第一篇：函數(shù)單調(diào)性教學與反思

函數(shù)單調(diào)性教學與反思

教學內(nèi)容：

（一）引入課題

我國的人口出生率變化曲線（如下圖），請同學們觀察說出人口出生的大致變化情況。我們可以很方便地從圖象觀察出人口出生的變化情況，對今后的工作具有一定的指導意義。

下面我們開始研究函數(shù)在這方面的主要性質(zhì)之一―――函數(shù)的單調(diào)性。

（二）形成概念

1、觀察引入

演示動畫（1）函數(shù)y=2x+1隨自變量x 變化的情況

（2）函數(shù)y=-2x+1隨自變量x 變化的情況

（設計意圖：由初中知識過度到今天要學的知識，對初中知識進行深化，激起學生新的認知沖突，從而調(diào)動學生積極性）

2、步步深化

演示動畫(3)函數(shù)y=x2隨自變量x 變化的情況，設置啟發(fā)式問題：

(1)在y軸的右側(cè)部分圖象具有什么特點？

(2)指出在y軸的右側(cè)部分自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律？(3)如果在y軸右側(cè)部分取兩個點（x1，y1），（x2，y2），當x1

(4)如何用數(shù)學符號語言來描述這個規(guī)律？

教師補充：這時我們就說函數(shù)y=f(x)=x2在(0,+ ?)上是增函數(shù).(5)反過來，如果y=f(x)在(0,+ ?)上是增函數(shù)，我們能不能得到自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律呢？ 類似地分析圖象在y軸的左側(cè)部分。

（設計意圖：通過啟發(fā)式提問，實現(xiàn)學生從“圖形語言”?“文字語言”?“符號語言”多方面認識函數(shù)的單調(diào)性，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，另外，我認為學生對“任意性”較難理解，特設計了（3）、（4）問題，步步深入，從而突破難

點，突出重點。）

3、形成概念

注意：（1）變量屬于定義域

（2）注意自變量x1、x2取值的任意性

（3）都有f(x1)>f(x2)或f(x1)

（設計意圖：體現(xiàn)從簡單到復雜、具體到抽象的認知過程。在課堂教學中教師引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養(yǎng)學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創(chuàng)新意識。）

（三）深化概念

例1 如圖6是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).(通過講解例1，讓學生學會通過觀察圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。)例2 證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù).證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數(shù)，且x1

11x?x－=21,（注意變形程度）x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ ?)，得x1x2>0, 又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴f(x)= 1在(0,+ ?)上是減函數(shù).x(此題是為了進一步加強證明的規(guī)范性，嚴謹性)（設計意圖：通過例題的教學，有助于學生內(nèi)化所學的概念，建構(gòu)新的知識體系，在例題教學中通過學生的交流，實現(xiàn)師生互動；通過教師針對性點評，有利于深刻理解概念。）

（四）即時訓練 課堂練習：

1、書P60 練習1（請同學口答）

2、判斷函數(shù)f(x)=在(-?,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你

1x的結(jié)論.（設計意圖：一個新知識的出現(xiàn)，要達到熟練運用的效果，僅僅了解是不夠的，一定量的“重復”是有效的，也是必要的，所謂“溫故而知新”、“熟才能生巧”。）反思：

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，并且學生是頭一次接觸函數(shù)的單調(diào)性，陌生感強。函數(shù)單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間的概念掌握起來有一定困難，這樣會增加學生的負擔，不利于學生學習興趣的激發(fā)。學生已有的認知基礎(chǔ)是，初中學習過函數(shù)的概念，初步認識到函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學概念。進入高中以后，又進一步學習了函數(shù)的概念，認識到函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一種對應。學生只學過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)，所以對函數(shù)的單調(diào)性研究也只能限于這幾種函數(shù)。學生的現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)中能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量x的增大函數(shù)值y增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數(shù)圖象的直觀性、發(fā)揮好多媒體教學的優(yōu)勢通過一組常見的具體函數(shù)例子，引導學生借助初中學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，從函數(shù)圖像分析入手，使學生對增、減函數(shù)有一個直觀的感知。從圖象直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識。

教學中，通過一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調(diào)增的說法。通過討論、交流，讓學生嘗試，就一般情況進行刻畫，提出“在某區(qū)間上，如果對于任則函數(shù)在該區(qū)間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征。進一步給出函數(shù)單調(diào)性的定義。然后通過辨析、練習等幫助學生理解這一概念。

用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性。應該注意證明的四個基本步驟：取值——作差變形——定號——判斷。把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養(yǎng)成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是本節(jié)課的一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊。

第二篇：函數(shù)的單調(diào)性教學反思

教學反思

函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)。對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．

1、新課標明確指出：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，不僅把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想將貫穿高中數(shù)學課程的始終《函數(shù)的單調(diào)性》的課標教學要求，從結(jié)合實際問題出發(fā)，讓學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的重要性，初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的間斷問題。數(shù)學新課標還提到：要注重提高學生的數(shù)學思維能力，即“在學生學習數(shù)學運用數(shù)學解決問題時，應經(jīng)歷直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程”。所以在本節(jié)課的教學設計中在分析學生的認知發(fā)展水平和已有的只是經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，讓學生通過觀察函數(shù)圖像的變化規(guī)律，然后歸納猜測，勇于實踐探究式的教學方法，取得了較好的教學成果。

2、函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)

在理解函數(shù)單調(diào)性的定義時，值得注意下列三點：(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.在討論函數(shù)的單調(diào)性時，特別要注意,若f(x)在區(qū)間D1，D2上分別是增函數(shù)，但f(x)不一定在區(qū)間D1∪D2上是增函數(shù)，例如：函數(shù)

f(x)=(x-1)/(x+1)在(－∞,－1)上是增函數(shù)，在(－1，+∞)上也是增函數(shù)，但在(－∞,－1)∪(－1,+∞)上不是增函數(shù)，f(1)

f(x1)x2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

2.判斷函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間時，可以結(jié)合函數(shù)的圖象升降進行判定，對于一般函數(shù)需用增、減函數(shù)定義加以證明，用定義的證明函數(shù)的單調(diào)性學生還存在問題較多。

3.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=x+a/x(a>0)型的函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間要記熟，把它們作為性質(zhì)，可應用到一般函數(shù)單調(diào)性的判斷上.

4.由于時間的限制，這節(jié)課對二次函數(shù)單調(diào)性的討論及應用進行的并不充分，下節(jié)課對于函數(shù)的單調(diào)性的定義的可逆性，已知二次函數(shù)在某個區(qū)間的增減性，求參數(shù)的取值等問題還需進一步探討。

第三篇：函數(shù)的單調(diào)性教學反思

函數(shù)的單調(diào)性教學反思

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)非常重要的性質(zhì)，在初中學習函數(shù)時，對這個問題已經(jīng)有了初步的探究，當時研究比較粗淺，沒有明確的定義。函數(shù)的單調(diào)性從圖像的角度看，簡單，清楚，直觀容易理解。因此，這節(jié)課的設計是從熟悉的簡單的具體的一次函數(shù)，二次函數(shù)入手，讓每個學生通過圖像體會圖像的變化情況，并用普通語言描述。通過動畫演示，讓學生觀察兩個點在運動的過程中橫、縱坐標之間的關(guān)系，并用抽象的數(shù)學符號語言來刻畫，即當x1f(x2)，給出增函數(shù)的定義，再通過類比給出減函數(shù)的定義，并對函數(shù)單調(diào)性作深入的討論。最后通過兩個例題的講解加強學生對概念的理解。例1讓學生學會通過函數(shù)圖像找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，明白函數(shù)的單調(diào)性是在定義域的子區(qū)間上的性質(zhì)，由例2歸納出用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，從而突破難點。

本節(jié)課是學生在教師的指導下的逐步探索過程。在探索過程中，讓學生通過觀察、實驗歸納及抽象概括等體會從特殊到一般，從具體抽象、從簡單到復雜的研究方法，讓學生學會圖形語言、普通語言以及抽象上學符號語言之間相互轉(zhuǎn)換，并滲透數(shù)形結(jié)合的，分類討論等數(shù)學思想。

在整個課堂的教學中，我暴露了作為新老師的種種問題。（1）本節(jié)課教學旨體現(xiàn)了課堂教學從“灌輸式”到“引導發(fā)現(xiàn)式”的轉(zhuǎn)變，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結(jié)科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。然而在實際授課中，引導學生主動發(fā)現(xiàn)問題，主動解決問題的語言不夠精煉，并不能很好的引導學生的思維，而是變成了“滿堂貫”。

⑷ 本人認為在概念教學中多花一些時間是值得的，因為只有理解掌握了概念，才能更好地幫助學生落實“雙基”，更好地幫助學生認識數(shù)學，認識數(shù)學的思想和本質(zhì)，進一步地發(fā)展學生的思維，提高學生的解題能力。在例題的講解中我注意培養(yǎng)學生回答問題的規(guī)范性。教師起到一個引導作用，教學有法，教無定法，相信只要我們大膽探索，勇于嘗試，課堂教學一定會更精彩！但是，在實際課堂中，在對概念的講解時并沒有強調(diào)到關(guān)鍵點，比如單調(diào)性中對“任意的”的理解，因此在對概念的講解上還需要加強。而在例題的講解過程中，也沒有引導學生對例題有一個整體的思考，引導學生學會讀題，從哪里入手解題等等問題，而是直接給出了此類題型的一般解法，而由于學生的基礎(chǔ)不扎實，因而對教師所給的解法不理解，導致在變式證明函數(shù)的單調(diào)性的時候，覺得無從下手。實際授課時，過度不自然，從創(chuàng)設情境到概念的講解，最后到例題，過度的顯得生硬不通暢。這些都需要加強。

⑸ 在實際中的不足：教師語速平平，可能會使學生容易走神，應做到抑揚頓挫，有感情，用教師的激情去感染學生；在講臺上小動作過于明顯，教姿教態(tài)有待進一步的提高，以積極飽滿的情緒感染學生，這樣學生才會有主動學習的動力。

第四篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學的三個關(guān)鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學的難點。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。

關(guān)鍵點1。學生 學習函數(shù)單調(diào)性的認知基礎(chǔ)是什么？

在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學概念，也已經(jīng)形成初步認識。接踵而來的任務是對函數(shù)應該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學研究中，建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。

就中小學生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學生認識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認識，函數(shù)單調(diào)性教學的引入應該從學生的已有認知出發(fā)，建立在學生初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎(chǔ)上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點2。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學學科這個整體來看，數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學習數(shù)學的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關(guān)注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數(shù)學的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構(gòu)學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。

在初中數(shù)學中，除了學習函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態(tài)數(shù)學對象的數(shù)學符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學符號表示靜態(tài)的數(shù)學對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)的數(shù)學對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學生領(lǐng)悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進行強調(diào).同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學目標】

1．使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p>

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預案：如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在

〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認識

學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學設計說明

一、教學內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成．

三、教學過程的設計

為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數(shù)學基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．

第五篇：函數(shù)的單調(diào)性反思

函數(shù)的單調(diào)性反思

積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數(shù)學基礎(chǔ)課程，無一不是以函數(shù)作為基本函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識是今后研究具體函數(shù)的單調(diào)性理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；在歷年的高考中對函數(shù)的單調(diào)性考查每年都有涉及；同時在這一在本節(jié)課中的教學中以函數(shù)的單調(diào)性的概念為線，它始終貫穿于整個課堂教學過程；利 用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，且在“作差、變形、定號”過程學生不易掌握。按現(xiàn)行新教材結(jié)構(gòu)體系，學生只學過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)，所以對函數(shù)的單調(diào)性研究也只能限于這幾種函數(shù)。學生的現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)中能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大函數(shù)值增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數(shù)圖象的直觀性、發(fā)揮好多媒體教學的優(yōu)勢；由于學生在概念的掌握上缺少系統(tǒng)性、嚴謹性，在教學中須加強。

(一)注意與初中內(nèi)容的銜接

函數(shù)這章內(nèi)容是與初中數(shù)學最近的結(jié)合點，如果初中代數(shù)中的內(nèi)容沒有學習好或遺忘的過多，學習本章就有障。本章很多內(nèi)容都是在初中的基礎(chǔ)上講授的，如函數(shù)概念，要在講授之前復習好初中函數(shù)及其圖象的主要內(nèi)容，包括函數(shù)的概念、函數(shù)圖象的描繪，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)等等；又如指數(shù)概念的擴充，如果沒有正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)知識，有理數(shù)指數(shù)冪就無法給出，運算性質(zhì)也是如此，因此在本章教學中要注意與初中所學的有關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，做好初、高中數(shù)學的銜接和過渡工作。

(二)注意數(shù)形結(jié)合本章的內(nèi)容中圖象占有相當大的比重，函數(shù)圖象對于研究函數(shù)的性質(zhì)起到很重要的作用本身就是由函數(shù)圖象給出的。所以在本章教學中要特別注意利用函數(shù)圖象，使學生不僅能從圖象觀察得到相應的性質(zhì)，同時在研究性質(zhì)時也要有函數(shù)圖象來印證的思維方式。在教學過程中要注意培養(yǎng)學生繪制某些簡單函數(shù)圖象的技能，記住某些常見的函數(shù)圖象的草圖，養(yǎng)成利用函數(shù)圖象來說明函數(shù)的性質(zhì)和分析問題的習慣

(三)注意與其他章內(nèi)容的聯(lián)系

本章是在集合與簡易邏輯之后學習的，映射概念本身就屬于集合的知識。因此，要經(jīng)常聯(lián)系前一章的內(nèi)容來學習本章，又如學會二次不等式解集的表示就要用到求函數(shù)的定義域或表示值域等知識上來。簡易邏輯中的充要條件在本章中就章節(jié)的聯(lián)系，也要注意聯(lián)系物理、化學等學科的知識內(nèi)容來豐富和鞏固本章的內(nèi)容。

如果我再上這節(jié)課，我會引導學生從特殊入手，注意和初中知識的聯(lián)系。然后教會學學生如何用數(shù)學思維嚴格地論證函數(shù)的單調(diào)性。