第一篇：[高考數(shù)學問答]如何在數(shù)學月考中總結(jié)問題

[高考數(shù)學問答]如何在數(shù)學月考中總結(jié)問題

數(shù) 學 三明學習三最解題

第一次月考已經(jīng)結(jié)束，數(shù)學總復(fù)習已全面展開。高中數(shù)學知識量大、題目繁多，不少同學都有畏難情緒，感到無從下手。如何有效地做好總復(fù)習，筆者結(jié)合自身教學的體會，提出幾點建議，供大家參考。

一、回歸課本，落實三基。

對高考試卷進行分析不難發(fā)現(xiàn)，高考試題中有相當一部分試題是對基本知識、基本技能、基本方法的考查，考題往往是對課本原題的變形、改造及綜合。所以在第一階段的復(fù)習中，同學們要認真理解數(shù)學概念、強化記憶數(shù)學公式，注重通性通法，淡化特殊技巧。要把重點放在掌握知識及解題方法上，選擇一些針對性強的經(jīng)典題目強化訓(xùn)練，使基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化，基本技能、基本方法熟練化。

二、注重綜合，強化能力。

考試命題中心提出：應(yīng)更多地在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計試題，在綜合中考查能力。高中數(shù)學的主干知識在高考命題中的主要綜合有：函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與數(shù)列的綜合、三角、向量的綜合、解析幾何與向量的綜合、排列組合、概率與隨機變量的綜合等。數(shù)學思想方法是知識綜合的統(tǒng)帥和紐帶，是綜合能力的中心。數(shù)學思想總結(jié)提煉為：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸思想、猜證結(jié)合思想。因此，在總復(fù)習中，要善于學習老師關(guān)于數(shù)學思想方法的評講，自覺地、盡早地領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，以綜合能力為重點和難點，強化訓(xùn)練，使解題策略與方法明確化和系統(tǒng)化。

三、及時總結(jié)，查漏補缺。

做題的目的是培養(yǎng)能力，是尋找自己的弱點和不足的有效途徑。對同學最有價值的試題往往不是我們會做的試題，而恰恰是我們做錯的試題。要及時糾正錯誤，總結(jié)經(jīng)驗以免再犯，并將自己在平時練習中容易出錯的地方輯錄成冊，以便在高考前提醒自己。在做試題時，如果發(fā)現(xiàn)自己的知識系統(tǒng)中有明顯的漏洞，就要及時彌補，絕不可掉以輕心。

四、做到三明、三最。

問明：打破砂鍋問到底，只要不懂，堅決搞懂;

看明：數(shù)學答案會使用，各步推理，一律弄清;

寫明：獨立解題勤練習，能做會做，表達無錯。

數(shù)學解題追求的最高境界是：三最，即推理最高，表述最簡!

方法最好、高三數(shù)學總復(fù)習階段是一個艱苦漫長的過程，需要同學們堅定信心，持之以恒，堅忍不拔。愿你們能不斷完善自己，取得最后的成功。

第二篇：高考數(shù)學問題補漏

1、推理邏輯問題

2、周期問題

3、對稱問題

4、不等式問題

5、抽象函數(shù)問題

6、向量幾何法

7、導(dǎo)數(shù)證明方法

8、解析幾何大題

9、統(tǒng)計

10、對數(shù)圖象交點或斜率問題

11、選擇題解法

第三篇：數(shù)學歸納法在高考中的應(yīng)用

數(shù)學歸納法在高考中的應(yīng)用

學歸納法是用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的正確性的一種嚴格的推理方法．在數(shù)學中占有很重要的地位．應(yīng)用廣泛．

數(shù)學歸納法有下兩種基本形式

（1）第一數(shù)學歸納法

設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設(shè)成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù)時，成立．

（2）第二數(shù)學歸納法

設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設(shè)成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù)時，成立．

在最近幾年的高考試卷中體現(xiàn)的特別明顯，以下通過幾道高考試題來談一談數(shù)學歸納法的應(yīng)用。

一、用數(shù)學歸納法證明整除問題

用數(shù)學歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學歸納法證明問題的一大技巧。

（2005山東）是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3+9對任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論;若不存在，請說明理由.證明：解：由f（n）=（2n+7）·3+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用數(shù)學歸納法證明：

（1）當n=1時，顯然成立.（2）假設(shè)n=k時，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3+9能被36整除;當n=k+1時，［2knn

（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于

3整除.由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）·3+9能被36整除，m的最大值為36.二、用數(shù)學歸納法證明恒等式問題

對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性．（2005江西）是否存在常數(shù)，使得等式 對一切自然數(shù) 成立？并證明你的結(jié)論．

解：假設(shè)存在，使得題設(shè)的等式成立，則當時也成立，代入得

解得，于是對，下面等式成立：

令

假設(shè)時上式成立，即

那么

這就是說，等式當時也成立．

綜上所述，當時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)都成立．

三、用數(shù)學歸納法證明不等式問題

用數(shù)學歸納法證明一些與n有關(guān)的不等式時，推導(dǎo)“n＝k＋1”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．

（2008全國一22）．設(shè)函數(shù)．數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)； nk－1－1是2的倍數(shù)，故18（3k－1－1）能被36整除.這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36

（Ⅱ）證明：；

解析：

（Ⅰ）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：（用數(shù)學歸納法）（i）當n=1時，，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，即成立；

（ⅱ）假設(shè)當時，成立，即

那么當時，由在區(qū)間是增函數(shù)，得

.而，則，也就是說當時，也成立；

根據(jù)（?。?、（ⅱ）可得對任意的正整數(shù)，恒成立.（2008遼寧卷21）．在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）證明：．

本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．

解：（Ⅰ）由條件得

由此可得

．················································ 2分

猜測．················································································ 4分

用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，即，那么當n=k+1時，．

所以當n=k+1時，結(jié)論也成立．

由①②，可知對一切正整數(shù)都成立．······································ 7分

（Ⅱ）．

n≥2時，由（Ⅰ）知．·········································· 9分

故

綜上，原不等式成立．

四、用數(shù)學歸納法解決某些與正整數(shù)有關(guān)的探索性問題

由有限個特殊事例進行歸納、猜想、，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法．在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題中，此思想方法尤其重要．

（2002湖北）已知y=f（x）滿足f（n－1）=f（n）－lga（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在實數(shù)α、β使f（n）=（αn+βn－1）lga對任何n∈N *都成立，證明你的結(jié)論

解：∵f（n）=f（n－1）+lga

又f（1）=－lga，∴∴∴f（n）=（n－ n－1）lga22n－1n－1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0

證明：（1）當n=1時，顯然成立

（2）假設(shè)n=k時成立，即f（k）=（k－ k－1）lga，則n=k+1時，2f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga

=（k－ k－1+k）lga=［（k+1）－（k+1）－1］lga

∴當n=k+1時，等式成立

綜合（1）（2）可知，存在實數(shù)α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn+βn－1）lga對任意n∈N*都成立

點評：本題是探索性問題．它通過觀察――歸納――猜想――證明這一完整的過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得出的結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．

通過上面的幾個例子可知，數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、函數(shù)等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住關(guān)鍵點，并掌握一些常用技巧，重視變形轉(zhuǎn)化能力，才能最終解決問題。222

第四篇：淺談數(shù)學歸納法在高考中的應(yīng)用

贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文

1、數(shù)學歸納法的理論基礎(chǔ)

數(shù)學歸納法，人類天才的思維、巧妙的方法、精致的工具，解決無限的問題。它體現(xiàn)的是利用有限解決無限問題的思想，這一思想凝結(jié)了數(shù)學家們無限的想象力和創(chuàng)造力，這無疑形成了數(shù)學證明中一道絢麗多彩的風景線。它的巧妙讓人回味無窮，這一思想的發(fā)現(xiàn)為后來數(shù)學的發(fā)展開辟了道路，如用有限維空間代替無限維空間（多項式逼近連續(xù)函數(shù)）用有限過程代替無限過程（積分和無窮級數(shù)用有限項和答題，導(dǎo)數(shù)用差分代替）。1.1數(shù)學歸納法的發(fā)展歷史

自古以來，人們就會想到問題的推廣，由特殊到一般、由有限到無限，可人類對無限的把握不順利。在對無窮思考的過程中，古希臘出現(xiàn)了許多悖論，如芝諾悖論，在數(shù)列中為了確保結(jié)論的正確，則必須考慮無限。還有生活中一些現(xiàn)象，如烽火的傳遞，鞭炮的燃放等，觸動了人類的思想。

安提豐用圓周內(nèi)接正多邊形無窮地逼近圓的方法解決化圓為方；劉徽、祖沖之用圓內(nèi)接正多邊形去無窮地逼迫圓，無窮的問題層出不窮，后來古希臘歐幾里得對命題“素數(shù)的個數(shù)是無窮的”的證明，通過了有限去實現(xiàn)無限，體現(xiàn)了數(shù)學歸納法遞推思想。但要形成數(shù)學歸納法中明確的遞推，清晰的步驟確是一件不容易的事，作為自覺運用進行數(shù)學證明卻是近代的事。

伊本海塞姆（10世紀末）、凱拉吉（11世紀上葉）、伊本穆思依姆（12世紀末）、伊本班納（13世紀末）等都使用了歸納推理，這表明數(shù)學歸納法使用較普遍，尤其是凱拉吉利用數(shù)學歸納法證明

n2(n?1)21?2????????n?

4333這是數(shù)學家對數(shù)學歸納法的最早證明。

接著,法國數(shù)學家萊維.本.熱爾松(13世紀末)用“逐步的無限遞進”，即歸納推理證明有關(guān)整數(shù)命題和排列組合命題。他比伊斯蘭數(shù)學家更清楚地體現(xiàn)數(shù)學歸納法證明的基礎(chǔ)，遞進歸納兩個步驟。

到16世紀中葉，意大利數(shù)學家毛羅利科對與全體和全體自然數(shù)有關(guān)的命題的證明作了深入的考察在1575年，毛羅利科證明了 an?1?an?n

2其中ak?1?2?3???????歸推理”的數(shù)學家，為無限的把握提供了思維。

17世紀法國數(shù)學家帕斯卡為數(shù)學歸納法的發(fā)明作了巨大貢獻，他首先明確而清晰地闡述數(shù)學歸納法的運用程序，并完整地使用數(shù)學歸納法，證明了他所發(fā)

k?1,2??????

他利用了逐步推理鑄就了“遞歸推理”的思路，成為了較早找到數(shù)學歸納中“遞

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現(xiàn)的帕斯卡三角形。數(shù)學家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其中的歸納公理奠定數(shù)學歸納法的邏輯基礎(chǔ)。

帕斯卡、毛羅利科、伊本穆思依姆等都很自覺地使用歸納推理，傳承運用數(shù)學歸納法，但一直沒有明確的名稱，而是英國數(shù)學家德摩根在其命名上邁出了重要的一步，他曾在1838年倫敦出版的《小百科全書》中，建議將“歸納法（數(shù)學）”改為“逐次歸納法”，有意思的是在后來的一次無意中他無意中使用了“數(shù)學歸納法”這便成為了最早的名稱。之后，英國數(shù)學家托德亨特的《代數(shù)》（1866年出版）中也采用了“數(shù)學歸納法”這一名稱，從此這一名稱在英國傳播開了。1.2數(shù)學歸納法的邏輯基礎(chǔ)

數(shù)學家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其中的歸納公理奠定數(shù)學歸納法的邏輯基礎(chǔ)。

歸納公理：由自然數(shù)組成的集合為N，1?N,若N中任意自然數(shù)的后繼也屬于N，則N包含了全部自然數(shù)。

2、數(shù)學歸納法的步驟及其類型

2.1 第一數(shù)學歸納法

設(shè)p(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,如果p(n)滿足:(1)p(1)成立；

(2)假設(shè)當n?k時,命題p(k)成立；

可以推出p(k?1)也成立，則命題p(n)對一切自然數(shù)n都成立。證明:設(shè)M是由滿足命題p(n)的自然數(shù)組成的集合即M是自然數(shù)集N的子集,由于p(1)成立

?1?M,又由(2)知k?M k?1?M

即k的后繼k'?M，由皮亞諾公理的歸納公理5得M?N 因此對于一切自然數(shù)n，p(n)都成立。

第一數(shù)學歸納法的應(yīng)用

22n(n?1)333例1 用數(shù)學歸納法證明1?2????????n?4n?N?

證明:（1）當n?1時，左邊=1=右邊命題成立

贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文

（2）假設(shè)n?k時命題成立，即

k2(k?1)21?2????????k?4 33322k(k?1)333?(k?1)3那么當n?k?1時，1?2????????(k?1)?4

(k?1)2(k?2)2?

4即當n?k?1時命題也成立，所以原命題成立。

2.2 第二數(shù)學歸納法

假設(shè)p(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,如果p(n)滿足:(1)p(1)成立；

(2)假設(shè)p(n)對于所有滿足a?k的自然數(shù)a成立，則p(k)也成立； 那么,命題p(n)對一切自然數(shù)n都成立。

證明:設(shè)M?{n|p(n)成立，n?N},又設(shè)A?N?M(差集)假設(shè)A不空,由自然數(shù)的最小數(shù)原理, A有最小數(shù)a0 由條件(1)知1?M,故a0?1 因此1,2a0?1?M,又由條件(2)知a0?1?M,必有a0?M

這與a0?A矛盾,所以A為空集

從而M?N,則命題p(n)對一切自然數(shù)n都成立。

第二數(shù)學歸納法是第一數(shù)學歸納法的加強，在高考數(shù)學中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以開拓一個學生的思維，體會其中的思想奧妙，在一定程度上可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，促使學生去創(chuàng)新，與此同時可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美。

2.3 數(shù)學歸納法其他類型（1）跳躍數(shù)學歸納法

①當n?1,2,3,?,l時，P(1),P(2),P(3),?,P(l)成立，贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文

②假設(shè)n?k時P(k)成立，由此推得n?k?l時，P(n)也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù)n?1時，P(n)成立．

（2）反向數(shù)學歸納法

設(shè)P(n)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 a)P(n)對無限多個正整數(shù)n成立；

b)假設(shè)n?k時，命題P(k)成立，則當n?k?1時命題P(k?1)也成立，那么根據(jù)①②對一切正整數(shù)n?1時，P(n)成立．

（3）蹺蹺板數(shù)學歸納法

針對兩個與自然數(shù)有關(guān)命題An,Bn a)證明A1成立；

b)假設(shè)Ak成立，遞推證明Bk成立，即Ak成立推出Bk成立；

又假設(shè)Bk成立，由此遞推證明出Ak?1也成立，即Bk成立推出Ak?1。于是，對于任意自然數(shù)，結(jié)論An,Bn都成立

3、結(jié)合高考試題體現(xiàn)數(shù)學歸納法

3.1 高考中數(shù)學歸納法題型的分析

在高考數(shù)學中，運用數(shù)學歸納法的證明一般不單獨命題，考查常常滲透到數(shù)列綜合題中，既考查推理論證能力，又考查探究思維能力。近年江西高考壓軸題的數(shù)列不等式，常常會用到數(shù)學歸納法，且常與放縮法有關(guān)。其他省的高考題趨勢也差不多，數(shù)學歸納法在高考中出現(xiàn)的幾種題型主要是與數(shù)列、不等式、整除相結(jié)合考察，難度不是很大，但能體現(xiàn)出解題的效率大大增加，化復(fù)雜為容易、抽象為具體，是一個非常值得考察的知識點。3.2 數(shù)學歸納法在代數(shù)中的應(yīng)用

在高考中數(shù)學歸納法知識的考察往往是結(jié)合代數(shù)一起進行的，而代數(shù)方面主要體現(xiàn)在數(shù)列、整除、不等式方面，但是在幾何方面也是一個命題點，這樣在一定程度上考察了學生的創(chuàng)新能力與想象能力，符合現(xiàn)代數(shù)學的教學目標。下面就這兩大方面進行分析闡述。3.2.1數(shù)學歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

高考數(shù)學中結(jié)合數(shù)列來體現(xiàn)數(shù)學歸納法是非常常見的題，有些數(shù)列的通項不

贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文

好求，我們可以先對前面幾項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而進行猜想，繼而用數(shù)學歸納法進行證明，這不失一種很好解決問題的方法。在生活上可以將此精髓應(yīng)用，可以達到很好的效果。

例2 [2014·重慶卷] 設(shè)a1?1，an?1?an2?2an?2?b(n?N?)(1)若b?1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式．

(2)若b??1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n?c?a2n?1對所有n?N?成立？證明你的結(jié)論．

解：(1)a2?2 a3?2?1

變下形式有a1?1?1?1 a2?2?1?1 a3?3?1?1 根據(jù)這個規(guī)律進行猜想有an?n?1?1 下面用數(shù)學歸納法證明以上結(jié)論： 證明：

1、（1）當n?1時，結(jié)論顯然成立．

（2）假設(shè)n?k時命題成立 即ak?k?1?1

則ak?1?(ak?1)2?1?1?(k?1)?1?1?(k?1)?1?1 當n?k?1時命題也成立 所以an?n?1?1n?N?

2、設(shè)f(x)?(x?1)2?1?1則an?1?f(an)

令c?f(c)即c?(c?1)2?1?1解得c?1 4下面用數(shù)學歸納法證明命題a2n?c?a2n?1?1（1）當n?1時，a2?f(1)?0 a3?f(0)?2?1

a2?1?a3?1結(jié)論成立 4（2）假設(shè)n?k時結(jié)論成立，即a2k?c?a2k?1?1 易知f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，從而

c?f(c)?f(a2k?1?1)?f(1)?a2

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即1?c?a2k?2?a2

再由f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，得

c?f(c)?f(a2k?2?2)?f(a2)?a3?1 故c?a2k?3?1因此a2(k?1)?c?a2(k?1)?1?1 當n?k?1時命題也成立 綜上，存在c?

3.2.2數(shù)學歸納法在不等式中的應(yīng)用

用數(shù)學歸納法證明不等式可以有效提高解題效率，解題過程得到優(yōu)化甚至可以使避免一些具體問題或簡化。直接使用數(shù)學歸納法進行不等式的證明時，在歸納和過渡往往存在一定的困難，如果能靈活地使用不等式的傳遞性和可加性，在恰當?shù)臅r候使用過渡不等式和假設(shè)不等式與目標不等式的特征關(guān)系，通過放縮常數(shù)和強化命題等技巧,可以順利完成歸納和過渡。同時，在利用它來解決不等式問題時首先要細心地觀察，然后大膽地進行聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)一些內(nèi)在的聯(lián)系從而為解決問題提供了方法和途徑。

例3 [2014·安徽卷] 設(shè)實數(shù)c?0，整數(shù)p?1，n?N?。

(1)證明：當x??1且x?0時，(1?x)p?1?px ；

p?1can?an1?p，證明：an?an?1?cp。(2)數(shù)列{an}滿足a1?c，an?1?pp1p11使a2n?c?a2n?1對所有n?N?成立 4證明：(1)用數(shù)學歸納法證明如下

① 當p?2時，(1?x)2?1?2x?x2?1?2x原不等式成立． ② 假設(shè)p?k(k?2,k?N?)時，不等式(1?x)k?1?kx成立． 當p?k?1時，(1?x)k?1?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?(k?1)x?kx?1?(k?1)x

所以當p?k?1時，原不等式也成立。

綜合①②可得，當x??1，x?0時，對一切整數(shù)p?1，不等式(1?x)p?1?px均成立。

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1p(2)先用數(shù)學歸納法證明an?c ①當n?1時，由題設(shè)知a1?c成立；

②假設(shè)n?k(k?2,k?N?)時，不等式ak?c成立。由an?1?p?1can?an1?p易知an?0，n?N? ppak?1p?1c?p1c??ak?1?(p?1)akpppak1p1p當n?k?1時，1p由ak?c?0得?1??11c?(p?1)?0 ppakp?1c?a1cc由(1)中的結(jié)論得(k?1)p??1?(p?1)??1?p(p?1)?p

akpakak?pak?因此ak?1p?c，即ak?1?c，所以當n?k?1時，不等式an?c也成立。

綜合①②可得，對一切正整數(shù)n，不等式an?c均成立。再由

1p1p1pan?1a1c?1?(p?1)可得n?1?1，anpanan即an?1?an

綜上所述，an?an?1?c，n?N?1p

點評：此高考題是用數(shù)學歸納法來證明著名不等式貝努利不等式，在一定程度上有回歸到課本上的節(jié)奏，這題出現(xiàn)在高考試題上不僅是考察數(shù)學歸納法的知識，更重要的體現(xiàn)數(shù)學歸納法的功效，可以激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，給學生想象空間，減少學生在探究未知知識時的畏懼心理。

在利用數(shù)學歸納法證明不等式，有些時候需要對命題的加強進而去證明，這樣就可以把一個無從下手的題目進行處理，證得加強后的命題，因此原命題也成立。此方法在簡答過程是由一定難度的，在學生成績水平中具有區(qū)分度，但是很有必要讓學生訓(xùn)練掌握，下面分析一個此類型的典高考題，體會下其中的思想、奧妙所在。

例4 [2008·遼寧卷]在數(shù)列{an}，{bn}中，a1?2,b1?4且an,bn,an?1等差數(shù)列，bn,an?1,bn?1成等比數(shù)列n?N?

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1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4由此猜測{an}{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論； 2)證明：1115??......?? a1?b1a2?b2an?bn12證明：1）略，直接寫出幾項進行歸納猜想進而用數(shù)學歸納法進行證明。2）分析：由于此問右邊的式子與無關(guān)，不能直接用數(shù)學歸納法證明，因此可以加強結(jié)論之后再用數(shù)學歸納法證明。

當n?1時，115??不等式顯然成立 a1?b161211151??......???,n?2 現(xiàn)用數(shù)學歸納法來證明a?ba?ba?b122n?21122nna）當n?2時，有1）知an?bn?(n?1)(2n?1)，命題成立 b）假設(shè)當n?k時命題成立，那么當n?k?1時 由歸納假設(shè)有111511??......????a1?b1a2?b2ak?1?bk?1122k?2(k?2)(2k?3)

?5115151?????? 122k?2(k?2)(2k?2)122(k?2)122(k?1)?2所以當n?k?1時命題也成立

故得證。

3.2.3數(shù)學歸納法在整除中的應(yīng)用

數(shù)學歸納法與整除性問題相結(jié)合，在一定程度上考察了一個學生的思維轉(zhuǎn)換的能力，同時可以體現(xiàn)出學生對數(shù)學歸納法的理解與掌握程度。在最近幾年里，各省未出此類題型，但是很有命題的趨勢，并且有時候技巧性很強，所以值得去研究學習。

n例5 求證7?12n?1能被9整除（n為正整數(shù)）

證明：令g(n)?7n?12n?1

（1）當n?1時，g(1)?7?12?1?18能被9整除，所以命題成立（2）假設(shè)n?k時命題成立，即g(k)?7k?12k?1能被9整除 那么當n?k?1時，g(k?1)?7k?1?12(k?1)?1

?7(7k?12k?1)?9(8k?2)

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由假設(shè)知7(7k?12k?1)能被9整除，而9(8k?2)也能被9整除 所以g(k?1)能被9整除

因此當n?k?1時命題也成立，所以原命題正確，得證。

說明：此類題型很多考生不能很好的配湊出假設(shè)結(jié)論出來，那么就要加一項減一項進行處理，對于整除本身是個抽象的問題就感覺困難，如果能找出此題的突破口，此類題就是比較好處理的。但是往往同學們很難把握到，針對這個問題，我們尋求另一種論證方法：“作差”，即求g(k?1)?g(k)的差，其優(yōu)點是方法統(tǒng)一，容易顯露問題的核心，便于尋求推證的途經(jīng)，讀者可以將這兩種方法進行比較。另證：令g(n)?7n?12n?1

(1)當n?1時，g(1)?7?12?1?18能被9整除，所以命題成立(2)假設(shè)n?k時命題成立，即g(k)?7k?12k?1能被9整除 那么當n?k?1時，g(k?1)?7k?1?12(k?1)?1

k?1kg(k?1)?g(k)?(7?12(k?1)?1)?(7?12k?1)則?6(7k?2)?18(2m?1)

其中m為整數(shù)

所以當n?k?1時命題也成立 所以原命題正確

3.3數(shù)學歸納法在幾何中的應(yīng)用

高考中用數(shù)學歸納法證明幾何問題至今高考題中還沒出現(xiàn)，但是思維是活躍的，可以激發(fā)學生的空間想象潛力，在將來知識爆炸的時代，選擇優(yōu)秀的人才，用數(shù)學歸納法證明幾何問題將會是很好的選擇，下面探究用數(shù)學歸納法證明幾何問題的典型試題。

例6平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點，求證它們：

1（1）共有f(n)?n(n?1)個交點；

2（2）互相分割成g(n)?n2條線段；（3）把平面分割成h(n)?

1n(n?1)?1個部分 29

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[分析] 本題利用幾何法證明比較困難，因與n自然數(shù)有關(guān)，可考慮數(shù)學歸納法，結(jié)合圖形，只要明確增加一條直線后發(fā)生的變化即可進行證明。

[證明]（1）當n?1時f(1)?0,g(1)?1,h(1)?2與圖形性質(zhì)相同，命題成立。(2)假設(shè)n?k?1(k?2)時，命題成立，則當n?k時，考查n?k?1及 增加一條直線l，這一條直線與原來的k?1條直線的關(guān)系是它們都相交，各有一個交點。所以f(k)?f(k?1)?k?1又因為增加的一條直線l被原來的k?1條直線分割成k段（即增加的k?1個點把l分成k段）而l又把原來的k?1條直線每條多分出一段（即增加的k?1個交點把各交點所在的線段一分為二），共增加了k?k?1條線段。所以g(k)?g(k?1)?k?k?1?g(k?1)?2k?1

又因為l被分割成k段，每段把該段所在的部分平面分成兩部分，總共多出k個部分平面。所以h(k)?h(k?1)?k，由假設(shè)易知f(k)?h(k)?1k(k?1)?1故n?k時命題成立 21k(k?1)，g(k)?k2，2由（1）（2）知，對任何n?N?命題都成立。

[點評] 利用數(shù)學歸納法證明幾何問題要語言敘述準確清楚，一定要講清從n?k到n?k?1時，新增加量是多少，也就是變化的狀態(tài)。一般地，證明第二步時，常用的方法是加一法，即在原來k的基礎(chǔ)上，再增加1個，進而證明。也可以從k?1個中分減1個來，剩下的k個利用假設(shè)。

4、數(shù)學歸納法的教學研究

4.1 對數(shù)學歸納法的教學建議

數(shù)學歸納法的知識點對于第一次接觸的高中生來講是一個很難理解的抽象問題，在一定程度上會阻礙他們理解該知識點，因此合理的教學在一定程度上會幫助學生克服面臨的困難，與此同時可以幫助學生更好把握數(shù)學歸納法的題目，奪得更高的分數(shù)。下面提出幾點教學的建議，此建議是根據(jù)《普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學選修2-2》數(shù)學歸納法知識排版選題提出的。(1)對數(shù)學歸納法原理的理解是這一節(jié)的難點，一定要特別注意

對數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的特別方法，其實它更應(yīng)該反映的是一種遞推的數(shù)學思想，先存在一個使結(jié)論成立的最小正整數(shù)n0，這是遞推的基礎(chǔ)，在這個基礎(chǔ)上，假設(shè)當n?k(k?n0,k?N?)時，命題成立，根據(jù)這個假

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設(shè)，如能推出當n=k+1時命題也成立，那么久可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)命題都成立。這是遞推的一句。有了這個一句，加上遞推的基礎(chǔ)，就可以說明對所有n?n0的正整數(shù)n，命題都成立。

(2)通過教學要讓學生認識到數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可。

數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可，教學中要向?qū)W生強調(diào)這一點。如果命題只證到n?n0成立，就斷定對一切正整數(shù)n都成立，即不做第二步證明，這就是不完整歸納，不足以證明命題的正確性。但沒有第一步，也是不正確的。有些命題，如果只作第二步，完全可以做通，但事實上它們是不成立的。如11?2?3?+n=n(n?1)?1。

21若n=k時,1?2?3?+k=k(k?1)?1

2111?2?3?+k+(k?1)=k(k?1)?1?(k?1)?(k?1)(k?2)?1，則可推得n=k+1時，22然而n=1時命題成立顯然不成立。這個例子說明，數(shù)學歸納法的兩個步驟是問題的兩個方面，一個是命題成立的基礎(chǔ)，另一個是遞推的依據(jù)（延續(xù)關(guān)系），二者缺一不可，教學中可以通過反例來讓學生體會這一點。(3)教學中應(yīng)引導(dǎo)學生特別注意根據(jù)題意找準初始值

（不是每個問題的初始值都是1）

教材所給例子中雖然第一步中的起始值都是從n=1開始的，但其實n從幾開始要依據(jù)題目而論，只不過從n=1開始的題目比較普遍，難度也不太大，這一點教師可以依據(jù)學生情況做一補充。另外，在第一步驟中，只需證明n取第一個值時命題成立就可以了，無需繼續(xù)驗證其他有限個值，因為一旦有了“第一個”的基礎(chǔ)，再有第二部遞推的依據(jù)，即保證了n取第2個，第3個??值時命題的正確性。

4.2 數(shù)學歸納法解題技巧

（1）起點前移：有些時候驗證1比較困難，可以用驗證n?0成立代替驗證n?1，當然其他的點也可以向前移動，只要符合前移的起點對結(jié)論成立并且容易驗證，為了簡化問題，有意向前移動起點。

（2）起點增多：有些命題在證明n?k向n?k?1這一步時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點．

（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，可以改變跨度來實現(xiàn)，但是這樣操作就會使起點增多。

（4）選擇恰當?shù)募僭O(shè)方式：歸納假設(shè)不是一定要用“假設(shè)n?k時命題成立”，贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文

我們可以根據(jù)題目的意思選取第一類、第二類、跳躍、反向數(shù)學歸納法的假設(shè)形式，靈活巧妙的處理。

（5）變換命題：有些時候我們需要利用一個輔助命題來幫助完成證明，也有的時候可以改成等價命題或則將證明的結(jié)論加強。這樣才可以使用數(shù)學歸納法證明。

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參考文獻

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致謝

本論文是在導(dǎo)師劉育興副教授悉心指導(dǎo)下完成的，導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠。不禁使我樹立了遠大的學術(shù)目標、掌握了基本的研究方法，還是我明白了許多待人接物與為人處事的道理。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，謹向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x!

第五篇：2008年高考數(shù)學總結(jié)

2008年高三數(shù)學備課組工作總結(jié)

今年高考數(shù)學分數(shù)發(fā)生了出乎預(yù)料的大變化，廣西的平均分為理科54分，文科49.41分，比07年的79.18分和71.08分分別下降25.18分和21.67分；是廣西03年由標準分改為實際分以來的最低分的一年。我校桃源校區(qū)的高考數(shù)學成績是理科58.6分，文科56.36分。面對這樣的成績我們真的不知道說什么好，辛辛苦苦拼搏了3年，而成績剛達到總分的三分之一；真的是很慚愧。簡直是以后都不知道怎樣教學生了，自然，這份總結(jié)也很不好寫，說你怎么努力、怎么緊扣考綱、做法有多好，但又不見你拿出好成績。因此，在這里只能是把我們?nèi)陙淼囊恍┳鞣ㄏ虼蠹易鱾€匯報，希望各位領(lǐng)導(dǎo)各位同行多多指教。

一、備考工作從高一抓起

我們學校是自治區(qū)示范性高中，在市里享有較高的聲譽。能就讀沛鴻學校高中是學生的光榮和驕傲。他們剛進高一時，充滿了激情和理想；在當年報名參加高中數(shù)學競賽的總有幾十人，這時候若趁熱打鐵容易收到事半功倍的效果。這一點，當年的數(shù)學教師鄔建寧、鄧臣斌、黃兵、謝吉寧等有著統(tǒng)一的認識。他們非常注意保護學生的積極性，關(guān)心和愛護每一個學生，積極輔導(dǎo)參賽選手，多表揚，多鼓勵；主動和學困生溝通，利用課間10分鐘、課外活動、晚自習時間誠心誠意的跟他們談高中數(shù)學學習方法，耐心細致的解決數(shù)學問題；并且注意放大他們的閃光點，讓他們體驗成功看到希望。這些做法讓學生深刻的感覺到老師在關(guān)注他，幫助他；自然就會添加學習的動力不斷克服困難向前進。那時整個年級的學生對數(shù)學學習有畏難情緒的很少。直到高一結(jié)束，同類班級的數(shù)學成績高低相差不過兩分，基本上處于同等水平。到了高三年級，韋仕喜和唐江南兩位教師加盟后，更是把關(guān)心、愛護學生的工作提高到更理性更科學的層次。除了平時的關(guān)愛外，還把 每次月考的情況作為找學生交流的的重要依據(jù)。同他們一次又一次的分析試卷，半個學期找遍所教班級所有學生。更是讓學生理解了老師的良苦用心。尤其是唐江南、黃兵所教的7、8班集中了本年紀的幾乎所有數(shù)學學困生，兩位教師把求學看為求學生學習；千方百計動員那些為考藝術(shù)而不來學校復(fù)習的學生動員來校，再循循善誘他們克服困難，走向成功。這次參加會考424人，126人得A,占29。7%，一次通過率98.3%。取得比較理想的成績，沒有什么特殊的經(jīng)驗，簡單說來就是最基本的兩條：一是提前3個月印發(fā)了高中數(shù)學常用公式及復(fù)習指南，二是從高一就開始注重與學生的溝通；尤其是與學困生的溝通。

二、以《考試說明》為依據(jù)，突出主干知識的復(fù)習

高考復(fù)習的常規(guī)到位、訂計劃抓落實、團結(jié)協(xié)作等等問題，年年都一樣，在此不重復(fù)。僅就〈考試說明〉出臺前后講一講我們的一些做法。今年所使用的教材是02年以來的版本，一些傳統(tǒng)的內(nèi)容不斷削減、淡化；例如三角函數(shù)的繁雜證明、立體幾何的旋轉(zhuǎn)體都逐漸離我們遠去，復(fù)數(shù)僅要求最簡單的運算即可。而不斷加深強化的是向量、概率統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用等等。必須明白增減的趨勢，有選擇的安排復(fù)習時間，復(fù)習才會有效益。對那些屬于主干知識和近年來高考的考點、熱點投入的時間要多，例如函數(shù)、數(shù)列、空間線面關(guān)系、坐標方法的運用和幾乎所有的新增內(nèi)容。而那些屬于分支的知識，則是點到為止。一些少用難記的公式則到第三輪最后才去記它，例如多面體歐拉公式與線性回歸公式等等。這些知識點的輕重與所花時間的多少，是在總復(fù)習開始，新的〈考試說明〉沒有出臺前，全組教師認真學習教學大綱和研究歷年高考題一起制定的。實踐證明我們做對了。08年的〈考試說明〉與07年的完全相同，前面提到的那幾個屬于分支的知識點一字未提?！纯荚囌f明〉在對數(shù)學能力的要求即“思維能力”、“運算能力”、“空間想象能力”、“實踐能力”、“創(chuàng)新意識”的內(nèi)涵所做的界定非常清晰，分別有對應(yīng)的例題和透徹的分析。我們只有認真學好〈考試說明〉才能把有限的時間投入到有效的復(fù)習中去。第二輪以及往后的復(fù)習的指導(dǎo)性文件就是〈考試說明〉，它所闡述的“命題原則”：

一、強化主干知識、二、淡化特殊技巧，強調(diào)數(shù)學思想與方法、三、深化能力立意、四、堅持數(shù)學應(yīng)用、五、考察探究精神等等，都是我們的指導(dǎo)思想。許多思想原則我們在復(fù)習的過程都已經(jīng)自覺或不自覺的實施了。例如我們把數(shù)學的“三基”貫穿于復(fù)習的始終；我們自己編的每份月考試卷充分體現(xiàn)了命題原則等等。教師和學生是非常聽《考試說明》指揮的，因為它就是高考指揮棒；不聽指揮肯定考不好。但是聽指揮也不一定考得好。例如，《高考說明》指出：高考事實上對高中教學有著較強的評價導(dǎo)向作用，為穩(wěn)定高中教學次序，照顧全國總體的實際教學水平，整卷難度控制在0.55左右比較合適。即平均分約82分。去年按照這一要求把握難度的唐老師所教班級得了平均分102分；今年認為難度和去年差不多；學生水平也相當，也把握同樣的難度，結(jié)果得了68分。廣西49.14分就是難度的0.32，離0.55相差比較遠。可見老師和學生要聽指揮，出題者也要聽指揮，才能真正發(fā)揮高考促進教學和選拔人才的功能。

三、不同復(fù)習階段的提醒和點撥

數(shù)學難就難在第一是內(nèi)容多，復(fù)習到后面就忘記前面；第二是教材內(nèi)容與高考要求相差太遠，就算你把教材的題做的爛熟，高考也不會考得好。這就決定了復(fù)習一段時間后就要及時總結(jié)，把做過的題重新整理歸類在考點周圍，比較異同點，找出規(guī)律，把前后知識聯(lián)系起來再向前復(fù)習。既滾動式地復(fù)習，螺旋式地上升。月考是幫助我們解決這個問題的重要方法。此外我們還有計劃的在一些關(guān)鍵時間點給學生學習了以下資料：

一、07年10月印發(fā)了《解排列組合題八巧》；主要是對排列組合問題進行了總結(jié)和給出最優(yōu)解法；

二、11月印發(fā)《高中數(shù)學常用公式》；為了備會考促高考，幫助學生理順高中數(shù)學知識，人手一冊該公式好用好查幫助記憶。

三、08年3月印發(fā)了從北京來南寧講學的丁益祥老師部分講稿《緊扣考試說明，提高復(fù)習效益》，主要講從考試說明出發(fā)，解高考常見題、典型題問題。

四、4月份印發(fā)《給你提個醒》，對于學生在解題中易犯的各種錯誤：例如軌跡問題的端點取舍、符合某條件的多種結(jié)果、二次函數(shù)忽略了根的判別式、均值不等式的一正二定三相等條件等等共65個易犯錯誤進行了提醒。

五、5月份印發(fā)了07年高考真題及詳細解答，讓學生把目光收攏聚集在最近的試卷中。

六、5月下旬最后印發(fā)了“高考必勝”，從考試前一晚的復(fù)習、文具準備、考試答題順序、技巧以及如何保持穩(wěn)定的心理狀態(tài)等等，給學生做最后一次的鼓勵和提醒。

四、要補充說明的幾點問題

1、把握好進度與深度的關(guān)系很重要

高考復(fù)習時間非常緊，必須有周密的計劃，要有統(tǒng)攬全局的思想，首先要保證進度。任何一個章節(jié)都可以是無底洞，你不可能為它耗時過多而影響全局，至于復(fù)習得深與淺、掌握得好與差都是相對的，都有在最后查缺補漏的機會。

2、傳統(tǒng)的“常規(guī)復(fù)習”與為參加模擬考的“突擊復(fù)習”在階段性的成績方面有差別，在最后高考是無差別。我們在復(fù)習中用兩個平行班作了嘗試；一個班比較在乎市里的模擬考，在第一次模擬考前幾乎把主干知識復(fù)習了一輪，結(jié)果模擬考考得不錯；另一個班不“急功近利”，按常規(guī)方法一章一節(jié)去落實，結(jié)果模擬考考得稍差；但隨著復(fù)習的深入，最后兩個班的高考成績無明顯差別。

3、要加強對尖子生群體的輔導(dǎo)

在每次月考中總有一些數(shù)學相對考得好的學生，但他們總像走馬燈似的不斷變換，自生自滅，能保持總是名列前茅的學生非常少。以至到高考時，大家事先看好的那些學生大多令人大失所望。這除了題目難度問題、學生心理問題外，還有重要的一點就是我們未能及時幫助他們總結(jié)，把他們的局部經(jīng)驗上升為通性通法。許多特殊的技巧是局部有用，換了題就用不了。應(yīng)特別向他們強調(diào)數(shù)學思想與基本方法，這是帶有根本性的問題。掌握了它，你才能在千變?nèi)f化的數(shù)學題面前找到切入點，有條不紊的發(fā)揮你的水平。這也是解決心理問題、克服慌亂的有效方法。

以上是我們備考的一些做法和體會。今天把它理順出來，使一些好的做法不斷完善，形成規(guī)律，對指導(dǎo)今后的備考還是有意義的。說得不到的地方，由新老高三雙重身份的鄧臣斌老師補充。

謝吉寧

2008．09．10