第一篇：小學數學建模教學的程序思考2012

小學數學建模教學的程序思考

磨·模·魔

——

一

關于“數學建?！保兄^為確定的含義，即“把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題。數學知識的這一運用過程也就是數學建模?！倍盀榱艘欢ǖ哪康膶ΜF實原型作抽象、簡化后，采用形式化的數學符號和語言所表述出來的數學結構”也就是“數學模型”，它是數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述?！睘榱烁蜗蟮卣f明上述理論，我們可以引用柯朗和羅賓在《什么是數學》中曾舉出的一個實例：

我們用字母來表示運算定律（如ɑ+b=b+ɑ），“好像是很顯然的，但是它們對于整數以外的對象可能不適用。如果ɑ和b不是整數的符號，而是化學物質的符號，那么很顯然，交換律并不總是成立的”；“對抽象的整數概念給出一個具體模型就能夠說明規(guī)律所依據的直觀基礎”。如下圖，在方框中放一些點，一個點代表一個對象，兩個整數ɑ和b相加時，把相應的方框兩端連線并去掉中間的相隔線，加法的意義就通過這個直觀的具體模型表示出來了。

同樣，ɑ和b相乘，把兩個方框中的點排成ɑ行、b列個點： 這樣的圖示，可以看成是加法和乘法的直觀模型。

張奠宙教授認為，“廣義地講，數學中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數學模型。加減乘除都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。但是，按通行的比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數學關系結構才叫做數學模型。例如，平均分派物品的數學模型是分數；元角分的計算模型是小數的運算；500人的學校里一定有兩個人一起過生日，其數學模型就是抽屜原理?！?/p>

以這樣的認識來看待小學數學教學，很顯然，小學生學數學似乎都不必要學得這樣抽象、這樣概括，甚至可以說，小學數學教學中難以有真正的“狹義意義”上的數學建模。然而，換一個角度來看，我們又應該清醒地知道“建?！?、“模型”對于數學、對于數學學習的重要價值。鄭毓信教授在《數學教育哲學》一書談到：“就數學在古埃及、古巴比倫等地的早期發(fā)展而言，人們主要是通過觀察或實驗、并依靠對于經驗事實的歸納獲得了關于真實事物或者現象量性屬性的某些認識；但是，從現今的觀點看，這些只能說是一種經驗的知識而不能被看成真正的數學知識，因為，真正的數學知識應當是關于抽象對象的研究”、“原始意義上的七橋問題，即能否一次且無重復地通過哥尼斯堡的七座橋的問題，顯然只能說是一個游戲，而不被看成一個真正的數學問題；與此相反，這一問題由于歐拉的合理抽象被變形成了一般的‘一筆畫’問題，并通過‘奇點’、‘偶點’等概念的引進得到了十分一般的處理，從而獲得了真正的數學意義”。

由此可以看出，數學在本質上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數學學習只有深入到“模型”、“建模”的意義上，才是一種真正的數學學習。這種“深入”，就小學數學教學而言，更多地是指用數學建模的思想和精神來指導著數學教學，“從學生已有的生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進入和發(fā)展?！?/p>

二

用數學建模的思想來指導著數學教學，不同的年級、內容、學習對象應該體現出一定的差異，但也存在著很大的關聯性。就教學實施的一般程序來看，可以歸結到三個字：“磨”、“?！?、“魔”。

一、“磨”。

所謂“磨”，即“琢磨”。也就是教師首先要反復琢磨每一具體的教學內容中隱藏著怎樣的“?！?？需要幫助學生建立怎樣的“模”？如何來建“?！?？在多大的程度上來建“模”？所建的“?！焙徒５倪^程對于兒童的數學學習具有怎樣的影響？??在基于建模思想的數學教學中，這些問題都是一些本原性的問題。一個老師如果從來不曾在這些方面作過思考的話，可以肯定，他的數學課堂上數學知識概念、命題、問題和方法等很難見到“數學模型”的影子，他的學生也可能從未感受過“數學模型”的力量。

眾所周知，“雞兔同籠”問題的數學模型是二元一次整數方程，然而，在小學里學生并不學習二元一次整數方程。可是，“雞兔同籠”卻被廣泛地運用到小學教材中：北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應用。教學這些內容時，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過于簡單和淺薄。那么，對小學生的數學學習而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得關注的：一是內容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結構特征（告知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關系，求未知量）；二是方法層面的，即“假設法”的一般解題思路（畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設”）；三是思想層面的，即從一個具體的“雞兔同籠”數學問題出發(fā)，在經歷了對其解答的過程之后，能將解決它的方法和思路進行擴展運用（學習“雞兔同籠”，最終的目標并不僅僅是會解答一道“雞兔同籠”，更有其他）。有了這樣的理解，在教學中，我們就會引導學生在關注教材中所編排內容的同時，注意把握題目的類型、結構和類比運用，用系統(tǒng)的眼光來看待它的教學價值。這些，恰恰是學生到了中學后真正建立二元一次整數方程數學模型的基礎。

再比如，“確定位置”的數學模型是立體坐標系。學生在一年級接觸到的一列隊伍中“老爺爺排在第3個”，其實就是一維空間上的確定位置；在二年級接觸到的“小明坐在第3排第4個”，其實就是二維空間上的確定位置；五年級學習的“數對”則是初步抽象的二維坐標模型。如果在教學中能將這一層意義滲透進去，一定能為學生將來學習立體坐標系提供很好的支持。

眼界決定境界。一個老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識，往往會決定著他的教學深刻性和數學課堂的品質。

二、“?！薄?/p>

所謂“?！?，即“建?！?。也就是在教學中要幫助學生不斷經歷將現實問題抽象成數學模型并進行解釋和運用。對小學數學而言，“建模”的過程，實際上就是“數學化”的過程，是學生在數學學習中獲得某種帶有“模型”意義的數學結構的過程。以下是兩位老師利用同一素材教學“減法”的片段： 【教學片段1】 出示情境圖。

師：請同學們認真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么？ 生：有5個小朋友在澆花，走了2個，剩下3個。師：你真棒!誰再來說一說。

生：原來有5個小朋友在澆花，走了2個小朋友，還剩下3個小朋友。師：很好！你知道怎樣列式嗎？ 生：5-2=3。

教師聽了滿意地點點頭，板書5-2=3。接著教學減號及其讀法。【教學片段2】

出示情境圖。（同上）

師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么？ 生：從圖中我看到了有5個小朋友在澆花。師：第二幅圖呢？

生：第二幅圖中有2個小朋友去提水了，剩下3個小朋友。師：你能把兩幅圖的意思連起來說嗎？

生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下3個。

師：同學們觀察得很仔細，也說得很好。你們能根據這兩幅圖的意思提一個數學問題嗎？

生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩幾個？ 生（齊）：3個。

師：對，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺呢？

（教師在行間指導學生擺圓片，并請一生將圓片擺在情境圖的下面。）

師：（結合情境圖和圓片說明）5個小朋友在澆花，走了2個，還剩3個；從5個圓片中拿走2個，還剩3個，都可以用同一個算式（學生齊接話：5-2=3）來表示。（在圓片下板書：5-2=3）生齊讀：5減2等于3。

師：誰來說一說這里的5表示什么？

2、3又表示什么呢？ ??

師：同學們說得真好！在生活中存在著許許多多這樣的數學問題，5-2=3還可以表示什么呢？請同桌互相說一說。

生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。

生2：樹上有5只小鳥，飛走2只，還剩3只。??

上述兩段教學，所體現出來的教學著力點是不一樣的。第一個片段，屬于“就事論事”式的簡單教學，教師對教學的定位完全停留在知識傳授的層面上，“5-2=3”僅是一道題的解答算式而已。第二個片段，除了教學充分展開外，更主要的是滲透了初步的數學建模思想，訓練的是學生抽象、概括、舉一反三的學習能力。且這種訓練并不是簡單、生硬地進行，而是和低年級學生數學學習的特點相貼切——由具體、形象的實例開始，借助于操作予以內化和強化，最后通過思維發(fā)散和聯想加以擴展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。

運用建模思想來指導小學數學教學，在很大程度上是要在學生的認知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數學結構特征的“模型”載體，通過這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學生實現數學抽象，為后續(xù)學習提供強有力的基礎支持。當然，對學生“模型”意識的培養(yǎng)和“建?！狈椒ǖ闹笇?，要根據具體內容和具體年級而有層次不同的要求，低年級要恰到好處地結合日常實例和常規(guī)教學對學生進行“模型”及“模型意識”的滲透、點化，高年級則可以更明確地引導學生關注數學學習中“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力。

三、“魔”。所謂“魔”，即“著魔”，也就是學生對“模型”在數學學習中的運用有著深切的體驗和感悟，并對之產生好奇，從而在數學學習中能主動地構想模型、建立模型、運用模型。兒童數學教學的終極目標，應該是讓學生都懂數學、愛數學，對數學懷有敬畏之心和熱愛之情。要實現這樣的目標，數學教學就不能只停留在知識和方法層面，而是要深入到數學的“腹地”，用數學自身的魅力來吸引學生。正如日本數學家米山國藏所說：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。

要讓學生能充分感受到數學模型和建模教學所產生的“魔力”，實際教學中，一方面要結合日常教學給學生以充分的體驗和感受。比如，在二年級教學“確定位置”時，設定觀察的規(guī)則（觀察順序）非常重要——“從左向右數是第幾排”、“從前往后數是第幾列”、“從下往上數是第幾層”??如果我們結合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線→”（坐標系中的“橫軸”原型）和“縱向帶箭頭的直線↑”（坐標系中的“縱軸”原型），既將觀察順序形象表達，又蘊含了二維坐標（第一象限）的基本原理。如果學生在獨立練習中也能模仿著使用，那感受會更加深刻。而在六年級學習“確定位置”（用方向、角度、距離來確定平面圖中任意一個位置）時，如果讓學生試著總是以觀測點為中心先畫出一個“十字”坐標圖然后再確定位置，那學生的觀察不僅變得有序，而且準確性很高。在此基礎上，老師再對學生進行“建?！薄ⅰ坝媚！钡膶W習水平進行適當評價和鼓勵，教學的境界就會大大提升。另一方面，也可以在中高年級進行一些專題性的訓練。我們曾以“雞兔同籠”為例進行過這方面的嘗試。在學生初步能用不同的假設思路解答雞兔同籠的題目后，老師提問：“生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)殖的嗎？就是放在一起養(yǎng)殖，也沒誰去做數頭數腳這種無聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費苦心地研究來研究去的，一千多年過去了，雞兔同籠這道數學題還作為寶物似的流傳到今？”（屏幕顯示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？）在學生對所提問題一時困惑皺眉時，老師提議帶著這個問題來繼續(xù)進行“龜鶴同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑問：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？”經過研究和比對，學生發(fā)現：“雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問題，有很多類似的問題都可以看成是“雞兔同籠”問題，如人馬問題、牛雞問題、汽車和自行車的輪子問題，等等。隨后，師生共同研究“信封里放著5元和2元的鈔票，共8張，34元，信封里5元和2元的鈔票各有多少張？”，探討其與雞兔同籠問題的關聯。經過比較和猜想，學生的認識再次提升：“這里的2元的鈔票就相當于雞有2只腳，而5元的鈔票就相當于兔，是5只腳的怪兔”。最后，老師讓學生聯系生活，將一些實際問題編成“怪雞”、“怪兔”同籠的數學問題并解答。到了課堂總結時，屏幕上第三次出示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？學生總結感受之后，老師順勢給以強化：從一個具體的數學問題出發(fā)，研究解法，并上升到一種模型，最后進行廣泛的運用，數學就是這樣發(fā)展起來的。同樣，如果我們在學習各種數學問題時能有“模型”的意識，舉一反三，能觸類旁通，那么你必將會走向數學學習的自由王國。

上述教學通過對“‘雞兔同籠’有什么獨特的魅力？”這一問題的三次追問把整節(jié)課串聯起來，雖然每一次追問的層次和目標是不一樣（第一次是針對具體的、“原生態(tài)”的雞兔同籠問題發(fā)問，主要是激發(fā)學生的探究欲望，向更高的學習層次邁進；第二次是進一步明確“雞兔同籠”問題的結構、模型，同時，又讓學生很好地經歷更高層次“數學化”的過程；第三次是幫助學生實現完整的“模型”建構，實現“形式的”數學知識向現實生活的“復歸”），但是，其核心都是讓學生從“模型”和“建?！钡慕嵌葋碛H近數學，了解數學。站在“高點”再回望探究之旅，學生對數學的認識就更加深入了，由此而產生的“魔力”，將深刻而持久地影響著他們的數學學習和生活。

這是數學教學的崇高境界。

《江蘇教育》2011年第3期

第二篇：小學數學建模案例

小學數學建模案例

相遇問題。①創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲。先請兩位同學在黑板的兩邊同時相向而行，可以讓學生重復多走幾次。接著可以問同學們看到了什么。學生的回答會有很多，如：他們在中間碰到了；兩個人面對面在走；兩個人背對背在走??此時就可以引入相遇問題中的一些條件：同時出發(fā)、相向而行、相背而行、途中相遇。當學生對此有一定的了解之后就可以舉一個具體的例子來進入教學重點了。例如：甲乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車繼續(xù)前進，甲車到達B地、乙車到達A地后均立即返回，第二次在距A地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。②抽象概括，建立模型，導入學習課題。此題可以將整個過程用線段圖來形象地描述，這就是這個相遇問題建立的數學模型。③研究模型，形成數學知識。

總結出一般規(guī)律之后可以舉個例子讓學生做，看看學生是否已經掌握，是否會應用這個規(guī)律來解決實際問題。如：兩艘渡輪在同一時刻垂直駛離H河的甲、乙兩岸相向而行，它們在距離甲岸720米處相遇。到達預定地點后，每艘船都要停留10分鐘，以便讓乘客上船下船，然后返航。這兩艘在距離乙岸4OO米處又重新相遇。問：該河的寬度是多少?可以請兩位同學到黑板上來做，其他同學做在作業(yè)本上，然后講解，并充分肯定學生的表現，增強學生的學習積極性。案例二：小學高年級數學教學時會遇到“牛吃草問題”，牛吃草問題又稱消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。

由于吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數不斷變化。例：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長，這片草地可供l0頭牛吃20天，或者可以供l5頭牛吃10天，問：可供25頭牛吃幾天?分析：這類題目難就難在牧場上草的數量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托麻L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出來的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數量相同，即每天新長出的草是不變的。下面就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草這兩個不變的量。

運用，J學數學建模解決此類問題時，要充分發(fā)揮學生的自主性，教師需要一步一步地引導學生建立數學模型。解決牛吃草問題的數學模型如下：假定一頭牛一天吃草量為“1”。①草的生長速度=(對應的牛頭數×吃的較多天數一相應的牛頭數X吃的較少天數)；②原有草量=牛頭數x吃的天數一草的生長速度X吃的天數；③吃的天數=原有草量÷(牛頭數一草的生長速度)；④牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度。由于小學數學建模是讓學生掌握新的知識、提高新的能力為目的，那么讓學生掌握和理解所建立的數學模型尤為重要，并且在理解的基礎上還要學會應用。牛吃草問題相關的數學問題還有很多，如：①有一個灌溉用的中轉水池，一直開著進水管往里灌水，一段時間后，用2臺抽水機排水，則用40分鐘能排完；如果用4臺同樣的抽水機排水，則用16分鐘排完。

問如果計劃用10分鐘將水排完，需要多少臺抽水機?②有一口很深的水井，連續(xù)不斷涌出泉水。使用17架抽水機來抽水，30分鐘可以將水抽干。若使用19架抽水機，則24分鐘就可以將水井抽干?，F在有若干架抽水機在抽水，6分鐘后，撤走4架抽水機，再過2分鐘后，水井被抽干。那么原來有抽水機多少架?③物美超市的收銀臺平均每小時有60名顧客前來排隊付款，每一個收銀臺每小時能應付80名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設一個收銀臺，付款開始4小時就沒有顧客排隊了，問如果當時開設兩個收銀臺，則付款開始幾個小時就沒有顧客排隊了?

第三篇：對小學數學建模教學的認識與思考

對小學數學建模教學的認識與思考

數學是社會生活和實踐活動的產物，來源于生活，又指導社會實踐活動，隨著時代的發(fā)展，特別是隨著計算機的迅猛發(fā)展和數學理論、方法的不斷擴充，數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，培養(yǎng)學生應用數學的意識和能力也已經成為數學教學的一個重要方面。而應用數學去解決各類實際問題就必須建立數學模型。小學數學教學的過程其實就是教師引導學生不斷建模和用模的過程。因此，用建模思想指導小學數學教學顯得愈發(fā)重要。

一、與數學建模有關的幾個概念

要了解數學建模，首先必須弄清與數學模型有關的幾個概念。1.什么是模型

模型就是為了批量生產某一類產品而專門制作的“模子”，制作不同的產品需要不同的模型，但它一旦固定下就有專一的用途，是不可改變的。模型的產生會大大提高做事的效率，提高勞動生產力，是一種科技生產的手段，它代表了科技的發(fā)展。

2.什么是數學模型

目前在我國對數學模型還沒有一個十分權威的定義，但比較一致的認識是：數學模型是對現實世界中的原型，為了某一個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構。

說得再通俗一點，數學模型就是為解決現實生活中的問題而建立的數學概念、公式、定義、定理、法則、體系等等。數學模型一般是用數學語言、符號、數量關系或圖形來呈現的，具有精確性、直觀性、簡潔性等特點。如加法的交換律（人教版四年級下）這一數學模型，教材上同時用了多種形式來呈現這一模型，“兩個加數交換位置和不變”這是用數學語言來描述的，“▲+★＝★+▲”這是轉化為了符號模型，“ɑ+b＝b+ɑ”是字母模型。

3.什么是數學建模

數學建模就是建立數學模型，就是對現實世界中的原型，為了某一個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能 “解決”實際問題的一種強有力的數學方法。數學建模是一個經歷觀察、思考、歸類、抽象與總結的過程，也是一個信息捕捉、篩選、整理的過程，更是一個思想與方法的產生與選擇的過程。它給學生再現了一種“微型科研”的過程。

從數學建模的概念中可以發(fā)現數學建模一般是指解決實際問題，要求學生能把實際問題歸納或抽象成數學模型加以解決?？梢赃@樣講，只要有數學應用的地方，就有數學建模。

二、小學數學建模教學的現狀分析

《數學課程標準》指出 “讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程,進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展?！边@就明確要求教師在教學中引導學生建立數學模型，不但要重視其結果，更要關注學生自主建立數學模型的過程，讓學生在進行探究性學習的過程中科學地、合理地、有效地建立數學模型。數學課程標準倡導以“問題情景→建立模型→解釋、應用與拓展”作為小學數學課程的一種基本敘述模式，并已經在教材中體現出按這一模式編寫內容。這是數學新課程體系直接體現“問題解決”教學模式的反映。值得注意的是，數學的工具性正是體現在數學的用模上，新課標強調過程與活動，實際上這里的過程與活動均是建模與用模的活動。

就建模而言，當前在小學數學教學中存在以下問題：

1.對數學建模的價值認識不足?，F在有不少教師在進行教學設計時，目光僅僅落在“知識與技能”這一目標維度上，只是為教數學知識而設計教學，從鋪墊到新課再到練習，亦步亦趨，學生缺少生活的原型作為支撐和背景，缺少探究發(fā)現數學規(guī)律、尋求數學方法、體會數學思想等體驗。盡管也有一些“過程”的設計，但這一過程更多的是學科內部純粹知識之間的演繹過程，缺少對學生數學建模意識的培養(yǎng)。

如，在教學求比一個數多幾的應用題，“小明家養(yǎng)了8只公雞，養(yǎng)的母雞只數比公雞多2只，母雞有幾只？”在教學此例題時老師都采用讓學生擺一擺、說一說等教學活動來幫助學生分析數量關系，理解“同樣多的部分”和“多出的部分”，但一般同學們在解釋數量關系式8+2=10時，絕大多數學生都會說“8只公雞”加上“2只母雞”等于10只母雞，而很少學生會用“同樣多的8只母雞”加上 “比公雞多的2只母雞”等于10只母雞。很顯然，就問題解決而言答案是對的，但數學模式是不合理的。

2.用模意識差。教學內容與生活的聯系方面，更多的是為聯系而聯系，是淺表性的，淡化了將“生活問題”進行“數學化”的處理過程，價值取向有偏差、不清晰，熱衷于題型多樣化，認為多樣化的程度越高越好，缺少對多樣化的共性分析、提煉及優(yōu)化的過程，不能形成具有穩(wěn)定性的一般模型。探究、合作拘泥于形式，缺少必要的引領和指導，很少將這些學習方式與建模聯系起來，練習是單純的技能訓練，機械重復，沒有“建?！焙汀坝媚！钡暮圹E。

3.評價內容陳舊。在日常的單元過關檢測中，很難看到以培養(yǎng)學生建模意識、檢測學生建模能力為目的的問題。除了基本題的考查外，則是以知識深度為考量的“難題”。評價的手段、方法和內容對日常教學以及教師觀念的轉變有很強的導向作用，需要與時俱進，適時改革和完善。

所有這些都緣于教師對高屋建瓴的教學觀念與方法研究不夠，建模意識比較淡薄。

第四篇：小學數學教學中的數學建模思想

小學數學教學中的數學建模思想

單赟濤

在《數學課程標準》有這樣一句話——“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展”,這實際上就是要求把學生學習數學知識的過程當做建立數學模型的過程,并在建模過程中培養(yǎng)學生的數學應用意識,引導學生自覺地用數學的方法去分析、解決生活中的問題。

一、數學模型的概念

數學模型是對某種事物系統(tǒng)的特征或數量依存關系概括或近似表述的數學結構。數學中的各種概念、公式和理論都是由現實世界的原型抽象出來的。狹義地理解,數學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數學關系結構,是相應系統(tǒng)中各變量及其相互關系的數學表達。數學建模就是建立數學模型來解決問題的方法。在小學階段,數學模型的表現形式為一系列的概念系統(tǒng),算法系統(tǒng),關系、定律、公理系統(tǒng)等。

二、小學生如何形成自己的數學建模

1、創(chuàng)設情境，感知數學建模思想

數學來源于生活，因此，要將教材上的內容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學生，這樣很容易激發(fā)學生的興趣，從而促使學生將生活問題抽象成數學問題，感知數學模型的存在。如教學平均數一課，新課開始出示兩個小組一分鐘做題：

第一組 9 8 9 6 第二組 7 10 9 8 教師提問：哪組獲勝，為什么？

這時出示，第一組請假的一位同學后來加入比賽。

第一組 9 8 9 6 8

第二組 7 10 9 8 師：根據比賽成績我們判定一組獲勝。

此時有學生提出異議：雖然第一組做對的總道數比第二組多，但是兩個隊的人數不同，這樣比較不公平。

師：那怎么辦呢？ 生：可以用平均數比較。師：什么是平均數？ 本節(jié)課平均數這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學生在兩次評判中解讀、整理數據，產生思維沖突，從而推進數學思考的有序進行。學生從具體的問題情境中抽出平均數這一數學問題的過程就是一次建模的過程。

2、參與探究，主動建構數學模型

我們在學習書本中的某些原理、定律、公式的時候，不僅應該記住它的結論、懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的數學學習活動應當是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學時我們要善于引導學生對過程、材料、發(fā)現主動歸納，力求建構出人人都能理解的數學模型。

如教學圓錐的體積一課： 1）回顧、猜想：

師：我們在學習圓柱的體積推導過程中，應用了哪些數學思想？ 生：運用了轉化的思想。

師：猜一猜圓錐的體積能否轉化成已經學過的圖形的體積？它可能與學過的哪種立體圖形有關？

學生大膽進行猜想，猜能轉化成圓柱、長方體、正方體。2）動手驗證

師：請利用手中的學具進行操作，研究圓錐體積的計算方法。教師給學生提供多個圓柱、長方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關系的、有不等底不等高關系的，圓錐與其他形體沒有等底或等高關系）、沙子等學具，學生分小組動手實驗。

3）反饋交流

生1：我們選取了一個圓錐和一個正方體進行實驗，將正方體中倒?jié)M沙子，然后倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發(fā)現圓錐體與這個圓柱體之間沒有關系。

生2：我們組選取的是圓錐和圓柱，這個圓錐與這個圓柱之間也沒存在關系，然后我們換了一個圓柱，這個圓柱的體積是這個圓錐體積的三倍。

4）歸納總結。

師：那么存在3倍關系的圓柱和圓錐的底面有什么關系?它們的高又有什么關系? 生3：底面積相等，高也相等。

師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什么關系? 生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權的1/3。

師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關系？請每個組都選出這樣的學具進行操作驗證。

圓錐的體積等于同它等底等高的圓柱體積的1/3。

師：如果沒有圓柱這一輔助工具，我們怎樣計算圓錐的體積？ 生：圓錐的體積等于底面積乘高乘1/3。

在上述教學過程中，學生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復雜的、更一般的情景，學生在主動探索嘗試過程中，進行了再創(chuàng)造學習，以抽象概括方式自主總結出圓錐體積計算公式。這一環(huán)節(jié)的設計，不僅發(fā)展了學生的策略性知識，同時讓學生經歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數學思維過程。學習過程中學生有時獨立思考，有時小組合作學習，有時是獨立探索和合作學習相結合，學生在新知探索中充分體驗了數學模型的形成過程。

3、解決問題，拓展應用數學模型

數學又服務于生活，用所建立的數學模型來解答生活實際中的問題，讓學生體會到數學模型的實際應用價值，體驗實際應用帶來的快

樂。通過應用真正讓數學走入生活，讓數學走近學生。用數學知識去解決實際問題，使學生在實際應用過程中構建自己的知識體系。

如在學生掌握了速度、時間、路程之間關系后，出示這樣的變式：

1、汽車4小時行駛了240千米，12小時可行駛多少千米？

2、火車的速度是每小時130千米，火車早上8：00出發(fā)，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？

學生在掌握了速度乘時間等于路程這一模型后，進行變式練習，學生基本能正確解答，說明學生對基本數學模型已經掌握。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數學模型進行解答。

又如學習了圓的周長后設計這樣的題目：怎樣利用你的自行車測量學校到家里的實際距離。

這一問題的設計既考慮與學生生活的真實情景相結合，又能引起學生的猜測、估計、操作、觀察、思考等具體的學習活動，并能使學生在具體的學習活動中學會搜集資料、分析問題。因此，我們在教學過程中，應注重學生建模思想的形成與運用。

綜上所述，小學數學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程。在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數學建模的思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而對數學產生更大的興趣。因此在數學課堂教學中，教師應逐步培養(yǎng)學生數學建模的思想、方法，形成學生良好的思維習慣和用數學的能力。

第五篇：數學建模

A題：一種汽車比賽的最優(yōu)策略

汽車運動是當前世界上一項重要的體育項目。這項運動比傳統(tǒng)的體育項目更具綜合性，尤其涉及科學技術的各個方面。數學物理科學在這個項目中自然十分重要。當然，汽車運動的比賽項目也十分豐富。其中的速度賽和節(jié)油賽就是兩項基本比賽。有人設計了如下的兩個比賽項目：

項目1： 給汽車加一定量的燃油，在一定的路面及其風速環(huán)境下汽車行駛路程最遠。

項目2： 給汽車加一定量的燃油，在一定的路面及其風速環(huán)境下，在確定的比賽路段內，汽車行駛時間最短。

上述兩個比賽項目的要點是比賽者應設計自己的最優(yōu)比賽策略，既是給出定量燃油的消耗速率v(t),盡量使上述兩個項目達到最優(yōu)效果。既是得到盡量好的比賽成績。

請在合理的路面阻力和其他阻力假設下建立數學模型，并求出上述兩個問題(項目)的最優(yōu)策略，既是定量燃油的最優(yōu)消耗律v(t)函數。

當汽車還有能量輸入(例如：太陽能)時，如何修正數學模型。

B題：中國人口發(fā)展趨勢對經濟社會的影響

人口是影響經濟社會發(fā)展的關鍵因素，關系到改革開放和社會主義現代化建設的成功。中國經濟發(fā)展和社會管理面臨的重大問題與人口數量、素質、結構、分布等密切相關?！叭丝趩栴}是發(fā)展的中心問題”已成為各國共識。各國均對提高人口素質、緩解人口老齡化帶來的壓力等關鍵問題給予了特別的關注。

20世紀70年代，為了緩解人口過快增長帶來的社會壓力，中國開始實行計劃生育政策。自那以來，我國的計劃生育工作取得了舉世矚目的成就，在經濟還不發(fā)達的情況下，有效控制了人口的過快增長，實現了人口再生產類型從“高、低、高”的模式向“低、低、低”模式的轉變。與此同時，我國人口發(fā)展出現了一些新情況、新變化。人口總和生育率已低于臨界生育率水平，我國部分大中城市老齡化已非常明顯。目前我國正處于人口發(fā)生轉變的關鍵時刻，生育率、人口性別結構、人口老齡化等問題日益凸顯。

中國人口發(fā)展的這些變化將對經濟社會發(fā)展產生重要影響。例如，低生育率導致的勞動力老化、勞動力供給總量的下降，會對勞動生產率的提高以及經濟競爭優(yōu)勢產生負面影響。人口年齡結構的改變將影響儲蓄和投資的比例，引起社會保障公共支出需求的增加等等。特別值得注意的是，與西方國家不同，中國未來的人口老齡化問題具有“未富先老”的特點。這就給社會保障帶來一系列問題，其中養(yǎng)老保險受到的沖擊最大。基本養(yǎng)老保險制度的負擔系數從1984年的0.185提高到2003年的0.331，增長了近80%。預計到本世紀30年代，我國人口老齡化將達到高峰。如果對這個問題沒有恰當的應對策略，不僅社會保障制度無法平穩(wěn)運行，而且將影響社會經濟的可持續(xù)發(fā)展。

盡管社會各界對未來中國人口發(fā)展趨勢性的判斷能夠達成較為一致的看法，但具體測算結果仍具有較大差異。相應地，對當前是否應當調整中國現行的人口政策也存在較多分歧。一種意見認為，中國人口增速雖然回落，但人口基數依然龐大，國內資源稀缺的矛盾依然較為突出，因而當前及今后一段時期內還應繼續(xù)堅持現行的計劃生育政策。另一種意見則認為，中國的計劃生育政策已經執(zhí)行了30多年，人口增長率已經呈現明顯的下降趨勢，而且也產

生了一些問題，如人口結構失衡、低生育率、男女比例失調問題，甚至于民族性格的改變等。認為目前已到了重新審視計劃生育政策的時候，目前中國人口的主要矛盾已經是老齡化問題。這兩種意見各有其理論和實踐基礎，但又均沒有充分的科學依據。到底如何來評估現行人口政策的影響，人口政策是否有必要調整？人口政策調整與否，在不同的情景下，未來我國的人口發(fā)展趨勢及其對社會經濟的影響如何？如何解決人口增長與經濟、資源、環(huán)境和社會等諸多約束之間的矛盾？不同的人口政策和發(fā)展趨勢對我國就業(yè)問題、教育問題和住房問題會產生什么樣的影響？這些問題均需要進行深入的研究，不僅僅是定性分析，還要結合定量測算，科學地評估當前我國的人口政策，以及未來調整人口政策的可行性及如何調整，在此基礎上得出可行的政策建議。

目前我國一些部門和學者對人口問題，包括人口戰(zhàn)略等開展了許多研究，但也存在一些值得改善的地方。例如，研究對象的片面性問題。如人口部門的研究主要關注人口自身的增長問題，對其他影響人口增長的因素考慮較少。實際上人口增長脫離不了復雜的社會經濟系統(tǒng)，它有眾多的制約因素，如經濟發(fā)展水平、資源環(huán)境約束、社會保障狀況等。要深入考察人口問題和人口政策，需要從復雜系統(tǒng)的角度出發(fā)。又如人口的數據問題。由于與人口相關的數據很多是通過估算得到的，因此在準確性方面就大打折扣。剛剛完成的全國第六次人口普查為下一步的研究奠定很好的數據基礎。

中共中央政治局2011年4月26日就世界人口發(fā)展和全面做好新形勢下我國人口工作進行第二十八次集體學習。中共中央總書記胡錦濤在主持學習時強調，要充分認識我國人口問題的長期性、復雜性、艱巨性，不斷增強做好人口工作的自覺性和主動性，加強戰(zhàn)略研究，加強政策統(tǒng)籌，加強工作協調，加強任務落實，不斷開創(chuàng)人口工作新局面，為“十二五”時期經濟社會發(fā)展創(chuàng)造更加有利的人口環(huán)境。

問題一：試建立數學模型分析我國人口發(fā)展趨勢對經濟社會發(fā)展某一方面的影響，如考慮我國人口發(fā)展趨勢對經濟發(fā)展的影響：對經濟增長速度、消費結構、產業(yè)結構、進出口等的影響，以及人口因素對勞動力市場的影響（勞動力短缺和工資成本持續(xù)上升等）；人口發(fā)展趨勢對社會發(fā)展的影響：人口結構老齡化的社會影響、從業(yè)人口的養(yǎng)老負擔系數等。（具體相關數據請自行查找，并務必在參考文獻中注明出處）

問題二：考慮人口發(fā)展趨勢及其經濟社會發(fā)展某一方面影響基礎上，并就該方面提出調整和完善人口政策的具體政策建議，并分析其可行性和正負作用。

注：論文電子版請?zhí)峤坏剑篶h8683897@126.com

C題：組合投資的收益和風險問

某公司現有數額為20億的一筆資金可作為未來5年內的投資資金，市場上有8個投資項目（如股票、債券、房地產、?）可供公司作投資選擇。其中項目

1、項目2每年初投資，當年年末回收本利（本金和利潤）；項目

3、項目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項目

5、項目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。

一、公司財務分析人員給出一組實驗數據，見表1。

試根據實驗數據確定5年內如何安排投資？使得第五年末所得利潤最大？

二、公司財務分析人員收集了8個項目近20年的投資額與到期利潤數據，發(fā)現：在具體對

這些項目投資時，實際還會出現項目之間相互影響等情況。

8個項目獨立投資的往年數據見表2。同時對項目3和項目4投資的往年數據；同時對項目5和項目6投資的往年數據；同時對項目

5、項目6和項目8投資的往年數據見表3。(注：同時投資項目是指某年年初投資時同時投資的項目)

試根據往年數據，預測今后五年各項目獨立投資及項目之間相互影響下的投資的到期利潤率、風險損失率。

三、未來5年的投資計劃中，還包含一些其他情況。

對投資項目1，公司管理層爭取到一筆資金捐贈，若在項目1中投資超過20000萬，則同時可獲得該筆投資金額的1%的捐贈，用于當年對各項目的投資。

項目5的投資額固定，為500萬，可重復投資。

各投資項目的投資上限見表4。

在此情況下，根據問題二預測結果，確定5年內如何安排20億的投資？使得第五年末所得利潤最大？

四、考慮到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金投資若干種項目時，總體風險可用所投資的項目中最大的一個風險來度量。

如果考慮投資風險，問題三的投資問題又應該如何決策？

五、為了降低投資風險，公司可拿一部分資金存銀行，為了獲得更高的收益，公司可在銀行貸款進行投資，在此情況下，公司應該如何對5年的投資進行決策?

附：

表1.投資項目預計到期利潤率及投資上限

項目 1 2 3 4 5 6 7 8

預計到期利潤率（%）0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55

上限（萬元）60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000 注：到期利潤率是指對某項目的一次投資中，到期回收利潤與本金的比值。

表2.各投資項目獨立投資時歷年的投資額及到期利潤（萬元）

項目 1 2 3 4 5 6 7 8

1986 投資額 3003 5741 4307 5755 4352 3015 6977 4993到期利潤 479 126 1338 910-7955 5586 22591 8987

1987 投資額 7232 6886 5070 7929 7480 5463 3041 4830到期利潤 1211 164 2210 1539 5044-1158 6386 9398

1988 投資額 3345 5659 6665 7513 5978 4558 5055 4501到期利潤 507 629 2540 1233-3608-6112 36832 10355

1989 投資額 5308 6272 6333 6749 4034 7392 6442 4092到期利潤 787 602 836 1616 8081 4946 16834-7266

1990 投資額 4597 5294 5148 5384 6220 6068 6095 5270到期利潤 711 365 2765 1099 22300 8319-19618-2697

1991 投資額 4378 5095 5973 7294 6916 6276 7763 6335到期利潤 756 621 2549 1559 5130-9028 22230 273

31992 投資額 6486 7821 4449 5586 5812 6577 6276 5848到期利潤 846 935 1078 1006 9358 1318-59901 24709

1993 投資額 6974 3393 4268 5414 5589 4472 6863 3570到期利潤 1489 593 1955 1740 9207 4237 38552 14511 1994 投資額 4116 4618 5474 6473 5073 6345 6866 3044到期利潤 353 749 2041 1548 7044-2291-39691 4570

1995 投資額 7403 5033 6859 6707 5377 4783 5202 6355到期利潤 1117 911 1392 1168 7488 1464 70314 19245

1996 投資額 4237 4996 5603 5597 5231 4181 6830 5018到期利潤 571 964 3077 1881 7209 5721-21568 5075

1997 投資額 3051 5707 4877 3844 7434 4222 5370 5960到期利潤 449 868 1138 1131 5196 3173 99069 14864

1998 投資額 7574 5052 5460 3681 7936 7745 6391 3861到期利潤 1396 958 1372 1221 5849 10740-27334-4626 1999 投資額 3510 5870 5697 5701 3898 7216 5135 4218到期利潤 364 1089 1456 1757-629 10770-24878-5786

2000 投資額 6879 7396 5516 5623 7471 5501 3174 4210到期利潤 994 1558 2864 1461 7769 7151 8981 21833 2001 投資額 3511 4780 6255 6925 6598 6043 4862 7988到期利潤 638 1175 3230 2223 8020 7916-46712 21357

2002 投資額 3660 7741 4315 4379 7120 6131 3661 5393到期利潤 538 1527 1155 1494 4616 6411 64239-11538

2003 投資額 4486 4756 3871 5529 5807 55763029到期利潤 466 862 1022 2046 5395 617811819

2004 投資額 7280 7312 6471 7760

到期利潤 1389 1319 2060 3227

2005 投資額 3082 5083

到期利潤 403 787

表3.一些投資項目同時投資時歷年的投資額及到期利潤（萬元）

項目 同時投資項目1、2 同時投資項目5、6 同時投資項目5、6、83 4 5 6 5 6 8

1986 投資額 4307 5755 4352 3015 4352 3015 4993到期利潤 1026 2686 1442 2634 6678 2542-3145 1987 投資額 5070 7929 7480 5463 7480 5463 4830到期利潤 2188 3558 3009 2935-3861 15120 13270 1988 投資額 6665 7513 5978 4558 5978 4558 4501到期利潤 3272 3222 443 14400 4794 1884-3356

1989 投資額 6333 6749 4034 7392 4034 7392 4092到期利潤 2050 2778 344 4473 3002 1549 10820

1990 投資額 5148 5384 6220 6068 6220 6068 5270到期利潤 1513 2533 601-6448-852-4651-1593

1991 投資額 5973 7294 6916 6276 6916 6276 6335

到期利潤 2733 3542 10300 9217 20610 5595 7283 1992 投資額 4449 5586 5812 6577 5812 6577 5848到期利潤 3005 2448 318 1087 4750-179 14000

1993 投資額 4268 5414 5589 4472 5589 4472 3570到期利潤 2015 2609 5168-2930 3170-235 14460 1994 投資額 5474 6473 5073 6345 5073 6345 3044到期利潤 1782 2969-981 2413 7304 19090 7065 1995 投資額 6859 6707 5377 4783 5377 4783 6355到期利潤 3701 2636 6695 52 3795 2029 10510 1996 投資額 5603 5597 5231 4181 5231 4181 5018到期利潤 3581 1809 952 844-2671 6334 12970

1997 投資額 4877 3844 7434 4222 7434 4222 5960到期利潤 1510 1724-124 8984-4299 3307 10170 1998 投資額 5460 3681 7936 7745 7936 7745 3861到期利潤 3996 1450 7717 2803 8062 6753 10050 1999 投資額 5697 5701 3898 7216 3898 7216 4218到期利潤 3204 2488 7598-4722-968 14900-2294 2000 投資額 5516 5623 7471 5501 7471 5501 4210到期利潤 1454 2199 7518 9321 6580 2131 10060 2001 投資額 6255 6925 6598 6043 6598 6043 7988到期利潤 3258 2646 8671-6551 11460-4521-8039 2002 投資額 4315 4379 7120 6131 7120 6131 5393到期利潤 2661 1984 2029 20300 4379 1035 4456 2003 投資額 3871 5529 5807 5576 5807 5576 3029到期利潤 1800 2443 7424 8639 12680 5112 2154 2004 投資額 6471 7760

到期利潤 3047 3682

2005 投資額

到期利潤

表4.各投資項目的投資上限

項目 1 2 3 4 5 6 7 8

上限（萬元）60000 60000 35000 30000 30000 40000 30000注：本題電子版請?zhí)峤坏剑篶h8683897@126.com 30000