第一篇：孫維剛老師數(shù)學(xué)哲學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用

孫維剛老師數(shù)學(xué)哲學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用

孫維剛老師是京城普教界的傳奇人物。他去世多年，但是他創(chuàng)造的教育奇跡，至今讓同行贊嘆不已。近幾年來，筆者一直研讀孫老師的著作，探尋他老人家創(chuàng)造教育奇跡的真啼。本文試圖通過案例分析，來展示孫老師數(shù)學(xué)哲學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用。

一、孫維剛老師最重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想。

1.廣義對稱思想：指的是“合理和和諧”。例如。輪換對稱式a3?b3?c3?3abc中的a.b.c是對稱的，并不是它們各占30%，指的是地位是平等的。2.換個角度思考問題：指的是“可以從不同角度去思考”。

看上去這些思想樸實(shí)無華，沒有什么奇妙的地方。但是，在好多難題面前威力無比。

二、案例分析 案例1（2011年江蘇高考壓軸題）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?1，前n項(xiàng)的和為Sn，已知對任意整數(shù)k?M，當(dāng)n?k時，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立．（1）設(shè)M?{1}，a2?2，求a5的值；（2）設(shè)M?{3,4}，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2011年江蘇高考卷，讓大部分考生眉開眼笑，因?yàn)榍?8題很簡單。但是尖子生怎么也笑不出來，因?yàn)閴狠S題的第（2）小問能做的人十萬分之一都不到。

根據(jù)江蘇考綱等差數(shù)列、等比數(shù)列都是c級要求，所以好多考生都知道是等差數(shù)列或等比數(shù)列，有的同學(xué)甚至通過特值猜出答案。可是怎么證都難以找到理論根據(jù)?，F(xiàn)在用孫老師的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想分析如下： 分析：從“廣義對稱思想”看，把sn轉(zhuǎn)化為an ,根據(jù)等式有三個方向:消

?sn?3?sn?3?2(sn?s3)?(1)k?3k?

4、、。、代人得

消sn，snsn?ksn?k??sn?4?sn?4?2(sn?s4?(2)（2）?（1）得an?4?an?3?2a4。消sn?k，（1）式下標(biāo)放大一個減去（2）式得（2）式下標(biāo)放大一個減去（1）式得an?2?an?3?2an?1?2a4。.消sn?k，an?5?an?4?2an?1?2a4。即

?an?7?an?2a4?(3)??an?1?an?2an?4?2a4?(4)

上式必須消去a4，才能得到關(guān)于an關(guān)系式，根?a?a?2a?2a?(5)n?14?n?5n?4 據(jù)“廣義對稱思想”分別有（3）和(4)、（3）和（5）、（4）和（5）消a4。

?an?7?an?1?2an?4?(6)?（3）+(4)、（3）（5）、（4）并化簡得：??（5）?an?7?an?an?5?an?4??2an?1?(7)。

?a?a?a?a?(8)n?1n?n?5n?4（6）、（7）、（8）看不出什么關(guān)系，但是如果我們“換個角度思考”，消去a4除了（3）、（4）、（5）兩兩相消外，還可以（3）、（4）、（5）下標(biāo)放大一個與原式相減去消。（3）、（4）、（5）下標(biāo)放大一個與原式相減并化簡得：?an?8?an?7?an?1?an?(9)?（10）式讓我們眼前一亮，?an?2?an?2(an?5?an?4)?(10)

顯然（8）式、?a?a?2(a?a)?(11)n?2n?1?n?6n?4即得：an?2?an?2(an?1?an),?an?an?2?2an?1,??an?成等差數(shù)列。由sn?3?sn?3?2(sn?s3)得：sn?6?sn?2(sn?3?s3),(n?6)a1?(n?6)(n?5)n(n?1)d?na1?d?2(n?3)?

22(n?3)(n?2)d?6a1?6d,?a1?1?代人化簡即得：d?2?an?2n?1。

其實(shí)本題從上面分析過程看，用“廣義對稱思想”和“換個角度思考問題”去分析，思路自然流淌。完全沒有高考壓軸題那種讓普通學(xué)生深不見底，高不可攀的感覺。如果普通學(xué)生掌握這些思想，也能領(lǐng)略一下高考壓軸題的奧秘。

案例2（2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試題第3題）給定整數(shù)n?2，設(shè)正實(shí)數(shù)

a?a??ak,k?1,2,?n，a1,a2,?an滿足ak?1,k?1,2,?,n記Ak?12k求證:?ak??Ak?k?1k?1nnn?1 2分析：乍看這一題目，很自然把a(bǔ)k?Ak?ak??a??Akk?1k?1nnk化成?(ak?Ak).k?1na1?a2??ak(k?1)ak?a1?a2?ak?1?再下去如何做，對大部分學(xué)

kk生都是一條絕路?？墒俏覀兓剡^頭來想一想，剛才是把Ak統(tǒng)一成ak去尋找解題思路。這里轉(zhuǎn)化只有兩個方向，一個轉(zhuǎn)化為Ak，另一個轉(zhuǎn)化為ak。Ak轉(zhuǎn)化為ak此路不通。何不“換個角度思考問題”，把左邊統(tǒng)一成Ak形式。2 ?a??Akk?1k?1nnk寫到這里，對 An?Ak?nAn??Ak??An??Ak??(An?AK)。

k?1k?1k?1k?1nnnn?1的處理，必然還要回歸到定義。a?a?ana1?a2?ak11An?Ak?12??(a1?a2??ak)(?)

nknka?a??anak?1?ak?2??an11?k?1k?2??(?)(a1?a2??ak)?0?a?1?nnknak?1?ak?2??ann?kk1111k??1?。(?)(a1?a2??ak)?(?)k?1?。nnnknknnk?An?Ak?1??nkn?1。本題之所以峰a?A?A?A?(1?)?????kKnkn2k?1k?1k?1k?1nnn?1n?1回路轉(zhuǎn)，那是“換個角度思考問題”。事實(shí)上如果掌握了這一思想，本題就不在是什么難題。

總之，孫老師的著作，博大精深。對我們師生很有指導(dǎo)意義。以上只是筆者學(xué)習(xí)孫老師著作的粗淺體會，望各位同行批評指正。

第二篇：讀孫維剛初中數(shù)學(xué)有感

讀《孫維剛初中數(shù)學(xué)》有感

———馮巖

《孫維剛初中數(shù)學(xué)》是數(shù)學(xué)教育家孫維剛老師的著作，涵蓋了現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教育大綱中所要掌握的內(nèi)容，是孫老師三輪實(shí)驗(yàn)班的數(shù)學(xué)教材。孫老師的數(shù)學(xué)教學(xué)理念可以概括成四句話：八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底。他認(rèn)為，學(xué)好數(shù)學(xué)，首重概念扎實(shí)，基礎(chǔ)知識牢固。解數(shù)學(xué)題，要在“扎實(shí)”“牢固”的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)在概念的理解，引申，概念外圍的規(guī)律方法，以及解題思考規(guī)律方面的功夫。而在本書中，他更旗幟鮮明的亮出自己的觀點(diǎn)：要學(xué)好數(shù)學(xué)，還要學(xué)會“聰明的做題”，這一論點(diǎn)給我留下了深刻地印象。

孫老師認(rèn)為：提不求多，但求精彩，要求“知人善用”。很多老師和同學(xué)做了大量的聯(lián)系，但實(shí)際上無論從知識或是從思維能力哪個方面來說，收獲都很少，明顯的與付出不成正比。造成這種情況的主要原因在于：其一，是否從思想上明確了如上所述的做題目的目的；其二，是否在用科學(xué)的態(tài)度和方法去做題。所謂科學(xué)的態(tài)度和方法主要包括一下幾個方面：

1.題不求多，但求精彩。對于題目的選擇可以遵循下述幾個原則：（1）題目本身無錯誤；（2）不要選只是對概念，定理，方法進(jìn)行復(fù)述的題目（這一點(diǎn)對于我校學(xué)生尤為重要），這種題目，對于理解知識，培養(yǎng)能力幾乎毫無作用；（3）題目從解法上看，應(yīng)是充滿活力，不要死氣沉沉，只是繁瑣的堆砌公式或冗長無味；（4）同一類型的題目，解透一兩個有代表性的即可，不必大量重復(fù)；（5）不問津那些對于概念無理解價值，在思考方法上遠(yuǎn)離一般規(guī)律的偏題，怪題

2、講究做題的方法——

一題多解（達(dá)到熟悉）、多解歸一（尋求共性）、多題歸一（尋求規(guī)律）。這三種方法與其說是是研究問題的三種手段，不如說是深入理解解題思想的三個層次。在本書中孫老師用了幾個淺顯的例子來說明自己如何通過這三個層次的引導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握知識熟練技巧，進(jìn)而思考規(guī)律的。而孫老師教學(xué)成功的所在，我認(rèn)為也恰恰在于他對學(xué)生做題方法指導(dǎo)上。

我從一些資料中了解到，孫維剛訓(xùn)練學(xué)生，一要“敢”提問題；二要“會”提問題；三是在發(fā)現(xiàn)問題后，找出此知識與彼知識間的相互聯(lián)系。別人要花一個月，他們僅用三個半天便講完了高中數(shù)學(xué)的118個公式。初中三年便提前學(xué)完了高中的全部數(shù)學(xué)課程，而且還增加了許多課本上沒有的內(nèi)容和部分大學(xué)的數(shù)學(xué)課程。初二上到一半，便可以優(yōu)異的成績答完前一年的高考數(shù)學(xué)試卷。

而孫維剛學(xué)生的成績，總是和“付出”之間有一道“不等式”：課前不用預(yù)習(xí)，課上沒有筆記，課后沒有作業(yè)。孫維剛到底靠什么呢？

他說：“我給學(xué)生出一道題，自己要先做10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學(xué)生思維的?！?/p>

在孫維剛的書櫥里，有一摞大硬皮本。數(shù)數(shù)共有二十二個（但這只是其中一部分）。上面畫著三角、圓錐等各種幾何圖形，旁邊則是密密麻麻的解題筆記。

他為學(xué)生開創(chuàng)了解題的“三級跳”：一題多解（達(dá)到熟悉）、多解歸一（尋求共性）、多題歸一（尋求規(guī)律）；又是他為學(xué)生歸納了4個大規(guī)律，15個中規(guī)律，30多個小規(guī)律，使他們從初一到高三，從代數(shù)到幾何，再沒有不會做的題目了。

所以，要想引導(dǎo)學(xué)生理性思維，首先教師要有很大的內(nèi)存和相當(dāng)?shù)姆e累，并且用心總結(jié)剖析，才有可能做到這種深入淺出和行云流水的境界。

3、在可見的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)，知道自己還缺什么，知道自己已擁有什么。達(dá)到知己知彼。魏書生認(rèn)為，教學(xué)中首先應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生解決“學(xué)什么”的問題。為此，他與學(xué)生多次討論、商量，畫出了語文學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)圖，整理成了支干、小杈、葉子的系統(tǒng)，即所謂“語文知識樹”，或叫“知識地圖”。這樣做就能使學(xué)生“當(dāng)思維的車在知識的原野上奔馳時．有了這張‘地圖’，目標(biāo)才能明確，少走冤枉路”。

孫維剛則把站在系統(tǒng)的高度教學(xué)知識分成了三層意思：

一、每個數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識的傳輸，都是在見樹木更見森林、見森林才見樹木的狀況下進(jìn)行的；

二、在教學(xué)過程中，對任何細(xì)節(jié)都鼓勵學(xué)生追根溯源，凡事都去問為什么，尋找它與其它事物之間的聯(lián)系；

三、在系統(tǒng)中進(jìn)行教學(xué)。孫維剛認(rèn)為這種做法所起到的作用是：“使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間盤根錯節(jié)，又渾然一體，而到后來，知識好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘?！?/p>

第三篇：解讀孫維剛初中數(shù)學(xué)教學(xué)秘方!

觀《孫維剛老師初中數(shù)學(xué)教學(xué)視頻》小結(jié)

本小結(jié)的順利完成,首先要感謝研究孫維剛老師的存世資料的教育工作們,一周研究，讓我頗有啟迪, 受益匪淺。在這里'我要誠摯地向?qū)O維剛老師表達(dá)衷心的謝意,在百忙的時間中抽出時間來觀看研究，頓時讓我對數(shù)學(xué)教學(xué)從困惑到茅塞頓開！

現(xiàn)在來談?wù)勎业南敕ǎ?/p>

數(shù)學(xué)“多解歸一”的本質(zhì)：

那么在孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)法中,教師高于學(xué)生的部分具體體現(xiàn)在什么方面呢?我

想主要還是在于結(jié)構(gòu)上,說得更通俗一點(diǎn)就在于“多解歸一”的那個“一”上,這里的“一”

其實(shí)大有文章。

在三角形內(nèi)角和定理的課堂上,孫維剛老師和學(xué)生一起討論出了六種不同的證法,這

六種證明方法看似很多,但仔細(xì)分析會發(fā)現(xiàn)其實(shí)它們是一個統(tǒng)一的整體,由其中的任一種

證法容易想出其余的各種證法,只要思想方法正確,所用的手段可以任意選擇。這可以歸

結(jié)到“多解歸一,尋求本質(zhì)”的第三點(diǎn)上:幾種解法融會貫通,由特殊到一般,統(tǒng)一在了

一個最本質(zhì)最簡捷透徹的方法上。這里“六解歸一”的“一”如果要升華,便是指哲理上 的對稱思想了。

在三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理證明的八種證法中也是有“一”可循的。這八種證法咋

看雜亂無章,但若仔細(xì)分析思考,容易尋求出不同解法之間的共同木質(zhì)。其一,在思想方

法上,某些證法是共同的。例如,證法

一、證法

二、證法

五、證法

六、證法

七、證法八，都是“等比代換”的思想;證法三和證法四,都是“等量代換”的思考;證法六和證法七，都是利用面積法;證法四和證法六,都是改造或制造了相似三角形。其二,在具體步驟上，某些證法也是共同的。例如,證法六和證法七,是兩種不同的面積證明方法,但都離不開

“要把某個圖形的面積用兩種方法各表達(dá)一次”這一關(guān)鍵歩驟;證法和證法五,用不同 的方式去改造并制造相似三角形時,都必須保留原來相等的那一組角。甚至,在某些證明

中,有某個工具是誰都不可不用的;某個步驟,是誰都無法繞開的。這里“八解歸一”所

歸的“?”,便是課堂上所總結(jié)出來的證明線段成比例問題的一般思考規(guī)律,孫維剛老師

完全是站在方法論的角度來看待問題了。

教育雙重目的：

教育具有雙重目的,既要適合滿足國家與社會的需要,又要使學(xué)生的主體個性得到充分的發(fā)展,使學(xué)生的人格和心靈得到完善。同時,課程的改革也總是要以社會需要、學(xué)科體系和學(xué)生發(fā)展為基礎(chǔ);隨著新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布,人們現(xiàn)在已經(jīng)普遍意識到了,在教學(xué)中既要重視系統(tǒng)知識的學(xué)習(xí),又要充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。而這一點(diǎn)如果用來評價維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)思想,只怕是孫維剛老師的這種意識是有過之而不及。當(dāng)時孫維剛老師的教學(xué)理念在現(xiàn)今完全適用,孫維剛老師的課堂就是現(xiàn)在新課標(biāo)所提倡的教學(xué)模板。

時代要發(fā)展,教育的改革當(dāng)然要滿足時代發(fā)展的需求,牛頓曾說他看得遠(yuǎn),只是因?yàn)樗驹诹司奕说募绨蛏?而時代發(fā)展、教育改革這些事情本來就需要高瞻遠(yuǎn)矚、立意深遠(yuǎn),如何做到這些呢?瞻前顧后,效仿前人的成功之典范,取其精華而吸收、利用,這是一條必經(jīng)的道路。其實(shí)熟諳新課程標(biāo)準(zhǔn)思想的學(xué)者,一定不難在孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)思想中發(fā)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)思想的影了;而孫維剛老師的教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)遠(yuǎn)在新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布之前,若認(rèn)為新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布也參考了孫維剛老師教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn),這種說法也不能說是全無道理,更重要的是對于研究者而言,研究的意義正在于此。

新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心思想是什么?引“還教育之本源”,孫維剛老師的教學(xué)思想也正是“還教育之木源”的初衷而展開。做教育不僅是要使學(xué)生學(xué)會獨(dú)立的思考,更重要的是讓學(xué)生學(xué)會做人,孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)思想始終不離哲理思想的指導(dǎo),那么他所教出來的學(xué)生必定是能夠站在哲理的高度去思考問題的“高人”，學(xué)生的思想境界高了,所能取得的成就也自然會高。

由于受時間、條件、自身素質(zhì)所限,對孫維剛結(jié)構(gòu)教學(xué)視頻思想的探究尚有一些不足之處。

其一,案例資源有限。

想做的研究很大程度上是想向大家展示完整的孫維剛老師對初高中六年課程的整體編排和教學(xué)設(shè)計(jì),但由于目前只觀看了初中教學(xué)視頻實(shí)錄。筆者也就不敢妄自菲薄了,只好充分利用手頭資料,做成案例的形式,供有興趣的讀者參考。

其二,沒有結(jié)合布魯納的結(jié)構(gòu)主義教學(xué)。

認(rèn)為孫維剛老師的一套教育教學(xué)理論已經(jīng)自成體系,可以作為一個獨(dú)立的研究對象而存在,所以本文所探究的是孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)思想,但從內(nèi)容上來看,沒有很好地結(jié)合布魯納的結(jié)構(gòu)主義教學(xué)來加以評價,難免顯得有些孤立。若能適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合布魯納結(jié)構(gòu)主義教學(xué)的幾個要點(diǎn),如學(xué)科基木結(jié)構(gòu)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)等方面,對孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)內(nèi)容和方式加以恰當(dāng)?shù)陌?相信能夠更好的說明孫維剛老師結(jié)構(gòu)教學(xué)思想的本質(zhì)。

其三,結(jié)構(gòu)教學(xué)思想把握不夠。

孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)思想很好,若能把握精髓必定又是數(shù)學(xué)教育界的一筆寶貴財(cái)富。雖然曾在中學(xué)參加過見習(xí)和實(shí)習(xí)教學(xué)實(shí)踐活動,但是畢竟沒有真切的一線實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),所說之話恐有“越俎代庖”之嫌,同時受思想境界所限,對孫維剛老師結(jié)構(gòu)教學(xué)思想的把握只能是淺嘗輒止,并沒有完全領(lǐng)悟透徹,還需要更多專家、學(xué)者的批評和指正。

這些不足之處,雖然筆者也在盡力彌補(bǔ),但終究力不從心;只是希望把這些不足之處擺出來之后,能夠?yàn)楹髞淼难芯空邆兲峁┙梃b和參考,筆者將不甚榮幸。

孫維剛老師在教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的成就是有目共睹的,目前國內(nèi)研究孫維剛老師的學(xué)者也很多,但相關(guān)著作研究鮮見于世,大概也是年代久遠(yuǎn)、資源不足等客觀因素所限。筆者在當(dāng)今重提孫維剛老師的教育教學(xué)思想,特別是結(jié)構(gòu)教學(xué)的思想,認(rèn)為具有相當(dāng)大的意義。雖年代已經(jīng)久遠(yuǎn),但其精神、思想永存;而作為一名研究者,文字表達(dá)的意義也正在于此。通過觀看孫維剛老師的教學(xué)視頻,也讓本人意識到,要格外珍惜一線教學(xué)資源,特別是一線教師的教學(xué)手稿,做好各方面的保存、保管工作,不能讓珍寶流逝于粗心大意之間。同時,對孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)思想,認(rèn)為還可以從以下幾個方面展開進(jìn)一步的研究、探討:

(1)孫維剛老師結(jié)構(gòu)教學(xué)思想產(chǎn)生的背景如何 ?(2)在現(xiàn)今的教學(xué)活動中,如何落實(shí)、實(shí)踐孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)方法?(3)對于不同層次的學(xué)生,孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)應(yīng)如何把握進(jìn)度?(4)在孫維剛老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)中,應(yīng)怎樣發(fā)揮學(xué)生的主體意識?(5)孫維剛老師結(jié)構(gòu)教學(xué)思想的木質(zhì)是什么?

參考文獻(xiàn)：

[I] 《孫維剛,全班55%怎樣考上北大、清華》 [2] 《 孫維剛,孫維剛初中數(shù)學(xué)》 [3] 《 孫維剛,孫維剛高中數(shù)學(xué)》

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[4] 《 孫維剛初中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》教學(xué)視頻 [5] 《 孫維剛高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》教學(xué)視頻

初中、高中數(shù)學(xué)教學(xué)視頻

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第四篇：數(shù)學(xué)模型方法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型方法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)模型方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，闡述了靈活應(yīng)用函數(shù)模型、不等式模型、幾何模型等模型的解題方法，以及數(shù)學(xué)模型方法教學(xué)的基本原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；模型方法；解題；教學(xué)

一、數(shù)學(xué)模型的概念及分類

根據(jù)波利亞對數(shù)學(xué)模型的描述，中學(xué)數(shù)學(xué)中的一切公式、定理、法則、圖象、函數(shù)以及相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)都可以作為數(shù)學(xué)模型。根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型可以分為概念型模型、方法型模型和結(jié)構(gòu)模型三大類，而根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)模型應(yīng)包括函數(shù)模型、不等式模型、復(fù)數(shù)模型、排列組合模型、概率統(tǒng)計(jì)模型以及平面幾何中的平面，解析幾何中的平面，立體圖形模型，距離模型，線性模型等。

二、數(shù)學(xué)模型方法的含義及基本步驟

1.數(shù)學(xué)模型方法的含義

數(shù)學(xué)模型方法（Mathematical Modeling Method）是利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法，簡稱MM方法。它是處理各種數(shù)學(xué)理論問題、解決各種實(shí)際問題的不可或缺的方法，無疑，數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中都應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生了解并掌握這種方法，最大可能地培養(yǎng)其構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力。這絕對不是一個輕松的過程。首先，學(xué)生必須先掌握一定的數(shù)學(xué)知識，讓他們學(xué)“雜”一些，使得建立模型解題才有了可能性。其次，要讓學(xué)生多接觸題目，多動腦。

2.數(shù)學(xué)模型方法的基本步驟

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型方法已成為一種非常重要的思想方法，它在解題中的基本步驟表示如下：

將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為比較簡單的比較常見的問題，或已經(jīng)解決了的問題，然后再通過后者的解來解決原來的問題，這便是人們在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常采用的一種方法――關(guān)系影射反映方法。模型解答題，按照上圖中的三個步驟來完成。在構(gòu)造模型時，要仔細(xì)分析問題中的條件，找出可以用來構(gòu)造模型的因素，挖掘各種因素、各個事物的聯(lián)系，最后，利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具達(dá)到最終目的。

三、應(yīng)用模型解題

1.應(yīng)用不等式模型解題

用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式。不等式是研究不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，它與等式和方程是研究相等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具的性質(zhì)是一樣的。問題的研究經(jīng)常要分析其中的不等關(guān)系，列出不等式，并用不等式求出某些數(shù)量的取值范圍。

歷年高考試題幾乎都會涉及最值問題，而這些問題的絕大多數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為不等式問題。這就要求學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟悉幾種常見的求最值問題的不等式模型，提高解題速度，從而更好地把握考試時間。

2.應(yīng)用幾何模型解題

有些實(shí)際應(yīng)用問題，可以通過分析、聯(lián)想，建立恰當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ?，將問題轉(zhuǎn)化為空間圖形的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為曲線問題來加以解決。

3.應(yīng)用概率模型解題

概率是隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性的量度，在初中數(shù)學(xué)中加大概率的內(nèi)容已成為共識?，F(xiàn)實(shí)生活中的部分現(xiàn)象極好地體現(xiàn)了概率知識的廣泛應(yīng)用，這里主要探討概率模型在一般數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用。

四、數(shù)學(xué)模型方法教學(xué)的基本原則

建立數(shù)學(xué)模型解決原型的過程確實(shí)不易。教師在數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)中就必須遵循一些原則，概括起來有以下三點(diǎn)：

1.循序漸進(jìn)教學(xué)原則

也稱為分層次教學(xué)原則。該原則的出發(fā)點(diǎn)為學(xué)生認(rèn)知水平的層次性。模型方法的教學(xué)應(yīng)該重點(diǎn)體現(xiàn)在知識的應(yīng)用期。引導(dǎo)他們掌握數(shù)學(xué)模型方法的基本步驟，要求他們會建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。反過來，模型的建立、求解又進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識。

2.引導(dǎo)啟發(fā)教學(xué)原則

該原則就是要讓學(xué)生自己領(lǐng)會模型方法，掌握不同的模型。在課堂上多創(chuàng)造一些生活的情境，多給學(xué)生動手實(shí)踐的機(jī)會。教師將目標(biāo)落實(shí)到具體的課堂教學(xué)中，與教學(xué)結(jié)構(gòu)的各環(huán)節(jié)相匹配。

3.融會貫通教學(xué)原則

解數(shù)學(xué)題目時，要嘗試用另外一種方法去檢驗(yàn)結(jié)果。模型方法的教學(xué)更是如此?；蛟S建立某種模型可以解決這個問題，但是應(yīng)用其他模型卻有可能使得問題的呈現(xiàn)更加明了。一題多模不但能夠使題目獲得最為簡明的解答方式，而且能夠讓學(xué)生從多個角度觀察事物，進(jìn)而提高學(xué)生的思維活動能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)：

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第五篇：特級教師孫維剛老師的數(shù)學(xué)最優(yōu)學(xué)習(xí)方法

特級教師孫維剛老師的數(shù)學(xué)最優(yōu)學(xué)習(xí)方法

我曾仔細(xì)讀過已故特級教師孫維剛老師的書，書里孫老師談到如何在教學(xué)中利用結(jié)構(gòu)教學(xué)法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會舉一反

三、融會貫通。孫老師的學(xué)生們學(xué)習(xí)靈活性都很強(qiáng)，也都有很強(qiáng)的自學(xué)能力。孫老師帶的班成績都好得驚人，最好的班有全班55%的同學(xué)考上清華北大，其余全是一類本科，更難得的是他從不布置課后作業(yè)，即使高三學(xué)生也能保證每天睡到8個小時以上，這簡直不可想象，但是我們敬愛的孫老師，他做到了！

在構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)的過程中，我意識到如果能巧妙利用知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué)，將使教學(xué)效率大大提高，會有效減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且學(xué)生能保持優(yōu)良的成績——這是我一直孜孜不倦夢寐以求的。因自身水平有限，還需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)，我想借這次機(jī)會好好來談?wù)勎已凶x孫老 師的結(jié)構(gòu)教學(xué)法的收獲，好好研究一下如何靈活運(yùn)用知識結(jié)構(gòu)教學(xué)法來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，與各位教師，各位家長，各位同學(xué)共同學(xué)習(xí)和探討，讓同學(xué)們達(dá)到輕松 學(xué)習(xí)，快樂學(xué)習(xí)的美好境界，使學(xué)生真正有時間進(jìn)行豐富多彩的課外活動，除了文化課的學(xué)習(xí)，還能參加更多的體育，藝術(shù)，社會活動，使學(xué)生們健康快樂地成長。

孫老師在課堂上的魅力案 例很多，在這里無法一一敘述。我想把我仔細(xì)研讀孫老師的書的收獲和感受，以及孫老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)，其中最值得學(xué)生們學(xué)習(xí)的一些經(jīng)驗(yàn)以要點(diǎn)的形式總結(jié)出來，如果有不妥之處，懇請有識之士斧正。孫老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)法主要有以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)非常值得學(xué)生們學(xué)習(xí)：

1、學(xué)會找知識的新舊聯(lián)系。

許多知識都是互相聯(lián)系的，比如高中時要學(xué)的余弦定理，你就應(yīng)該明白勾股定理就余弦定理的一個特例。找到新舊知識的聯(lián)系，那么數(shù)學(xué)就變得簡單多了。

課堂上老師常會重復(fù)以前的知識，這時候你應(yīng)努力找到新舊知識的聯(lián)系，這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就變得簡單而有趣了。就像華羅庚說的，讀書應(yīng)有個過程——先把書讀“厚”，再把書讀“薄”，也就是說要善于總結(jié)規(guī)律。

孫老師則把站在系統(tǒng)的高度教學(xué)知識分成了三層意思：

（1）每個數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識的傳輸，都是在見樹木更見森林、見森林才見樹木的狀況下進(jìn)行的；

（2）在教學(xué)過程中，對任何細(xì)節(jié)都鼓勵學(xué)生追根溯源，凡事都去問為什么，尋找它與其它事物之間的聯(lián)系；

（3）在系統(tǒng)中進(jìn)行教學(xué)。孫老師認(rèn)為這種做法所起到的作用是：“使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間既盤根錯節(jié)，又渾然一體，而到后來，知識好像在手心里，了如指掌的一張網(wǎng)，而不再是一堆雜亂無章的瓦礫和一片望而生畏的戈壁灘。”

孫老師的教學(xué)方法被稱為“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”，講究新知識和舊知識的比較與聯(lián)系。他并不擔(dān)心學(xué)生的腦子夠不夠使，因?yàn)榻處煹娜蝿?wù)就是造就學(xué)生發(fā)達(dá)的腦子。在他的課上，基本上是先出題，寫出公式，然后讓學(xué)生討論，上黑板演示，老師在一旁點(diǎn)撥，讓學(xué)生學(xué)會尋找規(guī)律。比如在教三角形內(nèi)角和定理的證明時，課本上只是延長三角形底邊并做出一邊的平行線，引導(dǎo)學(xué)生做出證明。而孫老師則把問題交給學(xué)生，上來就讓學(xué)生猜想三角形內(nèi)角和是多少，再讓學(xué)生提出自己的證明。幾種證法出來后，孫維剛再問：“那么多邊形內(nèi)角和是多少？”學(xué)生答：“(n-2)180°?！薄霸趺醋C？”學(xué)生們踴躍舉手，把幾種證法寫在黑板上，然后，由孫老師做總結(jié)，提到了證明所用的就是數(shù)學(xué)歸納法的思想。數(shù)學(xué)歸納法是高二才接觸的內(nèi)容，在初一教學(xué)中就涉及了，學(xué)生接受得了嗎？當(dāng)然，孫老師并不指望學(xué)生能一下子就理解和掌握數(shù)學(xué)歸納法，而只是抓住時機(jī)對教材結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，有關(guān)知識和方法先“閃現(xiàn)”一下，做個埋伏，做個鋪墊，以后還會“再現(xiàn)”，以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)他們的探索精神。

孫老師花費(fèi)不知多少不眠之夜，設(shè)計(jì)，編寫的“結(jié)構(gòu)教學(xué)”和配套教材，取得了極大的成功?！敖Y(jié)構(gòu)教學(xué)”使學(xué)生成了課堂的主人，課后沒有硬性的、繁瑣的家庭作業(yè)，上課超前學(xué)一步，下課更輕松。他的“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”，注重新舊知識的比較與聯(lián)系，用他的話說是“八方聯(lián)系，渾然一體；漫江碧透，魚翔淺底?！??六年的課程三年學(xué)完，學(xué)生接連在各種競賽中獲獎。在他看來，生源的差別不應(yīng)該成為影響教育成果的首要因素，只要方向?qū)︻^，方法得當(dāng)，我們的教育對象都能成為棟梁之才。

2、聽講要專心，專心的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 是精神集中，不走神嗎？ 孫老師覺得這不是一個好的回答，只把精神集中到老師的講授內(nèi)容上，很可能是跟在老師的后面亦步亦趨，學(xué)生的思維即使在活動，也只是處在被動的狀態(tài)。

孫老 師的建議是：一個命題提出來了，自己先試著去判斷它的真假；一個定理或公式寫出來了，自己先試著去證明它；一個例題寫出來了，自己先試著分析、解出它。甚 至在學(xué)習(xí)進(jìn)程中自己設(shè)想，該提出什么命題了，該定義什么概念了，讓思維跑在老師的前面。如果達(dá)不到大幅度的超前，也要設(shè)想講課的老師正在進(jìn)行的推理的這句 話的下一句會是什么。

孫老師在每屆的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求學(xué)生做到如下幾點(diǎn)：

（1）幾乎每道例題、每個定理、每個公式都是引導(dǎo)學(xué)生自己動手完成的。

（2）在課堂上要創(chuàng)造條件，造成學(xué)生總是想在老師前面、向老師(包括課本)挑戰(zhàn)的氛圍，讓學(xué)生在思維運(yùn)動中訓(xùn)練思維。讓一個個學(xué)生到前面來講，促進(jìn)了學(xué)生之間聰明才智的相互傳染。

（3）從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)，在知識上指導(dǎo)學(xué)生注意追根究底，尋找知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，在比較中學(xué)習(xí)新知識，站在哲理的高度思考問題，注重聯(lián)想。

（4）在解題中指導(dǎo)學(xué)生一題多解，多題歸一，多解歸一，歸納共性，分離個性，并總結(jié)出了一套科學(xué)有效的解題規(guī)律。

（5）提倡和指導(dǎo)學(xué)生開展問題研究，練習(xí)寫論文、寫總結(jié)。（6）不能忽視回顧總結(jié)工作，學(xué)生完成作業(yè)后，要回顧、總結(jié)、反思，只有掩卷反思才會有所發(fā)現(xiàn)和優(yōu)化。

（7）世上不存在沒有“為什么”的事物，凡事需問“所以然”。知其然，更知其所以然，凡事都要問一個為什么。鼓勵學(xué)生勇于探索大膽創(chuàng)新，各抒己見，展開爭論。

孫老師認(rèn)為：老師給學(xué)生講題，如果只把題目的解法過程一步一步講清楚，哪怕再細(xì)致明白，而講不出這些解法步驟是怎么想出來的，對提高學(xué)生的解題能力，效果是不大的，甚至起消極作用。要講清楚自己當(dāng)時的心緒和想法，在笨拙中學(xué)會反思，學(xué)會提出問題解決問題。

3、學(xué)習(xí)的四種基本能力組成了學(xué)習(xí)的基本模型。

孫老師訓(xùn)練學(xué)生，一要“敢”提問題；二要“會”提問題；三是在發(fā)現(xiàn)問題后，找出此知識與彼知識間的相互聯(lián)系。別人要花一個月，他們僅用三個半天便講完了高中數(shù)學(xué)的118個公式。初中三年便提前學(xué)完了高中的全部數(shù)學(xué)課程，而且還增加了許多課本上沒有的內(nèi)容和部分大學(xué)的數(shù)學(xué)課程。初二上到一半，便可以優(yōu)異的成績答完前一年的高考數(shù)學(xué)試卷。

而孫老師的學(xué)生的成績，總是和“付出”之間有一道“不等式”：課前不用預(yù)習(xí)，課上沒有筆記，課后沒有作業(yè)。

孫老師到底靠什么呢？

孫老師說：“我給學(xué)生出一道題，自己要先做10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學(xué)生思維的。”

在孫老師的書櫥里，有一摞大硬皮本，共有二十二個（但這只是其中一部分）。上面畫著三角、圓錐等各種幾何圖形，旁邊則是密密麻麻的解題筆記。孫老師每出一道題，自己要先做上10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學(xué)生思維的，讓學(xué)生在課堂上討論，不用預(yù)習(xí)，不留作業(yè)。學(xué)生在討論中感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，下課自己就會把找題解題當(dāng)做一種樂趣。這就是孫老師教學(xué)成功的秘訣。

孫老師為學(xué)生開創(chuàng)了解題的“三級跳”：一題多解（達(dá)到熟悉）、多解歸一（尋求共性）、多題歸一（尋求規(guī)律）；又是他為學(xué)生歸納了4個大規(guī)律，15個中規(guī)律，30多個小規(guī)律，使他們從初一到高三，從代數(shù)到幾何，再沒有不會做的題目了。

心理學(xué)研究可以證明，孫老 師的結(jié)構(gòu)教學(xué)法是有理論支持的。心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)優(yōu)生和學(xué)差生的知識組織是不一樣的。學(xué)差生頭腦中的知識是零散的和孤立的，呈現(xiàn)水平排列方式、列舉方 式，而學(xué)優(yōu)生頭腦中的知識是有組織和系統(tǒng)的，知識點(diǎn)按層次排列，并且知識點(diǎn)之間有內(nèi)在聯(lián)系，呈現(xiàn)出一個層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)?？梢娙绻R在頭腦中無條理地堆積的 話，那么知識越多，越不利于問題的解決，就像是進(jìn)入圖書館借書一樣，當(dāng)書按一定順序整齊地排列著，那么書會很容易找到；但書如果無順序、雜亂無章地堆放 著，我們就很難找到需要的書。

有些家長會說自己孩子上課聽講很認(rèn)真，也挺聰明，但就是考試不出成績，上課聽得很會，就是不會做題。這到底是什么原因呢？ 其實(shí)這就是知識零散造成的結(jié)果。結(jié)構(gòu)乃是決定事物性質(zhì)的重要因素。知識的作用，主要不是知識量的作用，而是合理結(jié)構(gòu)的作用。在知識的應(yīng)用、解決問題的過程中，并非獨(dú)立的“某個單項(xiàng)知識”，而歸根到底是整個知識結(jié)構(gòu)在起作用。

學(xué)生學(xué)習(xí)課內(nèi)外知識、獲取信息，將這些知識、信息進(jìn)行有目的的加工整理，即把個別的、零散的、無規(guī)律的知識、信息，進(jìn)行分析、歸納、篩選，按其內(nèi)在聯(lián)系，分門別類，納入相應(yīng)的“知識庫”中，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，形成網(wǎng)絡(luò)。這樣，運(yùn)用時可以準(zhǔn)確、迅捷地從“知識庫”中提取有效的知識信息解決問題，吸收新知識、信息，進(jìn)而掌握《大綱》中應(yīng)掌握的知識，形成《大綱》中應(yīng)形成的能力。對知識信息進(jìn)行加工整理，并納入相應(yīng)的“知識庫”，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，形成“知識網(wǎng)絡(luò)”，簡而言之：整理知識。這是建立合理的知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。它實(shí)際上包含這樣的兩個方面：

（1）知識門類化，即對所獲取的個別的、零散的、無規(guī)律的知識信息進(jìn)行加工、篩選、并按其內(nèi)在聯(lián)系分門別類：

（2）知識結(jié)構(gòu)化，即將門類化的知識、信息納入“知識庫”中，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，形成知識網(wǎng)絡(luò)。

合理的知識結(jié)構(gòu)可以在運(yùn)用時，快速、準(zhǔn)確的提取有效的知識?！獋€人是否真正把知識學(xué)到手了，要用“運(yùn)用”來檢查。如果學(xué)了許多知識但不能在“運(yùn)用”中表現(xiàn)出來，所貯存的知識不能根據(jù)需要成為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題的智慧和力量，那就是沒有把知識學(xué)到手。引導(dǎo)學(xué)生建立合理的知識結(jié)構(gòu)，就是為了幫助學(xué)生快速提取，充分運(yùn)用己掌握的知識，使知識發(fā)揮作用。美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，記憶保持的重要問題不是貯存而運(yùn)用時“如何把用到的知識易于提取”，“易于提取”的關(guān)鍵又在于“對知識的組織”。因此掌握知識的人要善于把所掌握的知識進(jìn)行科學(xué)安排，到需要時即能知道在何處提取。這讓人們想到圖書館的運(yùn)作情況了。

當(dāng)你走進(jìn)一座相當(dāng)規(guī)模的圖書館，藏書幾萬、幾十萬、幾百萬乃至上千萬冊，想借一本書，只要你遞上索書單，工作人員就能從數(shù)以萬計(jì)、十萬、百萬乃至上千萬計(jì)的茫茫書海中，快速、準(zhǔn)確地找到它，讓你如愿以償。為什么能這樣迅速而準(zhǔn)確地做到呢?最 根本的一點(diǎn)是：圖書館中的每本書，并非零散的，無系統(tǒng)性、規(guī)律性的，而是按某種結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分歸類，使它們從屬于各自的類目。工作人員就是以這為基礎(chǔ)，根據(jù)這些，從相應(yīng)的不同級別的書庫中、書類目中準(zhǔn)確快速地找到它的。試想如果你不提供這本書所在的類目情況；如果圖書館的數(shù)以萬計(jì)，乃至上千萬計(jì)的書沒有 進(jìn)行有目的的整理，分門別類，而是隨意堆放，毫無規(guī)律性、結(jié)構(gòu)性，那么，工作人員要找到它真的如大海撈針，千難萬難。由此可見，圖書館的運(yùn)作過程中，把圖 書按一定的標(biāo)準(zhǔn)加以分類，并根據(jù)這種分類建立相應(yīng)的各級別各類目的書庫，按照設(shè)定的各級別各類目的書庫情況，對進(jìn)入館內(nèi)的每本書進(jìn)行分類，標(biāo)明其從屬的類 目，至關(guān)重要。

建立相應(yīng)的各個級別的“知識庫”，猶如圖書館中級別不一的書庫。每個小的知識點(diǎn)和能力訓(xùn)練點(diǎn)，好比進(jìn)入館內(nèi)的經(jīng)過加工整理類目從屬清晰的每本書。建立合理的語文知識結(jié)構(gòu)，在運(yùn)用時就能準(zhǔn)確，迅捷地從眾多紛雜的記憶中提取有效的知識。孫老師的結(jié)構(gòu)教學(xué)法的經(jīng)驗(yàn)不僅僅可以用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，還可以復(fù)制到其它學(xué)科，因?yàn)楦鲗W(xué)科的思維結(jié)構(gòu)和思維原點(diǎn)是相通的，是有規(guī)律可循的。從這些思維原點(diǎn)中提煉出來一個學(xué)習(xí)的基本模型，這個模型是由四種基本學(xué)習(xí)能力組成，即：

（1）發(fā)現(xiàn)研究對象的能力；

（2）圍繞研究對象確定研究角度的能力；（3）尋找知識之間聯(lián)系規(guī)律的能力；（4）建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)制作聯(lián)系導(dǎo)圖的能力。

這四種能力的訓(xùn)練能夠在短時期內(nèi)使學(xué)生站在系統(tǒng)的高度進(jìn)行學(xué)習(xí)，造成學(xué)生總是浮想聯(lián)翩思潮如涌的思維狀態(tài)。

4、學(xué)習(xí)的六種復(fù)合能力組成了學(xué)習(xí)的復(fù)合模型。這六種復(fù)合學(xué)習(xí)能力是：（1）理解概念的能力；（2）研究概念的能力；（3）理解原理的能力；（4）研究原理的能力；

（5）審題解題的能力和研究試題的能力。

學(xué) 生掌握了這個復(fù)合學(xué)習(xí)模型，提升的是自己的智力素質(zhì)，這樣就可以很輕松自在地運(yùn)用到所有科目的學(xué)習(xí)中去，一理通，百理通。更為重要的是，它使使學(xué)生在思維 的根源上具備了面對問題、探索問題、解決問題的能力，它打開了思維的萬千視角，讓學(xué)生將這種領(lǐng)悟延伸到未來，受益終生。