第一篇：九江華羅庚學(xué)校自主研發(fā)奧數(shù)教材的分析與設(shè)想

九江華羅庚學(xué)校

自主研發(fā)奧數(shù)教材的分析與設(shè)想

編寫人：駱 飛

九江華羅庚學(xué)校對奧數(shù)教材研發(fā)工作的分析與設(shè)想是基于學(xué)校健康穩(wěn)定發(fā)展的趨勢考量，任重而道遠(yuǎn)，是學(xué)校招收學(xué)生完成教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)性工作。一本經(jīng)過精雕細(xì)琢、案例詳實、緊跟時代的好教材，是教師實現(xiàn)案例教學(xué)、優(yōu)質(zhì)教學(xué)的一把利器。

奧數(shù)自主新教材建設(shè)是學(xué)校教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的一部分，它反映了我們學(xué)校教師教學(xué)水平和教學(xué)內(nèi)容研究的具體成果，同時也反映了我們學(xué)校在學(xué)生，家長和社會心中的信任和認(rèn)可，教材既是教師傳授知識的根本和學(xué)生認(rèn)識客觀世界的媒介，又是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的工具，學(xué)校品牌科目（奧數(shù)）自主研發(fā)的教材是我們學(xué)校教材體系中不可缺少的重要組成部分。這對于穩(wěn)定教學(xué)秩序，吸納最新信息，提高教學(xué)質(zhì)量發(fā)揮了十分重要的作用。新編教材最大限度地和社會需求掛鉤，在教學(xué)的基礎(chǔ)上，將一些客觀實用、貼近學(xué)生生活的學(xué)習(xí)內(nèi)容為教材實例，增強(qiáng)了教學(xué)的可操作性和實踐環(huán)節(jié)。同時，學(xué)生的知識經(jīng)驗與一線教師緊密配合，針對我校學(xué)生的實際情況，對教材進(jìn)行及時修改更正，以確保教材的實用性。具體設(shè)想如下：

一、教材內(nèi)容上做修改

根據(jù)十幾年的教學(xué)經(jīng)驗和學(xué)生的知識水平，對教材內(nèi)容做一個完整的修改，第一以王老師販教學(xué)實踐為基礎(chǔ)，第二，以現(xiàn)有家長心中理想的教材為修改內(nèi)容，按暑期和學(xué)期教學(xué)不同的教材實施情況為要求，分別對教學(xué)課時和教學(xué)章節(jié)進(jìn)行修改，整套教材體系針對小學(xué)奧數(shù)的教學(xué)要求，從學(xué)生所需要的解題思路出發(fā)，精選適用的專題知識和學(xué)生必要掌握的解題技能，編寫出符合小學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)的專業(yè)課程教材，充分體現(xiàn)了培訓(xùn)教育長期發(fā)展的新思路和新理念。教材突出先進(jìn)、簡明、適用、通俗、實用的教材內(nèi)容選擇原則，強(qiáng)調(diào)新知識、新技巧、新理念在教材中的體現(xiàn)，使教材的內(nèi)容體系更加科學(xué)。把握奧數(shù)教學(xué)工作所要求的“必教必會”和 “應(yīng)知應(yīng)會”內(nèi)容，達(dá)到教材的編排結(jié)構(gòu)上能夠深入淺出，通俗易懂的效果。同時教材還能夠充分兼顧學(xué)生的年齡特點和接受能力，適合我校教師的教學(xué)特征。

二、教材版面設(shè)計清晰，沒有成本的宣傳

1，前面的扉頁部分 新編教材的扉頁部分做華羅庚的宣傳廣告，比如學(xué)校的專家型教師的簡歷，主要是教學(xué)成果和教學(xué)方式的介紹（王老師的簡歷，個人教學(xué)成果和教學(xué)特點）；還有對整個學(xué)校的發(fā)展歷程的說明，要用一個篇幅的文章做教為詳細(xì)的介紹，包括有學(xué)校的發(fā)展時間，學(xué)校的發(fā)展過程，學(xué)校的培訓(xùn)特色，學(xué)校的新穎的教學(xué)方式，學(xué)校的發(fā)展目標(biāo)和發(fā)展方向等。

2，外觀部分

外觀部分的設(shè)計比較靈活，作為我們培訓(xùn)學(xué)校那就是宣傳，可以對我們的學(xué)校做一個整體的宣傳，比如優(yōu)秀照片，學(xué)校的招生簡章（這個可以放在外觀的后面）等。

3，后面的扉頁部分

可以由王老師寫二篇《致家長》和《致學(xué)生》的信，主要是他們對我們學(xué)校的信認(rèn)表示感謝和我們學(xué)校的發(fā)展形式與方向。還可以寫一個意見調(diào)查表。這樣做的目的是為了掌握學(xué)校的教學(xué)反饋意見，有利于更好在實施教師的教學(xué)。

三、自主研發(fā)教材的利處 1，在社會形象上，自主研發(fā)教材使學(xué)校有了一個深化九江培訓(xùn)學(xué)校的品牌社會形象，作為校長個人是一個很大程度的社會宣傳，意識著著向著正規(guī)，科學(xué)，市場上穩(wěn)定健康的發(fā)展，再加上十幾年的社會形象，走向九江培訓(xùn)學(xué)校的領(lǐng)頭名牌老校就指日可待，市場競爭再激烈也就有了社會地位了，因為市場的規(guī)律是適著生存，生存就是發(fā)展。

2，在教材內(nèi)容上，教師教學(xué)可以結(jié)合學(xué)生的知識水平的情況下，靈活運用教材，教學(xué)成績得到最大化，這樣的教學(xué)實現(xiàn)還有十幾年的教學(xué)和管理基礎(chǔ)，所有這些都是優(yōu)勢，如果一個剛發(fā)展起來的學(xué)校想單獨從教材上樹立社會形像是不可能的。

3，在家長的信任程度上，奧數(shù)教材的自主研發(fā)，家長對學(xué)校更為信任，這是為什么呢？自主研發(fā)教材，是對教育教學(xué)的成果的體現(xiàn)，是學(xué)校優(yōu)秀教學(xué)成果的展示，是學(xué)校教師教學(xué)的經(jīng)驗總結(jié)，是一種對學(xué)校自我發(fā)展的自信和肯定，這樣華羅庚學(xué)校在家長心中的地位更加穩(wěn)定，信任程度最大化，所有就不會擔(dān)心沒有發(fā)展和市場競爭激烈從而自我的不自信。

4，在學(xué)生成績上，學(xué)生來我們學(xué)校的主要目的就是學(xué)知識，教材是傳播知識的工具，工具好與壞對教學(xué)結(jié)果至關(guān)重要，符合學(xué)生的教材有利于學(xué)生學(xué)心效果，學(xué)生也能夠有認(rèn)識到奧數(shù)的重要在哪里，理順解題思路，如何靈活運解題技巧，更好地學(xué)習(xí)奧數(shù)，因為作為學(xué)校來說，學(xué)生的進(jìn)步就是利潤，學(xué)生就是衣食父母。所以我在強(qiáng)調(diào)的是教材一定要王老師自己研發(fā)。

5，在成本上，所有的企業(yè)面對市場的自我作為上，是先要考慮到的是成本的問題，對于這個基于現(xiàn)在我們用的教材成本問題來說是沒有資本成本的，我們可以算一下，現(xiàn)在的教材到書店去買一本，我們學(xué)校的購買成本大概是6元左右，而且書上都有標(biāo)價，當(dāng)然書上的標(biāo)價是不計算的，我們在印刷教材的成本可以估算大概是5-6元，可能覺得沒有區(qū)別，但是我們可以考慮我們學(xué)校學(xué)生比較多，這一點還是可以談，重要的一點我們有了品牌形象，如果印刷的教材的標(biāo)價我們自己可以定，所以中間的靈活度就有很多了，比如，我們的教材標(biāo)價格25的時候，即使教材的費用都是在報名費中，但是我們可以在宣傳上把握一下，比如宣傳家長的話可以是多少。當(dāng)然還是一個不得己的意見，是在報告名費中別5元，為什么是5元？多了的話失去家長的信任感，畢竟是在搞教育，不是純粹的企業(yè)，這中間就有一個奉獻(xiàn)的概念在，所有在宣傳上要解釋清楚，如我們的成本很高，標(biāo)價也很高，考慮到家長的困難和一直對我們學(xué)校的關(guān)心，我們其實就是在教材上收了5元，宣傳要有技巧，這里不做詳細(xì)的說明和介紹。

以上僅僅是我個人對學(xué)校目前教材不夠，出現(xiàn)了大部分家長失去對我們學(xué)校的信任的不滿，和學(xué)生上課的效果不理想等一些情況的造成，提出了一些不成熟的意見，作為校長的你，希望你抽出時間思考。在此希望華羅庚學(xué)校發(fā)展好。

第二篇：北京華羅庚學(xué)校二年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案8-數(shù)數(shù)與計數(shù)2

數(shù)數(shù)與計數(shù)

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律．

例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點？

解：方法1：從上到下一行一行地數(shù)，見下圖．

點的總數(shù)是：

5+5+5+5=5×4．

方法2：從左至右一列一列地數(shù)，見下圖．

點的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5．

因為不論人們怎樣數(shù)，點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

5×4=4×5

從這個等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實：

兩個數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變．

這就是乘法交換律．

正因為這樣，在兩個數(shù)相乘時，以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù)，哪個是被乘數(shù)，把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個說法：

兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．

如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．

方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖．

前一塊4行，每行3個點，共3×4個點．

后一塊4行，每行2個點，共2×4個點．

兩塊的總點數(shù)=3×4+2×4．

因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中總的點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

3×4+2×4=5×4．

仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系：

3+2=5

所以上面的等式可以寫成：

3×4+2×4=（3+2）×4

也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成：

（3+2）×4=3×4+2×4．

這就是乘法對加法的分配律．

如果用字母a、b、c代表三個數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式：

（a+b）×c=a×c+b×c

分配律的意思是說：兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和．

進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢？請看下面的例子：

計算（3-2）×4和3×4-2×4．

解：（3-2）×4=1×4=3×4-2×4=12-8=4．

兩式的計算結(jié)果都是4，從而可知：

（3-2）×4=3×4-2×4

這就是說，這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的情況．

如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個數(shù)，那么上述事實可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．

正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律．

例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見上右圖．

第一層 4×2個

第二層 4×2個

第三層 4×2個

三層小長方體的總個數(shù)（4×2）×3個．

方法2：從左至右一排一排地數(shù)，見下圖．

第一排 2×3個

第二排 2×3個

第三排 2×3個

第四排 2×3個

四排小長方體的總個數(shù)為（2×3）×4．

若把括號中的2×3看成是一個因數(shù)，就可以運用乘法交換律，寫成下面的形式：4×（2×3）．

因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．

這就是說在三個數(shù)相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同．

或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律．

如果用字母a、b、c表示三個數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．

巧妙地運用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運算變得簡潔、迅速．

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式．

例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖．

總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

方法2：補(bǔ)上一個同樣的三角形點群（但要上下顛倒放置）和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立（見下圖）：

三角形點數(shù)=長方形點數(shù)÷因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而長方形點數(shù)=10×9=（1+9）×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2=45．

進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來看：

方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù)．

方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”．經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了．

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2．

這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了．

再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：

這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首項，最后一個數(shù)9叫末項，共有9個數(shù)又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：

從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半．或是寫成下面的文字式：

和=（首項+末項）×項數(shù)÷2

這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式．

例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖：

總點數(shù)=2+3+4+5+6=20．

方法2：補(bǔ)上一個同樣的梯形點群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點群如下圖所示：

由圖可見，有下列等式成立：

梯形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2．

因為梯形點數(shù)=2+3+4+5+6 而長方形點數(shù)=8×5=（2+6）×代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2

與例1類似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個計算梯形點群總點數(shù)的較為簡單的公式．

再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：

這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項是2，末項是6，公差是1，項數(shù)是5．這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：

等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半．

寫成下面較簡化的文字式：

和=（首項+末項）×項數(shù)÷2

這就是等差數(shù)列的求和公式．

例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小三角形？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖．

小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個．

方法2：補(bǔ)上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示．

顯然平行四邊形包含的小三角形個數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數(shù)的兩倍，即下式成立．

大三角形中所含=平行四邊形所含÷2

平行四邊形所含=8×4=（1+7）×4（個）

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7＝（1+7）×4÷2

這樣，我們就得到了一個公式：

小三角形個數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）×層數(shù)÷2

脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：

等式左邊就表示一個等差數(shù)列的前幾項的和，它的首項是1，末項是7，公差是2，項數(shù)是4．這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述：

等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)之積的一半．

寫成較簡單的文字式：

和=（首項+末項）×項數(shù)÷2． 這就是等差數(shù)列的求和公式

數(shù)數(shù)與計數(shù)習(xí)題

下列各題至少用兩種方法數(shù)數(shù)與計數(shù)．

1．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

2．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中的三角形點群有多少個點？

3．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中有多少個小正方形？

4．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中共有多少個小三角形？

數(shù)數(shù)與計數(shù)習(xí)題解答

1．解：方法1：從上至下一行一行地數(shù)，共4行每行5個點，得5×4=20．

方法2：分成兩個三角形后再數(shù)，見下圖．得：

（1+2+3+4）×2=20．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．

2．解：方法1：從上至下一行一行地數(shù)，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．

方法2：用拼補(bǔ)法，如圖所示：

11×10÷2=55．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．

3．解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，得：5×4=20．

方法2：做階梯形切割，分兩部分?jǐn)?shù)，見右圖．

（1+2+3+4）×2=20．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+2+3+4=（1+4）×4÷2．

4：解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)（圖略）得：20×10=200．

方法2：分成兩個三角形來數(shù)：

（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2

=200．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =（1+19）×10 ÷2

第三篇：北京華羅庚學(xué)校三年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案3 和差問題

和差問題

和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。

再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯了.實際上姐姐比弟弟多2個3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3×2=6支，就是暗差。

“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1 兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？

分析 這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時，兩筐共重150＋8＝158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時，兩筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71＋8=79（千克）

或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2 今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？

分析 題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。

解：①爸爸的年齡：

[58＋（35-7）]÷2

=[58＋28]÷2

=86÷2

=43（歲）

②小強(qiáng)的年齡：

58-43＝15（歲）

答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。例3 小明期末考試時語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？

分析 解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語文成績之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績.解：①語文和數(shù)學(xué)成績之和是多少分？

94×2＝188（分）

②數(shù)學(xué)得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）

③ 語文得多少分？

（188-8）÷2=180÷2=90（分）

或 98-8=90（分）

答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4 甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？

分析 這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是兩校人數(shù)差。

解：①乙校原有的學(xué)生：

（864-32×2-48）÷2＝376（人）

②甲校原有學(xué)生：

864-376=488（人）

答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。

小結(jié)：從以上4個例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：

（和+差）÷2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù)

或（和-差）÷2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù)

也可以求出一個數(shù)后，用和減去這個數(shù)得到另一個數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個數(shù)學(xué)問題。例5 在每兩個數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號使算式成立。

9=5

分析 這樣想：從1至9這幾個數(shù)字相加是不會得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問題的方法便可以求出。

（45-5）÷ 2=20，20+5=25

可求出其中幾個數(shù)的和是25，而另外幾個數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個數(shù)前面添上“+”號，而在組成和是20的幾個數(shù)前面添上“-”號，此題就算出來了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 這道題你還有其他解法嗎？試試看！

和差問題習(xí)題

1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？

2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？

3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬元，今年比去年多10萬元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬元？

5.甲、乙兩個學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？

6.三個物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個物體各重多少千克？

7.甲、乙兩個工程隊共有1980人，甲隊為了支援乙隊，抽出285人加入乙隊，這時乙隊人數(shù)還比甲隊少24人，求甲、乙兩隊原有工人多少人？

8.四年級有3個班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？

答案

1.桃樹的棵樹：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨樹的棵樹：150-85= 65（棵）

答：有桃樹85棵，梨樹65棵。

2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.錫的重量：（500-100）÷2= 200（千克）鋁的重量：500-200= 300（千克）

答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。

4.今年的產(chǎn)值：（96×2+10）÷2=101（萬元）去年的產(chǎn)值：101-10=91（萬元）

答：今年的產(chǎn)值是101萬元，去年的產(chǎn)值是91萬元。

5.乙校原有人數(shù)：

[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）

甲校原有人數(shù)：1245-600＝645（人）

答：甲校原有學(xué)生645人，乙校原有學(xué)生600人。

6.三個物體的總重量：31×3=93（千克）

甲物體的重量：（93-1）÷2=46（千克）

丙物體的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）

乙物體的重量： 93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三個物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。

7.甲隊原有人數(shù)：

（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）

乙隊原有人數(shù)：1287-594= 693（人）

答：甲隊原有1287人，乙隊原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學(xué)生.

第四篇：北京華羅庚學(xué)校二年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案10-畫圖顯示法

畫圖顯示法

在有些數(shù)學(xué)題中，數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來;可是只要畫個圖就能顯示清楚了.同學(xué)們要學(xué)會這種畫圖方法.例1 小明比小英小5歲，小方比小明大2歲.那么小英和小方差幾歲?

解：先畫個圖看看：

①表示小明比小英小5歲，②表示小方比小明大2歲，由圖可見，小英比小方大3歲.注意：畫這個圖時，由題意應(yīng)以小明為基準(zhǔn).例2小初、小美、小英三個人分糖塊.小美比小英多3塊，小初比小美多2塊.已知糖塊總數(shù)是50塊，那么每人各分到多少塊?

解：依題意畫圖，可以先畫小英，見下圖中①，再畫小美，它比小英多3塊，見下圖中②，接著再畫小初，它又比小美多2塊，見下圖中③，至此，圖已畫完，下面借助此圖進(jìn)行分析推理.由圖可見，小初比小英多3+2=5塊，由圖還可以看出，50-(3+5)=42(塊)就是小英糖數(shù)的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(塊);

由此可求出小美的一份是14+3=17(塊);

小初的一份是17+2=19(塊).例3 小健到商店去買練習(xí)本，他的錢若買4本還剩2分;若買5本，就差1角.問小健有多少錢?

解：依題意畫出下圖：

由圖易見一本的價錢是： 2+10=12(分)，所以小健有的錢是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 媽媽的年齡是小鈴的3倍，兩個人年齡加起來是40歲.問小鈴和媽媽各多少歲? 解：依題畫下圖：

由上圖可見，40歲是小鈴年齡的3+1=4倍，所以小鈴的年齡是：40÷4=10(歲);而媽媽的年齡則是：10×3=30(歲).例5 父親今年40歲，小哲10歲.問幾年以后父親年齡是小哲年齡的2倍? 解：按題意畫下圖：

先畫陰影部分，小哲(10歲)占1格，父親(40歲)占4格，年齡差(40-10=30(歲))是3格，再畫圖表示二人年齡的增長，注意應(yīng)從上往下畫.不難得出當(dāng)二人年齡各增加2格時，即20年后(父親是6格，小哲是3格)父親年齡是小哲年齡的2倍.畫圖顯示法習(xí)題

1.王強(qiáng)和李明都想買一本《趣味數(shù)學(xué)》，但王強(qiáng)的錢少2角5分，李明的錢少3角1分.如果兩個人的錢合在一起就剛夠買這本書.問一本《趣味數(shù)學(xué)》多少錢?王強(qiáng)和李明各有多少錢?

2.大、小二數(shù)之和為10，之差為2，求大、小二數(shù)各多少?

3.小軍、小方和小雄共有12本小人書，小軍比小方多2本，小方比小雄多2本，問他們?nèi)烁鲙妆?

4.今年弟弟8歲，哥哥14歲.問當(dāng)兩人的年齡和是30歲時，兩人各幾歲?

5.兩個桶里共盛水30斤.如果把第一個桶里的水倒3斤給第二個桶里，兩個桶里的水就一樣多了.問每個桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里裝著一些水，把水加到原來的2倍時，稱得重為5千克;把水加到原來的4倍時，再稱一稱重為9千克，問原來水有多少千克? 7.一筐鮮魚，連筐共重56千克.先賣出鮮魚的一半，再賣出剩下的一半，這時連筐還重17千克.原來這筐鮮魚重多少千克? 8.小秋用一根繩子測量一口枯井的深.他把繩子放入井里，當(dāng)繩子到達(dá)井底后，井外還留有15米;小秋又把這根繩子對折后再放入井里，井外還留有1米.請問，這口枯井有多少米深?

畫圖顯示法習(xí)題答案

1.解：畫個圖用實線段表示二人有的錢，虛線表示缺的錢.依題意，“兩人錢合在一起，剛好買這本書”.就是說，如圖所示，實線段(表示李明的錢)按圖線可以向上移到短的虛線處(表示王強(qiáng)缺的錢)接起來剛好等書價.也就是說一本書的書價是：

2角5分+3角1分=5角6分.王強(qiáng)有3角1分，李明有2角5分.2.解：畫線段圖用長線段表示大數(shù)，用短線段表示小數(shù)，用差線段表示兩數(shù)之差，見圖：

由圖顯見，若在虛線處再加上一段“差線段”，那就顯然得到了兩條等長的長線段.這就表示，和加差等于兩個大數(shù)，即(和+差)÷2=大數(shù).反之，如果去掉那段“差線段”，則得到兩條等長的短線段.這就表示，和減差等于兩個小數(shù)，即(和-差)÷2=小數(shù).注意，此題就叫“和差問題”，以上兩式就叫和差問題公式.把題給的具體數(shù)值代入這兩個公式，可得：

大數(shù)=(10+2)÷2=6，小數(shù)=(10-2)÷2=4.3.解：畫線段圖如下：

與上題類比，采用添加差線段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小軍);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同樣也可采用去掉差線段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小軍).4.解：此題叫年齡問題，它的特點是年齡差保持不變.此題可歸納為和差問題：哥弟年齡之差為14-8=6(歲)，和為30歲，求哥弟各幾歲?

(30+6)÷2=18(歲)(哥)

(30-6)÷2=12(歲)(弟).5.解：此題的實質(zhì)也是和差問題.和為30斤，差：3×2=6(斤)，由和差問題公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：畫線段圖如下：

由圖可見，線段③-線段②=2倍小線段，即一條小線段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原來瓶中水重是2千克.7.解：畫線段圖如下：

由圖可以看出總重減去最后剩下的(包括筐重和魚)等于第一次和第二次賣出的鮮魚總數(shù).又知第一次賣出的是第二次賣出的2倍，即兩次賣出的鮮魚總數(shù)是第二次賣出的3倍，即得第二次賣出魚的總量為(56-17)÷3=13千克.原來鮮魚總數(shù)為13×4=52千克.8.解：畫示意圖如下：

小秋第二次把繩子對折量，井外留1米長的雙股繩相當(dāng)實際繩長2米，比第一次單股繩測時，井外少了15-2=13(米)，因為這段繩放到井里去了，所以得出井深為13米.

第五篇：北京華羅庚學(xué)校三年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案1 和倍問題

第七講 和倍問題

和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗算呢？

可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對了.注意驗算決不是把原式再算一遍。

驗算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：

30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：

2＋1＝3（倍）

③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）

④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）

綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。

驗算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

例3 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。

解：①女生人數(shù)：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人數(shù)：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

驗算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？

分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。

解：①梨樹的棵數(shù)：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃樹的棵數(shù)：140×2＋12=292（棵）

③蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵）

答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等.求4個數(shù)各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。

解：①丙數(shù)是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

=549÷9

=61

②甲數(shù)是：61×2-2=120

③乙數(shù)是：61×2＋2=124

④丁數(shù)是：61×4=244

驗算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

61×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.和倍問題習(xí)題

1.小明和小強(qiáng)共有圖書120本，小強(qiáng)的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？

2.果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？

3.一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。

4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

6.有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？

1.①小明的本數(shù)：120÷（2＋1）=40（本）.②小強(qiáng)的本數(shù)：40×2=80（本）。

2.①杏樹的棵數(shù)：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃樹的棵數(shù)：80×3＋20=260（棵）。

3.①長方形的寬：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②長方形的長： 5×2=10（厘米）。

③長方形的面積：10×5=50（平方厘米）。

4.①甲、乙兩水池共有水：

2600＋1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：

3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：

2600-760=1840（立方米）

④經(jīng)過的時間（分鐘）：1840÷23＝80（分鐘）。

5.①甲、乙兩桶油總重量：

470+190=660（千克）：

②當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時，乙桶油是：

660÷（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

6.①變化后的繩子總長 95-7＋8=96（米）.②第二條繩長： 96÷（1＋1+1）=32（米）。

③第一條繩長：32＋7=39（米）。

④第三條繩長：32-8=24（米）.習(xí)題答案