第一篇：(數(shù)學(xué)分析習題答案)第二章

第二章 數(shù)列極限

P.27習題

2．按??N定義證明：（1）limnn?1n???1

?1?nn?1n1n?1?1證明

因為 n?1nn?1?1?1n???1n，所以???0，取

N?1?，?n?N，必有l(wèi)im.故3n?n22n??

（2）n??2n?122lim?32

3n?n證明 因為 2n?1?32?2n?32(2n?1)3}2?2n?3n2(n?n?1)22?5n2n22?52n?3n ??3n?n2n?1，?n?N，有

2(n?1)，于是???0，取

N?max{1,?32?3n?.所以lim3n?n2n?122n??2 n!limn?0（3）n??n

n!?3證明 因為 nN?1n?0?n!nn?n(n?1)?1n?n???n1n???n?1nlim???211??nnn，于是???0，取

n!n?，?n?N，必有nlimsin?0?n!nn.所以

n???0

?n（4）n???0

sin?n?0?sin?n??n，于是???0，取

N???，?n?N，必有證明 因為sin?n?0??n??limsin?n.所以nann???0

lim（5）n???0(a?1)

(h?0)，于是

n(n?1)2n(n?1)2n?1?nh?h???h?h22，從而 證明 因為a?1，設(shè)a?1?han?(1?h)nnan?0?nan?nn(n?1)2h2?2(n?1)h2，所以???0，取

limnanN?2?h2?1，?n?N，n有an?0?2(n?1)h2??.故

n???0 3．根據(jù)例2，例4和例5的結(jié)果求出下列極限，并指出哪些是無窮小數(shù)列：

11nlimlimlim33n??n；（1）（2）n??；（3）n??n

111limnlimlimnlim10nn??n??n2；2（4）n??3；（5）（6）n??；（7）lim1nn???lim11n???0解（1）（2）（3）limlimnn??n2a?12），無窮小數(shù)列.（用例2的結(jié)果，3?11?0，（用例5的結(jié)果，a?3），（用例2的結(jié)果，a?3），無窮小數(shù)列.nn??n3lim13n（4）n???1?1?lim???0q?n??33）??，（用例4的結(jié)果，無窮小數(shù)列.?1?1?lim???0q?n???2?2），（用例4的結(jié)果，無窮小數(shù)列.nlim12n（5）n??n（6）n??limn??nlim10?112，（用例5的結(jié)果，a?10）.n?lim12（7）n???1a?12）.,（用例5的結(jié)果，4．證明：若n??證明 因為n??liman?a，則對任一正整數(shù) k，有k??liman?k?a，于是，當k?Nliman?a，所以

???0,?N?0,?n?N,|an?a|??liman?k?a|an?k?a|??n?k?N時，必有，從而有，因此k??.5．試用定義1證明：

?1?n(?1)??{n}發(fā)散.（1）數(shù)列?n?不以1為極限；（2）數(shù)列證明（用定義1證明）數(shù)列

{an}不以 a 為極限（即n??liman?a）的定義是：

??0?0，?N?0，?n0?N，|an0?a|??0

1?0?2，?N?0，取n0?N?2?N，有（1）取1n0?1?1N?2?1?N?1N?2?N?12(N?1)1?12??0?1???，故數(shù)列?n?不以1為極限.?1??0???2另證（用定義1’證明）取，則數(shù)列?n?中滿足n?2的項（有無窮多個）?1???U(1;?0)?(12,32)顯然都落在1的鄰域之外，故數(shù)列?n?不以1為極限.11nn(?1)(?1){1,2，4，6,?}{n}{n}??135（2）數(shù)列=，對任何a?R，取0，則數(shù)列中所有滿足“n 為偶數(shù)，且n?a?1”的項（有無窮多個），都落在 a 的鄰域U(a;?0)?(a?1,a?1)之外，故數(shù)列{n(?1)n}不以任何數(shù) a 為極限，即數(shù)列{n(?1)n}發(fā)散.n?(?1)??1??n?的極限是1.6．證明定理2.1，并應(yīng)用它證明數(shù)列?liman?a定理2.1 數(shù)列{an}收斂于 a 充要條件是：{an?a}為無窮小數(shù)列.（即n??的充要條件是n??lim(an?a)?0），由數(shù)列極限的定義，???0,?N?0,?n?N，有

lim(an?a)?0證明（必要性）設(shè)n??|an?a|?|(an?a)?0|??liman?a，所以 n??.（充分性）設(shè)n??lim(an?a)?0，由數(shù)列極限的定義，???0,?N?0,?n?N，有

liman?a|(an?a)?0|?|an?a|??，所以n??.nn???(?1)n??(?1)?(?1)?1????1???1??nnn???是無窮小數(shù)?的極限是1.因為?下面證明：數(shù)列?n?(?1)??1??n?的極限是1.列，所以數(shù)列?7．證明：若n??證明

設(shè)liman?aliman?an??，則n??lim|an|?|a|.當且僅當 a 為何值時反之也成立？，由數(shù)列極限的定義，???0,?N?0,?n?N，lim|an|?|a||an|?|a|?|an?a|??{(?1)}.n，所以也有n??.但此結(jié)論反之不一定成立，例如數(shù)列當且僅當 a = 0 時反之也成立.設(shè)n??|an|?|an|??lim|an|?0，于是???0,?N?0,?n?N，所以n??liman?a.1?2?3???nn38．按??N定義證明：（1）lim(n?1?n??n)?0lim；（2）

n???0

?n?1,??nan??2?n?nliman?1?n?（3）n??，其中|n?1?n|?1n??1n為偶數(shù)n為奇數(shù)?

1n.于是???0，取

n)?0證明（1）因為?n?N，必有

n?1?nN?1?2，|n?1?n|?，從而n??lim(n?1?.1?2?3???n（2）因為

N?1n3?n(n?1)2n3?n?12n2?n?n2n2?1n，于是???0，取1?2?3???nn31?2?3???nn3?，?n?N，必有

?0?1n??，所以

1n

?limn???0

（3）因為當 n 為偶數(shù)時，|an?1|?|an?1|?n?nn12n?1n?1??1?2n?n?nn1n?n?nN?12?1n當 n 為奇數(shù)時，管n 為偶數(shù)還是奇數(shù)，都有|an?1|?1n??，故不

|an?1|?n.于是???0，取?，?n?N，必有，所以 n??liman?1.P.33習題

1．求下列極限： ⑴ 根據(jù)P.24例2，a?0，可得 111?3?332n?3n?11nnlim?lim?n??4n3?2n?3n??1344?22?3nn

n??lim1na?0lim1?2nn2⑵ n???lim(n??1n2?2n)?0，|q|?1，可得 ?23?232⑶根據(jù)P.25例4(?2)?3(?2)n?1nnn?1limqn??n?0()?1?)n?1nlimn???32?lim13n??3?(?3

n?lim11?1n?1n??lim(n?n?n)?limn??n???12n?n?n⑷

這是因為由P.29例1若limn??

alim(1?1nliman?an??，則

limn??an?.于是由

n??)?1，得1?1n?1?1.n⑸ n??lim(n1?2???n10)?10，因為n??limna?1（a?0）

11limn??1??1?1??1?121n213??12132??????1213n2?limn??2131n?22n13⑹ 2．設(shè)n??an?bn3

liman?a，n??limbn?b，且a?b.證明：存在正數(shù)N，使得當n?N時，有

a?b2.a?a?b2?b證明 由a?b，有

.因為n??a?b2liman?a?，由P.24保號性定理2.4，a?b2存在N1?0，使得當n?N1時有N2?0，使得當n?N2時有a?ban??bn2.an?.又因為n??limbn?b?，所以，又存在bn?a?b2.于是取N?max{N1,N2}，當n?N時，有3．設(shè){an}為無窮小數(shù)列，{bn}{bn}為有界數(shù)列，證明：

{anbn}為無窮小數(shù)列.|b|?M,n?1,2,?{a}為有界數(shù)列，所以存在M?0，使得n.由n為

?|an|?M.從而當n?N時，有無窮小數(shù)列，知???0,?N?0,?n?N，?|anbn|?|an|?|bn|??M??limanbn?0{ab}M，所以n??，即nn為無窮小數(shù)列.4．求下列極限 證明 因為?1?1111??1111?lim??????lim??????????n??n???1?22?3n(n?1)1223nn?1????1???lim?1???1n??n?1??1（1）

2124282?2n2?22?111???n4821?12n?21?（2）因為

1122，而

nn1?2lim2n?24?n??2282?1(n??)，于是n??n22?22?lim?21n??nlim22?1n，從而

22（3）

n 32n?1??1lim??2????nn??222??557792n?12n?3?2n?3????lim?3???2?2?3?????lim3?????3n?1nnn??n??22222222????

1（4）當n?2時，2limn?1?1n?1n12?n1?1n?n1limn12，而

n???limnn??1?1，所以n??1?1n?1.0?1n2?1(n?1)2???1(2n)2?n?1n2?1n?1n2?0,(n??)（5）因為，所以

?111???0lim?????22?n???n2(n?1)(2n)??

n11?????222n?1n?2（6）因為n?nlimnn?n2n??1n?n2?nn?12?nn2?1，?lim11?1nn???1且?lim?n????1n?12，所以

???1?2n?n? 1{an?bn}?1n?22???5．設(shè){an}與{bn}中一個是收斂數(shù)列，另一個是發(fā)散數(shù)列，證明是發(fā)散數(shù)列.?an???(bn?0)b{ab}又問nn和?n?是否必為發(fā)散數(shù)列.證明（用反證法證明）不妨設(shè)收斂，則bn?(an?bn)?an{an}是收斂數(shù)列，{bn}{bn}是發(fā)散數(shù)列.假設(shè)數(shù)列

{an?bn}收斂，這與是發(fā)散數(shù)列矛盾，所以，數(shù)列

{an?bn}發(fā)散.同理可得數(shù)列{an?bn}發(fā)散.?an???(bn?0){anbn}?bn?{a}和不一定是發(fā)散數(shù)列.例如，若n是無窮小數(shù)列，n是有?an???(bn?0)b{ab}界的發(fā)散數(shù)列.則nn和?n?是無窮小數(shù)列，當然收斂.?bn???(an?0)liman?a?0a{ab}但是，有下列結(jié)果：如果n??，n是發(fā)散數(shù)列，則nn和?n?一定是發(fā)散數(shù)列.6．證明以下數(shù)列發(fā)散：

n??n?(?1)?n?1??（1）證明 設(shè)an?(?1)nnn?1，則

a2n?2n2n?1?1,(n??)，而

a2n?1??2n?12n??1，n??n(?1)??n?1??發(fā)散.由P.33，定理2.8 知（2）證明 ?n??n?(?1)n

(?1)n 的偶數(shù)項組成的數(shù)列a2n?2n，發(fā)散，所以n?(?1)n?發(fā)散.n???cos??4??（3）證明 設(shè)an?cosn?4，則子列 a8n?1?1,(n??)，子列

a8n?47．判斷以下結(jié)論是否成立（若成立，說明理由；若不成立，舉出反例）：（1）若{a2k?1}和{a2k}都收斂，則{an}收斂.解 結(jié)論不一定成立.例如，設(shè)an?(?1)nn???cos????1??1,(n??)4??發(fā)散.，故

an?(?1)n，則

a2k?1，a2k?1??1都收斂，但發(fā)散.{a2k?1}注 若和{a2k}都收斂，且極限相等（即k??和

{a3k}lima2k?1?lima2kk??），則

{an}收斂.（2）若{a3k?2}，{a3k?1}k??都收斂，且有相同的極限，則

k??{an}收斂.，則由數(shù)列極限的定義，知???0，?K1?0，?k?K1，|a3k?2?a|??；同樣也有?K2?0，?k?K2，|a3k?1?a|??；?k?K3|a3k?a|??N?max{3K1,3K2,3K3}?K3?0，.取，當n?N時，對任

|a?a|??意的自然數(shù) n，若n?3k?2，則必有k?K1，從而n；同樣若n?3k?1，則

|a?a|??k?K3|a?a|??必有k?K2，從而也有n；若n?3k，則必有，從而n.所證明 設(shè)k??以k??，即n收斂.8．求下列極限：

（1）k??24解 因為

?11?333?5lim13?2n?12nlima3k?2?lima3k?1?lima3k?aliman?a{a}

?2n?12n0?135246

2n?32n?1(2n?1)(2n?1)?055?7?(2n?3)(2n?1)lim1324??2n?12n?12n?1

lim12n?113而k???0，所以

?2n?12n?k??

Sn?1324?2n?12n24352n2n?1，設(shè)另解 因為24，Tn?2435?2n2n?1，則Sn?Tn.于是?SnSn?Tn?Sn?12n?1，所以

Sn?12n?1.（2）答案見教材P.312提示.（3）k??解 lim[(n?1)??n],0???1??

?0?(n?1)?n?n[(1??1n)?1]?n[(1??1n)?1]

?n?n?1n1???0,(n??)

所以，lim[(n?1)k????n]?0?

??1另解 因為??1?0，所以(n?1)(n?1)??n??1，于是

?n??1(n?1)?n????n??1，?0,(n??).從而0?(n?1)?n?n（4）答案見教材P.312提示.??19．設(shè)limnn??a1,a2,?amnn為 m 個正數(shù)，證明：

na1?a2???an?max{a1,a2,?am}max{a1,a2,?am}?nnn

nn證明 因為 而n??limna1?a2???an?nnmax{a1,a2,?am}

n?1，所以n??limna1?a2???an?max{a1,a2,?am}nn

10．設(shè)n??（1）limn??liman?a，證明： ；（2）若

a?0,an?0[nan]n?a，則

limnn??an?1.n?annan?1證明

（1）因為limnan?1nn??[nan]?nan?[nan]?1，所以

n?[nan].由于

1??[nan]?lim?an???alim?alima?an??nn??n??n??n，且，從而.（2）因為 n??a2?an?nliman?a?0n，由P.29 定理2.4，存在N?0，使得當n?N時，有?n32aa2.于是.an?n32alimna2，并且

n???limn32n??a?1，所以limn??an?1

P.38習題

1??lim?1??n??n??1．利用

n?e求下列極限：

n1??lim?1??n??n??n?n?1??lim??n??n???lim11???1??n?1??n?1n???1???1??n?1??1e（1）1??lim?1??n??n??（2）n?11??1???lim?1???1???en??n??n??

nn1??lim?1??n??n?1??（3）1??lim?1??n??2n??（4）n1??1???n?1???limn??1???1??n?1??2n?12n?1?e

1??lim?1??n??2n??2n1???lim?1??n??2n????e，且an?0,n?1,2,?，則注：此題的求解用到事實（P.29例1）：若n??limn??liman?aan?a.n1??lim?1?2?n??n? ?（5）

n?1???????1???n?????單調(diào)增加，且有上界 3，于是 解 因為數(shù)列?1??1??1?2??n??nnn1??1??2?n??n2?n3?1,(n??)，所以

1??lim?1?2??1n??n??

2．試問下面的解題方法是否正確：求n??解 不正確.因為極限n??lim2n??nlim2n

lim2nlim2n是否存在還不知道（事實上極限n??不存在），所以設(shè)是錯誤的.3．證明下列數(shù)列極限存在并求其值：（1）設(shè)a1?2,an?1?{an}?a2an,n?1,2,?

{an}證明

先證數(shù)列a1?的有界性，用數(shù)學(xué)歸納法證明：2是

2an?2?2?2{a}的一個上界.2?2，假設(shè)an?2，則an?1?其次證明即a{an}{an}an?1?an?單調(diào)增加.{an}，所以n有上界2.a(2?an)2an?an?n?0a?an2an?an，所以n?1，在an?1?2an2單調(diào)增加.從而極限存在，設(shè)

liman?an??的兩端取極限，得2lima?2?2a，解之得 a = 0(舍去)和 2，所以n??n.an?1注：{an}的單調(diào)增加也可以如下證明：

an?2anan?2an?22?1，所以

an?1?an.1還可以如下得到：an?2（2）設(shè)a1?2?14???12n1?22?14???12n?21n?1?an?1

c(c?0),an?1?c?an,n?1,2,?

證明 先證數(shù)列{an}的有界性，用數(shù)學(xué)歸納法證明：{an}的一個上界是 1 + c.a1?c?1?c，假設(shè)an?1?c，則an?1?c?an?2c?1?c?2c?1?1?c2，所以{an}有上界1 + c.其次證明{an}單調(diào)增加（用數(shù)學(xué)歸納法證明）.a1?an?1?anc?c?c?a2，假設(shè)

c?an?1?，于是c?an?1?c?an，從而{an}1?c?an，即an?an?1.故{an}單調(diào)

2增加.所以極限存在，設(shè)1?4c2nliman?an??，在an?1?c?an2的兩端取極限，得a?c?a，liman?2解之得 a?.由于an > 0，所以 a > 0.故 n??(c?0),n?1,2,?.（3）an?cn!

證明 先證an?1?cn?1{an}從某一項以后單調(diào)減少.取自然數(shù) N 使得 N > c，于是當n?N時，cn(n?1)!{an}cn?1?cn?1n!?cn?1an?cN?1an?an，即從第N項開始

{an}{an}單調(diào)減少.liman?a由于在an?1?的各項都大于零，所以an{an}有下界0.從而極限存在.設(shè)n??.，的兩端取極限，得a?0?a，故a?0，即n??liman?0nn??1??1????????????1?????1?n??n?1?????為遞增數(shù)列的結(jié)論，證明????為遞增數(shù)列.4．利用?1???n?2?an??1?????n?1n?1????，要證：an?1?an,n?2,3,?，即 證明 設(shè)nnn?1?1?????11????1??????1????1??n????n?n?1?，?為遞增數(shù)列，所以有??因為?nn?n?1??n?2???????n?1?即?n?an?1?n?1????n??n?1nn?1，于是

n?1?n?2????n?1??n?n?2?n?2?n?2??????????ann?1?n?1?n?1n?1?n?1?.nnn其中用到事實：n?1n?1?n?2?n?n(n?2)(n?1)2?1.收斂： 5．應(yīng)用柯西收斂準則，證明以下數(shù)列

{an}22（1）證明 不妨設(shè)n?m，則有 an?sin1?sin22???sinn2n

sinn212m?1n|an?am|???sin(m?1)2?m?1?sin(m?2)2m?2????

?12m?2sin(m?1)21m?1sin(m?2)2m?2???sinn2n???12n

11?1?111??1?????1???????????m?1n?m?1m?1n?m?1n?m2222222????

111?m?1?2?m?m 221N??，?n,m?N，有|an?am|??，由柯西收斂準則，{an}收斂.所以，???0，取23（2）證明 不妨設(shè)n?m，則有 an?1?12?12???1n2

1n1(n?1)n2|an?am|??1m(m?1)1(m?1)?2?11(m?2)2???

1n?1m?1n?1m(m?1)(m?2)????1m?1m?1?1m?1?1m?21???1n?1?所以，???0，取收斂.N??，?n,m?N，有|an?am|??，由柯西收斂準則，{an}6．證明：若單調(diào)數(shù)列證明 不妨設(shè){an}{an}含有一個收斂子列，則

{ank}{an}收斂.{ank}是單調(diào)增加數(shù)列，是其收斂子列.于是有界，即存在M?0，使得ank?M,k?1,2,?.對單調(diào)增加數(shù)列{an}中的任一項am必有

單調(diào)增加有上界，從而收斂.anlim?l?1liman?0n??an?0an?17．證明：若，且，則n??

ananlim?l?1lim?l?r?1n??an??an?1n?1證明 因為，所以存在 r 使得.于是由數(shù)列極限

an?ra?ran?1a的保號性定理（P.29），存在N?0，當n?N時，n?1，n.從而有aN?1?ran??N?2am?amk?M，即{an}?raN?3???r2n?N?1an，因此，0?an?aN?1rn?N?1?0,(n??)，故

liman?0.8．證明：若{an}為遞增有界數(shù)列，則n??liman?sup{an}；若{an}為遞減有界數(shù)列，則n??.又問逆命題成立否？

證明 證明過程參考教材P.35，定理2.9（單調(diào)有界定理）.?1?1an??1??n?逆命題不一定成立.例如數(shù)列

n為奇數(shù)n為偶數(shù)n??，liman?inf{an}liman?sup{an}?1，但{an}不單調(diào).9．利用不等式 bn?1?an?1?(n?1)an(b?a),b?a?0，證明：

??n?1????1?1??????1?1?n????n??????為遞減數(shù)列，并由此推出????n?????為有界數(shù)列.n?1a?1?證明 設(shè)n??1??n??，由不等式 bn?1?an?1?(n?1)an(b?a)，有

bn?1?an?1?nanb?nan?1?anb?an?1，于是bn?1?nanb?nan?1?anb，bn?nan?an?nan?1b.a?1?1?1n在上式中令

n?nn,b?1?1n?1?n?1，b?a，得

nnan????1?1?1n????n???1??n?1??

nnn?n??n?1?n???n?1??n??1?n?1??n???n???n?1??n??n??n??

?n?1?nnn?1???1?n?1???n???n?1?n???a?n???n??n

??n?1???1?1???即an?1?an，故???n?????為遞減數(shù)列.?nn?11?1?1????1????1?1??????1?1?n???而?n??1??n???1??4?，所以???n????為有界數(shù)列.e?(1?1n)n?310．證明：

n

????1?n?1?證 由上題知??1???n??????為遞減數(shù)列，于是對任何m?n有，?1?n?1m?1?1????n???1?1??n??，令m??，取極限得，?n?1?1?1?n??e?? ?n?1nnn?1?1??1?1?1又因為?n??n??1?????1????1?3??1???n?n?1??n?n?? ①②

1??e??1??n??由①、②得

n?11?????1??n?n?，從而

1n)n3ne?(1??e?(1?1n)?n3n

a2?a1?b1211．給定兩正數(shù) a1 與 b1(a1 > b1)，作出其等差中項b2?a1b1，一般地令an?1?an?bn2與等比中項，bn?1?anbn,n?1,2,?

limanlimbn證明：n??與n??皆存在且相等.證明 因為a1?b1，所以有可得{bn}單調(diào)增加.于是有下界，在{bn}an?1?an?bn2an?bn2??an?an2?an，即{an}單調(diào)減少.同樣，即{an}單調(diào)減少有

a1?an?1?anbn?bn?1?b1單調(diào)增加有上界，故

limann??與n??limbn皆存在.2an?1?an?bnliman?limbnn??的兩端取極限，可得n??

an?sup{an,an?1,?}12．設(shè){an}為有界數(shù)列，記，an?inf{an,an?1,?}

證明：⑴ 對任何正整數(shù)n，⑵ {an}an?an；

為遞減有界數(shù)列，{an}{an}{an}a?am為遞增有界數(shù)列，且對任何正整數(shù)n，m有n；

⑶ 設(shè)a和a分別是⑷ {an}和的極限，則a?a；

收斂的充要條件是a?a

an?sup{an,an?1,?}?an?inf{an,an?1,?}?an證 ⑴ 對任何正整數(shù)n，⑵ 因為n為遞減有界數(shù)列.由

a?sup{an,an?1,?}?sup{an?1,an?2,?}?an?1{a}，n?1,2,?，所以nan?inf{an,an?1,?}?inf{an?1,an?2,?}?an?1，知

{an}為遞增有界數(shù)列.對任何正整數(shù)n，m，因為an?an?m?an?m?am{an}為遞減有界數(shù)列，{an}為遞增有界數(shù)列，所以有

.a?liman?ama?ama?amn??⑶ 因為對任何正整數(shù)n，m有n，令n??得，即，a?limam?am??m??令得，故a?a.⑷ 設(shè){an}liman?a|a?a|??收斂，n??.則???0，?N?0，?n?N，n，a???an?a??.于是有

a???an?a??，從而

a?liman?an??.同理可得a?liman?an??，所以a?a

liman?a?aliman?aa?an??反之，設(shè).由，n??，得???0，?N?0，?n?N，有a???an?a??及

a???an?a??，從而

a???an?an?an?a??

P.40 總練習題

1．求下列數(shù)列的極限：（1）n??limnn?33n

3n解 當n?3時，有n?3，于是

3?limn??n3?3nnn?3?n3nn2?3?3?n2?3,n(n??)，所以

nn?3?3

（2）n??e

解 設(shè)e?1?h，則當n?6時，e?(1?h)?1?nh?nnlimn5nn(n?1)2!5h???h?2nn(n?1)?(n?5)6!h6

0?ne5n，limne5n于是?6!?nn(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)(n?5)h6?0,(n??)，所以

n5nn???0

解法2 用P.39習題7的結(jié)論.設(shè)而limne5nn??an?limanan?1e，n???limne5nen?15n??(n?1)?e?1，從?liman?0n??.limne5nn???lim(n??n(e15解法3 用P.27習題2⑸的結(jié)果)n)?05 an?1?1e(1?1n)5解法4

用單調(diào)有界定理.令lim(1?n??an?ne5n，則an(1?1n)?e5.因為1n)?1?e5，所以存在N?0，當n?N時，從而當n?N時，an?1an?1e(1?1n)?15{a}{a}.于是從n?N起數(shù)列n遞減，且有下界0，因此n收斂.設(shè)

1e(1?1n)?an5liman?an??，在等式an?1?a?1e?a的兩端取極限，得，所以a?0.（3）n??解 n??lim(n?2?2n?1?n)

n??lim(n?2?2n?1???lim?n???1n?2?nn)?lim[(n?2???1n?1????0n?

n?1)?(n?n?1)]

n?12．證明：（1）limnqn??2?0(|q|?1)

證明 當q?0時，結(jié)論成立.1當0?|q|?1時，有|q|二項式定理，當n?3時有0?nq2n?11，令|q|n?1?h,h?0qn?1(1?h)n，于是有

3!h3，而由牛頓

(1?h)?n(n?1)(n?2)2，從而

?n2n(1?h)?n3!n(n?1)(n?2)?0h3(n??)，所以

limnqn??2n?0

limnqn??2n?lim(n??n(1|q|)n)(sgnq)2n?0另解 用P.27習題2⑸的結(jié)果limlgnn?

（2）n???0,(??1)

證明 因為lgx?x,x?0，于是 0?lgnn??2lgn?n?2nn??n2??12?0,(n??)limlgnn?，所以

n???0.lim1n!（3）n??n?0

n?n?n!????3?.證明 先證明不等式：

?n?n!????3?成立，當 n + 1 時 用數(shù)學(xué)歸納法證明，當n?1時，顯然不等式成立；假設(shè)

n?n??n?1??n?(n?1)!?(n?1)?n!?(n?1)????(n?1)?????33n?1??????nnn

?n?1?????3?n?131???1??n??n?n?1?????3?n?1 1n?n?n!???0??3?成立.由此可得故不等式

n另解 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：n!?nn!?3n?0,(n??)lim1n!，所以

n??n?0

n

3．設(shè)n??limliman?a，證明：

n?aa1?a2???an（1）n??（又問由此等式能否反過來推出n??，于是有???0,?N1?0,?n?N1，liman?a證明 因為n?N1時，有 liman?an??|an?a|?）?2.從而當a1?a2???ann?a?a1?a2???an?nan

??|a1?a|?|a2?a|???|aN1?a|nAn?n?N1?A????n2n2?|aN1?1?a|?|aN1?2?a|???|an?a|n

其中A?|a1?a|?|a2?a|???|aN1?a|A?limAn是一個定數(shù).再由

n???0，知存在?2.因此取N?max{N1,N2}，當n?N時，有 N2?0，使得當n?N2時，na1?a2???ann?a?An??2??2??2??.lima1?a2???ann???n??反過來不一定成立.例如練習：設(shè)liman???n??an?(?1)limn?0不收斂，但

nn.a1?a2???an，證明：

n??

(2)若，則

證明 先證算術(shù)平均值—幾何平均值—調(diào)和平均值不等式：

n??an?0(n?1,2,?)lima1a2?an?an1a1?1a2???1an?na1a2?an?a1?a2???ann

n算術(shù)平均值—幾何平均值不等式：

1a1a2?an?a1?a22a1?a2???ann

對任何非負實數(shù)a1，a2有

1(a1a2)2?，其中等號當且僅當a1?a2時成立.由

111此推出，對4個非負實數(shù)a1，a2，a3，a4有

1(a1a2a3a4)4?[(a1a2)2(a3a4)2]2?(a1?a22?a3?a42)2

a1?a2?2?2a3?a42?a1?a2?a3?a4n按此方法繼續(xù)下去，可推出不等式

a1a2?an?

a1?a2???ann4對一切n?2（kk?0,1,2,?）都成立，為證其對一切正整數(shù)n都成立，下面采用所謂的反向歸納法，即證明：若不等式對某個n(?2)成立，則它對n?1也成立.設(shè)非負實數(shù)1a1,a2,?,an?1，令

an?11n?1(a1?a2???an?1)，則有

n?1)(a1a2?an?1)n?(a1?a2???an?1n?1)n?1n(a1?a2???an?1?a1?a2???an?1

1整理后得對一切正整數(shù)n都成立.(a1a2?an?1)n?1?1n?1(a1?a2???an?1)，即不等式對n?1成立，從而

n1幾何平均值—調(diào)和平均值不等式a1yi?1?1a2???1an?na1a2?an的證明，可令xi，再對yi（i?1,2,?,n）應(yīng)用平均值不等式.lim1?1liman?a?0n??aa.由上一小題的n由an?0(n?1,2,?)，知n??.若a?0，則結(jié)論，有

a?a2???ann?na1a2?an?1?a,(n??)111n????a1a2an

limn1a1?1a2???1ann???lim11a1?1a2???n1ann???11a?a而limnn??，所以

a1a2?an?a.liman?0a??a?0若，即n??，則???0,?N1?0,?n?N1，n.從而當n?N1時，有

na1a2?an?nna1a2?aN1?aN1?1?an?n?N1nna1a2?aN1??nnn?N1

?a1a2?aN1????N1na1a2?aN1??N1???nA??，于是存在N2?0，使得當其中A?a1a2?aN1?，是定數(shù)，故

limn??A?1?2n?N2時，nA?2.因此取N?max{N1,N2}，當n?N時，有，故4．應(yīng)用上題的結(jié)論證明下列各題：

1111?????23n?0limn（1）n??

n??na1a2?an?nA???2?limna1a2?an?0

證明 令（2）limn??an?n1n，則n??liman?lim1n1??012?13n???1n?0n??，所以n??lim.a?1(a?0)

liman?1an?1,n?2,3,?a?a1證明 令，則n??，從而

limnn??a?limnn??a1a2?an?liman?1n??（3）limnn??n?1

an?nn?1,n?2,3,?證明 令a1?1，limnn??liman?1，則n??，于是

n?limnn??1?234n??????limna1a2?an?liman?1n??123n?1n??.lim1n!（4）n??n?0

1n,n?1,2,?證明 令n??nan?liman?0，則n??，所以

lim1n!lim?limnn!n11?2?3???nn???limnn??1?12???1n?lim1nn???0

（5）n??n?e

n?1?n?an???n?1??證明 令limnn!?limn1????1??n?1??2nn?1,n?2,3,?34liman?e，則n??，所以

n?1nnn??nn??n!?limn???3??4??5??n?2?????????????2??3??4??n?1??n??lim??n??n?1??n?1?e

另證 令limnn!n??nan??limnnn!n,n?1,2,?limanan?1an，則

?n??1???lim?1??n??n?1???limanan?1?en?1?e.于是

n??an?lim3na2a1na3a2n?????an?1n??.lim1?2?3???nn（6）n???1

lim1?2?3證明 因為n??limbn?1bnn??limnn?1?a3???nnn，所以

n???limnn??n?1

(bn?0)（7）若，則

nlimnn??bn?a

證明 n??limnbn?limbn?1bnn??bn?1bn?1b2b3b2b3?????nb1?limn?????limnb1n??b1b2bnb1b2bnn??

?limn???1?a

limann（8）若n??證明 設(shè)limann??lim(an?an?1)?da0?1，則

n???d

(a?a0)?(a2?a1)???(an?an?1)??a?lim?0?1?n??nn?n? ?lima0nn???lim(a1?a0)?(a2?a1)???(an?an?1)n{bn}n???0?lim(an?an?1)?dn??

5．證明：若都存在且相等.{an}為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且

lim(an?bn)?0n??milanlimbn，則n??與n??證明

因為

?M?an?bn?Mlim(an?bn)?0n??，所以{an?bn}有界，于是存在M?0，使得.從而有an?M?bn?M?b1，bn?an?M?a1?M，因此{an}{bn}為遞增有上界數(shù)列，n??n??n??為遞減有下界數(shù)列，故

limann??與

limbnn??都存在.又因為liman?limbn?lim(an?bn)?0liman?limbnn??，所以 n??.6．設(shè)數(shù)列{an}滿足：存在正數(shù)M，對一切 n 有

An?|a2?a1|?|a3?a2|?|an?an?1|?M

證明：數(shù)列{an}與{An}都收斂.證明 數(shù)列{An}單調(diào)增加有界，故收斂.由柯西收斂準則，???0,?N?0，當m?n?N時，|Am?An|??.于是

|am?an|?|am?am?1|?|am?1?am?2|???|an?1?an|?Am?An??

所以由柯西收斂準則，知數(shù)列

{an}收斂.1???1?????a?a?a?0,??0,a1??a??n?1n?2?an?2a???, n?1,2,?，7．設(shè)，證明：數(shù)列{an}收斂，且其極限為?

1????an????2?an??an?an?1??an??，故數(shù)列證明

因為an?1an{an}有下界

?.1???1?????1?2???1???12???an?a?an{a}{a}??2?，于是n?1，即數(shù)列n單調(diào)減少，從而數(shù)列n收斂.設(shè)n??liman?Aan?1?，由

1????an??2?2?an?，得2anan?1?an??，兩端取極限得，?222A?A??，解得A??，所以n??an?2a1b12liman??an?1?bn?18．設(shè)a1?b1?0，記{an}bn?.2an?1?bn?1an?1?bn?1，.2，n?2,3,?.證明：數(shù)列與{bn}的極限都存在且等于bn?2an?1?bn?1an?1?bn?1?an?1?bn?1an?1?bn?1?(an?1?bn?1)?2an?1?bn?1an?1?bn?12證 因為 ?an?1?bn?1?

?an2an?1?bn?1an?1?bn?1?an?1?bn?1?bn數(shù)列{an}是遞減的：

an?1?an?bn2?，所以an?an2bn?an?1?bn?12，n?2,3,?

?an，n?1,2,? an?{an}數(shù)列有下界：{bn}{bn}an?1?bn?12?0liman?a{an}n?1,2,?，所以收斂，設(shè)n??.2an?1?bn?1an?1?an?1?bn?1bn?2an?1?bn?1an?1?bn?1?數(shù)列數(shù)列是遞增的：有上界：an?，n?2,3,?

bn?an?a1limbn?b{bn}n?1,2,?，所以收斂，設(shè)n??.an?1?bn?12bn?令n??在an?的兩端取極限，得a?b.2an?1?bn?1an?1?bn?1兩端分別相乘，得anbn?an?1bn?1，n?2,3,? an?1?bn?12與所以有anbn?a1b1，n?2,3,?，令n??取極限得ab?a1b1，從而a?

a1b1

第二篇：數(shù)學(xué)分析十講習題冊、課后習題答案

數(shù)學(xué)分析十講習題冊、課后習題答案

習

題

1-1

1．計算下列極限

（1）,解：原式=

==

（2）；

解：原式

（3）

解：原式

（4），解：原式

（5）

解：原式

=

（6），為正整數(shù)；

解：原式

2．設(shè)在處二階可導(dǎo)，計算.解：原式

3．設(shè)，存在，計算.解：

習

題

1-2

1.求下列極限

（1）;

解：原式，其中在與之間

（2）;

解：原式===，其中在與之間

（3）

解：原式，其中在與之間

（4）

解：原式，其中其中在與之間

2．設(shè)在處可導(dǎo)，計算.解：原式

習

題

1-3

1．求下列極限

（1）,解：原式

（2）;

解：

（3）;

解：原式

（4）;

解：原式

2.求下列極限

（1）;

解：原式

（2）;

解：原式

習

題

1-4

1．求下列極限

（1）；

解：原式

（2）求；

解：原式

（3）；

解：原式

（4）；

解：原式

此題已換3．設(shè)在處可導(dǎo)，.若在時是比高階的無窮小，試確定的值.解：因為，所以

從而

解得：

3．設(shè)在處二階可導(dǎo)，用泰勒公式求

解：原式

4.設(shè)在處可導(dǎo)，且求和.解

因為

所以,即

所以

習

題

1-5

1.計算下列極限

(1)

;

;

解：原式

(2)

解：原式

2．設(shè)，求

(1)；

解：原式

(2)，解：由于，所以

3．設(shè)，求和.解：因為，所以

且

從而有stolz定理，且

所以，4．設(shè)，其中，并且，證明：.證明：因，所以，所以，用數(shù)學(xué)歸納法易證。

又，從而單調(diào)遞減，由單調(diào)有界原理，存在，記

在兩邊令，可得

所以

習

題

1-6

1.設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且

存在.證明:

證明：

2.設(shè)在上可微，和存在.證明:.證明：記（有限），（有限），則

從而

所以

3.設(shè)在上可導(dǎo)，對任意的,，證明:.證明：因為，所以，由廣義羅必達法則得

4．設(shè)在上存在有界的導(dǎo)函數(shù)，證明:.證明：，有界，所以

習

題

2-1

（此題已換）

1.若自然數(shù)不是完全平方數(shù)，證明是無理數(shù).1.證明是無理數(shù)

證明：反證法.假若且互質(zhì)，于是由可知,是的因子，從而得即,這與假設(shè)矛盾

2.求下列數(shù)集的上、下確界.（1）

解：

（2）

解：

（3）

解：

（4）.解：

3．設(shè)，驗證.證明：由得是的一個下界.另一方面，設(shè)也是的下界，由有理數(shù)集在實數(shù)系中的稠密性，在區(qū)間中必有有理數(shù)，則且

不是的下界.按下確界定義，.4．用定義證明上（下）確界的唯一性.證明：設(shè)為數(shù)集的上確界，即.按定義，有.若也是的上確界且

.不妨設(shè)，則對

有即

矛盾.下確界的唯一性類似可證

習

題

2-2

1．用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界.證明：設(shè)是的一個下界，不是的下界，則.令，若是的下界，則?。?/p>

若不是的下界，則取.令，若是的下界，則取；

若不是的下界，則??；……，按此方式繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，且滿足：

是的下界，不是的下界.由區(qū)間套定理，且.下證：

都有，而，即是的下界.由于，從而當充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界

2.設(shè)在上無界.證明：存在,使得在的任意鄰域內(nèi)無界.證明：由條件知，在上或上無界，記使在其上無界的區(qū)間為；再二等分，記使在其上無界的區(qū)間為，……，繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，滿足在上無界.根據(jù)區(qū)間套定理，且.因為對任意的，存在，當時，有，從而可知

在上無界

3.設(shè),在上滿足，若

在上連續(xù),在上單調(diào)遞增.證明：存在,使.證明：記且二等分.若，則記若則記.類似地,對已取得的二等分,若，則記；若，則記按此方式繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，其中

根據(jù)區(qū)間套定理可知，且有

.因為在上連續(xù)，所以

注意到

可得，再由

可知，.習

題

2-3

1.證明下列數(shù)列發(fā)散.(1),證

因為，所以發(fā)散.(2),證明：因為

所以發(fā)散.2．證明:單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個收斂子列.證明：由收斂數(shù)列與子列的關(guān)系，結(jié)論顯然

不妨假設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，且存在收斂子列，由極限定義

對任意給定的，總存在正整數(shù)，當時，從而有；

由于，對任意，存在正整數(shù)，當時，取，則任意時，所以，即

3.設(shè)極限存在,證明：.證明：記由海茵定理，取，得

取，得

取，得，解得

（此題取消）4.數(shù)列收斂于的充要條件是：其偶數(shù)項子列和奇數(shù)項子列皆收斂于

（此題改為4）5.已知有界數(shù)列發(fā)散，證明:存在兩個子列和收斂

于不同的極限.證明：因為有界，由致密性定理，必有收斂的子列，設(shè).又因為不收斂，所以存在，在以外，有的無窮多項，記這無窮多項所成的子列為，顯然有界.由致密性定理，必有收斂子列，設(shè)，顯然

.習

題

2-5

1.用柯西收斂準則判定下列數(shù)列的收斂性

(1)

解：

所以，對，即為柯西列

(2)

.解：

所以，對，即為柯西列

2.滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西列?

(1)

對任意自然數(shù),都有

解：不是柯西列，如，對任意的自然數(shù)，但數(shù)列不收斂。

(2),解：

所以，對，即為柯西列

(3).證明：記，則單調(diào)遞增有上界，從而必有極限，記

對

從而

故

是柯西列

習

題

3-1

1.設(shè)定義在上的函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且和存在(有限).問在上是否有界?

是否能取得最值?

解：在閉區(qū)間上構(gòu)造輔助函數(shù)

則在上連續(xù)，從而在上有界.由于，故

在上也有界，即存在，使得

.令，則有

.條件同上，但在上卻不一定能取得極值.例如：

2.設(shè)在內(nèi)連續(xù),且.證明在內(nèi)可取得最小值.證明：因為，所以，當時，有

因為，所以，當時，有

從而當時，有

又在連續(xù)，從而一定可以取到最小值，即，使當時，且；

故時，有

所以在處取到最小值

習

題

3-2

（此題已換）1.設(shè)，,.證明:方程在和內(nèi)恰好各有一個實根.1.證明開普勒(Kepler)方程有唯一實根

證明：令，則在連續(xù)且，由零點原理，使，即方程至少有一實根

又，所以在單調(diào)遞增，所以方程有唯一實根

（此題已換）2.設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)連續(xù)且有極值點.證明:

存在使得

2.設(shè)，討論方程實根的個數(shù)

解：step1.令，則，由零點原理，在至少有一實根，又，所以在單調(diào)遞增，從而方程在內(nèi)有且僅有一實根。

step2.令，則，且，所以

當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在點取得極小值。所以，當時，方程在無解；當時，在有一解；當時，在有兩解

綜上：當時，方程有一解；當時，有兩解；當時，有三解

3.設(shè)在上連續(xù)，.證明存在使.證法1

因為在上連續(xù)，所以存在最大值和最小值，且使，從而有.由介值定理知，使.證法2

因為有界，所以存在收斂子列.而在上連續(xù)，故有

習

題10-2

1.設(shè)在上連續(xù)，為自然數(shù).證明：

（1）若，則存在使得

證明：令，則，且，從而

若，使，取即可

否則，使，由零點原理，或，使

綜上，使，即

（2）若則存在使得

解：取，方法同上

2.設(shè)在上連續(xù)，且

證明：存在使

證：由已知經(jīng)計算得

1）若或，由積分中值定理，使，從而

2）否則，a）若，同1），由積分中值定理，使

b）與異號，由中值定理，使，且

所以，有零點原理，使

3.設(shè),求證

(1)

對任意自然數(shù),方程在內(nèi)有唯一實根;

證明：時，在上有唯一實根

時，有，且，由零點存在原理，使，即在上有一實根

又，故嚴格單調(diào)遞減，所以方程在內(nèi)有唯一實根

(2)

設(shè)是的根,則.證：對，從而，有因為嚴格單調(diào)遞減，故，即嚴格單調(diào)遞增。又有界，所以收斂。

設(shè)，由于，所以，在，令，有，所以，即

4.設(shè)在上連續(xù)，不恒為常數(shù),且.證明存在，使

．

證：令，因為在上連續(xù)，不恒為常數(shù),且，所以，使，于是，由零點原理：

證明存在，使，即．

習

題4-1

1．證明函數(shù)沒有原函數(shù).證：設(shè)存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達布定理，使，矛盾，所以無原函數(shù)

2．設(shè)在上可導(dǎo)，證明：

（1）若

則存在使

證明：若，則取或均可；否則，又達布定理，存在介于與之間，使綜上存在使

（2）若

則存在使

證明：若，則取或均可；否則，由達布定理，存在介于與之間，使；

綜上存在使

習

題4-2

1．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性.（1）；

解：，則在連續(xù)，且

時，，從而

時，，從而

所以

從而在連續(xù)。

所以在連續(xù)

（2）；

解：顯然在連續(xù)，且

時，，從而；

時，，從而

所以

從而在連續(xù)。

所以在連續(xù)

2.設(shè).當分別滿足什么條件時，（1）在處連續(xù)；

解：，即，所以

（2）

在處可導(dǎo)；

解：存在，即存在，所以

（3）在處連續(xù)？

解：，由，即，所以

3．分別用兩種方法證明符號函數(shù)不存在原函數(shù).證明：法一

設(shè)存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達布定理，使，矛盾，所以無原函數(shù)

法二

由單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限定理，導(dǎo)函數(shù)不存在第一類間斷點，而有第一類間斷點，從而

無原函數(shù)

習

題5-1

.1.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo).（1）若，.證明存在使；

證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以

(2)

若，證明存在使得；

證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以

習

題5-2

1．設(shè)在上可導(dǎo)，且，其中為常數(shù).證明：存在，使.證明：由積分中值定理，使

令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而

2．設(shè)在上可導(dǎo)，且證明：存在，使

證明：由積分中值定理，使

令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而

3．設(shè)在上可導(dǎo)，且.證明：存在使

證明：由積分中值定理，使

令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而

習

題6-1

1.若在區(qū)間上是凸函數(shù)，證明對任意四點，有.其逆是否成立？

證明：因為在區(qū)間上是凸函數(shù)，由三弦不等式，且，所以成立。其逆成立

2.設(shè)均為區(qū)間上的凸函數(shù)，證明：也是上凸函數(shù)..證明：設(shè)，則對，有，且，從而，由凸函數(shù)的定義，也是上凸函數(shù)

習

題6-2

1.驗證下列函數(shù)是（嚴格）凸函數(shù).（1）

解：，（），所以是上的嚴格凸函數(shù)

（2）

解：，（），所以是上的嚴格凹函數(shù)

習

題6-3

1．證明不等式

（1）

證：設(shè)，則（），所以是上的嚴格凸函數(shù)；從而，有，即

（2）

證：設(shè)，則（），所以是上的嚴格凸函數(shù)；從而，有，可得，即，又因為，所以

習

題

9-1

1.求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域

(1)；

解：，從而當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，發(fā)散；當時，發(fā)散，所以，級數(shù)的收斂域為

(2)

.解：，所以

當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)收斂；

所以原級數(shù)的收斂域為

習

題

9-2

1.證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.證明：，從而

所以對任意的，由，得對，取，當時，對任意的成立，因此，在上一致收斂到

2.設(shè)在區(qū)間上一致收斂于,且對任意有.試問是否存在,使當時,對任意有?

解：答案不正確；例

在內(nèi)一致收斂到，且，有；但，和，使

習

題

9-3

1.利用定理9.3.1＇證明下列函數(shù)項級數(shù)不一致收斂.(1)，證：，級數(shù)的部分和，從而，在不連續(xù)，故級數(shù)不一致收斂。

(2),.證：，級數(shù)的部分和，從而，在不連續(xù)，故級數(shù)不一致收斂。

2.設(shè)試問在上是否一致收斂?是否有

解：對，但對，都，使，所以在上不一致收斂

另外，所以

3.設(shè)試問在上是否一致收斂?是否有?

其中

解：對，有，從而

但對，都，使

所以在上不一致收斂

又，所以

4.求的收斂域，并討論和函數(shù)的連續(xù)性.解：設(shè)，則，有根值判別法，當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；所以級數(shù)的收斂域為。

對，總，使，從而在上連續(xù)，且在一致收斂，從而在上連續(xù)，故在上連續(xù)，由得

在上連續(xù)

習

題

9-4

1.討論下列函數(shù)序列在指定區(qū)間上的一致收斂性.（1），；

解：對，又在處取得最大值，從而對，取，則對，有，所以在一致收斂

（2）；

（i），解：對，對，取，則對，有，所以在一致收斂

（ii）；

解：對，對，，使，所以在不一致收斂

2.討論下列函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.（1），；

解：對任意的，而收斂，由M判別法，原級數(shù)一致收斂。

（2），.解：對任意的，而收斂，由M判別法，原級數(shù)一致收斂。

3.設(shè)，.證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，并討論其和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性.解：由對任意的成立，從而

而收斂，由M判別法知在上一致收斂

（1），在上一致收斂，所以和函數(shù)在連續(xù)（定理1）

（2），在上一致收斂，所以和函數(shù)在可積（定理2）

（3）由，收斂，由M判別法知在上一致收斂，從而和函數(shù)在可微。（定理3）

習

題10-1

1．一塊金屬板平底鍋在平面上占據(jù)的區(qū)域是,已知板上點處的溫度為.鍋底上點處的螞蟻為了逃向溫度更低的地方,它的逃逸方向為（D).；

；；

.解：，而梯度方向是溫度降低最快的方向

2．一個高為的柱體儲油罐，底面是長軸為，短軸為的橢圓，現(xiàn)將儲油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質(zhì)量。（長度單位為m，質(zhì)量為kg，油的密度為常數(shù)）.解：儲油罐平放一般指長軸平行與地面，當油罐中油面高度為時，垂直地面的截面面積為（平方米）

所以

4．在一個形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面的容器內(nèi)，已經(jīng)盛有的水，現(xiàn)又倒入的水，問水面比原來升高多少.解：旋轉(zhuǎn)拋物面容器的體積是深度的函數(shù)，從而，所以題中水面升高的高度為

習

題10-3

1.設(shè)，證明：

（1）當時，；

證明：取，則，所以為上的嚴格凸函數(shù)，從而對，由定理6.2.3，恒有，即

所以

（2）當或時，．

證明：取，則，所以為上的嚴格凸函數(shù)，從而對，由定理6.2.3，恒有，即

2.設(shè)

證明:

證明：令，利用單調(diào)性可證（略）

第三篇：數(shù)學(xué)分析

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。主要考核數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內(nèi)容與要求

(一)實數(shù)集與函數(shù)

1、實數(shù)：實數(shù)的概念，實數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。

(二)數(shù)列極限

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運用?-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運用；了解數(shù)列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用?-?, ?-X語言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極

限來處理極限問題。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算(四則運算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。

（六）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限

（七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)凹凸性與拐點.要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實際問題。

（八）實數(shù)完備性定理及應(yīng)用

1、實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。

（九）不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

（十）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。

要求：重點掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）數(shù)項級數(shù)

1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項級數(shù)：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。

（十三）函數(shù)項級數(shù)

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。

（十四）冪級數(shù)

1、冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。

要求：了解冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式

（十五）付里葉級數(shù)

1、付里葉級數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２? 為周期函數(shù)的付里葉級數(shù), 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級數(shù)；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。要求：理解平面點集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會計算一些簡單的二元函數(shù)極限；了解閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（十七）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；了解泰勒公式；會求函數(shù)的極值、最值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九）重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；

7、歐拉積分：格馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計算及基本應(yīng)用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應(yīng)用；了解歐拉積分。

（二十）曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性；

6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。

三、主要參考書

《數(shù)學(xué)分析》（第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2004年?！稊?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應(yīng)用題。

第四篇：數(shù)學(xué)分析

360《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級數(shù)等內(nèi)容。

二． 考試內(nèi)容：

第一篇 函數(shù)

一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限

數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點，漸進線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級數(shù)

數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)與傅立葉級數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用。

參考書目：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第五篇：習題答案

第1章

1.什么是操作系統(tǒng)，有如何主要功能？

答：操作系統(tǒng)是計算機軟件中的系統(tǒng)軟件，主要功能是管理計算機上所有的活動以及驅(qū)動系統(tǒng)所有的硬件。

2.簡要說明操作系統(tǒng)的主要分類。

答：按照特點和用途劃分可以分為：

1、批處理操作系統(tǒng)。

2、分時操作系統(tǒng)。

3、實時操作系統(tǒng)。

4、網(wǎng)絡(luò)操作系統(tǒng)。

5、分布式操作系統(tǒng)。

3.簡要說明windows系統(tǒng)的主要版本及其特點。

答：

1、windows xp--最大優(yōu)勢是界面簡潔、操作簡便，同時對計算機硬件要求不高，資源消耗低，穩(wěn)定性好，運行流暢，反應(yīng)快，不易死機，軟件兼容性強等。

2、windows 7--不僅繼承了windowsXP的優(yōu)點，而且還擁有Aero效果，簡單快速，安全性高等。

3、windows 8--是一個具有聲控，觸摸屏和平臺統(tǒng)一等最新技術(shù)的系統(tǒng)，用戶界面更加簡潔，用戶使用起來會體會到速度和畫面上的優(yōu)越性。

4.操作系統(tǒng)主要有哪些安裝方式？

答：

1、全新安裝操作系統(tǒng)。

2、重裝系統(tǒng)。

3、升級系統(tǒng)。

5.簡要敘述全新安裝操作系統(tǒng)的一般步驟。

答：

1、安全前bios設(shè)置；

2、放入光盤并重啟計算機；

3、硬盤分區(qū)及格式化；

4、安裝操作系統(tǒng)；

5、安裝驅(qū)動程序；

6、安裝必備軟件。

第2章

1.簡要說明BIOS的用途。

答：

1、系統(tǒng)自檢及初始化。

2、程序服務(wù)。

3、設(shè)定中斷。

2.動手練習設(shè)置系統(tǒng)【First Boot Device】選項為U盤。

答：略

3.動手練習為電腦設(shè)置用戶密碼。

答：略

4.簡單說明磁盤分區(qū)的主要類型及其區(qū)別和聯(lián)系。

答：

1、主分區(qū)：主分區(qū)包含操作系統(tǒng)啟動所必須的文件和數(shù)據(jù)。

2、擴展分區(qū)：除主分區(qū)外的分區(qū)，不能直接使用，必須將它畫法成若干個邏輯分區(qū)才行。

3、邏輯分區(qū)：也就是平常在操作系統(tǒng)看到的D、E、F盤。

5.動手練習使用windows自帶分區(qū)工具對磁盤進行分區(qū)

答：略

第3章

1.簡要說明安裝操作體系的一般步驟。

答：

1、運行安裝程序；

2、硬盤分區(qū)與格式化；

3、復(fù)制操作系統(tǒng)安裝文件；

4、重新啟動計算機；

5、完成系統(tǒng)配置。

2.練習使用光盤安裝windows 7操作系統(tǒng)。

答：略

3.練習使用U盤安裝windows 7操作系統(tǒng)。

答：略

4.安裝操作系統(tǒng)后，將計算機連接到internet。

答：略

第4章

1.練習安裝windows 8操作系統(tǒng)。

答：略

2.練習安裝windows server 2008操作系統(tǒng)。

答：略

3.總結(jié)各種操作系統(tǒng)的安裝要領(lǐng)，總結(jié)安裝操作系統(tǒng)的基本步驟。

答：略

第5章

1.簡要說明多操作系統(tǒng)共存原理。

答：在啟動安裝有多操作系統(tǒng)的計算機中，一次只能運行一個操作系統(tǒng)，并且其他操作系統(tǒng)不會影響當前操作系統(tǒng)，操作系統(tǒng)之間可以相互共享資源。

2.練習在你的計算機上安裝兩個操作系統(tǒng)。

答：略

3.卸載多操作系統(tǒng)時應(yīng)該注意哪些問題？

答：

1、檢查刪除項是否正確；

2、檢查被格式化的分區(qū)是否正確；

3、如有重要文件，拷貝到其它分區(qū)后再進行格式化。

第6章

1.什么是驅(qū)動程序，有何用途？

答：驅(qū)動程序是一種可以使計算機和設(shè)備通信的特殊程序，相當于硬件的接口，操作系統(tǒng)只有通過這個接口才能控制硬件設(shè)備的工作。驅(qū)動程序常被稱為“硬件和系統(tǒng)之間的橋梁”。2.如何檢查計算機上驅(qū)動程序的完整性。

答：在設(shè)備管理器窗口選擇【操作】/【掃描檢測硬件改動】菜單命令。

3.簡要說明安裝驅(qū)動程序的一般步驟。

答：

1、檢測系統(tǒng)驅(qū)動程序完整性；

2、下載需要安裝的驅(qū)動程序；

3、安裝驅(qū)動程序。4.如何卸載驅(qū)動程序。

答：通過windows設(shè)備管理器，鼠標右鍵需要卸載的驅(qū)動，太彈出的快捷菜單中選擇【卸載】命令即可。

5.練習為新購置的打印機安裝驅(qū)動程序

答：

第7章

1.什么是虛擬機，有何用途？

答：虛擬機是指通過軟件模擬的、具有完整硬件功能的、運行在一個完全隔離環(huán)境中的完整計算機系統(tǒng)。當用戶需同時要使用兩個系統(tǒng)，而且不想讓系統(tǒng)改變物理上的數(shù)據(jù)時，可以選擇虛擬機。

2.練習在你的計算機安裝虛擬機。

答：略

3.練習在你的虛擬機中安裝操作系統(tǒng)和應(yīng)用軟件。

答：略

4.練習從個人計算機上刪除虛擬機。

答：略

第8章

1.簡要總結(jié)安裝軟件的一般步驟？

答：

1、獲取需要的軟件安裝包；

2、運行軟件安裝包程序；

3、選擇安裝位置等安裝選項；

4、完成軟件安裝。

2.安裝應(yīng)用軟件時應(yīng)該注意哪些基本問題？

答：

1、選擇安裝位置；

2、選擇安裝插件；

3、選擇同意安裝協(xié)議；

4、創(chuàng)建快捷方式。3.使用不同權(quán)限運行軟件時有什么主要區(qū)別？

答：軟件運行的權(quán)限不同。有些軟件需要需要更新或者修改等操作，則需要更高的權(quán)限；有些軟件只是單純運行程序，則不需要高級權(quán)限。

4.練習使用360安全衛(wèi)士維護計算機系統(tǒng)。

答：略

第9章

1.練習對你所使用的操作系統(tǒng)進行設(shè)置，使之符合你的使用習慣。

答：略

2.為你的系統(tǒng)新建一個賬戶，并為其設(shè)置登錄密碼。

答：略

3.練習使用家長控制功能限制家中少年學(xué)生使用計算機的時間。

答：略

4.練習使用360殺毒軟件查殺計算機中的病毒。

答：略

第10章

1.什么情況下應(yīng)該重裝操作系統(tǒng)？

答：

1、系統(tǒng)運行效率變得低下，垃圾文件充斥硬盤且散亂分布又不便于集中清理和自動清理；

2、系統(tǒng)頻繁出錯，而故障又不便于準確定位和輕易解決；

3、系統(tǒng)感染了無法清除的病毒；

4、系統(tǒng)運行及其緩慢；

5、系統(tǒng)頻繁出錯，而又不能找到錯誤原因；

6、系統(tǒng)不能正常啟動。

2.重裝操作系統(tǒng)前應(yīng)該注意哪些問題，做哪些準備工作。

答：

1、備份文件；

2、記錄一些密鑰；

3、嘗試采用覆蓋安裝；

4、嘗試采用恢復(fù)安裝；

5、克隆備份好系統(tǒng)。

6、有些軟件不需要重裝；

7、磁盤分區(qū)調(diào)節(jié)和格式化。

3.練習在適當條件下重裝你的操作系統(tǒng)。

答：略

4.對比重裝操作系統(tǒng)與全新安裝操作系統(tǒng)的區(qū)別和共同點。

答：重裝系統(tǒng)安裝前要進行一系列的準備工作；重裝系統(tǒng)可以不用調(diào)節(jié)分區(qū)；

重裝系統(tǒng)在操作系統(tǒng)安裝過程都類似。

第11章

1.簡要說明系統(tǒng)和文件備份的重要意義。

答：用戶進行誤操作或者保存重要文件，需要對文件進行備份操作；由于重裝系統(tǒng)步驟繁瑣，備份系統(tǒng)可以快速方便的進行系統(tǒng)恢復(fù)。

2.練習使用GHOST軟件備份系統(tǒng)。

答：略

3.練習使用windows 7自帶的軟件備份功能備份系統(tǒng)。

答：略

4.練習使用EasyRecovery軟件恢復(fù)被刪除的數(shù)據(jù)。

答：略

第12章

1.簡要說明系統(tǒng)故障產(chǎn)生的主要原因。

答：

1、文件丟失；

2、文件版本不匹配；

3、非法操作；

4、資源耗盡；

5、病毒問題。2.簡要說明解決系統(tǒng)故障的一般方法。

答：

1、CMOS設(shè)置問題；

2、硬件沖突問題；

3、升級軟件版本；

4、利用殺毒軟件；

5、尋找丟失文件；

6、重新安裝應(yīng)用程序。

3.嘗試解決使用計算機時遇到的系統(tǒng)故障。

答：略