第一篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補習(xí)教案 幾何中的計數(shù)問題(二)

幾何中的計數(shù)問題

我們在已經(jīng)學(xué)會數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的基礎(chǔ)上，通過本講學(xué)習(xí)數(shù)長方形，正方形及數(shù)綜合圖形來進一步提高觀察和思考問題的能力，學(xué)會在觀察、思考、分析中總結(jié)歸納出解決問題的規(guī)律和方法.一、數(shù)長方形

例1如下圖，數(shù)一數(shù)下列各圖中長方形的個數(shù)？

分析圖（Ⅰ）中長方形的個數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對應(yīng)一個長方形，所以長方形的個數(shù)等于AB邊上線段的條數(shù)，即長方形個數(shù)為：

4+3+2+1=10（個）.圖（Ⅱ）中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條.BC邊上共有線段：2+1=3（條），把AB上的每一條線段作為長，BC邊上每一條線段作為寬，每一個長配一個寬，就組成一個長方形，所以圖（Ⅱ）中共有長方形為：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個）.圖（Ⅲ）中，依據(jù)計算圖（Ⅱ）中長方形個數(shù)的方法：可得長方形個數(shù)為：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（個）.解：圖（Ⅰ）中長方形個數(shù)為4+3+2+1=10（個）.圖（Ⅱ）中長方形個數(shù)為：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個）.圖（Ⅲ）中長方形個數(shù)為：

（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（個）.小結(jié)：一般情況下，如果有類似圖Ⅲ的任一個長方形一邊上有n-1個分點（不包括這條邊的兩個端點），另一邊上有m-1個分點（不包括這條邊上的兩個端點），通過這些點分別作對邊的平行線且與另一邊相交，這兩組平行線將長方形分為許多長方形，這時長方形的總數(shù)為：

（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右圖數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù).解：AB邊上分成的線段有：

5+4+3+2+1=15.BC邊上分成的線段有：

3+2+1=6.所以共有長方形：

（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（個）.二、數(shù)正方形

例3 數(shù)一數(shù)下頁各個圖中所有正方形的個數(shù).（每個小方格為邊長為1的正方形）

分析 圖Ⅰ中，邊長為1個長度單位的正方形有：

2×2=4（個），邊長為2個長度單位的正方形有：

1×1=1（個）.所以，正方形總數(shù)為1×1+2×2=1+4=5（個）.圖Ⅱ中，邊長為1個長度單位的正方形有3×3=9（個）；

邊長為2個長度單位的正方形有：2×2=4（個）；

邊長為3個長度單位的正方形有1×1=1（個）.所以，正方形的總數(shù)為：1×1+2×2+3×3=14（個）.圖Ⅲ中，邊長為1個長度單位的正方形有：

4×4=16（個）；

邊長為2個長度單位的正方形有：3×3=9（個）；

邊長為3個長度單位的正方形有：2×2=4（個）；

邊長為4個長度單位的正方形有：1×1=1（個）；

所以，正方形的總數(shù)為：

1×1+2×2+3×3+4×4=30（個）.圖Ⅳ中，邊長為1個長度單位的正方形有：

5×5=25（個）；

邊長為2個長度單位的正方形有：4×4=16（個）；

邊長為3個長度單位的正方形有：3×3=9（個）；

邊長為4個長度單位的正方形有：2×2=4（個）；

邊長為5個長度單位的正方形有：1×1=1（個）.所有正方形個數(shù)為：

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（個）.小結(jié)：一般地，如果類似圖Ⅳ中，一個大正方形的邊長是n個長度單位，那么其中邊長為1個長度單位的正方形個數(shù)有：n×n=n2（個），邊長為2個長度單位的正方形個數(shù)有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（個）…；邊長為（n-1）個長度單位的正方形個數(shù)有：2×2=22（個），邊長為n個長度單位的正方形個數(shù)有：1×1=1（個）.所以，這個大正方形內(nèi)所有正方形總數(shù)為：12+22+32+…+n2（個）.例4 如右圖，數(shù)一數(shù)圖中有多少個正方形（其中每個小方格都是邊長為1個長度單位的正方形）.分析 為敘述方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長為1個長度單位，又稱為基本線段，圖中共有五類正方形.①以一條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

6×5=30（個）.②以二條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

5×4=20（個）.③以三條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

4×3=12（個）.④以四條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

3×2=6（個）.⑤以五條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

2×1=2（個）.所以，正方形總數(shù)為：

6×5+5×4+4×3+3×2+2×1

=30+20+12+6+2=70（個）.小結(jié)：一般情況下，若一長方形的長被分成m等份，寬被分成n等份，（長和寬上的每一份是相等的）那么正方形的總數(shù)為（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1

顯然例4是結(jié)論的特殊情況.例5 如下圖，平面上有16個點，每個點上都釘上釘子，形成4×4的正方形釘陣，現(xiàn)有許多皮筋，問能套出多少個正方形.分析 這個問題與前面數(shù)正方形的個數(shù)是不同的，因為正方形的邊不是先畫好的，而是要我們?nèi)ゴ_定的，所以如何確定正方形的邊長及頂點，這是我們首先要思考的問題.很明顯，我們能圍成上圖Ⅰ那樣正向正方形14個，除此之外我們還能圍出圖Ⅱ那樣斜向正方形4個，圖Ⅲ那樣斜向正方形2個.但我們不可能再圍出比它們更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6個，總共可以圍出正方形有：14+6=20（個）.我們把上述結(jié)果列表分析可知，對于n×n個頂點，可作出斜向正方形的個數(shù)恰好等于（n-1）×（n-1）個頂點時的所有正方形的總數(shù).三、數(shù)三角形

例6 如右圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù).分析 這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條基本線段的最小三角形開始.Ⅰ.以一條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：

W①上=1+2+3+4=10（個）.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：

W①下=1+2+3=6（個）.Ⅱ.以兩條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：

W②上=1+2+3=6（個）.②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=1（個）.Ⅲ.以三條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：

W③上=1+2=3（個）.②尖朝下的三角形零個，記為W③下=0（個）.Ⅳ.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個，記為：

W④上=1（個）.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個）.我們還可以按另一種分類情況計算三角形的個數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計算三角形個數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種：

W①下=1+2+3+4=10

W②上=1+2+3=6

W③上=1+2=3

W④上=1

所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（個）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種：

W①下=1+2+3=6

W②下=1

W③下=0

W④下=0

則尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（個）

所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：

20+7=27（個）.小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推直到零為止.例7 頁圖數(shù)一數(shù)圖中有多少個三角形.解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：

Ⅰ.尖朝上的三角形有五種：

（1）W①上=8+7+6+5+4=30

（2）W②上=7+6+5+4=22

（3）W③上=6+5+4=15

（4）W④上=5+4=9

（5）W⑤上=4

∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（個）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四種：

（1）W①下=3+4+5+6+7=25

（2）W②下=2+3+4+5=14

（3）W③下=1+2+3=6

（4）W④下=1

尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（個）.∴所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有

80+46=126（個）.四、數(shù)綜合圖形

前面我們已對較基本、簡單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對于較復(fù)雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?fù)、不遺漏的原則，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來就一定能把圖形數(shù)清楚了.例7 頁圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形.分析圖中有若干個大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個？

解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：

Ⅰ.與△ABE相同的三角形共有5個；

Ⅱ.與△ABP相同的三角形共有10個；

Ⅲ.與△ABF相同的三角形共有5個；

Ⅳ.與△AFP相同的三角形共有5個；

Ⅴ.與△ACD相同的三角形共有5個；

Ⅵ.與△AGD相同的三角形共有5個.所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35（個）.例8 圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形？

分析這是個對稱圖形，我們可按如下三步順序來數(shù)：

第一步：大矩形ABCD可分為四個相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個小矩形內(nèi)所包含的三角形個數(shù)是相同的.第二步：每兩個小矩形組合成的圖形共有四個，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.第三步：每三個小矩形占據(jù)的部分圖形共有四個：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.最后把每一步中每個圖形所包含三角形個數(shù)求出相加再乘以4就是整個圖形中所包含的三角形的個數(shù).解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：

①由一個三角形構(gòu)成的有8個.②由兩個三角形構(gòu)成的三角形有5個.③由三個或三個以上三角形構(gòu)成的三角形有5個.這樣在一個小矩形內(nèi)有17個三角形.Ⅱ.在由兩個小矩形組合成的圖形中，如矩形AEGD，共有5個三角形.Ⅲ.由三個小矩形占據(jù)的部分圖形中，如△ABC，共有2個三角形.所以整個圖形共有三角形個數(shù)是：

（8+5+5+5+2）×=25×4=100（個）.習(xí)題

1.下圖中有多少個正方形？

2.下圖中有多少個三角形？

3.下圖中有多少個長方形？

4.下圖（1）、（2）中各有多少個三角形？

5.下圖中有多少個三角形？

6.下圖中有多少個三角形？

7.下圖中有多少個正方形？

8.下圖中有多少個長方體？

習(xí)題答案

1.共有正方形54個.2.共有三角形128個.3.共有長方形133個.4.（1）共有三角形78個.（2）共有三角形61個.5.共有三角形45個.6.共有三角形36個.7.共有正方形24個.8.共有長方體540個.

第二篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補習(xí)教案 第七講 幾何中的計數(shù)問題(一)

第七講 幾何中的計數(shù)問題

（一）幾何中的計數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等.通過這一講的學(xué)習(xí)，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、思考問題的良好習(xí)慣，逐步學(xué)會通過觀察、思考探尋事物規(guī)律的能力.一、數(shù)線段

我們把直線上兩點間的部分稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最基本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對于了解圖形、分析圖形是很重要的.例1 數(shù)一數(shù)下列圖形中各有多少條線段.分析 要想使數(shù)出的每一個圖形中線段的總條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：按照線段的端點順序去數(shù)，如上圖（1）中，線段最左邊的端點是A，即以A為左端點的線段有AB、AC兩條以B為左端點的線段有BC一條，所以上圖（1）中共有線段2＋1＝3條.同樣按照從左至右的順序觀察圖（2）中，以A為左端點的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點的線段有BC、BD兩條，以C為左端點的線段有CD一條.所以上頁圖（2）中共有線段為3＋2＋1＝6條.第二種：按照基本線段多少的順序去數(shù).所謂基本線段是指一條大線段中若有n個分點，則這條大線段就被這n個分點分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為基本線段.如上頁圖（2）中，線段AD上有兩個分點B、C，這時分點B、C把AD分成AB、BC、CD三條基本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條基本線段，其次是包含有二條基本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條基本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁圖（3）中線段AE上有三個分點B、C、D，這樣分點B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條基本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照基本線段多少的順序是：首先有4條基本線段，其次是包含有二條基本線段的有3條，然后是包含有三條基本線段的有2條，最后是包含有4條基本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.解：①2＋1＝3（條）.② 3＋2＋1＝6（條）.③ 4＋3＋2＋1＝10（條）.小結(jié)：上述三例說明：要想不重復(fù)、不遺漏地數(shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和，這個連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點數(shù)加1或者是線段所有點數(shù)（包括線段的兩個端點）減1.也就是基本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點數(shù)（包括兩個端點A、F）共有6個，所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是6—1＝5，或者線段AF上的分點有4個（B、C、D、E）.所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是4＋1＝5.也就是線段AF上基本線段（AB、BC、CD、DE、EF）的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5＋4＋3＋2＋1＝15（條）.二、數(shù)角

例2 數(shù)出右圖中總共有多少個角.分析 在∠AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，∠AOB被這三條角分線分成4個基本角，那么∠AOB內(nèi)總共有多少個角呢？首先有這4個基本角，其次是包含有2個基本角組成的角有3個（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3個基本角組成的角有2個（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4個基本角組成的角有1個（即∠AOB），所以∠AOB內(nèi)總共有角：

4＋3＋2＋1＝10（個）.解：4＋3＋2＋1＝10（個）.小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，這個和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加1，也就是基本角的個數(shù).例3 數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個角？

解：因為∠AOB內(nèi)角分線OC1、OC2…OC9共有9條，即9+1=10個基本角.所以總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（個）.三、數(shù)三角形

例4 如右圖中，各個圖形內(nèi)各有多少個三角形？

分析 可以采用類似

例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖（2）：

第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有：

△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四個三角形.再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：

△ADE、△ADF、△ADC三個三角形.以AE為一條邊的三角形共有：

△AEF、△AEC二個三角形.最后以AF為一條邊的三角形共有△AFC一個三角形.所以三角形的個數(shù)總共有4+3+2+1=10.第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：

△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四個三角形.再數(shù)由兩個小三角形組合在一起的三角形共有：

△ABE、△ADF、△AEC三個三角形，以三個小三角形組合在一起的三角形共有：

△ABF、△ADC二個三角形，最后數(shù)以四個小三角形組合在一起的只有△ABC一個.所以圖中三角形的個數(shù)總共有：4+3+2+1=10（個）.解：①3+2+1=6（個）

② 4+3+2+1=10（個）.答：圖（1）及圖（2）中各有三角形分別是6個和10個.小結(jié)：計算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的基本線段的條數(shù).例5 如右圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？

分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？

怎么數(shù)？這樣兩個問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中基本線段（基本三角形）的條數(shù)，算：就是以基本線段（基本三角形）條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和.①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點，各分成3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）.②要數(shù)有多少個三角形，先看在△AGH中，在GH上有3個分點，分成基本小三角形有4個.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個數(shù)，所以在△ABC中三角形個數(shù)總共：

（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.解：①在△ABC中共有線段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）

②在△ABC中共有三角形是：

（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.例6 如右圖中，共有多少個角？

分析本題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決.∠

1、∠

2、∠

3、∠4我們可視為4個基本角，由2個基本角組成的有：∠1與∠

2、∠2與∠

3、∠3與∠

4、∠4與∠1，共4個角.由3個基本角組成的角有：∠

1、∠2與∠3；∠

2、∠3與∠4；∠

3、∠4與∠1；∠

4、∠1與∠2，共4個角，由4個基本角組成的角只有一個.所以圖中總共有角是：4×3+1=13（個）.解：所以圖中共有角是：4×3+1=13（個）.小結(jié)：由本題可以推出一般情況：若周角中含有n個基本角，那么它上面角的總數(shù)是 n（n-1）+1.習(xí)題七

1.數(shù)一數(shù)下圖中，各有多少條線段？

2.數(shù)一數(shù)下圖中各有多少角？

3.數(shù)一數(shù)下圖中，各有多少條線段？

4.數(shù)一數(shù)下圖中，各有多少條線段，各有多少個三角形？

習(xí)題答案

1.①在AB線段上有4個分點，所以它上面線段的總條數(shù)為：5+4+3+2+1=15（條）.②在線段AB上有3個分點，所以它上面線段的總條數(shù)為：

4+3+2+1=10（條）.在線段CD上有4個分點：所以它上面線段的總條數(shù)為：

5+4+3+2+1=15（條）.∴整個圖（2）共有線段10+15=25（條）.③在線段AB上有3個分點，它上面線段的條數(shù)為：

4+3+2+1=10（條）.在線段CD上有2個分點，它上面線段的條數(shù)為：

3+2+1=6（條）.在線段EF上有2個分點，它上面線段的條數(shù)為6條.所以圖（3）上總共有線段10+6+6=22（條）.2.①在∠AOB內(nèi)有4條角分線，所以共有角：

5+4+3+2+1=15（個）；

②在∠AOB內(nèi)有9條角分線，所以共有角：

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）；

③周角內(nèi)含有6個基本角，所以共有角：

6×（6-1）+1=31（個）.3.①（3+2+1）×7=42；

②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7

=21×4+10×7=84+70=154.4.①有線段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5

=30+30=60（條）

有三角形：（4+3+2+1）×3=30（個）；

②有線段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）

=15+10+3=28（條）

有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5

=15×2+5=35（個）.

第三篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補習(xí)教案 第六講 行程問題

第六講 行程問題

（一）我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個量之間存在這樣的基本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題——反向運動問題，也即在同一道路上的兩個運動物體作方向相反的運動的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個物體以不同的點作為起點作相向運動的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個運動物體以同一點作為起點作背向運動的問題，下面，我們來具體看幾個例子.例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，問：二人幾小時后相遇？

分析 出發(fā)時甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡稱速度和），所以30千米里有幾個10千米就是幾小時相遇.解：30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小時）

答：3小時后兩人相遇.例1是一個典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個基本數(shù)量關(guān)系：

路程＝速度和×?xí)r間.例2 一列貨車早晨6時從甲地開往乙地，平均每小時行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發(fā)2小時，中午12時兩車同時經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進，問：當(dāng)客車到達甲地時，貨車離乙地還有多少千米？

分析 貨車每小時行45千米，客車每小時比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時（45＋15）千米；中午12點兩車相遇時，貨車已行了（12—6）小時，而客車已行（12—6－2）小時，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達甲地時，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×＝510（千米）.②客車行完全程所需的時間是： 510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小時）.③客車到甲地時，貨車離乙地的距離：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.答：客車到甲地時，貨車離乙地還有37.5千米.例3 兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動則可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：（10＋15）×1

4＝350（米）

答：乙車的車長為350米.我們也可以把例3稱為一個相背運動問題，對于相背問題而言，相遇問題中的基本關(guān)系仍然成立.例4 甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達對方出發(fā)點后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點相距多少千米？

分析 甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時共走了3個AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個64千米，再由上圖可知：減去一個48千米后，正好等于一個AB全程.解：①AB間的距離是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.②兩次相遇點的距離為

144—48－64

＝32（千米）.答：兩次相遇點的距離為32千米.例5 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時.在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析 甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100千米所需的時間為（4—1＋4÷2）＝5小時.這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：

100÷（4－1＋4÷2）

＝10O÷5＝20（千米/小時）.乙的速度為：20÷2＝10（千米/小時）.答：甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時.例6 某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與另一列長150米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

分析 解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和.列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250—210）米時，所用的時間為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個列車的車長為20×25—250＝250（米），從而可求出錯車時間.解：根據(jù)另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為：

72000÷3600＝20（米/秒），某列車的速度為：

（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列車的車長為：

20×25-250＝500-250＝250（米），兩列車的錯車時間為：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：錯車時間為10秒.例7 甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時.6小時，8小時先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析 甲車每小時比乙車快60-48＝12（千米）.則5小時后，甲比乙多走的路程為12×5＝60（千米）.也即在卡車與甲相遇時，卡車與乙的距離為60千米，又因為卡車與乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12（千米/小時）

卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3（小時）才能與丙相遇，而此時丙已走了8個小時，因此，卡車3小時所走的路程與丙8小時所走的路程之和就等于甲5小時所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小時）.解：卡車的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小時），丙車的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小時），答：丙車的速度為每小時33千米.注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒”、“千米/小時”等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.行程問題

（一）習(xí)題

1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，已知甲車到達B城需4小時，乙車到達A城需6小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？

2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相向而行，甲比乙每小時多行1千米，5小時后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時.他們二人在乙出后的4小時相遇，又已知甲比乙每小時快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少？

6.前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時出發(fā)相向而行，速度分別為每小時40千米和50千米，到達目的地后立即返回，如此反復(fù)運行多次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時，距礦山多少千米？

習(xí)題答案

1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小時）.2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小時）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小時）.③乙的速度：9—5＝4（千米/小時）.3.解：①A、B兩地間的距離：

4×3—3＝9（千米）.②兩次相遇點的距離：9－4－3＝2（千米）.4.解：①乙的速度為：

［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小時）.②甲的速度為：10＋2＝12（千米/小時）.提示：甲比乙每小時快2千米，則（4＋1）小時快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相當(dāng)于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小時）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提示：在這個過程中，對方的車長＝兩列車的速度和×駛過的時間.而速度和不變.6.解：①第三次相遇時兩車的路程和為：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.②第三次相遇時，兩車所用的時間：

450÷（40＋50）＝5（小時）.③距礦山的距離為：40×5—2×90＝20（千米）.

第四篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補習(xí)教案 第三講 定義新運算

第三講 定義新運算

我們學(xué)過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應(yīng)法則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同就是不同的運算.當(dāng)然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運算不相同.我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算”.例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；

②這個運算“△”有交換律嗎？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④這個運算“△”有結(jié)合律嗎？

⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運算的本質(zhì)是：用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5

2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計算（17△6）△2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計算第二步

39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對于17△（6△2），同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因為4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定義運算※為a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③這個運算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計算12※（3※4），先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.對于（12※3）※4，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

b※a＝b×a－（b＋a）

＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交換律）

所以有a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運算“※”沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

＝12x－15－（4x－2）

＝ 8x－ 13

那么 8x－13＝3

解出x＝2.③這個運算有交換律和結(jié)合律嗎？

到

例5 x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此要計算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出 k的值.解：因為1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出： 的觀察，找 規(guī)律：

①當(dāng)m=1，n=2時：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.在上面這一類定義新運算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點不放，在計算時，嚴格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒有確定新運算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運用這些運算律來解題.習(xí)題三

計算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一種運算符號，它的含義是：

9.規(guī)定a△b=a+（a+1）+（a+2）+?+（a+b-1），（a、b均為自然數(shù)，b＞a）如果x△10=65，那么x=？

習(xí)題三解答

所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于

9.解：按照規(guī)定的運算：

x△10=x+（x+1）+（x+2）+?+（x+10-1）

=10x+（1+2+3+?+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.

第五篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補習(xí)教案 三角形的等積變形

S2=III+IV , S3=S△BDG.因為III＝IV 所以F為CD中點，有：S△BCF－S△BDF，又因為III＝IV，所以S△BGD＝S△BCG.即S3+S1，由已知I為II的2倍，所以BE＝2EC，所以