打印一份稿件，甲單獨(dú)打需要50分完成，乙單獨(dú)打需30分完成?，F(xiàn)在甲單獨(dú)打若干份后，乙接著打完，共42分。問：甲打了稿件的幾分之幾？

有甲、乙兩根水管，分別同時給兩個大小相同的水池A和B注水，在相同的時間內(nèi)甲、乙兩管注水量之比是7:5。經(jīng)過2時，A、B兩池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。當(dāng)甲管注滿A池時，乙管還需多長時間注滿B池？

一項(xiàng)工程,甲,乙兩隊(duì)合作30天完成.如果甲隊(duì)單獨(dú)做24天后,乙隊(duì)再加入合作,兩隊(duì)合作12天后,甲隊(duì)因事離去,由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成.這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)完成,需要多少天

李師傅加工540個零件。他前一半時間每分生產(chǎn)8個，后一半時間每分生產(chǎn)12個，正好完成任務(wù)。當(dāng)他完成任務(wù)的45%時，恰好是上午9點(diǎn)。張師傅開始工作的時間是幾點(diǎn)幾分幾秒？

師徒三人合作承包一項(xiàng)工程，8天能夠全部完成。已知師傅單獨(dú)做所需的天數(shù)與兩個徒弟合作所需的天數(shù)相同。師傅與徒弟甲所需的天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)相同。問：徒弟乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需多少天？

一項(xiàng)工程,甲,隊(duì)獨(dú)做10天可以完成,乙隊(duì)獨(dú)做30天可以完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作期間甲隊(duì)休息了2天,乙隊(duì)休息了8天(兩隊(duì)不在同一天休息).從開始到完工共用了多少天

某工程如果由第一、二、三小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊(duì)合干需要7天才13

能完成；如果由第二、四、五合干需要8天完成；如果由第一、三、四小隊(duì)合干需要42天。那么這五個小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程？

六、課后練習(xí)

完成一項(xiàng)工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天。問：甲、乙單獨(dú)干這件工作各需多少天？

一件工作，甲、乙合干需要6天完成，已知甲單獨(dú)完成該工作的1/2所需的時間與乙單獨(dú)完成該工作1/3的時間相等。問：甲單獨(dú)完成該工作需要多長時間？

一項(xiàng)工程,如甲隊(duì)獨(dú)做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.兩隊(duì)合做了2天后,由乙隊(duì)單獨(dú)做,乙隊(duì)還需做多少天才能完成

甲、乙、丙三人合修一圍墻。甲、乙合修5天修好圍墻的1/3，乙、丙合修2天修好圍墻的余下1/4，剩下的圍墻甲、丙又合修5天才完成。問：甲、乙、丙單獨(dú)修好圍墻分別需要幾天？

有一批工人完成某項(xiàng)工程，如果能增加八人，則10天就能完成；如果能增加3人，就要20天完成。現(xiàn)在只能增加2個人，那么完成這項(xiàng)工程需要多少天？

八 勵志或?qū)W科小故事——?dú)W幾里得

歐幾里得出生于雅典，接受了希臘古典數(shù)學(xué)，30歲就成了有名的學(xué)者。歐幾里得善于用簡單的方法解決復(fù)雜的問題。他在人的身影與高正好相等的時刻，測量了金字塔影的長度，解決了當(dāng)時無人能解的金字塔高度的大難題。他說：“此時塔影的長度就是金字塔的高度”。盡管歐幾里得簡化了他的幾何學(xué)，國王還是不理解，希望找到一條學(xué)習(xí)的捷徑。歐幾里得說：“在幾何學(xué)里，大家只能走一條路，沒有專為國王鋪設(shè)的達(dá)到”。這句話成為千古傳誦的學(xué)習(xí)箴言。