第一篇：函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)

南京師大附中 陶維林

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

函數(shù)的單調(diào)性是研究當(dāng)自變量x不斷增大時(shí)，它的函數(shù)y增大還是減小的性質(zhì)．如函數(shù)單調(diào)增表現(xiàn)為“隨著x增大，y也增大”這一特征．與函數(shù)的奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究x成為相反數(shù)時(shí)，y是否也成為相反數(shù)，即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)．

函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值類(lèi)似，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個(gè)定義域上不一定具有．這與函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最大值、最小值不同，它們是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)．

函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法．這就是，加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀(guān)到抽象；由特殊到一般．首先借助對(duì)函數(shù)圖象的觀(guān)察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀(guān)特征，進(jìn)一步量化，發(fā)現(xiàn)增、減變化數(shù)字特征，從而進(jìn)一步用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà)．

函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應(yīng)用（外部）．可見(jiàn)，不論在函數(shù)內(nèi)部還是在外部，函數(shù)的單調(diào)性都有重要應(yīng)用，因而在數(shù)學(xué)中具有核心地位．

教學(xué)的重點(diǎn)是，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上“隨著x增大，y也增大（或減?。边@一特征進(jìn)行抽象的符號(hào)描述：在區(qū)間（a，b）上任意取x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 f（x2）＞f（x1）（或f（x2）＜f（x1）＝，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增（或單調(diào)減）．

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課要求學(xué)生理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的意義，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）．

1．能夠以具體的例子說(shuō)明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；

2．能夠舉例，并通過(guò)繪制圖形說(shuō)明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個(gè)定義域上未必具有單調(diào)性，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；

3．對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)，能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù)：在區(qū)間上任意取x1，x2，設(shè)x1＜x2，作差f（x2）－ f（x1），然后判斷這個(gè)差的正、負(fù)，從而證明函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，初步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是一個(gè)刻畫(huà)某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念；進(jìn)入高中以后，又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)．學(xué)生還了解函數(shù)有三種表示方法，特別是可以借助圖象對(duì)函數(shù)特征加以直觀(guān)考察．此外，還學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等幾個(gè)簡(jiǎn)單而具體的函數(shù)，了解它們的圖象及性質(zhì)．尤其值得注意的是，學(xué)生有利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行兩個(gè)數(shù)大小比較的經(jīng)驗(yàn)．

“圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)增的；圖象是下降的，函數(shù)是單調(diào)減的”僅就圖象角度直觀(guān)描述函數(shù)單調(diào)性的特征學(xué)生并不感到困難．困難在于，把具體的、直觀(guān)形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言描述．即把某區(qū)間上“隨著x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（單調(diào)增）進(jìn)行刻畫(huà)．其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的x1，x2．

教學(xué)中，通過(guò)二次函數(shù)這個(gè)具體函數(shù)的圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應(yīng)地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調(diào)增的說(shuō)法．通過(guò)討論、交流，讓學(xué)生嘗試，就一般情況進(jìn)行刻畫(huà)，提出“在某區(qū)間上，如果對(duì)于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”則函數(shù)在該區(qū)間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征．進(jìn)一步給出函數(shù)單調(diào)性的定義．然后通過(guò)辨析、練習(xí)等幫助學(xué)生理解這一概念．

企圖在一節(jié)課中完成學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的真正理解可能是不現(xiàn)實(shí)的．在今后，學(xué)生通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決具體問(wèn)題，等一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)可以逐步理解這個(gè)概念．

四、教學(xué)支持條件分析

為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器繪制函數(shù)圖象，同時(shí)輔以坐標(biāo)計(jì)算、跟蹤點(diǎn)以及等手段觀(guān)察函數(shù)的數(shù)字變化特征．

五、教學(xué)基本流程

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1．用好節(jié)前語(yǔ)，引出課題

函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．如果了解了函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就掌握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律，因此研究函數(shù)的性質(zhì)十分必要．在事物變化過(guò)程，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)．

問(wèn)題1 觀(guān)察圖1中各個(gè)函數(shù)的圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？

圖1 設(shè)計(jì)意圖：從形到數(shù)，借助對(duì)函數(shù)圖象的觀(guān)察，想象相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)．引導(dǎo)單調(diào)函數(shù)的“直觀(guān)定義”．

可能的回答是，第一個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右是上升的；第二個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右，有時(shí)是上升的有時(shí)是下降的；第三個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右也是有時(shí)上升有時(shí)下降的，而且是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的．

師：對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，最基本的就是描述變化的快與慢、增與減??相應(yīng)的，函數(shù)的特征就包含：函數(shù)的增與減，我們把函數(shù)的這種性質(zhì)稱(chēng)為“單調(diào)性”．

教師結(jié)合上述直觀(guān)認(rèn)識(shí)，寫(xiě)出課題：函數(shù)的單調(diào)性．

2．函數(shù)單調(diào)性的“直觀(guān)定義”

結(jié)合上述直觀(guān)認(rèn)識(shí)，給出單調(diào)函數(shù)的“直觀(guān)定義”：

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI．在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左至右看）總是上升的，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間D稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左至右看）總是下降的，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，區(qū)間D稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

例1（教科書(shū)第29頁(yè)例1）圖2是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y＝f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：用“直觀(guān)定義”判斷單調(diào)性，并強(qiáng)調(diào)單調(diào)性的“局部性”．

圖2 3．函數(shù)單調(diào)性的“描述性定義”

僅從圖象上觀(guān)察出函數(shù)的性質(zhì)，只是得到了“定性刻畫(huà)”，對(duì)函數(shù)的變化情況只是“大致了解”，顯然不夠，我們希望“量化”，這樣才能準(zhǔn)確．

教師借助幾何畫(huà)板作出函數(shù)y＝x2的圖像，并在函數(shù)y＝x2的圖像上任畫(huà)一點(diǎn)P，測(cè)量出其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，制作表格．拖動(dòng)點(diǎn)P，表格自動(dòng)增行．

問(wèn)題2 根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于自變量x的每一個(gè)確定的值，變量y有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)．那么，當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的時(shí)候，相應(yīng)的，自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的呢？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的刻畫(huà)，從圖形的刻畫(huà)過(guò)渡到數(shù)量關(guān)系，即從圖形語(yǔ)言的表述過(guò)渡到自然語(yǔ)言的表述．

由上面的表格可見(jiàn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)（即函數(shù)值）y的變化規(guī)律：在區(qū)間（－∞，0上，隨著自變量x增大，函數(shù)值y減少；在區(qū)間0，＋∞）上，隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大．

由此得到單調(diào)函數(shù)的“描述性定義”：

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI．在區(qū)間D上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)；在區(qū)間D上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y反而減小，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)．

4．從“定性定義”過(guò)渡到“定量定義”

雖然完成了對(duì)函數(shù)單調(diào)性的從圖形語(yǔ)言表述到自然語(yǔ)言的表述，但這樣的描述還不是“量化”的，所以，要把定性的數(shù)量變化關(guān)系轉(zhuǎn)化為定量的數(shù)量變化關(guān)系．這是本課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)所在．

從上面的結(jié)論，可以看到，函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，那么隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大．

問(wèn)題3 如果對(duì)于區(qū)間（a，b）上的任意x有f（x）＞f（a），則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增．這個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由（舉例或者畫(huà)圖）．

設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)企圖通過(guò)對(duì)描述性定義的辨析，逐漸引出定量定義．必須是兩個(gè)變化的量的比較．

問(wèn)題4 函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量x，使得當(dāng)a＜x1＜x2＜?＜?＜b時(shí)，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜?＜?f（b），能不能說(shuō)明它在（a，b）單調(diào)增？請(qǐng)你說(shuō)明理由（舉例或者畫(huà)圖）．

設(shè)計(jì)意圖：本問(wèn)題較為貼近描述性定義，但這是對(duì)描述性定義的誤解．通過(guò)對(duì)函數(shù)描述性定義的辨析，逐漸使得同學(xué)們認(rèn)識(shí)到要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上具有單調(diào)增的特征，必須允許自變量x 在區(qū)間（a，b）上“任意取”，且只要“取兩個(gè)”就夠了．也給學(xué)生使用符號(hào)說(shuō)明單調(diào)性以示范或提示．

從上面的討論可以看到，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）對(duì)任意x有f（x）＞f（a），也不能說(shuō)明它在（a，b）單調(diào)增；在區(qū)間（a，b）上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量x，使得當(dāng)a＜x1＜x2＜?＜?＜b時(shí)，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜?＜?f（b）也不能說(shuō)明它在（a，b）單調(diào)增．那么自變量x在區(qū)間（a，b）上到底該怎樣取值好呢？我們?cè)賮?lái)看一看具體的函數(shù)f（x）＝x2．

教師利用幾何畫(huà)板演示：在函數(shù)f（x）＝x2的圖象上，位于區(qū)間0，＋∞）任選兩個(gè)點(diǎn)，自變量大的函數(shù)值也一定大．并提出

問(wèn)題5 在函數(shù)f（x）＝x2，x∈0，＋∞）的圖象上任意取兩點(diǎn)，自變量大的函數(shù)值也一定大，能否說(shuō)明函數(shù)f（x）＝x2在0，＋∞）上單調(diào)增？

設(shè)計(jì)意圖：由問(wèn)題4可見(jiàn)，刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性不在于所取自變量個(gè)數(shù)的多少，關(guān)鍵在于是否能夠任意取值，而且必須任意取兩個(gè)．

這個(gè)問(wèn)題的答案是顯然的．教師立即提出“怎樣用符號(hào)來(lái)表示？”的問(wèn)題．引導(dǎo)學(xué)生獲得“只要任意x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”即可．

經(jīng)過(guò)議論，獲得共識(shí)——函數(shù)單調(diào)性的定義．

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮．如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．

這個(gè)定義中的關(guān)鍵詞是什么呢？是“任意”二字．

5．單調(diào)性定義的應(yīng)用（課堂練習(xí)）

練習(xí)1 畫(huà)出反比例函數(shù)f（x）＝的圖象，并回答下列問(wèn)題：

（1）指出這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；

（2）是否可以說(shuō)“這個(gè)函數(shù)在定義域I上是單調(diào)減？”為什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)（在整體上未必有）．進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“任意”二字的意義，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)．

答：（1）函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)減，在區(qū)間（0，＋∞）上也單調(diào)減．（圖象略）．

（2）這個(gè)函數(shù)的定義域I＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．不能說(shuō)“這個(gè)函數(shù)在定義域I上是單調(diào)減”．事實(shí)上，取x1＝－1，x2＝1，而f（－1）＝－1，f（1）＝1，f（－1）＜f（1）．

練習(xí)2 物理學(xué)中的波利爾定律p＝（k是正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小，壓強(qiáng)p將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．（教科書(shū)第29頁(yè)例2）

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)單調(diào)性概念的應(yīng)用．逐步掌握利用單調(diào)性定義證明一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的步驟．加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解．

分析 怎樣來(lái)證明“體積V減小，壓強(qiáng)p將增大”呢，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，只要證明函數(shù)p＝（k是正常數(shù)）是減函數(shù)．怎樣證明函數(shù)p＝（k是正常數(shù)）是減函數(shù)呢，只要在區(qū)間（0，＋∞）（因?yàn)轶w積V＞0）任意取兩個(gè)大小不相等的值，證明較小的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值較大，即

設(shè)V1＜V2，去證明p1＞p2．也就是只要證明p1－p2＞0．

證明：設(shè)V1＜V2，V1，V2∈（0，+∞）．

p1－p2＝－＝．

因?yàn)閗是正常數(shù)，V1＜V2，所以＞0，p1＞p2．

所以，體積V減小，壓強(qiáng)p將增大．

6．課堂小結(jié)

這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了“函數(shù)的單調(diào)性”，“如果函數(shù)在區(qū)間（a，b）單調(diào)減，那么這個(gè)函數(shù)有什么特征？”

設(shè)計(jì)意圖：企圖明確，f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù) f（x）的圖像在區(qū)間D上是下降的在區(qū)間D上自變量增大函數(shù)值減?。?lèi)似地，f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù) f（x）的圖像在區(qū)間D上是上升的在區(qū)間D上自變量增大函數(shù)值也增大．

教師總結(jié)研究問(wèn)題的過(guò)程（突出思想方法）——“圖形直觀(guān)——定性刻畫(huà)——定量刻畫(huà)”，最后用不等式，即“大小比較”的方法刻畫(huà)一種變化規(guī)律，描述一個(gè)變化過(guò)程．

第二篇：函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)，本人在聽(tīng)了專(zhuān)家的講解后感到受益匪淺，結(jié)合平時(shí)的教學(xué)，有些教學(xué)方面的心得如下，希望專(zhuān)家和同行批評(píng)指正。

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)必修1的第2章函數(shù)里的函數(shù)基本性質(zhì)中介紹的第一個(gè)性質(zhì)。它既是在學(xué)生學(xué)過(guò)函數(shù)概念等知識(shí)后的延續(xù)和拓展，又是后面研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)各類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)，而且函數(shù)單調(diào)性在解決函數(shù)變化趨勢(shì)、值域、最值、不等式等許多問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要的奠基作用。研究函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化的思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思維形式，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大意義。下面我就這部分內(nèi)容的習(xí)題教學(xué)提出一些不成熟的做法。

教學(xué)目標(biāo)：

（1）在知識(shí)方面，通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練，使學(xué)生能加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解，進(jìn)一步掌握判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性方法、學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題。

（2）在能力方面，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象以及推理的能力，提高學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)，并滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

（3）在價(jià)值觀(guān)和情感教育方面，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于求索的精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，使其養(yǎng)成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判定、證明及應(yīng)用。其中的教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解。教法和學(xué)法：

在教法上采用傳統(tǒng)的講練結(jié)合。在具體實(shí)施上，將采用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的手段，為了貼切地服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，課件的制作是為了能更好的講練習(xí)題，提高課堂效率，用是PowerPoint軟件。而學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅要訓(xùn)練知識(shí)技能，還要達(dá)到思維的訓(xùn)練，因此這節(jié)課要以學(xué)生為主體，給學(xué)生充足的活動(dòng)空間。作為教師，我要做好啟發(fā)和規(guī)范地指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生大膽地探索，并培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：

大概分為復(fù)習(xí)回顧、例題講解、規(guī)律小結(jié)、鞏固練習(xí)四個(gè)版塊，最后布置作業(yè)。下面為每部分的具體構(gòu)思。

1、復(fù)習(xí)分為概念回顧和基礎(chǔ)練習(xí)兩部分，預(yù)計(jì)費(fèi)時(shí)7到8分鐘左右，其中概念為（1）函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的定義以及用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，（2）怎么判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間——可以用定義法，也可以從圖象上觀(guān)察。形式主要由學(xué)生口答。基礎(chǔ)練習(xí)部分選擇了5道小題目，課件形式給出，請(qǐng)學(xué)生口答，內(nèi)容涉及單調(diào)性的理解，一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，最后一題讓學(xué)生們畫(huà)出圖象，觀(guān)察圖象的“升降”寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，都是小題目，難度小，用時(shí)少，但緊扣概念，也讓學(xué)生迅速熱身，無(wú)形中抓住了學(xué)生的課堂注意力。

2、例題選擇方面：

關(guān)于例

1、試判斷函數(shù)f(x)?變式：討論函數(shù)f(x)?x(?1?x?1)的單調(diào)性并證明； x2?1ax(?1?x?1)的單調(diào)性。x2?1選擇這個(gè)題目是為了讓學(xué)生更好地掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的方法和基本步驟，變式的選擇是為培養(yǎng)學(xué)生分情況討論的意識(shí)和能力，講解過(guò)程中要注意證明的規(guī)范性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì)。

關(guān)于例

2、求函數(shù)y?x?2?1的值域。x?2函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)很重要的應(yīng)用是求函數(shù)的值域或最值，選擇這道題，教會(huì)學(xué)生利用單調(diào)性來(lái)求函數(shù)值域的方法。讓學(xué)生體會(huì)利用單調(diào)性求值域時(shí)的簡(jiǎn)捷有效。豐富學(xué)生的知識(shí)體系。

關(guān)于例

3、已知函數(shù)f(x)是定義在(0,??)上的增函數(shù)，且f()?f(x)?f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)?1,解不等式f(x?5)?2

這是一道抽象函數(shù)的題目，對(duì)于求出f(1)、f(9)分別是0和2用的是賦值法，這是抽象函數(shù)中常用的方法，不等式變?yōu)閒(x?5)?f(9)，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性，將抽象函數(shù)函數(shù)值的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系，即??x?5?9，提醒學(xué)生注意函數(shù)定義域！

?x?5?0選擇這個(gè)抽象函數(shù)的例子，目的就是讓學(xué)生體會(huì)并掌握怎么樣利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化函數(shù)和自變量的大小關(guān)系。

關(guān)于例

4、已知f(x)是R上的減函數(shù)，g(x)??x2?4x，求函數(shù)h(x)?f(g(x))的單調(diào)增區(qū)間。

最終的那個(gè)函數(shù)明顯是個(gè)復(fù)合函數(shù)，函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x?2，開(kāi)口向下，在[2,??)上遞減，又f(x)也遞減，所以[2,??)是個(gè)增區(qū)間。

本題小結(jié)：兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同則復(fù)合后是增，相反則復(fù)合后是減。

3、關(guān)于這部分的課堂小結(jié)：

我們可以應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域、解不等式，以及證明一些代數(shù)命題。

4、關(guān)于鞏固練習(xí)題目方面的選擇：

這部分選兩題，類(lèi)型在例題中已出現(xiàn)，其中第一個(gè)要先證明函數(shù)的單調(diào)性，再求值域。而第二題則先要判斷單調(diào)性，再進(jìn)行證明，確定了單調(diào)性之后再應(yīng)用到三角形的問(wèn)題中，使學(xué)生在解題的過(guò)程中體會(huì)在一些代數(shù)不等式證明中如何應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的。

這部分讓學(xué)生自己做，用投影儀和板書(shū)結(jié)合，規(guī)范其書(shū)寫(xiě)和論證。

5、關(guān)于作業(yè)布置方面：

結(jié)合本節(jié)課的講解內(nèi)容，為進(jìn)一步鞏固教學(xué)成果，在作業(yè)題型選擇上，本人力求做到緊扣和深化上課內(nèi)容。一共有三大題，第一題是求單調(diào)區(qū)間，其中要用圖形，數(shù)形結(jié)合；第二題要利用例4的小結(jié)“兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同則復(fù)合后是增，相反則復(fù)合后是減?！?；第三題是抽象函數(shù)題，與課上的例3類(lèi)型一樣，讓學(xué)生課后練習(xí)鞏固。

以上是我對(duì)這部分習(xí)題教學(xué)方面的一些思考，希望得到專(zhuān)家的指正！

第三篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計(jì)

北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個(gè)完全形式化的抽象定義，對(duì)于仍然處于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來(lái)講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來(lái)，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。最近，在我區(qū)“青年教師評(píng)優(yōu)課”上，聽(tīng)了多名教師對(duì)這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過(guò)對(duì)他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

關(guān)鍵點(diǎn)1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？

在這個(gè)內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡(jiǎn)單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對(duì)函數(shù)是一個(gè)刻畫(huà)某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識(shí)。接踵而來(lái)的任務(wù)是對(duì)函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對(duì)各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動(dòng)關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來(lái)討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個(gè)時(shí)機(jī)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)。

就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性可以分為四個(gè)階段： 第一階段，經(jīng)驗(yàn)感知階段（小學(xué)階段），知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長(zhǎng)，我的個(gè)子越來(lái)越高”，“我認(rèn)識(shí)的字越多，我的知識(shí)就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語(yǔ)言描述一個(gè)量隨另一個(gè)量變化的趨勢(shì)，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進(jìn)行脫離具體和直觀(guān)對(duì)象的抽象化、符號(hào)化的概括，并通過(guò)具體函數(shù)，初步體會(huì)單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認(rèn)識(shí)提升階段（高中選修系列1、2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認(rèn)識(shí)，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見(jiàn)函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀(guān)感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識(shí).。

讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀(guān)察自變量變化時(shí)，函在學(xué)生畫(huà)圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖象，獲得信息：第一個(gè)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱(chēng)為增函數(shù)和減函數(shù).第三個(gè)函數(shù)圖象的上升與下降要分段說(shuō)明，通過(guò)討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點(diǎn)2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對(duì)于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個(gè)很重要的問(wèn)題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識(shí)：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個(gè)觀(guān)念對(duì)他們而言是易于接受的，很形象，他們會(huì)覺(jué)得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號(hào)化呢？如果教師能通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號(hào)化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會(huì)大大提高，主動(dòng)性也會(huì)更強(qiáng)。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識(shí)不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號(hào)化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證。

所以，在教學(xué)中提出類(lèi)似如下的問(wèn)題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．通過(guò)討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀(guān)，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過(guò)渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點(diǎn)3：如何用形式化的語(yǔ)言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學(xué)學(xué)科這個(gè)整體來(lái)看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問(wèn)題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀(guān)入手，從具體開(kāi)始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言和符號(hào)化的形式語(yǔ)言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說(shuō)，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個(gè)良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。長(zhǎng)此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)到比知識(shí)更重要的東西—學(xué)會(huì)如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？

一般說(shuō)，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個(gè)重要過(guò)程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過(guò)思維構(gòu)造把這個(gè)意義用數(shù)學(xué)的形式化語(yǔ)言加以描述。對(duì)函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過(guò)對(duì)若干函數(shù)圖象的觀(guān)察并不難認(rèn)識(shí)，因此，前一過(guò)程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對(duì)比較容易進(jìn)行。后一過(guò)程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，如何才能最大限度地通過(guò)學(xué)生自己的思維活動(dòng)來(lái)完成。這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：

（1）“x增大”如何用符號(hào)表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號(hào)表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號(hào)表示。

用數(shù)學(xué)符號(hào)描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號(hào)來(lái)描述動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象。

在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級(jí)概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時(shí)，接觸到一點(diǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)符號(hào)表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號(hào)表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象，到用靜態(tài)的符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象，在思維能力層次上存在重大差異，對(duì)剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無(wú)疑是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學(xué)中可以提出如下問(wèn)題2： 如何從解析式的角度說(shuō)明

在上為增函數(shù)？

這個(gè)問(wèn)題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評(píng)價(jià)，對(duì)普遍出現(xiàn)的問(wèn)題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識(shí).對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生錯(cuò)誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)楹瘮?shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗(yàn)證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對(duì)于這兩種錯(cuò)誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開(kāi)思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來(lái)驗(yàn)證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對(duì)有限幾個(gè)自然數(shù)驗(yàn)證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時(shí)，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實(shí)數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗(yàn)證的范圍由有限擴(kuò)大到了無(wú)限。教師應(yīng)適時(shí)指出這種驗(yàn)證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識(shí).在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類(lèi)比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對(duì)定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時(shí)設(shè)計(jì)了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿(mǎn)足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因?yàn)楹瘮?shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過(guò)對(duì)判斷題的討論，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒(méi)有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學(xué)生對(duì)定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀(guān)察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程．

【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī)、投影儀． 【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日，請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因.(2)通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過(guò)交流，可以了解到開(kāi)幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開(kāi)始下降，比較適宜大型國(guó)際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)圖.引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問(wèn)題：觀(guān)察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到；(2)在某時(shí)刻的溫度；

(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活是很有幫助的．

問(wèn)題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等．

歸納：用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí)，但是沒(méi)有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀(guān)感知

問(wèn)題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀(guān)察自變量變化時(shí)，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p>

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問(wèn)題2：能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來(lái)越小，我們?cè)谠搮^(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的，是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀(guān)，描述性的認(rèn)識(shí)． 【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀(guān)感知函數(shù)單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí)． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)

學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．

通過(guò)討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀(guān)，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問(wèn)題2：如何從解析式的角度說(shuō)明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿(mǎn)足，所以(3)任取，所以

在,因?yàn)?/p>

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量．

【設(shè)計(jì)意圖】把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí)．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問(wèn)題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類(lèi)比得出減函數(shù)的定義．(1)板書(shū)定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過(guò)判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過(guò)對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).三、掌握證法，適當(dāng)延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問(wèn)題

針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號(hào)

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)

問(wèn)題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來(lái)證，如果可以證得對(duì)

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性．讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過(guò)程：直觀(guān)到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類(lèi)比等． 2．作業(yè)

書(shū)面作業(yè)：課本第60頁(yè)習(xí)題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對(duì)于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言去刻畫(huà)圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀(guān)到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過(guò)程和對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語(yǔ)言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀(guān)到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對(duì)判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深?duì)定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．

第四篇：函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)理念

新課程背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)既要注重邏輯推理，又要關(guān)注直覺(jué)思維的啟迪，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)，更要讓學(xué)生會(huì)學(xué)，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程成為其心靈愉悅的主動(dòng)認(rèn)知的過(guò)程．基于以上設(shè)計(jì)理念，對(duì)于本節(jié)課，我從背景分析、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)及教學(xué)評(píng)價(jià)等六個(gè)方面進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明。

一、教材分析

函數(shù)的單調(diào)性是在研究函數(shù)的概念之后的第一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又為后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)為初高中知識(shí)的銜接起著承上啟下的作用。函數(shù)單調(diào)性概念的建立過(guò)程中蘊(yùn)涵諸多數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有很強(qiáng)的啟發(fā)與示范作用。根據(jù)函數(shù)單調(diào)性在教材中的地位和作用及課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下： 知識(shí)與技能

使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握判定函數(shù)單調(diào)性的方法； 過(guò)程與方法 通過(guò)探究活動(dòng)滲透“ 數(shù)形結(jié)合”思想，使學(xué)生明白考慮問(wèn)題要細(xì)致縝密，說(shuō)理要嚴(yán)密明確。

情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)之美，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辨證觀(guān)點(diǎn)

根據(jù)上述教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念形成．

雖然高一學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性有一定的感性認(rèn)識(shí)，但抽象思維能力還有待加強(qiáng)．因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念形成與應(yīng)用．

二、教法學(xué)法

1．在教法上采取了：通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際生活問(wèn)題引入課題，創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主體參與的積極性，從而正確形成概念 ． 2．在學(xué)法上重視了：讓學(xué)生利用圖形直觀(guān)啟迪思維，通過(guò)正、反例的構(gòu)造，來(lái)完成從感性認(rèn)識(shí)到理性思維的質(zhì)的飛躍；讓學(xué)生從問(wèn)題中質(zhì)疑、嘗試、歸納、總結(jié)、運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題和分析解決問(wèn)題的能力．

3．教學(xué)手段：借助信息技術(shù)輔助教學(xué)，提供直觀(guān)感性材料，他不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率，促進(jìn)師生交流，提高課堂的交互性。

三、教學(xué)過(guò)程

下面我們來(lái)重點(diǎn)探討本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和整合點(diǎn)分析。

以課前學(xué)案的形式，布置個(gè)學(xué)習(xí)小組利用幾何畫(huà)板作出下列函數(shù)的圖象。意在健全學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，熟練幾何畫(huà)板的操作，同時(shí)可以感受函數(shù)圖象變化趨勢(shì)，為教學(xué)做好準(zhǔn)備。

教學(xué)情境引入，采用天氣預(yù)報(bào)聲音文件和幻燈片同步播放的方式。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境往往受很多條件的限制，而幻燈片展示圖片資料方便快捷，天氣預(yù)報(bào)聲音文件的使用激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教師趁勢(shì)展開(kāi)定義生成的探究活動(dòng)。要生成定義就要由描述性語(yǔ)言過(guò)渡到數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這是認(rèn)知過(guò)程中一個(gè)質(zhì)的飛躍。也是本節(jié)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。我借助幾何畫(huà)板的同步直觀(guān)演示，幫助學(xué)生探究增函數(shù)的一大重大特征：因變量隨著自變量的增大而增大。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，在某些區(qū)間因變量隨著自變量的增大而減小。自變量在給定區(qū)間變化的重要性。從而生成了增函數(shù)的概念。利用信息技術(shù)突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。在定義生成的規(guī)程中，我們發(fā)現(xiàn)有大容量的板書(shū)，借助幻燈片展示文本信息，方便快捷。教師可以借助多媒體幫助學(xué)生分析圖象，進(jìn)一步理解函數(shù)概念。

組織學(xué)生小組探究函數(shù)的單調(diào)性，并請(qǐng)小組代表展示探究成果。

學(xué)生剛接觸定義，運(yùn)用并判斷函數(shù)單調(diào)性的能力有待提高.而小組合作可提高學(xué)習(xí)熱情，畫(huà)圖觀(guān)察便于學(xué)生先根據(jù)“形”判斷單調(diào)性；實(shí)物展示平臺(tái)展示繪圖成果便于繪圖經(jīng)驗(yàn)的示范與推廣．

在交流與練習(xí)中，觀(guān)察函數(shù)圖象規(guī)律是“數(shù)形”結(jié)合解題的關(guān)鍵，但手繪圖象往往耗時(shí)較長(zhǎng).學(xué)生借助幾何畫(huà)板軟件分析函數(shù)的單調(diào)性，信息技術(shù)的介入幫助學(xué)生“數(shù)形”結(jié)合解題，使其體會(huì)到手腦并用、成功解決問(wèn)題的快樂(lè)．教師運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室無(wú)線(xiàn)局域網(wǎng)絡(luò)的輔助教學(xué),可將主機(jī)切換到各小組的操作界面。不僅實(shí)現(xiàn)了小組實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)和結(jié)論的展示，又實(shí)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)資源的共享。解決了在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，各小組間的交流與比較非常困難.作業(yè)布置，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的常見(jiàn)問(wèn)題“糖水加糖甜更甜”的生活現(xiàn)象。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，構(gòu)造以糖的份量為自變量的xy?濃度函數(shù)，通過(guò)操作幾何畫(huà)板，學(xué)生可以輕松地發(fā)現(xiàn)隨著糖x?1份量的增加，糖水的濃度也增大，從而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了化學(xué)問(wèn)題。也讓學(xué)生意識(shí)到知識(shí)來(lái)源于生活，更能應(yīng)用于生活。

教學(xué)反思，本節(jié)課的教學(xué)是以實(shí)驗(yàn)活動(dòng)為中心，以探索數(shù)學(xué)規(guī)律為出發(fā)點(diǎn)，以學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展探究能力為培養(yǎng)目標(biāo)。是將信息技術(shù)與課堂教學(xué)整合的一次新的嘗試。在教學(xué)過(guò)程中，大量加工處理并使用了聲音、圖片、動(dòng)畫(huà)、幾何畫(huà)板、實(shí)物展示平臺(tái)等多種信息技術(shù)，進(jìn)而突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。不僅把信息技術(shù)作為教學(xué)的輔助手段，也作為促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知工具和情感激勵(lì)工具。

教學(xué)評(píng)價(jià)。參與程度、合作意識(shí)、思考習(xí)慣、發(fā)現(xiàn)能力。尤其是在分小組實(shí)驗(yàn)中，基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)容易產(chǎn)生厭怠的情緒，而且承擔(dān)的任務(wù)量較小。針對(duì)這種現(xiàn)象，采用分層教學(xué)。

總之，這節(jié)課達(dá)到了預(yù)設(shè)與生成的辯證統(tǒng)一。從課后反饋的效果來(lái)看，我的教學(xué)是成功的。最后，是我的板書(shū)設(shè)計(jì)。謝謝大家！

（一）創(chuàng)設(shè)情境 提出問(wèn)題

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是學(xué)生思維的開(kāi)始，問(wèn)題是學(xué)生興趣的開(kāi)始．首先創(chuàng)設(shè)情景，通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心．

（問(wèn)題情境）（播放中央電視臺(tái)天氣預(yù)報(bào)的音樂(lè)）．如圖為某地區(qū)2009年元旦這一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，觀(guān)察這張氣溫變化圖：

[教師活動(dòng)]引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖象，提出問(wèn)題：

問(wèn)題1：說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)是逐步升高的或下降的？

問(wèn)題2：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)上述時(shí)段內(nèi)“隨著時(shí)間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

（二）探究發(fā)現(xiàn) 建構(gòu)概念

[學(xué)生活動(dòng)]對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生容易給出答案．問(wèn)題2對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象，不易回答．

[教師活動(dòng)]為了引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題2，先讓學(xué)生觀(guān)察圖象，通過(guò)具體情形，例如，“t1=8時(shí)，f(t1)=1，t2=10時(shí)，f(t2)= 4”這一情形進(jìn)行描述．引導(dǎo)學(xué)生回答：對(duì)于自變量8<10，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有1<4.舉幾個(gè)例子表述一下.然后給出一個(gè)鋪墊性的問(wèn)題：結(jié)合圖象，請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言，描述“在區(qū)間［4，14］上，氣溫隨時(shí)間增大而升高”這一特征．

在學(xué)生對(duì)于單調(diào)增函數(shù)的特征有一定直觀(guān)認(rèn)識(shí)時(shí)，進(jìn)一步提出：

問(wèn)題3:對(duì)于任意的t1、t2∈[4，16]時(shí)，當(dāng)t1< t2時(shí)，是否都有f(t1)

[學(xué)生活動(dòng)]通過(guò)觀(guān)察圖象、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（計(jì)算機(jī)）、正反對(duì)比，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，由具體到抽象，由模糊到清晰逐步歸納、概括、抽象出單調(diào)增函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，并嘗試用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行初步的表述。

[教師活動(dòng)]為了獲得單調(diào)增函數(shù)概念，對(duì)于不同學(xué)生的表述進(jìn)行分析、歸類(lèi)，引導(dǎo)學(xué)生得出關(guān)鍵詞“區(qū)間內(nèi)”、“任意”、“當(dāng)家集體給出單調(diào)增函數(shù)概念的數(shù)學(xué)表述．提出：

問(wèn)題4： 類(lèi)比單調(diào)增函數(shù)概念，你能給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎？

最后完成單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間概念的整體表述．

[設(shè)計(jì)意圖]數(shù)學(xué)概念的形成來(lái)自解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要．但概念的高度抽象，造成了難懂、難教和難學(xué)，這就需要讓學(xué)生置身于符合自身實(shí)際的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，從自己的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”的活動(dòng)過(guò)程．剛升入高一的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的幾何形象思維能力，但抽象思維能力不強(qiáng)．從日常的描述性語(yǔ)言概念升華到用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言精確刻畫(huà)概念是本節(jié)課的難點(diǎn)．

時(shí)，都有

”，最后由大

（三）自我嘗試 運(yùn)用概念

1．為了理解函數(shù)單調(diào)性的概念，及時(shí)地進(jìn)行運(yùn)用是十分必要的．

[教師活動(dòng)]問(wèn)題5：（1）你能找出氣溫圖中的單調(diào)區(qū)間嗎？

（2）你能說(shuō)出你學(xué)過(guò)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明．

[學(xué)生活動(dòng)]對(duì)于（1），學(xué)生容易看出：氣溫圖中分別有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間和一個(gè)單調(diào)增區(qū)間．對(duì)于（2），學(xué)生容易舉出具體函數(shù)如：，，并畫(huà)出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

[教師活動(dòng)]利用實(shí)物投影儀，投影出學(xué)生畫(huà)的草圖和標(biāo)出的單調(diào)區(qū)間，并指出學(xué)生回答時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如：在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)寫(xiě)成并集．

[設(shè)計(jì)意圖]在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上提出新問(wèn)題，使學(xué)生明了，過(guò)去所研究的函數(shù)的相關(guān)特征，就是現(xiàn)在所學(xué)的函數(shù)的單調(diào)性，從而加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解．

2．對(duì)于給定圖象的函數(shù)，借助于圖象，我們可以直觀(guān)地判定函數(shù)的單調(diào)性，也能找到單調(diào)區(qū)間．而對(duì)于一般的函數(shù)，我們?cè)鯓尤ヅ卸ê瘮?shù)的單調(diào)性呢？

[教師活動(dòng)]問(wèn)題6：證明在區(qū)間（0，+ ∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

[學(xué)生活動(dòng)]學(xué)生相互討論，嘗試自主進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的證明，可能會(huì)出現(xiàn)不知如何比較與的大小、不會(huì)正確表述、變形不到位或根本不會(huì)變形等困難．

[教師活動(dòng)]教師深入學(xué)生中，與學(xué)生交流，了解學(xué)生思考問(wèn)題的進(jìn)展過(guò)程，投影學(xué)生的證明過(guò)程，糾正出現(xiàn)的錯(cuò)誤，規(guī)范書(shū)寫(xiě)的格式．

[學(xué)生活動(dòng)]學(xué)生自我歸納證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法和步驟：取值、作差變形、定號(hào)、判斷．

[設(shè)計(jì)意圖]有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，不能單純的模仿與記憶，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)過(guò)程更是如此．利用學(xué)生自己提出的問(wèn)題，讓學(xué)生在解題過(guò)程中親身經(jīng)歷和實(shí)踐體驗(yàn)，師生互動(dòng)學(xué)習(xí)，生生合作交流，共同探究．

（四）回顧反思 深化概念

[教師活動(dòng)]給出一組題：

1、定義在R上的單調(diào)函數(shù)函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？

2、若定義在R上的單調(diào)減函數(shù)取值范圍嗎？

[學(xué)生活動(dòng)]學(xué)生，并通過(guò)問(wèn)題，歸納總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容和方法.[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)學(xué)生的互相討論，使學(xué)生在探求問(wèn)題的解答和問(wèn)題的解決過(guò)程中，深切體會(huì)本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)單調(diào)性認(rèn)識(shí)的再次深化.[教師活動(dòng)]作業(yè)布置：

（1）閱讀教材

（2）書(shū)面作業(yè)：

必做：教材 P43 1、7、11 選做：二次函數(shù)一嗎？

在［0，＋∞）是增函數(shù)，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的值唯

滿(mǎn)足，你能確定實(shí)數(shù)的滿(mǎn)足，那么函數(shù)

是R上的單調(diào)增探究：函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間，由這兩個(gè)基本函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性如何？請(qǐng)證明你得到的結(jié)論．

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)兩方面的作業(yè)，使學(xué)生養(yǎng)成先看書(shū)，后做作業(yè)的習(xí)慣．基于函數(shù)單調(diào)性?xún)?nèi)容的特點(diǎn)及學(xué)生實(shí)際，對(duì)課后書(shū)面作業(yè)實(shí)施分層設(shè)置，安排基本練習(xí)題、鞏固理解題和深化探究題三層．學(xué)生完成作業(yè)的形式為必做、選做和探究三種，使學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿(mǎn)的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)氛圍的形成．

四、教學(xué)評(píng)價(jià)

學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果評(píng)價(jià)當(dāng)然重要，但是更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程評(píng)價(jià)．教師應(yīng)當(dāng)高度重視學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與度、自信心、團(tuán)隊(duì)精神、合作意識(shí)、獨(dú)立思考習(xí)慣的養(yǎng)成、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力，以及學(xué)習(xí)的興趣和成就感．學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)可以讓更多的學(xué)生主動(dòng)參與，師生對(duì)話(huà)可以實(shí)現(xiàn)師生合作，適度的研討可以促進(jìn)生生交流以及團(tuán)隊(duì)精神，知識(shí)的生成和問(wèn)題的解決可以讓學(xué)生感受到成功的喜悅，縝密的思考可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣．讓學(xué)生在教師評(píng)價(jià)、學(xué)生評(píng)價(jià)以及自我評(píng)價(jià)的過(guò)程中體驗(yàn)知識(shí)的積累、探索能力的長(zhǎng)進(jìn)和思維品質(zhì)的提高，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)． 我相信赫爾巴特的名言：使教育過(guò)程成為一種藝術(shù)的事業(yè)！

第五篇：函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

戴氏教育高中數(shù)學(xué)組

杜劍 【教材分析】

《函數(shù)單調(diào)性》是高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章第三節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，是研究和討論初等函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。掌握本節(jié)內(nèi)容不僅為今后的函數(shù)學(xué)習(xí)打下理論基礎(chǔ)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：

1．通過(guò)生活中的例子幫助學(xué)生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。2．學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義。過(guò)程與方法：

1．通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義的教育。2．通過(guò)探究與活動(dòng)，使學(xué)生明白考慮問(wèn)題要細(xì)致，說(shuō)理要明確。情感與態(tài)度：

1．通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生能理性的描述生活中的增長(zhǎng)、遞減的現(xiàn)象。

2．通過(guò)生活實(shí)例感受函數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力和數(shù)形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的能力。【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的理解及應(yīng)用。難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判定及證明。關(guān)鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解。【教法分析】

為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教法上我采取了：

1．通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際生活問(wèn)題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主體參與的積極性。

2．在形成概念的過(guò)程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語(yǔ)句，通過(guò)學(xué)生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵(lì)學(xué)生主體參與的同時(shí)，不可忽視教師的主導(dǎo)作用，要教會(huì)學(xué)生清晰的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，并順利地完成?shū)面表達(dá)。【學(xué)法分析】

在教學(xué)過(guò)程中，教師設(shè)置問(wèn)題情景讓學(xué)生想辦法解決；通過(guò)教師的啟發(fā)點(diǎn)撥，學(xué)生的不斷探索，最終把解決問(wèn)題的核心歸結(jié)到判斷函數(shù)的單調(diào)性。然后通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)理解，最終把問(wèn)題解決。整個(gè)過(guò)程學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考、探索嘗試的動(dòng)態(tài)活動(dòng)之中；同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度研究問(wèn)題的習(xí)慣?！窘虒W(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】

（一）問(wèn)題情境

遵義一天的天氣

設(shè)計(jì)意圖：用天氣的變化，讓學(xué)生用樸素的生活語(yǔ)言描述他們對(duì)變化規(guī)律的理解，并請(qǐng)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，這樣做可使教學(xué)過(guò)程富有情趣，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教學(xué)起點(diǎn)的設(shè)定也比較恰當(dāng)，學(xué)生的參與度較高。

（二）溫故知新

1．問(wèn)題1：觀(guān)察學(xué)生繪制的函數(shù)的圖象（實(shí)際教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢(shì)。

觀(guān)察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈上升趨勢(shì)，有的呈下降趨勢(shì)，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢(shì)，在另一區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢(shì)。

2．問(wèn)題2：對(duì)“圖象呈逐漸上升趨勢(shì)”這句話(huà)初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x2時(shí)，我們知道，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大。

回憶初中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的解釋?zhuān)?/p>

圖象呈逐漸上升趨勢(shì)?數(shù)值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢(shì)?數(shù)值y隨x的增大而減小。

函數(shù)這種性質(zhì)稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)性。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在函數(shù)單調(diào)性這一概念的學(xué)習(xí)上有三個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)：一是生活體驗(yàn)，二是函數(shù)圖象，三是初中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)。對(duì)照繪制的函數(shù)圖象，讓學(xué)生回憶初中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的描述的定義，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的符號(hào)化建構(gòu)，與學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)銜接緊密，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）建構(gòu)概念

問(wèn)題3：如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？

對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2，當(dāng)x1?x2時(shí)，都有f(x1)?f(x2)。

單調(diào)增函數(shù)的定義：

問(wèn)題4：如何定義單調(diào)減函數(shù)呢？ 可以通過(guò)類(lèi)比的方法由學(xué)生給出。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)師生雙邊活動(dòng)及學(xué)生討論，可以讓學(xué)生充分參與用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)單調(diào)性的全過(guò)程，讓他們親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念如何從直觀(guān)到抽象，從文字到符號(hào)，從粗疏到嚴(yán)密。讓他們充分感悟數(shù)學(xué)概念符號(hào)化的建構(gòu)原則。問(wèn)題4則要求學(xué)生結(jié)合圖象化單調(diào)增函數(shù)的定義，通過(guò)類(lèi)比的方法，由學(xué)生自己得到單調(diào)減函數(shù)的概念，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生可以體會(huì)數(shù)學(xué)概念是如何擴(kuò)充完善的。

（四）理解概念

1．顧名思義，對(duì)“單調(diào)”兩字加深理解

漢語(yǔ)大詞典對(duì)“單調(diào)”的解釋是：簡(jiǎn)單、重復(fù)而沒(méi)有變化。2．呼應(yīng)引入，解決問(wèn)題情境中的問(wèn)題

如：y?2x?1的單調(diào)增區(qū)間是(??,??)；y?3．單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì) 如：函數(shù)y?上減函數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生討論，從圖象上觀(guān)察或用特殊值代入驗(yàn)證否定結(jié)論（如取x1??1,x2?

1在(0,??)上是減函數(shù)。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數(shù)，能否說(shuō)y?在定義域(??,0)(0,??)上x(chóng)x1）。

2設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)一個(gè)概念的認(rèn)識(shí)不可能一次完成，教師要善于從多個(gè)角度，通過(guò)概念變式教學(xué)和構(gòu)造反例幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延。在學(xué)習(xí)如何證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性之前，先與學(xué)生 一起探討怎樣才能否定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念尤為重要，可以加深學(xué)生對(duì)“任意”兩字的理解。

（五）運(yùn)用概念

通過(guò)兩例，教師要向?qū)W生說(shuō)明： 1．判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法：①觀(guān)察法：畫(huà)出函數(shù)圖象來(lái)觀(guān)察；②定義法：嚴(yán)格按照定義進(jìn)行驗(yàn)證；③分解法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調(diào)性的較簡(jiǎn)單函數(shù)的組合。

2．概括出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值→作差→變形→定號(hào)。練習(xí)：作出函數(shù)y?|x?1|?

1、y?|x2?1|的圖象，寫(xiě)出他們的單調(diào)區(qū)間。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)握{(diào)性證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證問(wèn)題，通過(guò)本例，要讓學(xué)生理解判斷函數(shù)單調(diào)性與證明函數(shù)單調(diào)性的差別，掌握證明函數(shù)單調(diào)性的程序，并深入理解什么是代數(shù)證明，代數(shù)證明要做什么事。

（六）回顧總結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，單調(diào)區(qū)間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，從中體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會(huì)從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來(lái)研究問(wèn)題。【教學(xué)反思】

1．給出生活實(shí)例和函數(shù)單調(diào)性的圖形語(yǔ)言，調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)，通過(guò)直觀(guān)圖形得出結(jié)論，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是學(xué)生思維的開(kāi)始，問(wèn)題是學(xué)生興趣的開(kāi)始。這里，通過(guò)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)的好奇心。

2．給出函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。通過(guò)教師指圖說(shuō)明，分析定義，提問(wèn)等辦法，使學(xué)生把定義與直觀(guān)圖象結(jié)合起來(lái)，加深對(duì)概念的理解，滲透數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。

3．有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，不能單純的模仿與記憶，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)過(guò)程更是如此．利用學(xué)生自己提出的問(wèn)題，讓學(xué)生在解題過(guò)程中親身經(jīng)歷和實(shí)踐體驗(yàn)，師生互動(dòng)學(xué)習(xí)，生生合作交流，共同探究。

4．通過(guò)安排基本練習(xí)題，使學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿(mǎn)的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)氛圍的形成。

5．讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程應(yīng)該成為這節(jié)課的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)。函數(shù)的單調(diào)性的定義是對(duì)函數(shù)圖象特征的一種數(shù)學(xué)描述，它經(jīng)歷了由圖象直觀(guān)感知到自然語(yǔ)言描述，再到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述的進(jìn)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程充分反映了數(shù)學(xué)的理性精神，是一個(gè)很有價(jià)值的數(shù)學(xué)教育載體。

6．教學(xué)設(shè)計(jì)最根本的著力點(diǎn)是“為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)”，而不是“為教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)”。通過(guò)對(duì)“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)，我對(duì)“為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)”有了更深的理解。如果把教學(xué)看作是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起去遠(yuǎn)足，那么學(xué)情分析的目的是要分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，確定一個(gè)合情合理的教學(xué)起點(diǎn)；目標(biāo)導(dǎo)向這是要教師分析預(yù)期達(dá)到的教學(xué)效果，即遠(yuǎn)足所期望到達(dá)的目的地，這是教學(xué)的根本和核心任務(wù)，是教學(xué)設(shè) 計(jì)的關(guān)鍵；知識(shí)定位則好比是教師要預(yù)先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進(jìn)的方法和策略；問(wèn)題設(shè)計(jì)則好比是設(shè)計(jì)行程，恰當(dāng)安排可以指引師生高效地向著目的地前行。本節(jié)課就是通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)思想來(lái)安排教學(xué)設(shè)計(jì)的。