第一篇：函數(shù)單調性教學案例分析
“函數(shù)的單調性”案例分析 連江一中數(shù)學組 李鋒
數(shù)學概念的教學是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程的體驗，讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力將是十分有利的?，F(xiàn)以《函數(shù)的單調性》教學實例來進行分析：
一、案例
課題：函數(shù)的單調性（第一課時）
二、實施過程（注：課堂實錄已經(jīng)簡化）
1．問題引入
師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設其函數(shù)解析式：y=f(x);x?[0,24]
師： “在哪些時間段內，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）
師：在某一時間段內水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，3]上，是單調遞增函數(shù)。同理，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[3,9]上是單調遞減函數(shù)。這就是我們要研究的函數(shù)的又一特性——函數(shù)的單調性。2．定義探究
師：在某個區(qū)間上：①函數(shù)值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。②函數(shù)值Y隨X的增大而減小（圖象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。
提出問題1：請同學仔細閱讀課本中函數(shù)單調性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達了該意思？
生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數(shù)的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數(shù)學的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關系，就刻劃出了單調遞增和單調遞減的性質特征，把文字語言表達為數(shù)學語言，簡單明了。
師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關鍵的詞語或句子至關重要？能不能把它找出來。（有的同學回答不準確）
生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語．增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應的區(qū)間而言的，離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．還有沒有其他的關鍵詞語？
生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？
生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上?。?師：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
師：能不能構造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？
（讓學生思考，但有些學生仍有困難，我設計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：
①函數(shù)y=x2 在(-∞,0)上是減函數(shù)，在[0，+∞]上是增函數(shù)，所以函數(shù) y=x2 在定義域R上是增函數(shù)或是減函數(shù)。
②已知函數(shù)f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1
③若函數(shù)y=1/x在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）也單調遞減，則該函數(shù)在定義域內單調遞減。
（三個問題的提出，引起很大凡響，學生發(fā)言踴躍，互相討論、補充，把本節(jié)課推向高潮）師：因此，要判定一個函數(shù)的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關鍵，在給定區(qū)間內任取兩個自變量x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應用
提出問題4：判斷函數(shù)f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明。解：略
師：易知函數(shù)f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調遞減函數(shù)，請同學歸納一下要證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調性的方法和步驟？ 第八組：①設量；②作差；③判斷；④定論。
4．課堂小結（由學生回答）（略）
5．布置作業(yè)
（略）
三、案例分析
（一）本節(jié)課的設計思路 1．知識目標設計：
（1）在探究中，尋求函數(shù)單調性規(guī)律并形成概念。
（2）熟練運用函數(shù)單調性的概念證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性。2．能力目標設計：
（1）通過對單調性概念的發(fā)生、發(fā)展的分析過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識、邏輯思維能力;（2）通過本節(jié)課的教學探究，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力。提高對數(shù)學美的鑒賞能力;（3）對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學過程設計：
針對本節(jié)課教學目標，教學過程分為三個階段：
（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學生的興趣，鍛煉學生的觀察能力，又直逼主題，學生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學生函數(shù)單調性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。
（2）定義探究階段：本節(jié)課的中心內容，圍繞三個問題的提出，對定義進行探究，層層深入，發(fā)動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發(fā)引導學生，及時掌握學生的動向，尋求函數(shù)單調性規(guī)律并形成概念。
（3）概念應用階段：函數(shù)的單調性定義應用只設計了問題4，這一過程由學生來完成，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經(jīng)驗進行反思，總結出解題的步驟和規(guī)律。
（二）本案例課堂教學的特點
1、抓住課堂教學的基本原則
(1)主體性原則：尊重學生的主體地位，發(fā)揮教師的主導作用，教師創(chuàng)造性地教，學生創(chuàng)造性地學，使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學生，學生主動參與。特別是問題2、3的提出，學生產(chǎn)生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學生開展了互相交流和討論，適時介入，和學生一起相互啟發(fā)和梳理，并洞察課堂中發(fā)生地各種問題，準確地判斷發(fā)生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現(xiàn)師生相互平等，教學相長的良好課堂氛圍。
(2)探索性原則：教師努力使教學活動富有探索性，為學生創(chuàng)設進行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的學習環(huán)境，鼓勵學生質疑問難，大膽聯(lián)想，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)造興趣，引導學生通過親身體驗獲取新知，把教學過程轉化為學生自覺進行探索新知的過程，使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學生對單調性概念的發(fā)生、發(fā)展有了較深刻的理解，探索到函數(shù)單調性規(guī)律并形成了概念。同時培養(yǎng)了學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力，提高對數(shù)學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結，把包含在概念中的復雜和隱蔽的內涵，層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質。因為學生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節(jié)課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質。把函數(shù)單調性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學生的思維素質得以提升，促使學生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學會學習和思考，增長經(jīng)驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。
(3)實踐性原則：在教學中要重視理論聯(lián)系實際，要結合實例進行教學，鼓勵學生動口、動腦、動手，讓學生參與到數(shù)學概念的形成過程；要組織有效的練習，引導學生運用所學到的知識去解決實際問題，使學生獲得運用知識的能力。函數(shù)的單調性定義應用只設計了問題5，典型的反比例函數(shù)，這一過程由學生來完成，但學生的證明過程也存在一定問題，老師再次強調定義，對照解答的層次性，再讓學生自主訂正，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經(jīng)驗進行反思、質疑，總結出解題的步驟和規(guī)律。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節(jié)課的反饋，又是引發(fā)對本節(jié)課的思考。由于時間的關系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。
(4)激勵性原則：要幫助學生實現(xiàn)成功，讓學生在學和做中能經(jīng)常感受到成功的喜悅和愉悅，認識到自身的價值，以此來激勵學生的求知欲和成就感，從而培養(yǎng)學生的自尊心和自信心，增強學生的創(chuàng)造動機和創(chuàng)造熱情，使學生能不斷地追求新知，積極進取，勇于創(chuàng)新。
2、體現(xiàn)能力培養(yǎng)的指導思想
概念教學有利于培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力；有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神；有利于培養(yǎng)學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而學生形成概念的關鍵是發(fā)現(xiàn)事物的本質屬性或規(guī)律。發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)造的一種重要形式，創(chuàng)造需要一種實踐活動的過程。現(xiàn)代著名心理學家布魯納認為：“發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發(fā)現(xiàn)包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式。”由此可以看出，學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發(fā)現(xiàn)。在過程中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中創(chuàng)新。因此，在數(shù)學教學中，教師要努力創(chuàng)造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數(shù)學概念的形成和發(fā)展過程，進行數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。
(三)本案例課堂教學引發(fā)的反思
1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數(shù)學教材展現(xiàn)在學生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數(shù)學概念和思想方法的形成，發(fā)展過程，從而也掩蓋了數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學創(chuàng)造、數(shù)學應用所經(jīng)歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數(shù)學概念教學不應簡單地給出定義，而應加強概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學時應創(chuàng)設情境，方法靈活多樣，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生積極參與教學活動中來，親身體驗、主動建構，使學生了解知識的發(fā)生與發(fā)展的背景和過程，使學生對數(shù)學的學習感到樂趣。為此，從引進新概念開始就要創(chuàng)造啟發(fā)式的教學環(huán)境，揭示概念的本質屬性，并用簡單的文字加以表達，在對概念進行結構分析和概念的應用，形成一個生動的概念發(fā)生的過程，這一過程需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。
2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾
探究活動比較費時間，教師都很重視課堂效率，而且對調控教學節(jié)奏，頗有一些辦法，是不是一發(fā)現(xiàn)學生得到了正確的結論，就讓其回答，并結束這個探究過程？由于教學時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節(jié)課的教學內容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅使下，往往追求進度，多講幾個例題，忽略學生的經(jīng)歷。而新課程標準則強調讓學生經(jīng)歷“直觀感知”、“觀察發(fā)現(xiàn)”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數(shù)學概念的構作，數(shù)學思維的建立，數(shù)學意識的形成，所以，教師應設計好每節(jié)課的內容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數(shù)學意識、思維品質的培養(yǎng)，使學生懂得數(shù)學的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。
落實新課程改革精神，并不是
一、兩節(jié)課的事，應該體現(xiàn)在課堂教學的每個環(huán)節(jié)和過程，教師要更新觀念，轉換角色，力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉化，全面提高學生數(shù)學素養(yǎng)。能力增強了，學習成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。
第二篇：《函數(shù)單調性》教學案例
《函數(shù)單調性》教學案例
1.【案例背景】
“函數(shù)的單調性”是新課標人教版《數(shù)學·1》第一章第三節(jié)的教學內容?！罢n標”規(guī)定兩個課時，所選案例為第一課時。
函數(shù)的單調性是函數(shù)的一條基本性質，從知識結構上看，函數(shù)的單調性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內容的基礎。在這之前，學生已經(jīng)學過函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學習過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，函數(shù)單調性是學生研究函數(shù)整體性質的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內容承前啟后，解決有關的函數(shù)問題，這一節(jié)學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節(jié)的知識產(chǎn)生正遷移作用。
2.【教學內容分析】
首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數(shù)單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高三的學習奠定基礎．
其次，從函數(shù)角度來講.函數(shù)的單調性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質，也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數(shù)單調性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質提供了方法依據(jù).3.【學情分析】
高一的學生正處于經(jīng)驗邏輯思維發(fā)展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數(shù)單調性的本質是利用定量的方法來研究函數(shù)圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹?shù)臄?shù)學語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達．
因此首先要重視學生的親身體驗：將新知識與學生的已有知識建立了聯(lián)系．如：學生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認識。運用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學生發(fā)現(xiàn)的過程．充分展現(xiàn)學生將函數(shù)圖象（形）的特征轉化為函數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過程。充分展現(xiàn)在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發(fā)現(xiàn)的過程． 最后重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．
4.【教學過程】
一、創(chuàng)設情境，引入課題 課前布置任務：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題1：請同學們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學生獨立思考）
【設計意圖】通過生活實例，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，讓學生感受到函數(shù)的單調性和我們的生活密切相關，進而激發(fā)學生的興趣，引發(fā)學生進一步學習的好奇心。
生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．
歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二．借助圖象，直觀感知
問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數(shù)圖象，回答下面兩個問題：
⑴分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的，在哪個區(qū)間是下降的？
【設計意圖】順應學生的認知規(guī)律。
（小組合作探求）
生1：一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的，二次函數(shù)y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準確嗎？
生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。
⑵同學們能用數(shù)學語言把這兩個函數(shù)圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？
【設計意圖】有感性上升到理性。（給學生適當?shù)乃伎紩r間）
這時學生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學們能用數(shù)學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數(shù)隨著x的值增大，y的值相應的增大。師（面向全體學生）：大家同意生4的回答嗎？
生4：老師，我有補充，應該說：該函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應的增大。師：生5補充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對應區(qū)間上的變化情況，那么函數(shù)y?x2呢？ 生5：函數(shù)y?x2在區(qū)間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應的減??；在區(qū)間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應的增大。
師：在數(shù)學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數(shù)；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數(shù)。
五、鞏固概念，適當延展
練習2：證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù)． 〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調性埋下伏筆．
六、歸納小結，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結
(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．
(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結合，等價轉化，類比等． 2.課后探究：
研究函數(shù)y?x?1(x?0)的單調性，并結合描點法畫出函數(shù)的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：
1、概念教學就是對知識發(fā)生過程的了解，數(shù)學概念是一系列常識不斷精細化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學生意識到自己能力上的缺陷，從而引發(fā)認知上的不平衡，產(chǎn)生學習的動力。
2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等），所以解決的策略應是要培植知識的生長點，搭建恰當?shù)哪_手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設計了問題組和運用了信息技術，是學生從“形”到“數(shù)”有了清新的認識。
第三篇：函數(shù)的單調性教學案例分析
函數(shù)的單調性教學案例分析
一、內容介紹 1.教材內容分析
“函數(shù)的單調性”是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修一》第一章第三節(jié)的內容，本節(jié)課的實質是對函數(shù)運動趨勢的研究，函數(shù)的單調性既是函數(shù)的基本特征之一，這一知識也為基本初等函數(shù)的研究提供了方法。對于函數(shù)單調性的研究過程，我們需要經(jīng)歷從觀察具體圖像入手，然后進行定量分析，最后抽象出形式化的定義，這個過程中體現(xiàn)了數(shù)學中數(shù)形結合和歸納轉化的重要數(shù)學思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學思維方式，這有助于培養(yǎng)學生根據(jù)圖認識數(shù)學問題、發(fā)展學生的思維能力，掌握學生的思想方法有重大意義。2.學生分析
本節(jié)課是在學生初中已有粗略的認識的基礎上進行，即主要根據(jù)觀察圖像得出結論。本節(jié)課中對于函數(shù)單調性的定義，是應用數(shù)學符號將自然語言的描述提升到了形式化的定義，學生接受起來可能相對有些困難。在得出函數(shù)單調性的定義的過程中，始終要結合具體函數(shù)的圖像進行，這樣可以增強直觀性，由具體到抽象，再由抽象到具體，方便學生的理解。在定義中要注意對自變量取值的任意性的理解，留給學生更多的思考空間。
二、教學目標 1.知識與技能
理解函數(shù)的單調性的定義，了解增函數(shù)、減函數(shù)以及單調區(qū)間等概念的形成過程。2.過程與方法
掌握用定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟，掌握利用函數(shù)的圖像去判斷函數(shù)單調性，經(jīng)歷從直觀到抽象、從圖形語言到數(shù)學語言的過程。
3.情感態(tài)度與價值觀
通過自主探究活動，體驗數(shù)學概念形成的過程，體會從特殊到一般的過程。
三、教學重難點 1.教學重點
形成增函數(shù)和減函數(shù)的形式化定義。2.教學難點：
在概念形成的過程中，從圖像的變化趨勢的直觀認識過渡到函數(shù)增減的數(shù)學符號語言表示；用定義證明函數(shù)的單調性。
四、教學基本流程 1.創(chuàng)設情境，引入概念
通過具體有實際意義函數(shù)問題，抽象出函數(shù)圖像，提問：圖像有什么特點？
師生互動：教師引導學生觀察圖像的升降變化，說出自己的看法。設計意圖：通過學生的直觀認識引入新課，讓學生對函數(shù)的單調性產(chǎn)生感性認識，為引出單調性的定義打好基礎，有利于定義的自然生成，也揭示了單調性最本質的東西。2.合作探究，形成概念
觀察兩組圖像(具備增減性的函數(shù)圖像)，引導學生嘗試歸納增函數(shù)和減函數(shù)的定義。
一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域內I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的單調遞增函數(shù)。問題一：兩組函數(shù)有什么特征？
問題二：你能用準確的數(shù)學符號語言表述增函數(shù)的定義嗎？ 學生討論，最后由教師給出增函數(shù)的定義。由學生類比得到減函數(shù)的定義。
對定義進行適當說明：(1)x1,x2的三大特征：屬于同一個區(qū)間，任意性，有大小；(2)函數(shù)的單調性是一種局部性質。
啟示：以問題串的方式進行啟發(fā)、引導學生自己歸納總結，找出函數(shù)在代數(shù)上的共同點，得到減函數(shù)的定義，主要是為了培養(yǎng)學生對圖像的觀察能力，以及培養(yǎng)學生的歸納概括能力。在總結概念的形式化定義的時候，采用相互討論的方式，目的是可以通過合作學習的方式對基礎較差的學生給予指導，培養(yǎng)學生互相幫助的精神。根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展過程，對學生能力的適當評估；引導學生自己動手得出減函數(shù)的定義和圖像特征，這個過程將課堂還給學生，營造一種人人參與的氛圍。
3.定義應用，概念深化
例1：結合函數(shù)圖象找到函數(shù)的單調區(qū)間（注意：單調區(qū)間的寫法，能否寫成并集的形式，單調區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間的問題）例2：函數(shù)單調性的證明
（總結利用定義證明函數(shù)單調性的步驟：取值、作差變形（常用方法：因式分解，有理化，配方等）、定號、下結論）4.歸納總結，提高認識
教師設置問題，引導學生討論、交流、總結，讓學生充分發(fā)表意見。（1）通過函數(shù)概念的形成過程，你們學習到了什么？
（2）增函數(shù)（減函數(shù)）的圖像有什么特點？如何根據(jù)函數(shù)圖像得出函數(shù)的單調區(qū)間（3）怎樣利用定義證明函數(shù)的單調性？ 5.布置作業(yè)（必做題與選做題，設置梯度）
五、教學方法
本節(jié)課是函數(shù)單調性的起始課，主要采用教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念。其中使用多媒體投影和計算機輔助教學，充分發(fā)揮直觀、形象的特點，為學生提供感性的材料，有助于學生的理解和認識。
六、教學反思
新課改強調將課堂還給學生，其實對于教師的要求更加提高。要讓一節(jié)課的知識點完全由學生自己總結、歸納是不太現(xiàn)實的，所以這需要教師在課堂中起好啟發(fā)、引導作用。在引導的過程中，需要對于不同難度的問題設置不同數(shù)量的問題。如果問題較難，跨度較大，我們需要對問題多設置幾個橋梁，減小問題的難度，對于這個度的把握，就需要教師站在一個更高的位置，對知識點和學生的情況有較高的熟悉程度，備課設置問題和相關環(huán)節(jié)時一定要多考慮學生所有可能出現(xiàn)的情況，在課堂上隨時調整。
我們在課堂上的作用是引導學生，但不是牽著學生走；要嚴格要求學生，但是課堂也不應該過分壓抑。新課程改革中我們一定要將學生放在主體地位，讓學生參與和完成課堂中的活動，教師在整個授課過程中要起好啟發(fā)、引導的作用，才可以讓學生學會學習、體會學習的樂趣。
第四篇：函數(shù)的單調性教學案例
函數(shù)的單調性教學案例
【教材分析】
《函數(shù)單調性》是高中數(shù)學新教材必修一第二章第三節(jié)的內容。在此之前，學生已學習了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。本節(jié)內容是高中數(shù)學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數(shù)有關性質的基礎。掌握本節(jié)內容不僅為今后的函數(shù)學習打下理論基礎，還有利于培養(yǎng)學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力?！窘虒W目標】
知識與技能：
1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。2．學會應用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的單調性及其幾何意義。過程與方法：
1．通過本節(jié)課的教學，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態(tài)度：
1．通過本節(jié)課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現(xiàn)象。
2．通過生活實例感受函數(shù)單調性的意義，培養(yǎng)學生的識圖能力和數(shù)形語言轉化的能力?！局攸c難點】
重點：函數(shù)單調性概念的理解及應用。難點：函數(shù)單調性的判定及證明。關鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解?！窘谭ǚ治觥?/p>
為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，在教法上我采取了：
1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創(chuàng)設情境，拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。
2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹?shù)耐评恚㈨樌赝瓿蓵姹磉_。【學法分析】
在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發(fā)點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數(shù)的單調性。然后通過對函數(shù)單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態(tài)活動之中；同時讓學生體驗到了學習數(shù)學的快樂，培養(yǎng)了學生自主學習的能力和以嚴謹?shù)目茖W態(tài)度研究問題的習慣。【教學過程設計】
（一）問題情境
1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”?！鞍嗽率顺?，壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態(tài)奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”。潮起潮落，牽動了無數(shù)人的心。
如何用函數(shù)形式來表示，起和落？
2．教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語：蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。
如何用學過的函數(shù)圖象來描繪這些成語？
設計意圖：創(chuàng)設海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規(guī)律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發(fā) 學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。
（二）溫故知新
1．問題1：觀察學生繪制的函數(shù)的圖象（實際教學中可根據(jù)學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。
觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內呈上升趨勢，在另一區(qū)間內呈下降趨勢。
2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x時，我們知道，當x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大。
回憶初中對函數(shù)單調性的解釋：
圖象呈逐漸上升趨勢?數(shù)值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數(shù)值y隨x的增大而減小。
函數(shù)這種性質稱為函數(shù)的單調性。
設計意圖：學生在函數(shù)單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數(shù)圖象，三是初中對函數(shù)單調性的認識。對照繪制的函數(shù)圖象，讓學生回憶初中對函數(shù)單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規(guī)律。
（三）建構概念
問題3：如何用符號化的數(shù)學語言來準確地表述函數(shù)的單調性呢？
對于區(qū)間I內的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。
單調增函數(shù)的定義：
問題4：如何定義單調減函數(shù)呢？ 2可以通過類比的方法由學生給出。
設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數(shù)學符號語言定義函數(shù)單調性的全過程，讓他們親身體驗數(shù)學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數(shù)學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數(shù)的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數(shù)的概念，在這個過程中，學生可以體會數(shù)學概念是如何擴充完善的。
（四）理解概念
1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解
漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題
如：y?2x?1的單調增區(qū)間是(??,??)；y?3．單調性是函數(shù)的“局部”性質 如：函數(shù)y?上減函數(shù)？
引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取x1??1,x2?
1在(0,??)上是減函數(shù)。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數(shù)，能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx
1）。
2設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數(shù)的單調性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數(shù)的單調性對幫助學生理解函數(shù)單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。
（五）運用概念
通過兩例，教師要向學生說明：
1．判斷函數(shù)單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數(shù)圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數(shù)進行恰當?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數(shù)的組合。
2．概括出證明函數(shù)單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數(shù)y?|x?1|?
1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調區(qū)間。
設計意圖：單調性證明是學生在函數(shù)內容中首次接觸到的代數(shù)論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數(shù)單調性與證明函數(shù)單調性的差別，掌握證明函數(shù)單調性的程序，并深入理解什么是代數(shù)證明，代數(shù)證明要做什么事。
（六）回顧總結
本節(jié)課主要學習了函數(shù)單調性的定義，單調區(qū)間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數(shù)的單調性，從中體會了數(shù)形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。
第五篇：《函數(shù)單調性》的教學案例
《函數(shù)單調性》的教學案例
一、教學目標:
(1)知識與技能：理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念，初步掌握判斷 函數(shù)單調性的方法;
(2方法與過程：通過觀察、歸納、抽象、概括等，培養(yǎng)學生 從圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性，并用數(shù)學語言加以刻畫的能力，領會數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。
(3)情感態(tài)度與價值觀：在學習中，體驗數(shù)學的科學價值和應
用價值，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
二、教學重點、難點
教學重點：在圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性并形成概念;
教學難點：將函數(shù)單調性的圖形語言或直觀語言轉化為數(shù)學 語言，用定義證明函數(shù)的單調性。
三、《函數(shù)單調性》 教學過程：
在下一頁用圖表說明。
《函數(shù)單調性》 教學過程
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