第一篇：基本計數(shù)原理-排列組合習題%%%

基本計數(shù)原理、排列與組合

常見的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略

（2）合理分類和準確分布的策略

（3）排列、組合混合問題先選后排的策略

（4）正難則反、等價轉化的策略（5）相鄰問題捆綁的策略

（6）不相鄰問題插空處理的策略（7）定序問題除法處理的策略

（8）分排問題直排處理的策略

（9）“小集團”排列問題中先整體后局部的策略

（10）構造模型的策略。典例精析：

題型一：分類加法計數(shù)原理、分布乘法計數(shù)原理的應用

例1.（1）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個

.（2）已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a,b）表示平面上的點（a,b?M）

問：（1）P表示平面上多少個不同的點？

（2）P表示平面上多少個第二象限的點？(3)P表示多少個不在直線y=x上的點？

題型二：兩個計數(shù)原理的綜合應用 例2.用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數(shù)字比2000大的四位偶數(shù)。

題型三：排列應用題 例4.7個人排成一排，在下列情況下，各有多少種排法？

（1）甲排頭

（2）甲不排頭，也不排尾

.（3）甲、乙、丙三人必須在一起

（4）甲乙之間有且只有兩

人

.（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰

.（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰）

.（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序

.（8）甲不排頭，乙不排當中

.題型四：組合應用問題

例：7名男生和5名女生選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？

（1）A、B必須當選

（2）A、B必不當選（3）A、B不全當選

（4）至少有兩名女生當選

計數(shù)原理與排列組合練習題

1、一個乒乓球隊里有男隊員5人，女隊員4人，從中選出男、女隊員各一名組成混

合雙打，共有______________種不同的選法。

2、從甲地到乙地有兩種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地共____種不同的走法。

3、為了對某農(nóng)作物新品種選擇最佳生產(chǎn)條件，在分別有3種不同土質，2種不同施肥量，4種不同種植密度，3種不同播種時間的因素下進行種植實驗，則不同的實驗

方案共有____種。

4、某電話局的電話號碼為，若后面的五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話

號碼一共有________________個。5、4個小電燈并聯(lián)在電路中，每一個電燈均有亮與不亮兩種狀態(tài)，總共可表示

__________ 種不同的狀態(tài)，其中至少有一個亮的有__________種狀態(tài)。

6、（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，則以有序整數(shù)對（x、y）為坐標的點共有多少個？（2）①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有__________種 若x,y∈N且x+y≤6，則有序自然數(shù)對有多少個？

7、某國際科研合作項目成員由11個美國人，4個法國人和5個中國人組成，（1）從中選出1人擔任組長，有多少種不同選法？

（2）從中選出兩位不同國家的人為成果發(fā)布人，有多少種不同選法？

8、（1）3名同學報名參加4個不同學科的比賽，每名學生只能參賽一項，問有多少種不同的報名方案？

（2）若有4項冠軍在3個人中產(chǎn)生，每項冠軍只能有一人獲得，問有多少種不同的奪冠方案？

9、將3封信投入4個不同的信箱，共有________________種不同的投法；3名學生走進有4個大門的教室，共有________________種不同的進法；3個元素的集合到4個元素的集合的不同的映射有________________個。

10、在一次讀書活動中，有5本不同的政治書，10本不同的科技書，20 本不同的小說書供學生選用，（1）某學生若要從這三類書中任選一本，則有多少種不同的選法？（2）若要從這三類書中各選一本，則有多少種不同的選法？

（3）若要從這三類書中選不屬于同一類的兩本，則有多少種不同的選法？

11、某市提供甲、乙、丙和丁四個企業(yè)供育才中學高三級3個班級進行社會實踐活動，其中甲是市明星企業(yè)，必須有班級去進行社會實踐，每個班級去哪個企業(yè)由班級自己在四個企業(yè)中任意選擇一個，則不同的安排社會實踐的方案共有___________種。

12、有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標上號碼1，2，3，任取3面，它們的顏色與號碼均不相同的取法有___________種

13、有四位學生參加三項不同的競賽，②每項競賽只許有一位學生參加，則有不同的參賽方法有__________種

③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有_________種

14、四面體的一個頂點為A，從其他頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 A．30種

B．33種

C．36種

D．39種

15、圓周上有8個等分點，以這8個點為頂點作直角三角形，共可作不同的直角三角形的個數(shù)是

A．56

B．2C．16

D．1217、設直線的方程是Ax?By?0，從1，2，3，4，5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同直線的條數(shù)是

A．20

B．19

C．18

D．16

18、(1)3個不同的球，放入4個不同的盒內．

(2)在(1)中每個盒內至多放一個球．

(3)3個相同的球，放入4個不同的盒內． 問各有多少種不同的放法？

19、從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（）

A．108種

B.186種

C.216種

D.270種

20、在數(shù)字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是（）

A．6

B.12

C.18

D.24

21、高三

（一）班學要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）

A．1800 B.3600 C.4320 D.5040

22、將5名實習教師分配到高一年級的３個班實習，每班至少１名，最多２名，則（2）能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？

不同的分配方案有（）

A）３０種

（B）９０種（C）１８０種

（D）２７０種

23、將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）

A．10種

B．20種

C．36種

D．52種

24、某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有__________種 25、5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）

（A）150種(B)180種

(C)200種(D)280種

26、用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字：

(1)能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？

3）能組成多少個無重復數(shù)字且比1325大的四位數(shù)？（

第二篇：教案01-緒論計數(shù)原理排列組合.

教學對象 計劃學時 2

管理系505-13、14、15；經(jīng)濟系205-

1、2 授課時間

2006年2月28日；星期二；1—2節(jié)

一、概率緒論（用自制的教學軟件進行隨機游戲演示）

教學內容

二、計數(shù)原理——加法原理與乘法原理的復習

三、排列與組合

通過教學，使學生能夠：

1、了解概率統(tǒng)計的發(fā)展史，學習內容

2、培養(yǎng)對概率的學習興趣

3、利用計數(shù)原理與排列組合計算完成某件事的方法數(shù)。

教學目的

知 識：

1、了解概率的發(fā)展簡史與研究內容；

2、掌握排列與排列數(shù)公式；

3、掌握組合與組合數(shù)公式；

4、排列與組合的應用；

教學重點 排列與組合的概念

教學難點 解決實際問題時排列與組合的區(qū)別

教學資源 自編軟件（用于多媒體演示），多種顏色的玻璃球若干個（以備實驗）

教學后記

培養(yǎng)方案或教學大綱

修改意見 對授課進度計劃 修改意見 對本教案的修改意見

技能與態(tài)度

1、對隨機現(xiàn)象有正確的認識；

2、用科學態(tài)度對待隨機現(xiàn)象；

3、科學計算的認真態(tài)度。

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<> 教學資源及學時 調整意見 其他 教研室主任：

系部主任：

緒論（15分鐘）

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性的數(shù)學學科，其特點是理論嚴謹,應用廣泛,發(fā)展迅速。目前,在全國的各種高等學校中，無論是本科院校還是高職高專，很多專業(yè)都開設了這門課程。它也是很多專業(yè)的本科生報考研究生的必考內容之一，希望大家能認真學好這門重要課程。

概率論是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的學科，它是數(shù)學的一個分支。概率(或幾率)——是隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度，它起源于對賭博等博弈問題的研究

一、概率的起源

在歐洲文藝復興時代，15世紀末的法國和意大利盛行賭博，不僅賭法復雜，而且賭注量大，一些職業(yè)賭徒迫切需要計算取勝的機會。

比如：一位意大利貴族向天文學家伽利略請教的問題是：“擲3顆骰子，出現(xiàn)9點與出現(xiàn)10點均有6種組合，但經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)10點的機會要多些，是否符合數(shù)學規(guī)律？”，伽利略從組合數(shù)的角度對問題進行了解釋，被認為是概率研究的首次成果。

九點（126，135，144，225，234，333）十點（136，145，226，235，244，334）

法國的賭徒麥爾（梅耳）(Mere)向法國的數(shù)學家帕斯卡(Pascal)提出兩個問題——（1）將一顆骰子擲4次至少出現(xiàn)一個6點的機會是否比將兩顆骰子擲4次至少出現(xiàn)一

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<> 對6點的機會大？（著名的梅耳猜想），帕斯卡與費馬經(jīng)過通信討論，最終解決了這一問題；（2）“一個賭徒用一顆骰子要在八次投擲中擲出一個六點，他開始三次都未成功，如果放棄>

d?上面這兩種情況出現(xiàn)的可能性相同，所以，甲應得的賭金為的賭金為d。

費馬：結束賭局至多還要2局，結果為四種等可能情況： 情況： １

２

３

４ 勝者：甲甲

甲乙

乙甲

乙乙 141d2?3d，乙應得24前3種情況，甲獲全部賭金，僅>

3414義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機現(xiàn)象。因此可以說，到20世紀初，概率論的一些基本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)學分支，缺乏嚴格的理論基礎。

三、概率論理論基礎的建立：

經(jīng)過二十多年的艱難研究，雅各·貝努利在1713年出版了概率論的>

一、復習導入新課 復習內容：（10分鐘）

實例說明

中學階段的計數(shù)原理是以后學習概率的基礎，統(tǒng)

理解用途

計學、運籌學以及生物的選種等都與它直接有關。在日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的選擇問

題，都可以應用它們來解決。

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，明確加法原理的講解

在> 飛機，也可以乘輪船。從甲地到丙地，共有多少種不同的走法？

教師歸納：（3分鐘）

在學生對問題的分進行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥使學生在應用兩析不很清的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成個基本原理時，楚時，教這件事．只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，思路進一步清晰師及時地否則不可以．

和明確．從而深進行歸納如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不入理解兩個基本和小結 可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而原理中分類、分各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，步的真正含義和下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事實質 的方法數(shù)時，就可以直接應用乘法原理． 導入新課：（2分鐘）

計數(shù)原理能在很多情況下，求得完成某件事的方引出學習排列與法總數(shù)。但對有些問題來說，如果都用計數(shù)原理來求組合的目的 解，則顯得過于煩瑣，為了簡化求解方法，我們還要學習排列與組合的概念及方法——這是今天要學習的內容。

1．正確理解排列、組合的意義．

2．掌握寫出所有排列、所有組合的方法，加深對分類討論

二、明確學習目標

方法的理解．

3．培養(yǎng)學生的概括能力和邏輯思維能力。

三、知識學習

1、排列（8分鐘）

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<>

例．北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同的飛機票？

生甲：首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上?；驈V州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票．

師：生甲用加法原理解決了準備多少種飛機票問題．能否用乘法原理來設計方案呢？

生乙：首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法．即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經(jīng)選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選．那么，根據(jù)乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種．

定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定順序排成的一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

找學生用加法原 理求解

逐步引導

逐步引導

找學生用乘法原 理求解

老師點評，得出結論：乙的方法更

理解并掌握排列簡潔。由的概念

掌握計算公式

明確相同排列的含義

此引出排列概念

逐步推導

排列數(shù)計算公式（由乘法原理求得）

Amn=n(n-1)…(n-m+1)排列說明：取出的元素要“按照一定的順序排成一列”，只要交換位置，就是不同的排列．如飛機票、通信封數(shù)、減法

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<> 與除法運算的結果都屬于這一類。

2、組合（10分鐘）

下面考慮另一類問題：取出的元素，不必管順序，只有取不同元素時，才是不同的情況，如飛機的票價，打電話的次數(shù)、加法與乘法的運算結果都屬于這一類．

定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．

說明：如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合。

一定要認真體會排列與組合的區(qū)別在于與順序是否有關，在以后的各種實際應用題中要區(qū)別清楚才能尋找正確解題途徑．

和排列一樣，還需要區(qū)分清楚“一個組合”和“組合種數(shù)”這兩個概念．一個組合不是一個數(shù)，而是具體的一件事

理解并掌握組合的概念

明確相同組合的含義

掌握計算公式

組合數(shù)公式（將排列數(shù)的計算分成兩步）：

mm由Amn= CnAm得

mAnn(n?1)?(n?m?1)C=m=

m!Ammn

四、技能學習（20分鐘）

排列與組合的應用

1、有條件限制的排列問題

例1、5個不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列．（1）a，e必須排在首位或末位，有多少種排法？

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<>（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少種排法？（3）a，e排在一起有多少種排法？（4）a，e不相鄰有多少種排法？

（5）a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？

掌握有關排列組合問題的基本解（教師出題后向學生提出要求；開動腦筋，積極思維，法，提高分析問暢所欲言，鼓勵提出不同解法，包括錯誤的解法）

教師小結：排列應用題是實際問題的一種，解應用問題的指導思想，弄清題意、聯(lián)系實際、合理設計．調動相關的知識和方法是合理設計的基礎．例1是排列的典型問題，解題方法可借鑒．排列問題思考起來比較抽象，“具體排”是一種把抽象轉化具體的好方法．

例

2、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（）．

（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種

先讓學生獨立作，教師巡視，然后歸納不同的解法．

（二）有條件限制的組合問題

例

3、已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子集的個數(shù)．

（三）排列組合混合問題

例

4、從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同學和2名女同學分別承擔A，B，C，D，E這五項工作，一共有多少種分配方案．

題與解決問題的能力．

通過對典型錯誤的剖析，使學生克服解題中的“重復”與“遺漏”等常見錯誤．

培養(yǎng)思維的深刻錯誤分析

五、態(tài)度養(yǎng)成

性與批判性品質

六、實際解題訓練（10分鐘）

通過實際訓練，學生練習1．設有4個不同的紅球，6個不同的白球，每次取出4個球，取1個紅球記2分，取1個白球記1分，使得總分不大于5分的取球方法數(shù)為

2．由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的偶數(shù)共有[

] A．60個

B．48個

C．36個

C．24個

使學生掌握解排老師巡列組合問題基本視，解答思想和基本方法 問題

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<>

七、課堂小結（2分鐘）

解排列組合應用問題，首先要抓典型問題．如例1是排列常見的典型問題，例3是組合問題，例4是排列組合混合問題．通過典型問題掌握基本方法，這是解排列組合應用問題首先要做到的．

排列組合應用題與實際是緊密相連的，但思考起來又比較抽象．“具體排”是抽象轉化為具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一．“具體排”可以幫助思考，可以找出重復、遺漏的原因．有同學總結解排列組合應用題的方法是：“想透、排夠不重不漏，”是很有道理的．

解排列組合應用題最重要的是，通過分析構想設計合理的解題方案，在這里抽象與具體、直接法與間接法、全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到廣泛運用．

概括總結，幫助學生構建知識體

簡要概括

系、明確排列組

本節(jié)內容

合的解題目標和對態(tài)度的要求。

八、布置作業(yè)

1．空間有五個點，其中任何四點不共面，以每四個點為頂點作一個四面體，一共可作多少個四面體？（5個）

2．用0，2，3，5可以組成多少個數(shù)字不重復且被5整除的三位數(shù)？（10個）

3．同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（9種）

4．3個人坐在一排9個座位上，每人左、右兩邊都有空位子，這樣的排法有_____種．

5．將5名學生分配到4個不同的科技小組、每組至少1人的分配方案有_____種．

6．預習>

培養(yǎng)做事認真的態(tài)度和習慣

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教案01<>

第三篇：兩個基本計數(shù)原理教案

第一章計數(shù)原理

第1節(jié)兩個基本計數(shù)原理 教材分析

本節(jié)課《分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理》是蘇教版普通高中課程標準試驗教科書（選修2-3)第一章第一節(jié)的內容，是本章后續(xù)知識的基礎,對后續(xù)內容的學習有著舉足輕重的作用,另外本節(jié)課涉及的分步、分類的思想是解決實際問題的最有效武器，是人們思考問題的最根本方法.學情分析

高二學生已具備一定的數(shù)學知識和方法，能很容易的接受兩個原理的內容，并應用原理解決一些簡單的實際問題，這些形成了學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”．雖然學生已經(jīng)具備了一定的歸納、類比能力，但在數(shù)學的應用意識與應用能力方面尚需進一步培養(yǎng)．另外，學生的求知欲強，參與意識，自主探索意識明顯增強，對能夠引起認知沖突，表現(xiàn)自身價值的學習素材特別感興趣。但在合作交流意識欠缺，有待加強.目標分析 ⑴知識與技能

①掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的內容

②能根據(jù)具體問題的特征選擇分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理解決一些簡單實際問題． ⑵過程與方法

①通過具體問題情境總結出兩個計數(shù)原理，并通過實際事例學生感悟兩個原理的應用并最終學會應用

②通過“學生自主探究、合作探究，師生共究”更深刻的理解分類計數(shù)與分步計數(shù)原理，并應用它們解決實際問題 ⑶情感、態(tài)度、價值觀

樹立學生積極合作的意識，增強數(shù)學應用意識,激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣.教學重難點分析

教學重點：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的掌握

教學難點：根據(jù)具體問題特征選擇分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理解決實際問題． 教法、學法分析 教法分析：

①啟發(fā)探究法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調動學生的積極性。學法分析：本節(jié)課要求學生自主探究，學會用類比的思想解決問題，樹立學生的合作交流意識.教學過程

一、創(chuàng)設情境：對于分類計數(shù)原理設計如下情境（看多媒體）： 該情境是原教材上情境經(jīng)過加工設計的，比原教材情境更加貼近學生生活，能夠增強學生的有意注意，激發(fā)學生的興趣，調動學生的主動性和積極性,從而進入思維情境接著是對情境的處理：

在情境處理過程中要啟發(fā)學生由特殊情形歸納出一般原理,遵循由簡單到復雜的認知規(guī)律，我處理情境的辦法是：

第一步在解決問題時首先讓學生嘗試分析,然后由學生代表分析解答，教師及時給出評價，并由老師給出解題過程，在這里由老師按分類計數(shù)原理給出解題過程，為學生順利總結概括出原理做好鋪墊.第二步對原問題加以引申：若當天有4次航班，則有多少種不同方法？ 設計的意圖是讓學生更清楚的認識到總方法數(shù)是各類方法數(shù)之和.第三步提出問題：你能否盡可能簡練的總結出問題1中的計數(shù)規(guī)律？

接著由學生分組討論、總結問題1中計數(shù)規(guī)律，這樣由學生總結歸納，并通過討論準確敘述出分類計數(shù)原理，可以提高學生的數(shù)學表達意識，激發(fā)合作意識和競爭意識，體驗獲得成功的喜悅，也就完成了情感目標.第四步由教師板書分類計數(shù)原理(加法原理）并說明由于總方法數(shù)是各類方法數(shù)之和，樹立學生平時學習生活中的講道理意識.在分類計數(shù)原理中設計如下問題情境，問題2與問題1的背景一樣：都是乘車方法的計數(shù)問題.對于問題2的處理辦法是：第一步由學生自主嘗試分析解答，但該問題并沒有問題1般簡單所以就有了第二步教師電腦屏幕顯示分析及解題過程，利用多媒體顯示動畫，輔助分析，展示不同的走法,幫助學生更直觀的解決問題，然后由感性進入理性，這也符合一般的認知規(guī)律.第三步問題引申將問題引申為若從蘭州到天水新增一輛4號汽車，則有多少種乘車方法？ 設計的意圖是：通過引申讓學生更加清楚的認識到總方法數(shù)是各步方法數(shù)相乘.第四步提出問題：你能否對照分類計數(shù)原理，歸納概括出問題2蘊含的計數(shù)規(guī)律,并嘗試命名，這樣設計一可指導學生通過類比給出分步計數(shù)原理，滲透類比思想第二也可在自主探究中掌握本節(jié)重點，當然重點的突破也為難點突破打下了知識基礎 第五部教師板書：分步計數(shù)原理（乘法原理），由學生說明其稱為乘法原理的理由.分步計數(shù)原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×?×mn種不同的方法.二、建構數(shù)學

在總結出兩個計數(shù)原理的基礎上讓學生進行如下三個問題的探究，初步突破難點.探究1：對比兩計數(shù)原理，指出相同點與不同點 設計探究1的意圖是通過自主探究合作探究，加深兩個定理的理解并且在兩個定理內容的比較中提高學生閱讀數(shù)學的能力.探究方式：分組討論（合作交流，加深理解）

探究結果：共同點是：研究對象相同,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法.不同點是：它們研究完成一件事情的方式不同,分類計數(shù)原理是“分類完成”,分步計數(shù)原理是“分步完成”由于學生的認識水平有限，在這里只要求認識到分類計數(shù)原理是“分類完成”,分步計數(shù)原理是“分步完成”.探究2：何時用分類計數(shù)原理,何時用分步計數(shù)原理 探究方式：自主探究，代表發(fā)言，共同總結.探究結果：若完成一件事情有n類方法，則用分類計數(shù)原理.若完成一件事情有n個步驟，則用分步計數(shù)原理.設計意圖：在探究1基礎上進一步突破重難點，培養(yǎng)學生分析問題的能力.探究3：用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題的思維步驟 探究方式：分組討論，合作探究，代表發(fā)言,共同總結.探究結果：

1、明確要完成什么事

2、判斷分類還是分步

3、計算總方法數(shù)

（一）兩個計數(shù)原理內容

1、分類計數(shù)原理：

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法??在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1 +m2 +??+mn種不同的方法.2、分步計數(shù)原理：

完成一件事，需要分n個步驟，做第1步驟有m1種不同的方法，做第2步驟有m2種不同的方法??做第n步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2 ×??×mn種不同的方法.（二）例題分析

例1 某學校食堂備有5種素菜、3種葷菜、2種湯。現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐。問 可以配制出多少種不同的品種？ 分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配一個葷菜、配一個素菜、配一湯）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數(shù)原理？

5、進行計算.解：屬于分步：第一步配一個葷菜有3種選擇 第二步配一個素菜有5種選擇 第三步配一個湯有2種選擇 共有N=3×5×2=30（種）

例2 有一個書架共有2層，上層放有5本不同的數(shù)學書，下層放有4本不同的語文書。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架上任取一本數(shù)學書和一本語文書，有多少種不同的取法？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數(shù)原理？

5、進行計算。

解：屬于分類：第一類從上層取一本書有5種選擇 第二類從下層取一本書有4種選擇 共有N=5+4=9（種）

（2）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數(shù)原理？

5、進行計算.解：屬于分步：第一步從上層取一本書有5種選擇 第二步從下層取一本書有4種選擇 共有N=5×4=20（種）

例

3、有1、2、3、4、5五個數(shù)字.（1）可以組成多少個不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配百位數(shù)、配十位數(shù)、配個位數(shù)）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數(shù)原理？

5、進行計算.略解：N=5×5×5=125（個）（2）（3）（4）師生共同完成

（三）鞏固練習

1、某人有4條不同顏色的領帶和6件不同款式的襯衣，問可以有多少種不同的搭配方法？

2、有一個班級共有46名學生，其中男生有21名.（1）現(xiàn)要選派一名學生代表班級參加學校的學代會，有多 少種不同的選派方法？

（2）若要選派男、女各一名學生代表班級參加學校的學代 會，有多少種不同的選派方法？

思考：有0、1、2、3、4、5六個數(shù)字.（1）可以組成多少個不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？

（四）課堂總結

1、什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理呢？

分類時用加法原理，分步時用乘法原理．

2、分類與分步怎么區(qū)別呢？

分類時要求各類辦法能獨立完成；分步時要求各步不能獨立完成． 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點的理解： ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.（五）板書設計： 兩個基本計數(shù)原理

1、分類計數(shù)原理： N=m1 +m2 +……+mn

2、分類計數(shù)原理： N=m1×m2 ×……×mn

例1． 例2． 小結：

（六）及時訓練

1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()

A.180

B.160

C.96

D.60

若變?yōu)閳D二,圖三呢? 5.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

（七）作業(yè)布置

1、課本第8頁第1、2、3、4、5題；

2、課本第9頁第1、2、3、4、5、6、7、8、9題 教學反思：

分類加法計數(shù)原理比較好掌握，分類乘法計數(shù)原理不太好理解.有些題不知道是用加法原理還是用乘法原理.例題書上都有，看過書后，教師講課感覺不到新鮮.還有部分不會做題的學生通過看書也能得到答案，不能反映他們的真實水平.1、學生主體觀

課堂教學過程是在教學目標的指引下，由師生共同動態(tài)“生成”的．其中，學生的反饋是重要的，它決定了教學的進程．聆聽學生是教師的必備技能，不要將學生作為“答案發(fā)生器”，不要沉浸在“我的學生都會做了”這種虛假的成功喜悅中，而應該讓學生關注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數(shù)學地表達自己的想法，甚至于應該給予他們犯錯的機會，也幫助他們提高分析錯誤、更正錯誤的能力．

學生在解題時，往往對答案很在意，也很在行．例如在問題“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少個？”的解決中，學生極快地報出了答案“10”，但在敘述他的解題過程時，卻說不太清楚．一開始說出了5×4的做法，但很快又自我否定（因為答案不對），當然，他一定覺得用“數(shù)”數(shù)的方法可以解決，但難以表述．這種“兩難”處境需要教師的協(xié)助來化解，在教師的鼓勵下，他用“數(shù)”數(shù)的方法完成了問題，并對計數(shù)的對象——二元集進行了分類，利用分類加法計數(shù)原理重新闡述了做法，得到了師生的共同認可．在這一過程中，不僅是這名學生，而是全體，都體驗了不要“輕易言敗”的心理歷程，這也在一定程度上實現(xiàn)了新課程所倡導的“情感、態(tài)度、價值觀”的目標．

2、讓學生自我發(fā)展

如何讓學生的主動學習模式從課內延伸到課外？如何讓學有余力的同學有更大的收獲？ 學生在課后常會問一些問題，多數(shù)是課上未聽懂或習題的方法未理解掌握，但也有一些同學就某一問題提出新看法、新解法，對他們而言，一個具備思辨價值的問題是更好的研究素材，例如在本課最后，提出了問題“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M為定義域，P為值域的不同函數(shù)有幾個？②從M到P不同的映射有多少個？”——這個問題需要學生對函數(shù)、映射相關知識先做一個回顧，再利用所學的兩個基本計數(shù)原理加以解決．記得當時一下課，有學生上來問我：“是不是9”？我沒有回答，而是讓他自主驗證．第二天，他堅定地說，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我對他的答案進行認可了，因為他已學會了自我認可．這種自我認可的能力，不也是數(shù)學課程需要達到的目標么？

第四篇：計數(shù)原理教案

淮北市第十二中學2007~2008學

考

評

課

教

案

授課人：鄒強

2008年5月 §10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

授課人：鄒強

教學目標：

知識目標：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；

能力目標：培養(yǎng)學生的歸納概括能力；

情感目標：①了解學習本章的意義，激發(fā)學生的興趣

②引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式..教學重點：

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用理解 教學難點：

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的理解 教學方法：

問題式、螺旋上升的教學方法 教學過程：

一．課題引入

中央電視臺體育頻道每周四次對“NBA”進行現(xiàn)場直播，并對參與節(jié)目交流的觀眾進行抽取幸運觀眾活動，獎品是“NBA”明星真品球衣或明星戰(zhàn)靴，此節(jié)目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時，共收到手機號碼2萬個。其中聯(lián)通號碼有0.8萬個，移動號碼有1萬個，小靈通號碼有0.2萬個?，F(xiàn)抽取：

（1）一名幸運觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯(lián)通號碼、移動號碼和小靈通號碼中各抽取一名幸運觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計算所有情況的問題可稱為計數(shù)問題，用來解決這種問題的一般方法或計算規(guī)律叫做計數(shù)原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會”決定,下一次會議一定要有農(nóng)民工代表參加.假如現(xiàn)在南方有農(nóng)民工代表30人,北方有農(nóng)民工代表20人,現(xiàn)在選舉一名農(nóng)民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數(shù)學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫(yī)學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從這些強項專業(yè)中任選一項共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務院總理溫家寶在十屆全國人大三次會議上作政府工作報告時表示，補助貧困學生生活費。假設補助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數(shù)學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫(yī)學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從清華大學，復旦大學，南京大學這些強項專業(yè)中各選一項共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時，每一步都可以看成分類；分類時，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 學生練習： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現(xiàn)準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有

種不同的推選方法.總結歸納： 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：

分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成 作業(yè)布置：

.1．課本第９７頁的習題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解答的應用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：

第五篇：抽屜原理與排列組合（范文）

抽屜原理

把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有3種放法，不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。??更進一步，我們能夠得出這樣的結論：把n＋1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關鍵是要應用所學的數(shù)學知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應當把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生日。

【例 2】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

想一想，例2中4改為7，3改為6，結論成立嗎？

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙。

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

【分析】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個，即至少應取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應取出10＋5=15個球。

思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？(答案分別為31和33）

當我們遇到“判別具有某種事物的性質有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

提示語

抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個蘋果放到n個抽屜里，放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。

運用抽屜原理的關鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類

排列組合問題

例1：某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？

分析：某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食。其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法。故可以由乘法原理解決：

解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3×5=15種不同的方法。

例2：書架上有6本不同的外語書，4本不同語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少本不同的取法？

分析：要做的事情是從外語、語文書中各取一本。完成它要分兩步：即先取一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）。所以，用乘法原理解決。

解：從架上各取一本共有6×4＝24種不同的取法。

例3：由數(shù)字0、1、2、3組成的三位數(shù)，問：

（1）、可組成多少個不相等的三位數(shù)？

（2）、可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

分析：在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應該一位一位地去確定。所以，每個問題都可以看成是分三個步驟來完成。

（1）：要求組成不相等的三位數(shù)。所以，數(shù)字可以重復使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個數(shù)字中任取一個，有4種不同的取法；個位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3×4×4＝48個不相等的三位數(shù)。

（2）：要求組成的三位數(shù)中沒有重復數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一個，故只剩下0和其它兩個數(shù)字，故有3種取法；個位上，由于百位和十位已各取走一個數(shù)字，故只能在剩下的兩個數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。

例4：現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？

分析：要從三種面值的人民幣中任取幾張，構成一個錢數(shù)，需一步一步地來做。如先取一解的，再取貳角的，最后取壹元的。但注意到，取2張一角的人民幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的。這就會產(chǎn)生重復，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一起來考慮。即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種。分析得知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共8種情況。整個問題就變成了從8張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢。這樣，第一步，從8張壹角的人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從3張壹元的人民幣中取共4種取法，即0、1、2、3.由乘法原理，共有9×4＝36種情形，但注意到，要求”至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應減掉。所以有35種不同的情形。

例5：學校組織讀書活動，要求每個同學讀一本書。小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本。那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？

分析：在這個問題中，小明選一本書有三類方法。即要么選外語書，要么選科技書，要么選小說。所以，是就用加法原理的問題。

解：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法。

例6：一個口袋內裝有3個小球，另一個口袋內裝有8個小球，所有這些小球顏色各不相同。

問：（1）、從兩個口袋內任取一個小球，有多少種不同的取法？（2）、從兩個口袋內各取一個小球，有多少種不同的取法？

分析：（1）、從兩個口袋中只需取一個小球，則這個小球要么從第一個口袋中取，要么從第二個口袋中取，共有兩大類方法。所以是加法原理的問題。（2）、要從兩個口袋中各取一個小球，則可看成先從第一個口袋中取一個，再從第二個口袋中取一個，分兩步完成，是乘法原理的問題。

解（1）：3＋8＝11（種）

（2）：3×8＝24（種）

例7：有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？

分析：要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮。

第一類：兩個數(shù)字同為奇數(shù)。由于放兩個正方體可認為是一個一個地放。放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有3×3＝9種不同的情形。

第二類：兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有9種不同的情形。

所以，最后再由加法原理即可求解。9＋9＝18（種）