第一篇：北京華羅庚學(xué)校各年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案1-數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)

數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)

（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的問(wèn)題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍(lán)子里一個(gè)一個(gè)地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個(gè)雞蛋也就數(shù)出來(lái)了。

這種最簡(jiǎn)單的數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1 用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？

解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來(lái)，可知能排出兩個(gè)二位數(shù)來(lái)。它們是：

例2 用分別寫有數(shù)字0，1，2的三張紙片

能排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？

解：因?yàn)椤?”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個(gè)二位數(shù)，它們是：

1作十位數(shù)字，0或2作個(gè)位數(shù)字：

2作十位數(shù)字，0或1作個(gè)位數(shù)字：

例3 用分別寫有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？

解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個(gè)三位數(shù)都寫出來(lái)。再數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)。

共6個(gè)不同的三位數(shù)。

例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片

右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來(lái)，組成一個(gè)二位數(shù)，在紙上記下來(lái)之后，再把卡片放回各自原來(lái)的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回??這樣一直做下去，問(wèn)他一共可能組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？ 解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再?gòu)挠疫叧閷夏?，把拿出的?shù)字卡片排在個(gè)位。下面是記下來(lái)的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個(gè)不同的二位數(shù)。

例5 有一群人，若規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：

①兩個(gè)人，②三個(gè)人，③四個(gè)人

解：畫圖。用點(diǎn)“·”代表人。如果兩人握一次手就在兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線。那么，點(diǎn)和點(diǎn)之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見(jiàn)以下的圖。

①兩個(gè)人：

兩點(diǎn)之間只能連一條線，表示兩個(gè)人共握1次手。

②三個(gè)人：

三點(diǎn)之間有三條連線，表示三個(gè)人共握3次手。

③四個(gè)人：

四點(diǎn)之間有六條連線，表示四個(gè)人共握6次手。

例6 鐵路上的火車票價(jià)是根據(jù)兩站距離的遠(yuǎn)近而定的，距離愈遠(yuǎn)，票價(jià)愈高。如果一段鐵路上共有五個(gè)車站，每?jī)烧鹃g的距離都不相等，問(wèn)這段鐵路上的火車票價(jià)共有多少種？ 解：

如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個(gè)點(diǎn)代表五個(gè)車站，各點(diǎn)間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價(jià)不同。

由圖可見(jiàn)，各段長(zhǎng)度不同的線段就表示各種不同的票價(jià)。

數(shù)一數(shù)，票價(jià)種數(shù)是：4+3+2+1=10種。

例7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過(guò)小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問(wèn)有多少種不同的走法？

解：共有6種不同的走法，見(jiàn)下圖。

第二篇：北京華羅庚學(xué)校二年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案8-數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)2

數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)

從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律．

例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個(gè)點(diǎn)？

解：方法1：從上到下一行一行地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖．

點(diǎn)的總數(shù)是：

5+5+5+5=5×4．

方法2：從左至右一列一列地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖．

點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5．

因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

5×4=4×5

從這個(gè)等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)：

兩個(gè)數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變．

這就是乘法交換律．

正因?yàn)檫@樣，在兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，以后我們也可以不再區(qū)分哪個(gè)是乘數(shù)，哪個(gè)是被乘數(shù)，把兩個(gè)數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個(gè)說(shuō)法：

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．

如果用字母a、b表示兩個(gè)因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．

方法3：分成兩塊數(shù)，見(jiàn)右圖．

前一塊4行，每行3個(gè)點(diǎn)，共3×4個(gè)點(diǎn)．

后一塊4行，每行2個(gè)點(diǎn)，共2×4個(gè)點(diǎn)．

兩塊的總點(diǎn)數(shù)=3×4+2×4．

因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中總的點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

3×4+2×4=5×4．

仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個(gè)數(shù)的關(guān)系：

3+2=5

所以上面的等式可以寫成：

3×4+2×4=（3+2）×4

也可以把這個(gè)等式調(diào)過(guò)頭來(lái)寫成：

（3+2）×4=3×4+2×4．

這就是乘法對(duì)加法的分配律．

如果用字母a、b、c代表三個(gè)數(shù)，那么乘法對(duì)加法的分配律可以表示成下面的形式：

（a+b）×c=a×c+b×c

分配律的意思是說(shuō)：兩個(gè)數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積加上第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積之和．

進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號(hào)中是減法運(yùn)算的情況呢？請(qǐng)看下面的例子：

計(jì)算（3-2）×4和3×4-2×4．

解：（3-2）×4=1×4=3×4-2×4=12-8=4．

兩式的計(jì)算結(jié)果都是4，從而可知：

（3-2）×4=3×4-2×4

這就是說(shuō)，這個(gè)分配律也適用于一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的差與第三個(gè)數(shù)相乘的情況．

如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個(gè)數(shù)，那么上述事實(shí)可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．

正因?yàn)檫@個(gè)分配律對(duì)括號(hào)中的“+”和“-”號(hào)都成立，于是，通常人們就簡(jiǎn)稱它為乘法分配律．

例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長(zhǎng)方體是由多少個(gè)小長(zhǎng)方體組成的？

解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)上右圖．

第一層 4×2個(gè)

第二層 4×2個(gè)

第三層 4×2個(gè)

三層小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)（4×2）×3個(gè)．

方法2：從左至右一排一排地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖．

第一排 2×3個(gè)

第二排 2×3個(gè)

第三排 2×3個(gè)

第四排 2×3個(gè)

四排小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)為（2×3）×4．

若把括號(hào)中的2×3看成是一個(gè)因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫成下面的形式：4×（2×3）．

因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．把兩種方法連起來(lái)看，應(yīng)有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．

這就是說(shuō)在三個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同．

或是說(shuō)，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘再乘以第三個(gè)數(shù)，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再去乘第一個(gè)數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律．

如果用字母a、b、c表示三個(gè)數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．

巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡(jiǎn)潔、迅速．

從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計(jì)算公式．

例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？

解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖．

總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群（但要上下顛倒放置）和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立（見(jiàn)下圖）：

三角形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=10×9=（1+9）×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2=45．

進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來(lái)看：

方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù)．

方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”．經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長(zhǎng)方形點(diǎn)群，而長(zhǎng)方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來(lái)了．

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2．

這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡(jiǎn)單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國(guó)的古算書上就出現(xiàn)了．

再進(jìn)一步，若脫離開(kāi)圖形（點(diǎn)群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

這個(gè)等式的左邊就是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說(shuō)成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：

從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半．或是寫成下面的文字式：

和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式．

例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？

解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖：

總點(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6=20．

方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的梯形點(diǎn)群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群如下圖所示：

由圖可見(jiàn)，有下列等式成立：

梯形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2．

因?yàn)樘菪吸c(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6 而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=8×5=（2+6）×代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2

與例1類似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個(gè)計(jì)算梯形點(diǎn)群總點(diǎn)數(shù)的較為簡(jiǎn)單的公式．

再進(jìn)一步，若脫離開(kāi)圖形（點(diǎn)群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

這個(gè)等式的左邊就是一個(gè)等差數(shù)列的求和式，它的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是6，公差是1，項(xiàng)數(shù)是5．這樣這個(gè)等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：

等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半．

寫成下面較簡(jiǎn)化的文字式：

和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

這就是等差數(shù)列的求和公式．

例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)小三角形？

解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖．

小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個(gè)．

方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來(lái)的一起拼成一個(gè)大平行四邊形如下圖所示．

顯然平行四邊形包含的小三角形個(gè)數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個(gè)數(shù)的兩倍，即下式成立．

大三角形中所含=平行四邊形所含÷2

平行四邊形所含=8×4=（1+7）×4（個(gè)）

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7＝（1+7）×4÷2

這樣，我們就得到了一個(gè)公式：

小三角形個(gè)數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）×層數(shù)÷2

脫離開(kāi)圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

等式左邊就表示一個(gè)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，它的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是7，公差是2，項(xiàng)數(shù)是4．這樣這個(gè)等式的含義也就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：

等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)之積的一半．

寫成較簡(jiǎn)單的文字式：

和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2． 這就是等差數(shù)列的求和公式

數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)習(xí)題

下列各題至少用兩種方法數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)．

1．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？

2．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中的三角形點(diǎn)群有多少個(gè)點(diǎn)？

3．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)小正方形？

4．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)小三角形？

數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)習(xí)題解答

1．解：方法1：從上至下一行一行地?cái)?shù)，共4行每行5個(gè)點(diǎn)，得5×4=20．

方法2：分成兩個(gè)三角形后再數(shù)，見(jiàn)下圖．得：

（1+2+3+4）×2=20．

發(fā)現(xiàn)一個(gè)等式：

1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．

2．解：方法1：從上至下一行一行地?cái)?shù)，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．

方法2：用拼補(bǔ)法，如圖所示：

11×10÷2=55．

發(fā)現(xiàn)一個(gè)等式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．

3．解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，得：5×4=20．

方法2：做階梯形切割，分兩部分?jǐn)?shù)，見(jiàn)右圖．

（1+2+3+4）×2=20．

發(fā)現(xiàn)一個(gè)等式：

1+2+3+4=（1+4）×4÷2．

4：解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)（圖略）得：20×10=200．

方法2：分成兩個(gè)三角形來(lái)數(shù)：

（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2

=200．

發(fā)現(xiàn)一個(gè)等式：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =（1+19）×10 ÷2

第三篇：北京華羅庚學(xué)校三年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案1 和倍問(wèn)題

第七講 和倍問(wèn)題

和倍問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來(lái)表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？

可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對(duì)了.注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。

驗(yàn)算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問(wèn)題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見(jiàn)上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：

30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：

2＋1＝3（倍）

③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）

④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）

綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。

驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

例3 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見(jiàn)下圖）。

解：①女生人數(shù)：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人數(shù)：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

驗(yàn)算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例4 果園里有桃樹(shù)、梨樹(shù)、蘋果樹(shù)共552棵.桃樹(shù)比梨樹(shù)的2倍多12棵，蘋果樹(shù)比梨樹(shù)少20棵，求桃樹(shù)、梨樹(shù)和蘋果樹(shù)各有多少棵？

分析 下圖可以看出桃樹(shù)比梨樹(shù)的2倍多12棵，蘋果樹(shù)比梨樹(shù)少20棵，都是同梨樹(shù)相比較、以梨樹(shù)的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹(shù)的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹(shù)增加20棵，那么就和梨樹(shù)同樣多了；再?gòu)奶覙?shù)里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹(shù)的2倍了，而總棵樹(shù)則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹(shù)棵數(shù)的4倍。

解：①梨樹(shù)的棵數(shù)：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃樹(shù)的棵數(shù)：140×2＋12=292（棵）

③蘋果樹(shù)的棵數(shù)： 140-20=120（棵）

答：桃樹(shù)、梨樹(shù)、蘋果樹(shù)分別是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。

解：①丙數(shù)是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

=549÷9

=61

②甲數(shù)是：61×2-2=120

③乙數(shù)是：61×2＋2=124

④丁數(shù)是：61×4=244

驗(yàn)算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

61×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.和倍問(wèn)題習(xí)題

1.小明和小強(qiáng)共有圖書120本，小強(qiáng)的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？

2.果園里一共種340棵桃樹(shù)和杏樹(shù)，其中桃樹(shù)的棵數(shù)比杏樹(shù)的3倍多20棵，兩種樹(shù)各種了多少棵？

3.一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)是30厘米，長(zhǎng)是寬的2倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

6.有3條繩子，共長(zhǎng)95米，第一條比第二條長(zhǎng)7米，第二條比第三條長(zhǎng)8米，問(wèn)3條繩子各長(zhǎng)多少米？

1.①小明的本數(shù)：120÷（2＋1）=40（本）.②小強(qiáng)的本數(shù)：40×2=80（本）。

2.①杏樹(shù)的棵數(shù)：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃樹(shù)的棵數(shù)：80×3＋20=260（棵）。

3.①長(zhǎng)方形的寬：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)： 5×2=10（厘米）。

③長(zhǎng)方形的面積：10×5=50（平方厘米）。

4.①甲、乙兩水池共有水：

2600＋1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：

3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：

2600-760=1840（立方米）

④經(jīng)過(guò)的時(shí)間（分鐘）：1840÷23＝80（分鐘）。

5.①甲、乙兩桶油總重量：

470+190=660（千克）：

②當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時(shí)，乙桶油是：

660÷（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

6.①變化后的繩子總長(zhǎng) 95-7＋8=96（米）.②第二條繩長(zhǎng)： 96÷（1＋1+1）=32（米）。

③第一條繩長(zhǎng)：32＋7=39（米）。

④第三條繩長(zhǎng)：32-8=24（米）.習(xí)題答案

第四篇：北京華羅庚學(xué)校三年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案3 和差問(wèn)題

和差問(wèn)題

和差問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來(lái)，我們管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說(shuō)明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說(shuō)明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。

再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯(cuò)了.實(shí)際上姐姐比弟弟多2個(gè)3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們?cè)械你U筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3×2=6支，就是暗差。

“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說(shuō)明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1 兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？

分析 這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150＋8＝158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71＋8=79（千克）

或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2 今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？

分析 題中沒(méi)有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過(guò)多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問(wèn)題的解題思路就能解此題。

解：①爸爸的年齡：

[58＋（35-7）]÷2

=[58＋28]÷2

=86÷2

=43（歲）

②小強(qiáng)的年齡：

58-43＝15（歲）

答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。例3 小明期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多8分，問(wèn)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各得了幾分？

分析 解和差問(wèn)題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語(yǔ)文成績(jī)之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)之和沒(méi)有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是94分，這就可以求得這兩科的總成績(jī).解：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？

94×2＝188（分）

②數(shù)學(xué)得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）

③ 語(yǔ)文得多少分？

（188-8）÷2=180÷2=90（分）

或 98-8=90（分）

答：小明期末考試語(yǔ)文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4 甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問(wèn)甲、乙兩校原來(lái)各有學(xué)生多少人？

分析 這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是兩校人數(shù)差。

解：①乙校原有的學(xué)生：

（864-32×2-48）÷2＝376（人）

②甲校原有學(xué)生：

864-376=488（人）

答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。

小結(jié)：從以上4個(gè)例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問(wèn)題的一般解題規(guī)律是：

（和+差）÷2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù)

或（和-差）÷2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù)

也可以求出一個(gè)數(shù)后，用和減去這個(gè)數(shù)得到另一個(gè)數(shù).下面我們用和差問(wèn)題的思路來(lái)解答一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。例5 在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。

9=5

分析 這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說(shuō)1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問(wèn)題的方法便可以求出。

（45-5）÷ 2=20，20+5=25

可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25，而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個(gè)數(shù)前面添上“+”號(hào)，而在組成和是20的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，此題就算出來(lái)了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 這道題你還有其他解法嗎？試試看！

和差問(wèn)題習(xí)題

1.果園里有桃樹(shù)和梨樹(shù)共150棵，桃樹(shù)比梨樹(shù)多20棵，兩種果樹(shù)各有多少棵？

2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問(wèn)甲、乙兩桶原有多少油？

3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬(wàn)元，今年比去年多10萬(wàn)元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬(wàn)元？

5.甲、乙兩個(gè)學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？

6.三個(gè)物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個(gè)物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個(gè)物體各重多少千克？

7.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共有1980人，甲隊(duì)為了支援乙隊(duì)，抽出285人加入乙隊(duì)，這時(shí)乙隊(duì)人數(shù)還比甲隊(duì)少24人，求甲、乙兩隊(duì)原有工人多少人？

8.四年級(jí)有3個(gè)班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問(wèn)甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？

答案

1.桃樹(shù)的棵樹(shù)：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨樹(shù)的棵樹(shù)：150-85= 65（棵）

答：有桃樹(shù)85棵，梨樹(shù)65棵。

2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.錫的重量：（500-100）÷2= 200（千克）鋁的重量：500-200= 300（千克）

答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。

4.今年的產(chǎn)值：（96×2+10）÷2=101（萬(wàn)元）去年的產(chǎn)值：101-10=91（萬(wàn)元）

答：今年的產(chǎn)值是101萬(wàn)元，去年的產(chǎn)值是91萬(wàn)元。

5.乙校原有人數(shù)：

[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）

甲校原有人數(shù)：1245-600＝645（人）

答：甲校原有學(xué)生645人，乙校原有學(xué)生600人。

6.三個(gè)物體的總重量：31×3=93（千克）

甲物體的重量：（93-1）÷2=46（千克）

丙物體的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）

乙物體的重量： 93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三個(gè)物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。

7.甲隊(duì)原有人數(shù)：

（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）

乙隊(duì)原有人數(shù)：1287-594= 693（人）

答：甲隊(duì)原有1287人，乙隊(duì)原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學(xué)生.

第五篇：北京華羅庚學(xué)校二年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案10-畫圖顯示法

畫圖顯示法

在有些數(shù)學(xué)題中，數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來(lái);可是只要畫個(gè)圖就能顯示清楚了.同學(xué)們要學(xué)會(huì)這種畫圖方法.例1 小明比小英小5歲，小方比小明大2歲.那么小英和小方差幾歲?

解：先畫個(gè)圖看看：

①表示小明比小英小5歲，②表示小方比小明大2歲，由圖可見(jiàn)，小英比小方大3歲.注意：畫這個(gè)圖時(shí)，由題意應(yīng)以小明為基準(zhǔn).例2小初、小美、小英三個(gè)人分糖塊.小美比小英多3塊，小初比小美多2塊.已知糖塊總數(shù)是50塊，那么每人各分到多少塊?

解：依題意畫圖，可以先畫小英，見(jiàn)下圖中①，再畫小美，它比小英多3塊，見(jiàn)下圖中②，接著再畫小初，它又比小美多2塊，見(jiàn)下圖中③，至此，圖已畫完，下面借助此圖進(jìn)行分析推理.由圖可見(jiàn)，小初比小英多3+2=5塊，由圖還可以看出，50-(3+5)=42(塊)就是小英糖數(shù)的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(塊);

由此可求出小美的一份是14+3=17(塊);

小初的一份是17+2=19(塊).例3 小健到商店去買練習(xí)本，他的錢若買4本還剩2分;若買5本，就差1角.問(wèn)小健有多少錢?

解：依題意畫出下圖：

由圖易見(jiàn)一本的價(jià)錢是： 2+10=12(分)，所以小健有的錢是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 媽媽的年齡是小鈴的3倍，兩個(gè)人年齡加起來(lái)是40歲.問(wèn)小鈴和媽媽各多少歲? 解：依題畫下圖：

由上圖可見(jiàn)，40歲是小鈴年齡的3+1=4倍，所以小鈴的年齡是：40÷4=10(歲);而媽媽的年齡則是：10×3=30(歲).例5 父親今年40歲，小哲10歲.問(wèn)幾年以后父親年齡是小哲年齡的2倍? 解：按題意畫下圖：

先畫陰影部分，小哲(10歲)占1格，父親(40歲)占4格，年齡差(40-10=30(歲))是3格，再畫圖表示二人年齡的增長(zhǎng)，注意應(yīng)從上往下畫.不難得出當(dāng)二人年齡各增加2格時(shí)，即20年后(父親是6格，小哲是3格)父親年齡是小哲年齡的2倍.畫圖顯示法習(xí)題

1.王強(qiáng)和李明都想買一本《趣味數(shù)學(xué)》，但王強(qiáng)的錢少2角5分，李明的錢少3角1分.如果兩個(gè)人的錢合在一起就剛夠買這本書.問(wèn)一本《趣味數(shù)學(xué)》多少錢?王強(qiáng)和李明各有多少錢?

2.大、小二數(shù)之和為10，之差為2，求大、小二數(shù)各多少?

3.小軍、小方和小雄共有12本小人書，小軍比小方多2本，小方比小雄多2本，問(wèn)他們?nèi)烁鲙妆?

4.今年弟弟8歲，哥哥14歲.問(wèn)當(dāng)兩人的年齡和是30歲時(shí)，兩人各幾歲?

5.兩個(gè)桶里共盛水30斤.如果把第一個(gè)桶里的水倒3斤給第二個(gè)桶里，兩個(gè)桶里的水就一樣多了.問(wèn)每個(gè)桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里裝著一些水，把水加到原來(lái)的2倍時(shí)，稱得重為5千克;把水加到原來(lái)的4倍時(shí)，再稱一稱重為9千克，問(wèn)原來(lái)水有多少千克? 7.一筐鮮魚，連筐共重56千克.先賣出鮮魚的一半，再賣出剩下的一半，這時(shí)連筐還重17千克.原來(lái)這筐鮮魚重多少千克? 8.小秋用一根繩子測(cè)量一口枯井的深.他把繩子放入井里，當(dāng)繩子到達(dá)井底后，井外還留有15米;小秋又把這根繩子對(duì)折后再放入井里，井外還留有1米.請(qǐng)問(wèn)，這口枯井有多少米深?

畫圖顯示法習(xí)題答案

1.解：畫個(gè)圖用實(shí)線段表示二人有的錢，虛線表示缺的錢.依題意，“兩人錢合在一起，剛好買這本書”.就是說(shuō)，如圖所示，實(shí)線段(表示李明的錢)按圖線可以向上移到短的虛線處(表示王強(qiáng)缺的錢)接起來(lái)剛好等書價(jià).也就是說(shuō)一本書的書價(jià)是：

2角5分+3角1分=5角6分.王強(qiáng)有3角1分，李明有2角5分.2.解：畫線段圖用長(zhǎng)線段表示大數(shù)，用短線段表示小數(shù)，用差線段表示兩數(shù)之差，見(jiàn)圖：

由圖顯見(jiàn)，若在虛線處再加上一段“差線段”，那就顯然得到了兩條等長(zhǎng)的長(zhǎng)線段.這就表示，和加差等于兩個(gè)大數(shù)，即(和+差)÷2=大數(shù).反之，如果去掉那段“差線段”，則得到兩條等長(zhǎng)的短線段.這就表示，和減差等于兩個(gè)小數(shù)，即(和-差)÷2=小數(shù).注意，此題就叫“和差問(wèn)題”，以上兩式就叫和差問(wèn)題公式.把題給的具體數(shù)值代入這兩個(gè)公式，可得：

大數(shù)=(10+2)÷2=6，小數(shù)=(10-2)÷2=4.3.解：畫線段圖如下：

與上題類比，采用添加差線段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小軍);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同樣也可采用去掉差線段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小軍).4.解：此題叫年齡問(wèn)題，它的特點(diǎn)是年齡差保持不變.此題可歸納為和差問(wèn)題：哥弟年齡之差為14-8=6(歲)，和為30歲，求哥弟各幾歲?

(30+6)÷2=18(歲)(哥)

(30-6)÷2=12(歲)(弟).5.解：此題的實(shí)質(zhì)也是和差問(wèn)題.和為30斤，差：3×2=6(斤)，由和差問(wèn)題公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：畫線段圖如下：

由圖可見(jiàn)，線段③-線段②=2倍小線段，即一條小線段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原來(lái)瓶中水重是2千克.7.解：畫線段圖如下：

由圖可以看出總重減去最后剩下的(包括筐重和魚)等于第一次和第二次賣出的鮮魚總數(shù).又知第一次賣出的是第二次賣出的2倍，即兩次賣出的鮮魚總數(shù)是第二次賣出的3倍，即得第二次賣出魚的總量為(56-17)÷3=13千克.原來(lái)鮮魚總數(shù)為13×4=52千克.8.解：畫示意圖如下：

小秋第二次把繩子對(duì)折量，井外留1米長(zhǎng)的雙股繩相當(dāng)實(shí)際繩長(zhǎng)2米，比第一次單股繩測(cè)時(shí)，井外少了15-2=13(米)，因?yàn)檫@段繩放到井里去了，所以得出井深為13米.