第一篇：11.1直線方程教案

11．1（２）直線方程（點(diǎn)法向式）

一、教學(xué)目標(biāo)

在理解直線方程的意義，掌握直線的點(diǎn)方向式方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究點(diǎn)法向式方程；學(xué)會(huì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，形成探究能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)是直線的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)及應(yīng)用。在上一堂課的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量垂直的充要條件（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式）推導(dǎo)出直線的點(diǎn)法向式方程。

本節(jié)的難點(diǎn)是通過(guò)對(duì)直線與二元一次方程關(guān)系的分析，初步認(rèn)識(shí)曲線與方程的關(guān)系并體會(huì)解析幾何的基本思想！從而培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法對(duì)平面直線（和以后的圓錐曲線）的研究能力。

三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)上一堂課的教學(xué)內(nèi)容 講授新課

（一）點(diǎn)法向式方程

1、概念引入

從上一堂課的教學(xué)中，我們知道，在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向平行的直線l是惟一確定的．同樣在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向垂直的直線l也是惟一確定的。

2、概念形成 直線的點(diǎn)法向式方程

在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向垂直的直線l是惟一確定的。建立直角坐標(biāo)平面，設(shè)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，方向用非零向量n?(a,b)表示。那么如何根據(jù)條件求出直線l的方程呢？ 直線的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)

設(shè)直線l上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，由直線垂直于非零向量n，故PQ?n.根據(jù)PQ?n的充要條件知PQ?n?0，即：a(x?x0)?b(y?y0)?0⑤；反之，若(x1,y1)為方程⑤的任意一解，即a(x1?x0)?b(y1?y0)?0，記(x1,y1)為坐標(biāo)的點(diǎn)為Q1，可知PQ1?n，即Q1在直線l上。綜上，根據(jù)直線方程的定義知，方程⑤是直線l的方程，直線l是方程①的直線。

我們把方程a(x?x0)?b(y?y0)?0叫做直線l的點(diǎn)法向式方程，非零向量n叫做直線l的法向量。

3、例題解析

第二篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。這是這個(gè)方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個(gè)方程的直線。現(xiàn)在大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等形式，對(duì)直線方程的表示形式有了一定的認(rèn)識(shí).現(xiàn)在，我們來(lái)回顧一下它們的基本形式.點(diǎn)斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點(diǎn)式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時(shí)要注意它們時(shí)要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程??？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們?cè)瓉?lái)在代數(shù)中學(xué)過(guò)二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書(shū)）Ax＋By＋C＝0 我們現(xiàn)在來(lái)看一次這幾種學(xué)過(guò)的特殊形式，它們經(jīng)過(guò)一些變形，比如說(shuō)去分母、移項(xiàng)、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個(gè)統(tǒng)一的形式呢？比如說(shuō)y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線的特殊形式的時(shí)候，應(yīng)該說(shuō)各有其特點(diǎn)，但是也有些不足。在使用的過(guò)程中有些局限性。比如說(shuō)點(diǎn)斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點(diǎn)式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現(xiàn)在想一想有沒(méi)有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點(diǎn)，也就是這些方程最后化成一個(gè)統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線。要解決這些問(wèn)題呢，要分兩個(gè)方面進(jìn)行討論。

1.直線和二元一次方程的關(guān)系

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個(gè)方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫(xiě)成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫(xiě)成這種形式呢？直線按斜率來(lái)分類(lèi)可以分幾類(lèi)？斜率存在和斜率不存在。這兩類(lèi)是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫(xiě)成y＝kx＋b的形式。可以轉(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=k B=-1 C=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫(xiě)成x=x0的形式。可以轉(zhuǎn)化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時(shí)候我們一般把它設(shè)成一個(gè)簡(jiǎn)單的斜截式，斜截式經(jīng)過(guò)變形就可以化成一般的形式。而對(duì)于斜率不存在的時(shí)候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個(gè)形式。那么由此可以下這樣一個(gè)結(jié)論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個(gè)角度考慮，就是直線都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)看，是不是任意的一個(gè)二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因?yàn)閤，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說(shuō)Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為零）大家想想如果AB都等于零這個(gè)直線方程就沒(méi)了?，F(xiàn)在我們考慮一下，這個(gè)方程能不能經(jīng)過(guò)一些適當(dāng)?shù)淖冃?，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過(guò)變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線。那么我們從兩個(gè)方面在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線.根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程。我們?cè)趯W(xué)習(xí)前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點(diǎn)，比如說(shuō)點(diǎn)斜式就可以看出它的斜率還有過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，還有兩點(diǎn)式可以看出它過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)。那么我們?cè)趺赐ㄟ^(guò)直線的一般式方程觀察直線的一些特點(diǎn)呢？比如說(shuō)A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個(gè)系數(shù)要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過(guò)原點(diǎn)的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們?cè)趺纯闯鰜?lái)？這些直線的特點(diǎn)我們要能掌握住。我們對(duì)直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個(gè)互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來(lái)看一個(gè)例子，通過(guò)一些轉(zhuǎn)化來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

［例1］已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點(diǎn)斜式可直接代入點(diǎn)斜式得到，主要讓學(xué)生體會(huì)由點(diǎn)斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線方程一般式的特點(diǎn).解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點(diǎn)斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學(xué)們?cè)谝院蠼忸}時(shí)，可能求直線方程的時(shí)候，求出不一定是一般式，可能是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等等，如題目沒(méi)有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.

第三篇：直線與方程教案

平面解析幾何 第一講 直線方程 知識(shí)歸納：

一、直線的傾斜角與斜率

1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點(diǎn)或直線上一點(diǎn)和直線的方向兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的條件

注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量

2、直線的傾斜角：當(dāng)直線l 與x 軸相交時(shí)，我們?nèi) 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線l 向上方向之間所成的角α叫做直線l 的傾斜角。

注意：①?gòu)挠眠\(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由x 軸繞交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角；

②規(guī)定：直線與x 軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為00 ③直線傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800

④在同一直角坐標(biāo)系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

3、直線的斜率：傾斜角不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即k =tan α(α≠900)。它從另一個(gè)方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個(gè)確定的傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)α=00時(shí)，k =0；當(dāng)00<α<1800時(shí)，k >0；當(dāng)α=900時(shí)，k 不存在，當(dāng)900<α<1800時(shí)，k <0。即：斜率的取值范圍為k ∈R 例

1、給出下列命題：①若直線傾斜角為α，則直線斜率為tan α；②若直線傾斜角為tan α，則直線的傾斜角為α； ③直線的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號(hào)為 例

2、已知直線的傾斜角為α，且sin α=4，求直線的斜率k 5

4、直線斜率的坐標(biāo)公式

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P 的直線的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特別地：當(dāng)y 1=y 2, x 1≠x 2時(shí)，k =0；此時(shí)直線平行于x 軸或與x 軸重合；當(dāng)y 1≠y 2, x 1=x 2時(shí)，k 不存在，此時(shí)

直線的傾斜角為900，直線與y 軸平行或重合。

例

3、已知點(diǎn)P(2,1),Q(m ,-3)，求直線P , Q 的斜率并判斷傾斜角的范圍。

例

4、（三點(diǎn)共線問(wèn)題）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三點(diǎn)，證明這三點(diǎn)在同一條直線上 例

5、（最值問(wèn)題）已知實(shí)數(shù)x , y，滿足2x +y =8，當(dāng)2≤x ≤8時(shí)，求y 的最大值和最小值 x

5、直線的方向向量：已知P 是直線l 上的兩點(diǎn)，直線上的向量PP 及與它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12稱為直線的方向向量。直線PP 與x 軸不垂直時(shí)，x 1≠x 2，此時(shí)，向量12的坐標(biāo)是

1也是直線PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 為直線PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直線的法向量：如果向量n 與直線l 垂直，則稱向量n 為直線l 的法向量。

二、直線的方程

1、定義：一般地，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這是，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線。

2、直線方程的幾種形式（1）點(diǎn)斜式：

問(wèn)題：若直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為k，求直線l 的方程。0(x 0, y 0)解析：設(shè)點(diǎn)P(x , y)是直線l 上不同于點(diǎn)P 的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得k =y-y 0，可化為0 x-x 0、斜率為k 的直線l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即為過(guò)點(diǎn)P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直線上一點(diǎn)及其斜率確定的，把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式的方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式。注意：①k =y-y 0與y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直線上缺少一個(gè)點(diǎn)x ≠x 0，后者才是整條直線； x-x 0 ②當(dāng)直線l 的傾斜角為00時(shí)，tan 00=0，即k =0，這時(shí)直線l 的方程為y =y 0 ③當(dāng)直線的傾斜角為900時(shí)，直線l 斜率不存在，這時(shí)直線l 與y 軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 軸的直線。④經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 的直線有無(wú)數(shù)條，可分為兩類(lèi)情況： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率為k 的直線，方程為y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直線，方程為x-x 0=0或?qū)憺閤 =x 0 例

6、根據(jù)條件寫(xiě)出下列各題中的直線的方程

①經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，傾斜角α=450，②經(jīng)過(guò)點(diǎn)P , 2)，斜率為2 ③經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，且與x 軸平行 1(-2,3)1(1④經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-3)，且與x 軸垂直（2）斜截式：

問(wèn)題：已知直線l 的斜率是k，與y 軸的交點(diǎn)是P(0,b)，代入直線方程的點(diǎn)斜式，得直線l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我們稱b 是直線l 在y 軸上的截距。

這個(gè)方程是由直線l 的斜率k 和它在y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 軸的直線

③斜截式方程和一次函數(shù)的解析式相同，都是y =kx +b，但有區(qū)別：當(dāng)斜率不為0時(shí)，y =kx +b 是一次函數(shù)，當(dāng)k =0時(shí)，y =b 不是一次函數(shù)；一次函數(shù)y =kx +b（k =0）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線y =+1的傾斜角的1，且在y 軸上的截距為-5的直線的方程。4（3）兩點(diǎn)式：

問(wèn)題：已知直線l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直線l 的方程 解析：因?yàn)橹本€l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入點(diǎn)斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，當(dāng)y 2≠y 1時(shí)，方程可以寫(xiě)成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，所以叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)與方程y-y 1=x-x 1比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。例

8、已知點(diǎn)A(-5, 0)，B(3,-3)，求直線AB 的方程

例

9、一條光線從點(diǎn)A(3,2)出發(fā)，經(jīng)x 軸反射，通過(guò)點(diǎn)B(-1, 6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：

問(wèn)題：已知直線l 與x 軸的交點(diǎn)為(a , 0)，與y 軸的交點(diǎn)為(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直線l 的方程。解析：因?yàn)橹本€l 經(jīng)過(guò)A(a , 0)和B(0,b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得如果直線與x 軸的交點(diǎn)為(a , 0)，則稱a 為直線在x 軸上的截距。

以上直線方程是由直線在x 軸和y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示與坐標(biāo)軸平行（重合）的直線，還不能表示過(guò)原點(diǎn)的直 a b y-0x-a，即為x +y =1 = b-00-a a b 線。

例

10、過(guò)兩點(diǎn)A(-1,1)，B(3,9)的直線在x 軸上的截距為（5）一般式方程：

以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x y 的二元一次方程表示； 而關(guān)于x y 的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式。

注意：①直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線的一般式方程成立的條件是A,B 不同時(shí)為0。

③雖然直線的一般式有三個(gè)系數(shù)，但是只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求直線的方程，若A ≠0, 則方程可化為x +B y +C =0;若B ≠0，則方程可化為A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0時(shí)，方程化為y =-C , 它表示與x 軸平行或重合的直線； B 若A ≠0，B =0時(shí)，方程化為x =-C，它表示一條與y 軸平行或重合的直線； A 若ABC ≠0時(shí)，則方程可化為 x-A + 因此只需要兩個(gè)條件即可。y =1-B ④直線方程的其他形式都可以轉(zhuǎn)化為一般式，因此在解題時(shí)若沒(méi)有特殊說(shuō)明，應(yīng)把最后結(jié)果互為直線的一般式 例

11、設(shè)直線l 的方程為(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根據(jù)下列條件分別確定m 的值（1）l 在x 軸上的截距為-3（2）l 的斜率是-1（6）點(diǎn)向式：

問(wèn)題：設(shè)直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，v =(a , b)是它的一個(gè)方向向量，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析:設(shè)P(x , y)是直線l 上的任意一點(diǎn)，則向量P 與v 共線，根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一實(shí)數(shù)t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以?方程組①稱為直線的參數(shù)式方程。0P =tv ? ?y =y 0+bt 2 2 如果直線l 與坐標(biāo)軸不平行，則ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去參數(shù)t，得到直線l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 這個(gè)方程稱為直線l 的點(diǎn)向式方程，a , b 叫做直線l 的方向數(shù)。= a b 思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的方向向量？（7）點(diǎn)法式：

問(wèn)題：設(shè)直線l 有法向量n =(A , B)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析：設(shè)P(x , y)是直線l 上的任意一點(diǎn)，則有P，即P 0P ⊥n 0P ?n =0 因?yàn)镻P 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 這個(gè)方向是由直線l 上一點(diǎn)P 及直線l 的法向量n 確定的，稱為直線l 的點(diǎn)法式。0(x 0, y 0)思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的法向量？

三、直線的位置關(guān)系（同一平面上的直線）

1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定

①當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來(lái)研究直線平行的判定

設(shè)兩條直線分別為，則l 1, l 2的傾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此時(shí)b 1≠b 2；反之也成立。所以有l(wèi) 1//l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，二者的傾斜角均為900，若不重合，則它們也是平行直線 注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1不為0）或l 1//l 2?A（可用直線的方向向量或法向量解釋）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知點(diǎn)A(2,2)和直線l ：3x +4y-20=0，求過(guò)點(diǎn)A 和直線l平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定

①當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來(lái)研究直線平行的判定 設(shè)兩條直線分別為，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 則得直線l 1的方向向量為：a =(1, k 1)l 2的方向向量為：b =(1, k 2)，所以有l(wèi) 1⊥l 2?a ⊥b ?a ?b =0?1?1+k 1?k 2=0 即l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1 注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2?A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1?k 2=-1 tan α1

②兩條直線中，一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1或一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零。

注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知兩直線l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，當(dāng)m 為何值時(shí)，直線l 1與l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知長(zhǎng)方形ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個(gè)頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)

例

16、求證：不論m 為取什么實(shí)數(shù)，直線(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5總通過(guò)某一定點(diǎn) =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2?A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求與直線3x +4y +1=0垂直且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）)例

17、已知直線ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)時(shí)，y >0恒成立，求a 的取值范圍； 16 時(shí)，恒有y >0，求x 的取值范圍

四、到角、夾角（1）到角公式

定義：兩條直線l 1和l 2相交構(gòu)成四個(gè)角，他們是兩對(duì)對(duì)頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線l 1繞交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l 2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l 1到l 2的角，如圖，直線l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：設(shè)已知直線方程分別是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1?k 2=0，即k 1?k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1?k 2≠0，設(shè)l

1、l 2的傾斜角分別為α1, α2，則tan α1=k 1, tan α2=k 2 由圖1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由圖2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夾角公式

定義：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以當(dāng)l 1與l 2相交但不垂直時(shí)，在θ和π-θ中有且只有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為α，則tan α=當(dāng)直線l 1⊥l 2時(shí)，直線l 1與l 2的夾角為 k 2-k 1，即為夾角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直線l 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l 2的方程是x +y-1=0，點(diǎn)(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線l 3的方程

五、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：

1、設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 則l 1與l 2是否有交點(diǎn)，只需看方程組

?A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ? ?A 2x +B 2y +C 2=0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)； 若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行； 若方程組有無(wú)窮多解，則兩直線重合

例

19、求經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x +y +2=0的交點(diǎn)且與直線3x +y-1=0平行的直線方程。經(jīng)過(guò)兩直線l 1:A 1x +B 1y +C 1=0與l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交點(diǎn)的直線系方程為其中λ是待定系數(shù)，在這個(gè)方程中，無(wú)論λ取什么實(shí)數(shù)，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直線l 2。

2、對(duì)稱問(wèn)題

（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)A(a，b)關(guān)于P , y 0)的對(duì)稱點(diǎn)B（m，n），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，點(diǎn)A(x 0, y 0)關(guān)于直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時(shí)為0）的對(duì)稱點(diǎn)

A '(x 1, y 1)，則有AA ’的中點(diǎn)在l 上且直線AA ’與已知直線l 垂直。

（3）直線關(guān)于直線的對(duì)稱，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱解決，若已知直線l 1與對(duì)稱軸l 相交，則交點(diǎn)必在與l 1對(duì)稱的直線l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交點(diǎn)的已知點(diǎn)P 1關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)P 2，那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)

P 2的直線就是l 2；若直線l 1與對(duì)稱軸l平行，則在l 1上任取兩不同點(diǎn)P

1、P 2，求其關(guān)于對(duì)稱軸l 的對(duì)稱

點(diǎn)P

1、P 2，過(guò)P

1、P 2的直線就是l 2。

例題20、已知直線l :x +y-1=0，試求①點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l 的對(duì)稱坐標(biāo)；②直線l 1:y =2x +3關(guān)于直線 ' ' ' ' l 的對(duì)稱的直線方程。例題21、求函數(shù)y =

六、兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線間的距離 +的最小值。

P（1）兩點(diǎn)間的距離：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)則

（2）點(diǎn)到直線的距離: l 已知點(diǎn)P，求點(diǎn)P 0(x 0, y 0)，直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時(shí)為0）0到直線的距離。解法一：如圖，作P 0Q ⊥l 于點(diǎn)Q，設(shè)Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 則由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，?Ax +By +C =0 ?

B ?B y-y =(x-x)從而直線P 的方程為，解方程組Q y-y =(x-x 0)得0000?A ?A ?B 2x 0-ABy 0-AC x =??1A 2+B 2 ?2 ?y =A y 0-ABx 0-BC 1??A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易驗(yàn)證當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上式仍然成立。

l 解法二：如圖，設(shè)A ≠0,B ≠0，則直線l 與x 軸和y 軸都相交，過(guò)點(diǎn)P 0分別作x 軸和y 軸的平行線，交直線

于R 和S，則直線P 0R 的方程為y =y 0，R 的坐標(biāo)為（-By 0+C , y 0）； A x ,-直線P 0S 的方程為x =x 0，S 的坐標(biāo)為（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面積公式可得d ?RS =P 設(shè)PQ 00R ?P 0S.于是得d = 因此，點(diǎn)P 0(x 0, y 0)到直線l :Ax +By +C = 0的距離d =上式仍成立。注意: P 0R ?P 0S RS = 容易驗(yàn)證，當(dāng)A=0或B=0時(shí)，①若給出的方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距離； ②點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離；

③若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因?yàn)榇藭r(shí)Ax 0+By 0+C =0。（3）兩平行線間的距離。

定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長(zhǎng)，即一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離。

兩條平行直線l 1:Ax +By +C 1=0與l 2:Ax +By +C 2= 0的距離公式d = 推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)P 則P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距離

0(x 0, y 0)為直線l 1:Ax +By +C 1=0上任意一點(diǎn)，0為d =，又因?yàn)镻 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：應(yīng)用此公式時(shí)，要把兩直線化為一般式，且x、y 的系數(shù)分別相等。

例題

22、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)與B(-,0)的直線上一點(diǎn)C（5，n）到直線x +y =1的距離。例題

23、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2）且到原點(diǎn)的距離等于1 的直線方程。例題

24、已知三角形ABC 中，點(diǎn)A（1，1），B（m）（1

例題

25、求過(guò)點(diǎn)P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點(diǎn)距離相等的直線方程。作業(yè)：

1、設(shè)θ∈(52 π 2 , π)，則直線x cos θ+y sin θ+1=0的傾斜角α為（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、設(shè)P（x，y）是曲線C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一點(diǎn)，則 y 的取值范圍是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]?*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]?*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l 過(guò)點(diǎn)A(1，1)且與線段MN 相交，則直線l 的斜率k 的取值范圍是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．過(guò)點(diǎn)P（6，－2）且在x 軸上的截距比在y 軸上的截距大1的直線的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2, 則直線l 的條數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如圖所示，直線l 1：ax －y ＋b=0與l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的圖象只可能是()

7、若三點(diǎn)A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上, 則有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直線l 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(－1, －1), 則它的傾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直線l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0與直線l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，則方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.過(guò)l 1與l 2交點(diǎn)的一切直線 B.過(guò)l 1與l 2的交點(diǎn)，但不包括l 1可包括l 2的一切直線 C.過(guò)l 1與l 2的交點(diǎn)，但包括l 1不包括l 2的一切直線 D.過(guò)l 1與l 2的交點(diǎn)，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直線 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直線()A.恒過(guò)定點(diǎn)(－2,3)B.恒過(guò)定點(diǎn)(2，3)C.恒過(guò)點(diǎn)(－2,3)和點(diǎn)(2，3)D.都是平行

11、過(guò)點(diǎn)(-1，)且與直線3x-y +1=0的夾角為 π 的直線方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直線x cos α+3y +2=0的傾斜角的取值范圍是_________。

13、直線l 的方向向量為（-1，2），直線l 的傾斜角為

14、已知直線L 過(guò)P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），則直線L 的方程為。

15、已知點(diǎn)M(a , b)在直線3x +4y = 15上，則

16、△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直線的方程;（2）BC 邊上中線AD 所在直線的方程;（3）BC 邊的垂直平分線DE 的方程.17、求到兩直線l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距離相等的點(diǎn)P(x , y)滿足的方程

第四篇：直線的方程教案

《直線的方程》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解直線方程的點(diǎn)斜式的特點(diǎn)和使用范圍

過(guò)程與方法：在知道直線上一點(diǎn)和直線斜率的基礎(chǔ)上，通過(guò)師生探討得出點(diǎn)斜式方程 情感態(tài)度價(jià)值觀：養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思想，可以使用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)斜式方程

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)使用點(diǎn)斜式方程

三、教學(xué)用具：直尺，多媒體

四、教學(xué)過(guò)程

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引入新知

我們確定一條直線需要知道哪些條件呢？（直線上一點(diǎn)，直線的斜率）

那么我們能不能用直線上這一點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率把整條直線所有點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足的關(guān)系表達(dá)出來(lái)呢？這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的課程《直線的方程》。

2、師生互動(dòng)，探索新知

探究一：在平面直角坐標(biāo)系中，直線L過(guò)點(diǎn)P（0,3），斜率K=2，Q(X,Y)是直線L上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，如ppt上圖例所示。通過(guò)上節(jié)課所學(xué)，我們可以得出什么？

由于P,Q都在這條直線上，我們就可以用這兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線L的斜率，可以得出公式：Y-3X-0=2 那我們就可以的出方程Y=2X+3 所以就有L上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)（X,Y）都滿足方程Y=2X=3,滿足方程Y=2X+3的每一個(gè)（X,Y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線L上。

因此我們可以的出結(jié)論：一般的如果一條直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足一個(gè)方程，滿足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)（x,y）所確定的點(diǎn)都在直線l上，我們就把這個(gè)方程稱為l的直線方程，因此，當(dāng)我們知道了直線上的一點(diǎn)p（x,y），和它的斜率，我們就可以求出直線方程。

3、知識(shí)剖析，深化理解

我們剛剛知道了如何來(lái)求直線方程，那現(xiàn)在同學(xué)來(lái)做做這一個(gè)例子。設(shè) Q(X,Y)是直線L上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，由于點(diǎn)P,Q都在L，求直線的方程。設(shè)點(diǎn)P（X0，,Y0），先表示出這個(gè)直線的額斜率是Y-Y0X-X0=K，然后可以推得公式Y(jié)-Y0=K(X-X0)那如果當(dāng)X=X0，這個(gè)公式就沒(méi)有意義，還有就是分母不能為零，所以這里要注意（X不能等于X0）

1）過(guò)點(diǎn)，斜率是K的直線L上的點(diǎn)，其坐標(biāo)都滿足方程（1）嗎？ P(X0,Y0)

(X0,Y0)，斜率為K的直線L上嗎？ 2）坐標(biāo)滿足方程（1）的點(diǎn)都在經(jīng)過(guò)P那么像這種由直線上一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)斜率所求的方程，就稱為直線方程的點(diǎn)斜式。直線的點(diǎn)斜式是不是滿足坐標(biāo)平面上所有的直線呢？

小組討論：當(dāng)直線與X軸垂直時(shí)，傾斜角為直角時(shí)，直線方程怎么寫(xiě)？（Y-Y0=KX）當(dāng)直線與Y軸垂直時(shí)，傾斜角為零時(shí)，直線方程怎么寫(xiě)？（Y=K(X-X0)那我們帶入與X垂直的一條線上的坐標(biāo)（3,0）（3,1），斜率為K，算出（Y=3K,Y=3K+1）

點(diǎn)斜式就不滿足這個(gè)條件的直線，大家子啊照例做做下一個(gè)，還是不一樣是吧，這個(gè)點(diǎn)斜式不能滿足。（它只能滿足斜率存在的直線。）

4、鞏固提高：做一做習(xí)題1的第一小題：經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（1,3）斜率為1,求出方程，并且畫(huà)圖。（Y=X+2）

5、課堂小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式方程，知道了這種方程也有他的局限性，就是不使用斜率不存在的直線，那怎么辦呢？我們下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)。課后大家預(yù)習(xí)后邊的內(nèi)容，鞏固今天所學(xué)習(xí)的知識(shí)。

6、板書(shū)：點(diǎn)斜式的概念及圖形。

第五篇：11.1直線方程教案（精選）

11．1（２）直線方程（點(diǎn)法向式）

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)的重點(diǎn)是直線的點(diǎn)法向式方程以及一般式方程的推導(dǎo)及應(yīng)用.在上一堂課的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量垂直的充要條件（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式）推導(dǎo)出直線的點(diǎn)法向式方程.引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)直線的點(diǎn)方向式方程、點(diǎn)法向式方程都可以整理成關(guān)于x、y的一次方程ax?by?c?0（a、b不全為零）的形式.本節(jié)的難點(diǎn)是通過(guò)對(duì)直線與二元一次方程關(guān)系的分析，初步認(rèn)識(shí)曲線與方程的關(guān)系并體會(huì)解析幾何的基本思想！從而培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法對(duì)平面直線（和以后的圓錐曲線）的研究能力.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

在理解直線方程的意義，掌握直線的點(diǎn)方向式方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究點(diǎn)法向式方程以及一般式方程；學(xué)會(huì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，形成探究能力.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

直線的點(diǎn)法向式方程以及一般式方程；

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)上一堂課的教學(xué)內(nèi)容

二、講授新課

（一）點(diǎn)法向式方程

1、概念引入

從上一堂課的教學(xué)中，我們知道，在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向平行的直線l是惟一確定的．同樣在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向垂直的直線l也是惟一確定的．

2、概念形成

? 直線的點(diǎn)法向式方程

在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向垂直的直線l是惟一確定的.建立直角坐標(biāo)平面，設(shè)P的坐標(biāo)是?(x0,y0)，方向用非零向量n?(a,b)表示.? 直線的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)

???????????設(shè)直線l上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，由直線垂直于非零向量n，故PQ?n.根據(jù)PQ?n的充要條件知PQ?n?0，即：a(x?x0)?b(y?y0)?0①；反之，若(x1,y1)為方程⑤的任意一解，即??????a(x1?x0)?b(y1?y0)?0，記(x1,y1)為坐標(biāo)的點(diǎn)為Q1，可知PQ1?n，即Q1在直線l上.綜上，根據(jù)直線方程的定義知，方程⑤是直線l的方程，直線l是方程①的直線.我們把方程a(x?x0)?b(y?y0)?0叫做直線l的點(diǎn)法向式方程，非零向量n叫做直線l的法向量.?

3、概念深化

從上面的推導(dǎo)看，法向量n是不唯一的，與直線垂直的非零向量都可以作為法向量.若直線的一個(gè)方向向量是(u,v)，則它的一個(gè)法向量是(v,?u).4、例題解析

例1 已知點(diǎn)A??1，2?，B?3，4?，求AB的垂直平分線l的點(diǎn)法向式方程.解 由中點(diǎn)公式，可以得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為?1,3?，AB??4,2?是直線l的法向量，所以，AB的垂直平分線l的點(diǎn)法向式方程.4?x?1??2?y?3??0 [說(shuō)明]關(guān)鍵在于找點(diǎn)和法向量！

例2已知點(diǎn)A(1,6),B(?1,?2)和點(diǎn)C(6,3)是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求（1）BC邊所在直線方程；

（2）BC邊上的高AD所在直線方程.解（1）因?yàn)锽C邊所在直線的一個(gè)方向向量BC＝（7，5），且該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(?1,?2)，所以BC邊所在直線的點(diǎn)方向式方程為

???x?1y?2? 75（2）因?yàn)锽C邊上的高AD所在的直線的一個(gè)法向量為BC＝（7，5），且該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)，所以高AD所在直線的點(diǎn)法向式方程為

7(x?1)?5(y?6)?0

５、鞏固練習(xí)練習(xí)11.1（2）

（二）一般式方程

1、概念引入

由直線的點(diǎn)方向式方程和點(diǎn)法向式方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示；那么每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程ax?by?c?0（a，b不同時(shí)為表示一條直線呢？

2、概念形成

? 直線的一般式方程的定義

0）是否都直線的點(diǎn)方向式方程和直線的點(diǎn)法向式方程經(jīng)過(guò)整理，成為x,y的二元一次方程ax?by?c?0.反之，任意二元一次方程ax?by?c?0(a,b不全為0)都是直線方程么？回答是肯定的.首先，當(dāng)b?0時(shí)，方程可化為ax?b(y?)?0，根據(jù)直線點(diǎn)法向式方程可知，這是過(guò)點(diǎn)(0,?)，以(a,b)為一個(gè)法向量的直線；當(dāng)b?0時(shí)，方程為ax?c?0，由于a?0，方程化為x??直線.所以二元一次方程ax?by?c?0(a,b不全為0)是直線的方程，叫做直線的一般式方程.３、例題解析

例1 ?ABC中，已知A(?1,2)、B(3,4)，求AB邊的中垂線的一般式方程.cbcbcc，表示過(guò)點(diǎn)(?,0)且垂直于x軸的aa?????解 直線過(guò)AB中點(diǎn)D(1,3)，n?AB?(4,2)，則其點(diǎn)法向式方程為4(x?1)?2(y?3)?0，整理為一般式方程2x?y?5?0.[說(shuō)明]點(diǎn)法向式方程化為一般式方程.例2（1）求過(guò)點(diǎn)A(?2,5)且平行于直線l1:4x?3y?9?0的直線方程；（2）求過(guò)點(diǎn)B(3,?4)且垂直于直線l2:3x?7y?6?0的直線方程.???解（1）解一：n?(4,?3),d?(3,4)，又直線過(guò)點(diǎn)A(?2,5)，故直線的方程為4(x?2)?3(y?5)化簡(jiǎn)得4x?3y?23?0.?解二：n?(4?又,3),直線過(guò)點(diǎn)A(?2,5)，故直線的點(diǎn)法向式方程為4(x?2)?3(y?5)?0化簡(jiǎn)得4x?3y?23?0.解三：設(shè)與l1:4x?3y?9?0平行的直線方程為4x?3y?c?0，又直線過(guò)點(diǎn)A(?2,5)故4(?2)?3?5?c?0，c?23，所以直線的方程是4x?3y?23?0.??（2）解一：l1的法向量n1?(3,7)為所求直線的方向向量，又直線過(guò)點(diǎn)B(3,?4)，故直線的方程為7(x?3)?3(y?4)化簡(jiǎn)得7x?3y?33?0.解二：設(shè)與l2:3x?7y?6?0垂直的直線方程為7x?3y?c?0，又直線過(guò)點(diǎn)B(3,?4)故7?3?3?(?4)?c?0，c??33，所以直線的方程是7x?3y?33?0.[說(shuō)明]一般地，與直線ax?by?c?0平行的直線可設(shè)為ax?by?c??0(其中c??c)；而與直線ax?by?c?0垂直的直線可設(shè)為bx?ay?c???0.例3能否把直線方程2x?3y?5?0化為點(diǎn)方向式方程？點(diǎn)法向式方程？若能，它的點(diǎn)方向式方程和點(diǎn)法向式紡方程是否唯一？并觀察x、y的系數(shù)與方向向量和法向量有什么聯(lián)系？ 解： x?1y?1x?1y?1x?2??、、??323?2?3y?

13、x?4?y?1……

?6422(x?1)?3(y?1)?0、4（x+4）+6(y-1)=0……

能夠化成點(diǎn)方向式的形式，并且有無(wú)數(shù)個(gè)！

所有的方向向量之間存在：一個(gè)非零實(shí)數(shù)?，使得d1??d2???3,?2?； 易得點(diǎn)法向式方程也是不唯一的，并且有無(wú)數(shù)個(gè)！

所有的法向量之間存在：一個(gè)非零實(shí)數(shù)?，使得n1??n2???2,3?

變式：直線ax?by?c?0的方向向量可以表示為??b,?a?

直線ax?by?c?0的法向量可以表示為??a,b?

[說(shuō)明]注意直線的一般式方程和點(diǎn)方向式方程與點(diǎn)法向式方程的聯(lián)系.三、鞏固練習(xí)練習(xí)11.1（3）補(bǔ)充練習(xí)

1、（1）若直線過(guò)兩點(diǎn)A(a,0),B(0,b)，則a,b分別叫做該直線在x,y軸上的截距.當(dāng)ab?0時(shí)，求直線AB的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)P(4,?3)的直線l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線l的方程.2、已知直線l過(guò)點(diǎn)P(?2,3)且與x,y軸分別交于A,B兩點(diǎn).????????（1）若P為AB中點(diǎn)，求直線l的方程；（2）若P分AB所成的比為?2，求l的方程.3、已知直線l的方程為：(a?2)x?(1?2a)y?4?3a?0(常數(shù)a?R)（1）求證:不論a取何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）記（1）中的定點(diǎn)為P，若l?OP（O為原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)a的值.4、?ABCD中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(2,?3)、B(?2,4)、C(?6,?1)，求（1）直線AD與直線CD的方程；（2）D點(diǎn)坐標(biāo).5、．過(guò)點(diǎn)P(?5,?4)作一直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5個(gè)單位面積，求直線l的方程.6、已知兩直線a1x?b1y?1?0和a2x?b2y?1?0都通過(guò)P(2,3),求證：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)的直線方程是2x?3y?1?0.四、課堂小結(jié) １.直線的點(diǎn)法向式方程和一般方程的推導(dǎo)；

２．直線的點(diǎn)方向式方程、點(diǎn)法向式方程和一般方程這三種形式方程之間的互相之間的聯(lián)系.３、確定直線方程的幾個(gè)要素

五、課后作業(yè)

習(xí)題11.1 A組5,6,7；B組3，4習(xí)題11.1 A組8 補(bǔ)充作業(yè)：

1.直線3x?y?2?0的單位法向量是___________.2.直線l的一般式方程為2x?3y?7?0，則其點(diǎn)方向式方程可以是__________；點(diǎn)法向式方程可以是_____________.3.過(guò)P(4,?3)且垂直y軸的直線方程是_______________.4.若直線(2?m)x?my?3?0的法向量恰為直線x?my?3?0的方向向量，求實(shí)數(shù)m的值.5.已知點(diǎn)P(2,?1)及直線l:3x?2y?5?0，求：

（1）過(guò)點(diǎn)P且與l平行的直線方程；（2）過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線方程.6.正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?4,0)，它的中心M的坐標(biāo)為(0,3)，求正方形兩條對(duì)角線AC,BD所在的直線方程.7.已知A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,3),(b,0),(0,c)，其中b,c均為正整數(shù)，問(wèn)過(guò)這三點(diǎn)的直線l是否存在？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.8.設(shè)直線l的方程為(a?1)x?y?2?a?0(a?R)

（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；

（2）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程.六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

在上一堂課的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量垂直的充要條件（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式），引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)出直線的點(diǎn)法向式方程.通過(guò)對(duì)直線與二元一次方程關(guān)系的分析，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.