第一篇：北京華羅庚學(xué)校四年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第五講 倒推法的妙用

第五講 倒推法的妙用

在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1 一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？

分析 這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來(lái).如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？

把一個(gè)數(shù)用□來(lái)表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：

｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4(□－8）+10＝14×7 □－8＝98－10 □＝88+8 □＝96

答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意：

①?gòu)慕Y(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).例2 馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？

分析 馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

答：正確的答案是57.例3 樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來(lái)每棵樹上各落多少只鳥？

分析 倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來(lái)的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16（只）

②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24（只）

③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6—8＝14（只）

④第三棵樹上原有鳥只數(shù).16—6＝10（只）

答：第一、二、三棵樹上原來(lái)各落鳥24只、14只和10只.例4 籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？

分析 依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

＝22（個(gè)）

答：籃子里原有梨22個(gè).例5 甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來(lái)，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？

分析 解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個(gè)油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油”及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？

15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）

用倒推法畫圖如下：

④從甲桶賣出油多少千克？ 15-11＝4（千克）

⑤從乙桶賣出油多少千克？ 15—5＝10（千克）

答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.例6 菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？

分析 解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來(lái).解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）

②第二天運(yùn)進(jìn)200千克后的一半是多少千克？

600＋30＝630（千克）

③第二天運(yùn)進(jìn)200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）

④原來(lái)的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）

⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120（千克）

答：菜站原來(lái)貯存大白菜2120千克.綜合算式：

［（1800÷3＋30）×2—200］×2

＝2120（千克）

答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.習(xí)題

1.某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).2.生產(chǎn)一批零件共560個(gè)，師徒二人合作用4天做完.已知師傅每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個(gè)？

3.有磚26塊，兄弟二人爭(zhēng)著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時(shí)哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準(zhǔn)備挑幾塊磚？

4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加

7、加9加10加11?！蹦阒腊⒎蔡嵋还矌Я硕嗌馘X？買魚用了多少錢？

習(xí)題答案

1.615×6÷5×4＝2952.2.提示：先找到4倍是多少個(gè).①徒弟每天生產(chǎn)多少個(gè)？

560÷4÷（3＋1）＝35（個(gè)）

②師傅每天生產(chǎn)多少個(gè)？

35×3＝105（個(gè)）

答：徒弟和師傅每天各生產(chǎn)35個(gè)、105個(gè).3.提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑幾塊磚：

（26-2）÷2＝12（塊）

再用倒推法求出弟弟最初準(zhǔn)備挑幾塊磚.｛（26－〔26－（12＋5）］×2｝×2

＝16（塊）

答：弟弟最初準(zhǔn)備挑磚16塊.4.①買菜的錢：

1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）

②總錢數(shù)：100×2×2＝400（元）

③買魚的錢：400÷2÷2＝100（元）

答：阿凡提一共帶了400元錢，買魚用去100元錢.

第二篇：北京華羅庚學(xué)校四年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第六講 行程問題

第六講 行程問題

（一）我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡(jiǎn)單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間存在這樣的基本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來(lái)研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題——反向運(yùn)動(dòng)問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問題，下面，我們來(lái)具體看幾個(gè)例子.例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？

分析 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡(jiǎn)稱速度和），所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.解：30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小時(shí)）

答：3小時(shí)后兩人相遇.例1是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：

路程＝速度和×?xí)r間.例2 一列貨車早晨6時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？

分析 貨車每小時(shí)行45千米，客車每小時(shí)比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時(shí)（45＋15）千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了（12—6）小時(shí)，而客車已行（12—6－2）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來(lái)求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×＝510（千米）.②客車行完全程所需的時(shí)間是： 510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小時(shí)）.③客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米.例3 兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長(zhǎng).分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄?，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長(zhǎng)度，即：乙車車長(zhǎng)就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：（10＋15）×1

4＝350（米）

答：乙車的車長(zhǎng)為350米.我們也可以把例3稱為一個(gè)相背運(yùn)動(dòng)問題，對(duì)于相背問題而言，相遇問題中的基本關(guān)系仍然成立.例4 甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

分析 甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.解：①AB間的距離是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.②兩次相遇點(diǎn)的距離為

144—48－64

＝32（千米）.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例5 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時(shí).在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析 甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時(shí)的路，甲只要2小時(shí)就可以了，因此，甲走100千米所需的時(shí)間為（4—1＋4÷2）＝5小時(shí).這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：

100÷（4－1＋4÷2）

＝10O÷5＝20（千米/小時(shí)）.乙的速度為：20÷2＝10（千米/小時(shí)）.答：甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí).例6 某列車通過250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過210米長(zhǎng)的隧道用23秒，若該列車與另一列長(zhǎng)150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過需要幾秒鐘？

分析 解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車相遇，錯(cuò)車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長(zhǎng)之和.因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長(zhǎng)之和除以速度之和.列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長(zhǎng)的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250—210）米時(shí)，所用的時(shí)間為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車長(zhǎng)，因此，這個(gè)列車的車長(zhǎng)為20×25—250＝250（米），從而可求出錯(cuò)車時(shí)間.解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：

72000÷3600＝20（米/秒），某列車的速度為：

（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列車的車長(zhǎng)為：

20×25-250＝500-250＝250（米），兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：錯(cuò)車時(shí)間為10秒.例7 甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來(lái)的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時(shí).6小時(shí)，8小時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析 甲車每小時(shí)比乙車快60-48＝12（千米）.則5小時(shí)后，甲比乙多走的路程為12×5＝60（千米）.也即在卡車與甲相遇時(shí)，卡車與乙的距離為60千米，又因?yàn)榭ㄜ嚺c乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時(shí)后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12（千米/小時(shí)）

卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3（小時(shí)）才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了8個(gè)小時(shí)，因此，卡車3小時(shí)所走的路程與丙8小時(shí)所走的路程之和就等于甲5小時(shí)所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小時(shí)）.解：卡車的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小時(shí)），丙車的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小時(shí)），答：丙車的速度為每小時(shí)33千米.注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒”、“千米/小時(shí)”等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.行程問題

（一）習(xí)題

1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需6小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲比乙每小時(shí)多行1千米，5小時(shí)后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時(shí).他們二人在乙出后的4小時(shí)相遇，又已知甲比乙每小時(shí)快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長(zhǎng)是280米，慢車的車長(zhǎng)為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時(shí)間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時(shí)間是多少？

6.前進(jìn)鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運(yùn)礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時(shí)出發(fā)相向而行，速度分別為每小時(shí)40千米和50千米，到達(dá)目的地后立即返回，如此反復(fù)運(yùn)行多次，如果不計(jì)裝卸時(shí)間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時(shí)，距礦山多少千米？

習(xí)題答案

1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小時(shí)）.2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小時(shí)）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小時(shí)）.③乙的速度：9—5＝4（千米/小時(shí)）.3.解：①A、B兩地間的距離：

4×3—3＝9（千米）.②兩次相遇點(diǎn)的距離：9－4－3＝2（千米）.4.解：①乙的速度為：

［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小時(shí)）.②甲的速度為：10＋2＝12（千米/小時(shí)）.提示：甲比乙每小時(shí)快2千米，則（4＋1）小時(shí)快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相當(dāng)于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小時(shí)）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提示：在這個(gè)過程中，對(duì)方的車長(zhǎng)＝兩列車的速度和×駛過的時(shí)間.而速度和不變.6.解：①第三次相遇時(shí)兩車的路程和為：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.②第三次相遇時(shí)，兩車所用的時(shí)間：

450÷（40＋50）＝5（小時(shí)）.③距礦山的距離為：40×5—2×90＝20（千米）.

第三篇：北京華羅庚學(xué)校二年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案10-畫圖顯示法

畫圖顯示法

在有些數(shù)學(xué)題中，數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來(lái);可是只要畫個(gè)圖就能顯示清楚了.同學(xué)們要學(xué)會(huì)這種畫圖方法.例1 小明比小英小5歲，小方比小明大2歲.那么小英和小方差幾歲?

解：先畫個(gè)圖看看：

①表示小明比小英小5歲，②表示小方比小明大2歲，由圖可見，小英比小方大3歲.注意：畫這個(gè)圖時(shí)，由題意應(yīng)以小明為基準(zhǔn).例2小初、小美、小英三個(gè)人分糖塊.小美比小英多3塊，小初比小美多2塊.已知糖塊總數(shù)是50塊，那么每人各分到多少塊?

解：依題意畫圖，可以先畫小英，見下圖中①，再畫小美，它比小英多3塊，見下圖中②，接著再畫小初，它又比小美多2塊，見下圖中③，至此，圖已畫完，下面借助此圖進(jìn)行分析推理.由圖可見，小初比小英多3+2=5塊，由圖還可以看出，50-(3+5)=42(塊)就是小英糖數(shù)的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(塊);

由此可求出小美的一份是14+3=17(塊);

小初的一份是17+2=19(塊).例3 小健到商店去買練習(xí)本，他的錢若買4本還剩2分;若買5本，就差1角.問小健有多少錢?

解：依題意畫出下圖：

由圖易見一本的價(jià)錢是： 2+10=12(分)，所以小健有的錢是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 媽媽的年齡是小鈴的3倍，兩個(gè)人年齡加起來(lái)是40歲.問小鈴和媽媽各多少歲? 解：依題畫下圖：

由上圖可見，40歲是小鈴年齡的3+1=4倍，所以小鈴的年齡是：40÷4=10(歲);而媽媽的年齡則是：10×3=30(歲).例5 父親今年40歲，小哲10歲.問幾年以后父親年齡是小哲年齡的2倍? 解：按題意畫下圖：

先畫陰影部分，小哲(10歲)占1格，父親(40歲)占4格，年齡差(40-10=30(歲))是3格，再畫圖表示二人年齡的增長(zhǎng)，注意應(yīng)從上往下畫.不難得出當(dāng)二人年齡各增加2格時(shí)，即20年后(父親是6格，小哲是3格)父親年齡是小哲年齡的2倍.畫圖顯示法習(xí)題

1.王強(qiáng)和李明都想買一本《趣味數(shù)學(xué)》，但王強(qiáng)的錢少2角5分，李明的錢少3角1分.如果兩個(gè)人的錢合在一起就剛夠買這本書.問一本《趣味數(shù)學(xué)》多少錢?王強(qiáng)和李明各有多少錢?

2.大、小二數(shù)之和為10，之差為2，求大、小二數(shù)各多少?

3.小軍、小方和小雄共有12本小人書，小軍比小方多2本，小方比小雄多2本，問他們?nèi)烁鲙妆?

4.今年弟弟8歲，哥哥14歲.問當(dāng)兩人的年齡和是30歲時(shí)，兩人各幾歲?

5.兩個(gè)桶里共盛水30斤.如果把第一個(gè)桶里的水倒3斤給第二個(gè)桶里，兩個(gè)桶里的水就一樣多了.問每個(gè)桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里裝著一些水，把水加到原來(lái)的2倍時(shí)，稱得重為5千克;把水加到原來(lái)的4倍時(shí)，再稱一稱重為9千克，問原來(lái)水有多少千克? 7.一筐鮮魚，連筐共重56千克.先賣出鮮魚的一半，再賣出剩下的一半，這時(shí)連筐還重17千克.原來(lái)這筐鮮魚重多少千克? 8.小秋用一根繩子測(cè)量一口枯井的深.他把繩子放入井里，當(dāng)繩子到達(dá)井底后，井外還留有15米;小秋又把這根繩子對(duì)折后再放入井里，井外還留有1米.請(qǐng)問，這口枯井有多少米深?

畫圖顯示法習(xí)題答案

1.解：畫個(gè)圖用實(shí)線段表示二人有的錢，虛線表示缺的錢.依題意，“兩人錢合在一起，剛好買這本書”.就是說，如圖所示，實(shí)線段(表示李明的錢)按圖線可以向上移到短的虛線處(表示王強(qiáng)缺的錢)接起來(lái)剛好等書價(jià).也就是說一本書的書價(jià)是：

2角5分+3角1分=5角6分.王強(qiáng)有3角1分，李明有2角5分.2.解：畫線段圖用長(zhǎng)線段表示大數(shù)，用短線段表示小數(shù)，用差線段表示兩數(shù)之差，見圖：

由圖顯見，若在虛線處再加上一段“差線段”，那就顯然得到了兩條等長(zhǎng)的長(zhǎng)線段.這就表示，和加差等于兩個(gè)大數(shù)，即(和+差)÷2=大數(shù).反之，如果去掉那段“差線段”，則得到兩條等長(zhǎng)的短線段.這就表示，和減差等于兩個(gè)小數(shù)，即(和-差)÷2=小數(shù).注意，此題就叫“和差問題”，以上兩式就叫和差問題公式.把題給的具體數(shù)值代入這兩個(gè)公式，可得：

大數(shù)=(10+2)÷2=6，小數(shù)=(10-2)÷2=4.3.解：畫線段圖如下：

與上題類比，采用添加差線段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小軍);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同樣也可采用去掉差線段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小軍).4.解：此題叫年齡問題，它的特點(diǎn)是年齡差保持不變.此題可歸納為和差問題：哥弟年齡之差為14-8=6(歲)，和為30歲，求哥弟各幾歲?

(30+6)÷2=18(歲)(哥)

(30-6)÷2=12(歲)(弟).5.解：此題的實(shí)質(zhì)也是和差問題.和為30斤，差：3×2=6(斤)，由和差問題公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：畫線段圖如下：

由圖可見，線段③-線段②=2倍小線段，即一條小線段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原來(lái)瓶中水重是2千克.7.解：畫線段圖如下：

由圖可以看出總重減去最后剩下的(包括筐重和魚)等于第一次和第二次賣出的鮮魚總數(shù).又知第一次賣出的是第二次賣出的2倍，即兩次賣出的鮮魚總數(shù)是第二次賣出的3倍，即得第二次賣出魚的總量為(56-17)÷3=13千克.原來(lái)鮮魚總數(shù)為13×4=52千克.8.解：畫示意圖如下：

小秋第二次把繩子對(duì)折量，井外留1米長(zhǎng)的雙股繩相當(dāng)實(shí)際繩長(zhǎng)2米，比第一次單股繩測(cè)時(shí)，井外少了15-2=13(米)，因?yàn)檫@段繩放到井里去了，所以得出井深為13米.

第四篇：北京華羅庚學(xué)校四年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第三講 定義新運(yùn)算

第三講 定義新運(yùn)算

我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.我們先通過具體的運(yùn)算來(lái)了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；

②這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？

⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5

2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計(jì)算（17△6）△2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計(jì)算第二步

39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對(duì)于17△（6△2），同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因?yàn)?△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定義運(yùn)算※為a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③這個(gè)運(yùn)算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計(jì)算12※（3※4），先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計(jì)算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.對(duì)于（12※3）※4，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

b※a＝b×a－（b＋a）

＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交換律）

所以有a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運(yùn)算“※”沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

＝12x－15－（4x－2）

＝ 8x－ 13

那么 8x－13＝3

解出x＝2.③這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？

到

例5 x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2）*3的值，首先我們要計(jì)算1△2，根據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出 k的值.解：因?yàn)?*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出： 的觀察，找 規(guī)律：

①當(dāng)m=1，n=2時(shí)：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時(shí)：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來(lái)解題.習(xí)題三

計(jì)算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：

9.規(guī)定a△b=a+（a+1）+（a+2）+?+（a+b-1），（a、b均為自然數(shù)，b＞a）如果x△10=65，那么x=？

習(xí)題三解答

所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于

9.解：按照規(guī)定的運(yùn)算：

x△10=x+（x+1）+（x+2）+?+（x+10-1）

=10x+（1+2+3+?+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.

第五篇：北京華羅庚學(xué)校四年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 三角形的等積變形

S2=III+IV , S3=S△BDG.因?yàn)镮II＝IV 所以F為CD中點(diǎn)，有：S△BCF－S△BDF，又因?yàn)镮II＝IV，所以S△BGD＝S△BCG.即S3+S1，由已知I為II的2倍，所以BE＝2EC，所以