第一篇：數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

論文題目：

數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

姓名：高

媛 單位：四群中學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)做為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，在日常生活和各個(gè)領(lǐng)域都有著較為廣泛地應(yīng)用。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，它貫穿于我們的整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。在教學(xué)工作中數(shù)學(xué)思想方法不僅是對課本知識(shí)簡單傳授，更要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透和培養(yǎng)，把數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)、技能綜合起來，不斷提高學(xué)生的思維能力、解題能力，從而解決生活中的實(shí)際問題。下面就幾種常用的數(shù)學(xué)思維方法及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，談一些看法和體會(huì)。

一、符號(hào)與變元思想方法

用符號(hào)化語言和在其中引進(jìn)變元，它能夠使數(shù)學(xué)研究的對象更加準(zhǔn)確、具體、形象簡明，更易于揭示對象的本質(zhì)。一套形式化的數(shù)學(xué)語言極大地簡化加速思維過程，例如：將文字化的數(shù)學(xué)題用代數(shù)式表示，就會(huì)是題又繁瑣變得一目了然；有如：平方差公式公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符號(hào)化語方來表述，當(dāng)a、b代的任意數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等代數(shù)式都成立，這樣的字母表示“變元”，初中教材中的公式、法則、運(yùn)算律等絕大多數(shù)都是用含有變元及符號(hào)組合，來表示某一般規(guī)律和規(guī)則的，這種用符號(hào)表達(dá)的過程，反映了思維的概括性和簡潔

二、數(shù)形結(jié)合思想方法

“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對幾何問題用代數(shù)方法解答，對代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。又如如用線段圖解應(yīng)用題的思想，有關(guān)解直角三角形的知識(shí)的題型，數(shù)形結(jié)合可使思維更快。

三、化歸思想方法

在于將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題。在我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)中也經(jīng)常用到化歸思想，如把有理數(shù)的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，最后轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)的運(yùn)算；把一元一次方程轉(zhuǎn)化為最簡方程；把異分母轉(zhuǎn)化為同分母；將多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；將高次方程化為低次方程；將分式方程化為整式方程；將無理方程化為有理方程；把求 負(fù)數(shù)立方根問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)立方根的問題；把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形或特殊四邊形等等。例如一元二次的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用就是化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

四、.分類討論思想方法

當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分類討論。數(shù)學(xué)分類須滿足兩點(diǎn)要求：①相稱性，即保證分類對象既不重復(fù)又不遺漏。②同一性，即每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)。（注意同一數(shù)學(xué)對象，也可有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)）在教材中有許多處體現(xiàn)分類思想方法如在概念的形成中有：有理數(shù)的概念、絕對值的概念等；在幾何證明中有：已知同園中兩條平行弦，求兩線之間的距離；圓周角定理的證明、弦切角定理的證明等；在運(yùn)算的法則中有：一元一次不等式（組）的解法、一元二次方程根的判別等，在圖形（像）的性質(zhì)中有：點(diǎn)、直線、圓之間的位置關(guān)系、函數(shù)圖像的性質(zhì)等，這些命題都要分類?？梢?，分類思想在初中數(shù)學(xué)中占有重要的地位。分類思想對培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性及提高學(xué)生分面、周密地分析問題和解決問題能力都有著重要的作用。

五、函數(shù)與方程思想方法

方程思想是指運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言，從數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，將此問題中的條件轉(zhuǎn)化為各種數(shù)學(xué)模型（可以是方程，可以式不等式，或者是方程和不等式的混合），然后運(yùn)用方程或不等式的解答方式求解。而函數(shù)思想是指構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)去處理問題，整理出函數(shù)解析式和利用函數(shù)的特點(diǎn)解決。同時(shí)，函數(shù)的研究不能離開方程，函數(shù)和方程可以使問題變得簡潔、清晰，可以化繁為簡，變難為易。例如對于函數(shù)y=f(x)(其中f(x)為x的一元一次或一元二次式)，當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蘤(x=0)，也可以把函數(shù)式f(x)看做二元方程y-f(x)=0。利用函數(shù)方法解答方程，運(yùn)用方程公式解答函數(shù)，方程與函數(shù)的思想在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。

六、整體變換思想方法

從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體變換處理，使問題簡單化。整體變換思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。例如：我們較熟悉的題，已知： 1/x+1/y=3,求：（2x-3xy+2y）/(x+xy+y)的值。析：從已知條件出發(fā)，將其變形（x+y）/xy=3為：x+y=3xy,將其整體代入則： 原式=[2(x+y)-3xy]/[(x+y)+xy]=[2×3xy-3xy]/[3xy+xy]=3/4 總之，學(xué)生不是知識(shí)的容器，而是學(xué)習(xí)的主體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，切實(shí)把握好數(shù)學(xué)思想方法，做到有計(jì)劃有步驟地滲透，使其成為由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的紐帶。在傳授知識(shí)、技能時(shí)，要充分發(fā)揮學(xué)生積極性、主動(dòng)性、創(chuàng)造性，讓學(xué)生有自主學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，引導(dǎo)他們自己動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，使學(xué)生有進(jìn)行深入細(xì)致思考的機(jī)會(huì)、自我體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。盡自己最大的努力，充分地激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，由“要我學(xué)”轉(zhuǎn)化為“我要學(xué)”、“我愛學(xué)”使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

第二篇：數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用策略主要有以下幾條：

1、滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生分析解決問題的能力

2、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維的能力

3、滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生全面觀察事物、靈活處理問題的能力

4、滲透方程思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力

5、滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

第三篇：「教學(xué)論文」數(shù)學(xué)思想方法在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

所謂數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，他在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想;是在數(shù)學(xué)教學(xué)中提出問題、解決問題過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。掌握數(shù)學(xué)思想方法，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓，因此要使學(xué)生領(lǐng)悟、掌握和熟練地使用數(shù)學(xué)思想方法，不是機(jī)械的傳授。下面我就在一次函數(shù)教學(xué)中用到哪些數(shù)學(xué)思想方法談?wù)剛€(gè)人的一些做法：

一、數(shù)形結(jié)合思想方法

“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”?！皵?shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想。利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，使抽象變得直觀。如：一次函數(shù)y=-x+5圖象不經(jīng)過哪一象限？解法一：根據(jù)圖象性質(zhì)，k＜0,b＞0過一二四，即不過三象限。解法二：若忘了一次函數(shù)圖象性質(zhì)，可做出此函數(shù)的圖象，問題就迎刃而解了。這就是利用了數(shù)形結(jié)合思想方法。

三、分類思想方法

當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分類討論，例如一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過哪幾個(gè)象限，這時(shí)就要分四類討論：

(1)當(dāng)k＞0,b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過一二三象限；

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(2)當(dāng)k＞0,b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過一三四象限；

(3)當(dāng)k＜0,b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過一二四象限；

(4)當(dāng)k＜0,b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過二三四象限。

三、整體思想方法

整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。例如：已知y+b與x+a（a,b是常數(shù)）成正比例，（1）試說明y是x的一次函數(shù)：（2）如是x=3時(shí)，y=5，x=2時(shí)，y=2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。解決這個(gè)問題（1）時(shí)，我們就要把y+b與x+a都看成一個(gè)整體，設(shè)y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，從而說明y是x的一次函數(shù)，解決問題（2）時(shí)，當(dāng)我們把握兩組數(shù)值代入解析式y(tǒng)=kx+ak-b中后得到一個(gè)三元二次方程組，顯然不能求出每個(gè)未知數(shù)的值，但我們可以把a(bǔ)k-b看作一個(gè)整體，就可以求出k=3，ak-b=4，從而求出y與x的函數(shù)的關(guān)系式是y=3x-4，在這個(gè)問題中兩次運(yùn)用到整體思想方法。

四、模型思想方法

當(dāng)一個(gè)問題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問題。如若想找出一次函數(shù)y=kx+b與x軸、y軸交點(diǎn)，可根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的特征，x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即當(dāng)y=0時(shí)，x=-b/k，即與x軸交點(diǎn)為（-b/k，0）。y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即當(dāng)x=0時(shí)，y=b，因此與y軸交點(diǎn)為（0，b）。這就用到了方程這一模型思想方法。

五、類比思想方法

當(dāng)我們要探究一次函數(shù)y=kx+b的圖象及其變化規(guī)律時(shí)，由于一次函數(shù)y=kx+b的圖象可以看作是由正比例函數(shù)y=kx的圖象平移|b|個(gè)單位長度而得到的，因而可以利用之前已經(jīng)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)y=kx的圖象及其變化規(guī)律類比得出一次函數(shù)y=kx+b的圖象及其變化規(guī)律。

六、特殊與一般思想方法

要研究正比例函數(shù)y=kx的圖象及其變化規(guī)律，先讓學(xué)生畫出正比例函數(shù)y=2x與y=-2x的圖象，比較這兩個(gè)函數(shù)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，考慮兩個(gè)函數(shù)的變化規(guī)律，再由此而得出y=kx的圖象及其變化規(guī)律。這就用到了特殊與一般思想方法。

總之，數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中是無處不在，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生掌握并運(yùn)用這些思想方法，從而更好地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

第四篇：分類數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

分類數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

113數(shù)教 黃怡嫻 68

【摘要】分類思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，它是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。分類能力的發(fā)展，反映了兒童思維發(fā)展，特別是概括能力的發(fā)展水平。小學(xué)階段，兒童以形象思維為主，認(rèn)知水平不高，其最大的特點(diǎn)是思維離不開具體事物的支撐。分類必然存在分類對象，滿足了學(xué)生的認(rèn)知需要形象支撐的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)研究對象主要是事物的數(shù)量關(guān)系和空間圖形，這種關(guān)系是要逐步脫離事物的物質(zhì)屬性。正視學(xué)生概念學(xué)習(xí)的困難，在具體情境中，借助學(xué)生已有知識(shí)背景和生活經(jīng)驗(yàn)，利用分類思想，使抽象的概念形象化，便于學(xué)生理解和掌握。分類中的逐級(jí)分類，逐級(jí)討論，可以使學(xué)生思維互補(bǔ)深入。應(yīng)用分類，可以化整為零，對每個(gè)子類的情況分別討論，各個(gè)擊破，再合零為整，可以使看似復(fù)雜的問題變得簡單。小學(xué)階段的課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念第二條明確指出：“課程內(nèi)容既要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也應(yīng)包括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)、思考與探索。課程內(nèi)容的組織要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性。分類，在一年級(jí)第一學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)完的認(rèn)識(shí)之后，就作為第一個(gè)數(shù)學(xué)思想性教學(xué)內(nèi)容，正式和學(xué)生見面，可見，分類思想方法在整個(gè)數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)性和重要性。分類思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，它是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。分類能力的發(fā)展，反映了兒童思維發(fā)展，特別是概括能力的發(fā)展水平。

【關(guān)鍵詞】：分類 思考 無痕化 深入化 簡單化

一、分類方法

1.分類及其要素

人們認(rèn)識(shí)事物往往是從區(qū)分失誤開始。要區(qū)分事物首先就要進(jìn)行比較，有比較才有鑒別。比較是確定研究對象的相同和差異的一種邏輯方法。事物之間存在的差異性和同一性是進(jìn)行比較的客觀基礎(chǔ)。同時(shí)并存著的事物之間和先后相隨的事物之間都存在著差異性和同一性。因此，比較可分為空間上的比較和時(shí)間上的比較?？臻g上的比較是在既定形態(tài)上的比較，以區(qū)分或認(rèn)識(shí)各種不同的事物；時(shí)間上的比較是在歷史形態(tài)上的比較，以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)同一事物隨時(shí)間的變化。在認(rèn)識(shí)過程中，這兩種比較是常常結(jié)合使用。事物之間既存在現(xiàn)象的同一與差異，也存在本質(zhì)上的同一與差異。

要系統(tǒng)地總結(jié)和掌握已經(jīng)識(shí)別的各種事物，就要進(jìn)一步通過比較進(jìn)行分類。分類是根據(jù)對象的相同點(diǎn)和異同點(diǎn)和將對象區(qū)分為不同種類的基本邏輯方法，分類也叫作劃分。

2.分類標(biāo)準(zhǔn)

第五篇：數(shù)學(xué)思想方法與應(yīng)用

沈括運(yùn)糧故事淺析

田小寬

（數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《夢溪筆談》中，涉及了軍隊(duì)運(yùn)糧的有關(guān)問題。他把每人背的糧食，每天的食量作為已知定值，將士兵作戰(zhàn)時(shí)不缺糧食的天數(shù)和需要的運(yùn)量人數(shù)作為未知數(shù)，通過這樣一個(gè)關(guān)系來說明軍隊(duì)作戰(zhàn)乃是國之大事

【關(guān)鍵詞】：運(yùn)糧 運(yùn)籌 軍事

【引言】凡師行，因糧于敵，最為急務(wù)。運(yùn)糧不但多費(fèi)，而勢難行遠(yuǎn)。予嘗計(jì)之，人負(fù)米六斗，卒自攜五日干糧，人餉一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日盡；若計(jì)復(fù)回，只可進(jìn)九日。二人餉一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日則一夫所負(fù)已盡，給六日糧遣回，后十八日，二人食日四或并糧）。叵計(jì)復(fù)回，止可進(jìn)十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并糧）三人餉一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，減一夫，給四日糧；十七日三人食日六升，又減一夫，給九日糧；后十八日，二人食日四升并糧。計(jì)復(fù)回止可進(jìn)十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并糧）。三人餉一卒，極矣。若興師十萬，輜重三之一，止得駐戰(zhàn)之卒七萬人，已用三十萬人運(yùn)糧，此外難復(fù)加矣。（放回運(yùn)夫須有援卒，緣運(yùn)行死亡疾病，人數(shù)稍減，且以所減之食，備援卒所費(fèi)）。運(yùn)糧之法，人負(fù)六斗，此以總數(shù)率之也。

一、軍隊(duì)運(yùn)糧問題與運(yùn)籌學(xué)聯(lián)系

軍隊(duì)運(yùn)糧需要注意許多的變量，并且在事先確定了一些量之后，可以確定另外的比較重要的量最合適的數(shù)值，比如：當(dāng)每人背的糧食和食量、前往作戰(zhàn)地所需的天數(shù)、作戰(zhàn)人數(shù)等確定之后可以得到數(shù)學(xué)模型下的理想的作戰(zhàn)的最長天數(shù)與運(yùn)糧人數(shù)之間的一個(gè)關(guān)系式，即之間的一些線性關(guān)系，進(jìn)而在作戰(zhàn)之前可以把運(yùn)糧的大致工作安排妥當(dāng)，所以說兵馬未動(dòng)糧草先行?？梢娖涫沁\(yùn)籌學(xué)所研究的問題之一。

二、結(jié)合沈括著作《夢溪筆談》中運(yùn)糧篇

先設(shè)定以下的量：士兵人數(shù)已知，x個(gè)農(nóng)夫餉一卒，其他量如同上文沈括運(yùn)糧問題內(nèi)。

在沈括《夢溪筆談》運(yùn)糧篇中，知道當(dāng)兩人餉一卒時(shí)，不計(jì)往返則是二十六天，三人餉一卒時(shí)不計(jì)往返可行三十一日，則此時(shí)足夠到達(dá)作戰(zhàn)地點(diǎn)，當(dāng)四人餉一卒時(shí)，不計(jì)往返可行三十四日，也能到達(dá)地點(diǎn)，并且此時(shí)若最后一批農(nóng)夫不回，可支撐士兵作戰(zhàn)四天。具體計(jì)算如下：

1.一人餉一卒：設(shè)可堅(jiān)持x天則有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人餉一卒：設(shè)第一個(gè)農(nóng)夫在a天后回，則有：6a+2(a-2)=60，則a=8，加上最后一農(nóng)夫所背糧食可支撐18天，則18+8=26 3.三人餉一卒：設(shè)第一個(gè)在b天后回，第二個(gè)在第一個(gè)回了c天后回，則有：8b+2(b-2)=60，則b取整為6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，則c取整得7天，加上最后一人可支撐的18天，則有：6+7+18=31天

4.四人餉一卒：設(shè)第一個(gè)農(nóng)夫在a天后回，第二個(gè)農(nóng)夫在第一個(gè)回b天后回，第三個(gè)在第二個(gè)回c天后回，則：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，則5+6+5+18=34 用相同的方法以此類推，我們可以求得五人、六人以及更多人餉一卒的行軍的時(shí)間。到此時(shí)，我們乍一眼觀察，上面的運(yùn)籌學(xué)模型沒有問題，可以把農(nóng)夫人數(shù)無限制的演算下去，但是結(jié)合各個(gè)未知量的實(shí)際意義，我們知道a是一個(gè)不能小于2的量，因?yàn)橛?a-2)的實(shí)際意義知a-2>0。而當(dāng)又當(dāng)x=14時(shí)，a=2，所以上面的運(yùn)籌學(xué)模型只適用于農(nóng)夫人數(shù)不大于14人時(shí)。若要繼續(xù)計(jì)算下去從十五人餉一卒開始，每增加一人多走一天，而當(dāng)x>29時(shí)，此時(shí)農(nóng)夫的增加和第一個(gè)農(nóng)夫支撐天數(shù)a的對應(yīng)關(guān)系又變。對于上述證明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)x=14時(shí)，a=2；當(dāng)x=30時(shí)，a=1,這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際情況是當(dāng)x=29時(shí)，a=1！所以得證。

另外，當(dāng)農(nóng)夫人數(shù)增多時(shí)，四舍五入的方法也不在適用，在上面的計(jì)算時(shí)我們得到的一些數(shù)字采用了四舍五入，其中四人餉一卒時(shí)，b=5.6，若要當(dāng)做6天計(jì)算，我們可以看到要多吃3.2升，那么農(nóng)夫要空腹三四天才能返回，但此時(shí)顯然與上面方程矛盾，因此四舍五入應(yīng)有限度。

有上述分析可知，解決這個(gè)運(yùn)糧問題沒有一個(gè)固定的運(yùn)籌學(xué)模型，或者說這個(gè)數(shù)學(xué)模型應(yīng)是分段的，而且每一段都是遵循線性規(guī)劃模型的。

而且從上面分析，我們也應(yīng)在四人餉一卒時(shí)應(yīng)減去一天，即堅(jiān)持33天。同樣在三人餉一卒時(shí)不能取整的天數(shù)也都舍掉零頭，這樣的意義是農(nóng)夫空腹返回的時(shí)間少于2天。

綜上若要行軍一月則至少需三人餉一卒，十萬士兵就需要三十萬農(nóng)夫運(yùn)糧，但古時(shí)作戰(zhàn)士兵人數(shù)大多是在三十萬以上的，著名的赤壁之戰(zhàn)曹操號(hào)稱百萬大軍，則需要三百萬農(nóng)夫。

由此可見古時(shí)兩國交戰(zhàn)是一件多么應(yīng)該慎重的事，難怪真正懂得兵法人都說：兵者，國之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孫子兵法》把它列在第一篇里的開頭。由此也可見運(yùn)籌學(xué)對于軍事的重要貢獻(xiàn)。【參考文獻(xiàn)】

[1].刁在筠 劉桂真 宿潔 馬建華

《運(yùn)籌學(xué)》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82頁

[2].張俊杰 大眾文藝出版社 北京 2009年7月第一版 第10頁 《孫子兵法與三十六計(jì)》