第一篇：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理教案1

分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理教案1

教學目標

正確理解和掌握分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題，從而發(fā)展學生的思維能力，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力．

教學重點和難點

重點：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理．

難點：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的準確應用．

教學用具

投影儀．

教學過程設計

(一)引入新課

師：從本節(jié)課開始，我們將要學習中學代數(shù)內(nèi)容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理．它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學習概率論的基礎，統(tǒng)計學、運籌學以及生物的選種等都與它直接有關．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它．

今天我們先學習兩個基本原理．

(這是排列、組合、二項式定理的第一節(jié)課，是起始課．講起始課時，把這一學科的內(nèi)容作一個大概的介紹，能使學生從一開始就對將要學習的知識有一個初步的了解，并為下面的學習研究打下思想基礎)

師：(板書課題)

(二)講授新課

1．介紹兩個基本原理

師：請大家先考慮下面的問題(找出片子——問題1)．

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

師：(啟發(fā)學生回答后，作補充說明)

因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有

4＋2＋3=9

種不同的走法．

這個問題可以總結(jié)為下面的一個基本原理．

(打出片子——分類計數(shù)原理)

分類計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．

(教師放慢速度讀一遍分類計數(shù)原理)

師：請大家再來考慮下面的問題(打出片子——問題2)．

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條(見圖9－1)，從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

師：(啟發(fā)學生回答后加以說明)

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步計數(shù)原理)

分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有

N＝m1×m2×…×mn

種不同的方法．

(教師要讀一遍分步計數(shù)原理)

2．淺釋兩個基本原理

師：兩個基本原理是干什么用的呢？

生：計算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．

(如果學生不能較準確地回答，教師可以加以提示)

師：比較兩個基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別呢？

(學生經(jīng)過思考后可以得出：各類的方法數(shù)相加，各步的方法數(shù)相乘．)

兩個基本原理的區(qū)別在于：一個與分類有關，一個與分步有關．

師：請看下面的分析是否正確．

(打出片子——題1，題2)

題1：找1～10這10個數(shù)中的所有合數(shù)．第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個；第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個；第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7個合數(shù)．

題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時，中路需要4時，南路需要6時，B村到C村的北路需要5時，南路需要3時，要求步行從A村到C村的總時數(shù)不超過12時，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

生乙：從A村到C村總時數(shù)不超過12時的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

(此時給出題1和題2的目的是為了引導學生找出應用兩個基本原理的注意事項，這樣安排，不但可以使學生對兩個基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學生的學習能力)

師：為什么會出現(xiàn)錯誤呢？

生：題1的分類可能有問題吧，題2都走北路不符合要求．

師：(教師歸納)

進行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成這件事．只有滿足這個條件，才能直接用分類計數(shù)原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，就可以直接應用分步計數(shù)原理．

也就是說：類類互斥，步步獨立．

(在學生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結(jié)，能使學生在應用兩個基本原理時，思路進一步清晰和明確，不再簡單地認為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質(zhì))

(三)應用舉例

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個基本原理，我們可以用它們來解決一些簡單問題了．請看例題1．(板書)

例1書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

(讓學生思考，要求依據(jù)兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由，教師巡視指導，并適時口述解法)

師：(1)從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據(jù)分類計數(shù)原理，得到的取法種數(shù)是

N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．

故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

師：(2)從書架上任取數(shù)學書、語文書、英語書各1本，需要分成三個步驟完成，第一步取1本數(shù)學書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，得到不同的取法種數(shù)是

N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．

故，從書架上取數(shù)學書、語文書、英語書各1本，有90種不同的方法．

師：(3)從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數(shù)學書、語文書各取1本，需要分兩個步驟，有3×5種方法；第二類辦法是數(shù)學書、英語書各取1本，需要分兩個步驟，有3×6種方法；第三類辦法是語文書、英語書各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數(shù)是

N=3×5＋3×6＋5×6=63．

即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種．

師：請大家再來分析和解決例題2．

(板書)

例2由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個三位整數(shù)(各位上的數(shù)字允許重復)？

師：每一個三位整數(shù)是由什么構(gòu)成的呢？

生：三個整數(shù)字．

師：023是一個三位整數(shù)嗎？

生：不是，百位上不能是0．

師：對！百位的數(shù)字不能是0，也就是說，一個三位整數(shù)是由百位、十位、個位三位數(shù)字組成的，其中最高位不能是0．那么要組成一個三位數(shù)需要怎么做呢？

生：分成三個步驟來完成：第一步確定百位上的數(shù)字；第二步確定十位上的數(shù)字；第三步確定個位上的數(shù)字．

師：很好！怎樣表述呢？

(教師巡視指導、并歸納)

解：要組成一個三位數(shù)，需要分成三個步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個數(shù)字中任選一個數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復，共有5種選法；第三步確定個位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)分步計數(shù)原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個數(shù)是N=4×5×5=100．

答：可以組成100個三位整數(shù)．

(教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導，幫助學生找到正確的解題思路和計算方法，使學生的分析問題能力有所提高．

教師在第二個例題中給出板書示范，能幫助學生進一步加深對兩個基本原理實質(zhì)的理解，周密的考慮，準確的表達、規(guī)范的書寫，對于學生周密思考、準確表達、規(guī)范書寫良好習慣的形成有著積極的促進作用，也可以為學生后面應用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎)

(四)歸納小結(jié)

師：什么時候用分類計數(shù)原理、什么時候用分步計數(shù)原理呢？

生：分類時用分類計數(shù)原理，分步時用分步計數(shù)原理．

師：應用兩個基本原理時需要注意什么呢？

生：分類時要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時要求各步是相互獨立的．

(五)課堂練習

P222：練習1～4．

(對于題4，教師有必要對三個多項式乘積展開后各項的構(gòu)成給以提示)

(六)布置作業(yè)

P222：練習5，6，7．

補充題：

1．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個？

(提示：按十位上數(shù)字的大小可以分為9類，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù))

2．某學生填報高考志愿，有m個不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫3個不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數(shù)．

(提示：需要按三個志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)種填寫方式)

3．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個？

(提示：可以用下面方法來求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)類中每類都是9×9種，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243個只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù))

4．某小組有10人，每人至少會英語和日語中的一門，其中8人會英語，5人會日語，(1)從中任選一個會外語的人，有多少種選法？(2)從中選出會英語與會日語的各1人，有多少種不同的選法？

(提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會英語又會日語．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)

課堂教學設計說明

兩個基本原理一課是排列、組合、二項式定理的開頭課，學習它所需的先行知識跟學生已熟知的數(shù)學知識聯(lián)系很少，通常教師們或者感覺很簡單，一帶而過；或者感覺難以開頭．中學數(shù)學課程中引進的關于排列、組合的計算公式都是以分步計數(shù)原理為基礎的，而一些較復雜的排列、組合應用題的求解，更是離不開兩個基本原理，因此必須使學生學會正確地使用兩個基本原理，學會正確地使用這兩個基本原理是這一章教學中必須抓住的一個關鍵．所以在教學目標中特別提出要使學生學會準確地應用兩個基本原理分析和解決一些簡單的問題．對于學生陌生的知識，在開頭課中首先作一個大概的介紹，使學生有一個大致的了解是十分必要的．基于這一想法，在引入新課時，首先是把這一章將要學習的內(nèi)容，以及與其它科目的關系做了介紹，同時也引入了課題．

正確使用兩個基本原理的前提是要學生清楚兩個基本原理使用的條件．而原理中提到的分步和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導學生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨立．教學過程中的題1和題2，就是為了解決這一問題而提出的．

分類用分類計數(shù)原理，分步用分步計數(shù)原理，單純這點學生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進行分類、分步，特別是在分類時必須做到既不重復，又不遺漏，找到分步的方法有時是比較困難的，這就要著重進行訓練．教學中給出了例題

1、例題2．這兩個題目都是在課本例題的基礎上稍加改動過的，目的就是要幫助學生發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學生周密思考、細心分析的良好習慣．為了幫助學生在今后能正確運用兩個基本原理解決其它排列組合問題，特別給出了4個補充習題，為下面將要進行的課打下一個基礎．

考慮到這節(jié)課無論是兩個基本原理，還是例題都是文字較多的，因此特別設計了使用教具——投影儀．要是有實物投影儀那就更方便了．

第二篇：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理教案

課題: 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

授課教師:孫瓊芳 班級:高二(2)班 時間:第十二周星期四第二節(jié) ◆教學目標

1.正確理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的內(nèi)容.2.正確運用兩個基本原理分析、解決一些簡單問題.3.了解基本原理在實際生產(chǎn)、生活中的應用.4.提高分析問題、解決問題的能力.◆ 教學重點

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.◆ 教學難點

正確運用分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.◆ 教學方法

啟發(fā)引導式 ◆ 教學準備

多媒體課件 ◆ 教學過程

一.由實際問題引入課題

2002年夏季在韓國與日本舉行的第17屆世界杯足球賽共有32個隊參賽．它們先分成8個小組進行循環(huán)賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名．問一共安排了多少場比賽？

要回答上述問題，就要用到排列、組合的知識．排列、組合是一個重要的數(shù)學方法，粗略地說，排列、組合方法就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法．

在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，下面我們舉一些例子來說明這兩個原理．

二.講授新課 問題一：

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

圖示：

（分析略）

引伸1:若甲地到乙地一天中還有4班輪船可乘,那么一天中,乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n類辦法.在第1類辦法中有m1種不同方法,在第2類辦法中有m

2種不同的方法,??,在第n類辦法中有mn種不同方法,每一類中的每一種方法均可完成這件事,那么完成這件事共有多少種不同方法?

分類計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m 2種不同的方法，??，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

N = m1 + m2 + ? + mn

種不同的方法.問題二：

從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

（分析略）

從如下的圖示中，我們可以具體地看到這6種走法。圖示：

所有走法

火車1——汽車1；火車1——汽車2；火車2——汽車1；火車2——汽車2； 火車3——汽車1；火車3——汽車2

在問題二的分析過程中，就體現(xiàn)了分步計數(shù)原理.分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有

N = m1×m2×?×mn

種不同的方法.下面，我們結(jié)合例題來一起體會兩個基本原理的正確運用.［例1］ 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．

（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

（解答略）

教師點評：解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”?！胺诸愅瓿伞庇谩胺诸愑嫈?shù)原理”;“分步完成”用“分步計數(shù)原理”。

［例2］電視臺在“歡樂大本營”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多種不同的結(jié)果？

（解答略）

教師點評：有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理．

三、課堂練習

1、現(xiàn)有高中一年級的學生3名，高中二年級的學生5名，高中三年級的學生4名，從中任選一人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

2、某人有兩頂帽子，兩件上衣，三條褲子，兩雙鞋，問穿戴整齊共有多少種不同的裝束？.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

思考:若用2色、4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢?

4.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點A爬到相對的另一個頂點C1的最近路線共有多少條？

四、小結(jié)：

1.本節(jié)課學習了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理。

2.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的共同點是什么？不同點是什么？

3．解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“分類計數(shù)原理”;“分步完成”用“分步計數(shù)原理”。有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理．

五、布置作業(yè)：課本P87習題10.1 第2、3題

六、思考題：將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可用,求不同的染色方法種數(shù)?

第三篇：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教案

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

教學目標

①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；

教學重點 理解兩個原理,并能運用它們來解決一些簡單的問題.教學難點 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分類”還是“分步”.教學過程

一、引入課題

引例： ①我從二中到泗中有兩量不同的馬自達，三量不同的出租車可以乘坐，那么請同學們幫我算一下，我從二中到泗中有多少種乘坐交通工具的方式？ ②從我們班上50名同學中推選出兩名同學分別擔任班長和團支書，有多少種不同的選法？

這就是用我們這節(jié)課要研究的分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理來解決問題.二、講授新課：

1、分類加法計數(shù)原理

問題1：十一你打算從甲地到乙地旅游，假設可以乘汽車和火車.一天中，汽車有3班，火車有2班.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種坐交通工具的方法? 有３＋２＝５種方法

探究１：你能說說以上問題的特征嗎？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有3種不同的方法，在第2類方案中有2種不同的方法.那么完成這件事共有3+2=5種方法。一件事就是從甲地到乙地的一種乘坐交通工具的方式。

發(fā)現(xiàn)新知：完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，?，在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.（也稱加法原理）知識應用

例1：（多媒體展示）在1，2，3，?，200中能被5整除的數(shù)有多少個？

變式：若把例題中的5換成2其余條件不變答案是什么

可以用：10+10+10+10+10=50（分成5類）

也可以直接得到50（分成2類——奇數(shù)與偶數(shù)）分類加法計數(shù)原理特點：

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事的辦法要分為若干類，各類的辦法相互獨立，各類辦法中的各種方法也相對獨立，用任何一類辦法中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.2、分步乘法計數(shù)原理

問題2：從A村道B村的道路有3條，從B村去C村的路有2條，從C村去D的道路有3條，小明要從A村經(jīng)過B村，再經(jīng)過C村，最后到D村，一共有多

少條路線可以選擇？

從A村經(jīng) B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 種方法, 第二步, 由B村去C村有 2 種方法, 第三步，從C村到Ｄ村有３種方法

所以從A村經(jīng) B村又經(jīng)過C村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 種不同的方法 探究2：你能說說這個問題的特征嗎？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事需要有三個不同步驟，在第1步中有３種不同的方法，在第2步中有２種不同的方法，第三步有３種不同的方法.那么完成這件事共有3 ×2 ×３= １８種不同的方法.一件事就是：從Ａ村到Ｄ村的一種走法

發(fā)現(xiàn)新知

分步乘法計數(shù)原理：完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法??做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.（也稱乘法原理）

知識應用

例2：有一項活動，需在3名教師、8名男生和5名女生中選人參加.(1)若只需1人參加，有多少種選法？

(2)若需教師、男生、女生各1人參加，有多少種選法？

變式：學校準備召開一個座談會，要在3名教師、8名男學生和5名女學生中選一名教師和一名學生參加，有多少種不同的選法？ 分步乘法計數(shù)原理的特點：

分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.思考：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理有什么異同點？要注意什么問題？

相同點：它們都是研究完成一件事情, 共有多少種不同的方法；

不同點：分類加法計數(shù)原理分類完成一件事，任何一類辦法中的任何一個方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理分步完成一件事，這些方法需要分步,各個步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情。

三、課堂練習1.填空：

①一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是.②從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的路線有 條.2.現(xiàn)有高中一年級的學生3名，高中二年級的學生5名，高中三年級的學生4名.①從中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

②從3個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

3.從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有 種.4.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現(xiàn)準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有 種不同的推選方法.5.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后兩個要求用數(shù)字1～9，問最多可以給多少個程序命名？ 6.乘積(a+b+c)(d+e+f+g)展開后共有多少項？

四、課堂小結(jié)

（１）分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的共同點是什么？不同點什么？

相同點：它們都是研究完成一件事情, 共有多少種不同的方法；

不同點：分類加法計數(shù)原理分類完成一件事，任何一類辦法中的任何一個方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理分步完成一件事，這些方法需要分步,各個步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情。（２）分類加法原理、分布乘法原理的特點是什么? 加法原理：完成一件事情有n類方法,若每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成.乘法原理：完成一件事情有n個步驟,若每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分,并且必須且只需完成互相獨立的這n步后,才能完成這件事.

第四篇：計數(shù)原理教案

淮北市第十二中學2007~2008學

考

評

課

教

案

授課人：鄒強

2008年5月 §10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

授課人：鄒強

教學目標：

知識目標：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；

能力目標：培養(yǎng)學生的歸納概括能力；

情感目標：①了解學習本章的意義，激發(fā)學生的興趣

②引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式..教學重點：

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用理解 教學難點：

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的理解 教學方法：

問題式、螺旋上升的教學方法 教學過程：

一．課題引入

中央電視臺體育頻道每周四次對“NBA”進行現(xiàn)場直播，并對參與節(jié)目交流的觀眾進行抽取幸運觀眾活動，獎品是“NBA”明星真品球衣或明星戰(zhàn)靴，此節(jié)目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時，共收到手機號碼2萬個。其中聯(lián)通號碼有0.8萬個，移動號碼有1萬個，小靈通號碼有0.2萬個。現(xiàn)抽?。?/p>

（1）一名幸運觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯(lián)通號碼、移動號碼和小靈通號碼中各抽取一名幸運觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計算所有情況的問題可稱為計數(shù)問題，用來解決這種問題的一般方法或計算規(guī)律叫做計數(shù)原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會”決定,下一次會議一定要有農(nóng)民工代表參加.假如現(xiàn)在南方有農(nóng)民工代表30人,北方有農(nóng)民工代表20人,現(xiàn)在選舉一名農(nóng)民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數(shù)學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫(yī)學

信息技術(shù)學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從這些強項專業(yè)中任選一項共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務院總理溫家寶在十屆全國人大三次會議上作政府工作報告時表示，補助貧困學生生活費。假設補助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數(shù)學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫(yī)學

信息技術(shù)學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從清華大學，復旦大學，南京大學這些強項專業(yè)中各選一項共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時，每一步都可以看成分類；分類時，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 學生練習： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現(xiàn)準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有

種不同的推選方法.總結(jié)歸納： 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：

分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成 作業(yè)布置：

.1．課本第９７頁的習題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解答的應用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：

第五篇：高中數(shù)學說課稿《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》

高中數(shù)學說課稿《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》

一、本課教學內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是人類在大量的實踐經(jīng)驗的基礎上歸納出的基本規(guī)律，它們不僅是推導排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應用問題的始終，在本章中是奠基性的知識。返璞歸真的看兩個原理，它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣。從思想方法的角度看，運用分類加法計數(shù)原理解決問題是將一個復雜問題分解為若干“類別”，然后分類解決，各個擊破；運用分步乘法計數(shù)原理是將一個復雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對每個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程。這樣做的目的是為了分解問題、簡化問題。可見，理解和掌握兩個計數(shù)原理，是學好本章內(nèi)容的關鍵。

二、教學目標分析 1.知識目標

使學生熟練掌握兩個原理的內(nèi)容、區(qū)別，能夠靈活的應用兩個原理解決常見的計數(shù)問題。2.能力目標 在教學過程中，凸顯兩個原理發(fā)現(xiàn)的原始過程，使學生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維，在應用原理解決問題時，體會一般到特殊的演繹推理思維，從而培養(yǎng)學生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及解決實際問題時主動應用數(shù)學知識的能力。3.德育滲透目標

通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學生親歷數(shù)學研究的成功和快樂，感悟數(shù)學樸實無華的內(nèi)在美，學會提出問題、分析問題、解決問題、推廣結(jié)論進而完善結(jié)論的數(shù)學應用意識，激發(fā)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。

三、教學問題診斷

兩個原理的獲得過程對于學生來講并不難，學生已經(jīng)具備了由具體問題抽象概括、總結(jié)歸納的能力，對于兩個原理的應用，尤其是分類、分步的區(qū)別是認識上的難點，事實上，經(jīng)驗表明：有些學生一直到高考前都難以準確的區(qū)分好兩個原理，教學始終牢牢把握這一難點也是重點展開。

四、本節(jié)課的教學特點以及預期效果分析

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。新課程標準的價值取向是要求教師成為決策者而不是執(zhí)行者，要求教師創(chuàng)造出班級氣氛、創(chuàng)造出某種學習環(huán)境、設計相應教學活動并表達自己的教育理念等等。

基于以上思想，本節(jié)課采用問題式教學為主線，輔以啟發(fā)式、探究式、自主式、討論式教學方式。教學內(nèi)容以2010年南非世界杯相關問題背景為主線展開，輔以大量的實際例子，形成學生對于兩個原理的發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)、應用、推廣、再認識的過程。具體而言，設置以下幾個環(huán)節(jié)：

【創(chuàng)設情境、設疑激趣】

引入采用世界杯總場數(shù)的設問，引導學生發(fā)現(xiàn)逐個列舉所有場數(shù)不易操作，從而引出研究計數(shù)問題的必要性并給出計數(shù)問題的含義。給出課題，指明探究方向。

【問題導學、研究分類加法計數(shù)原理】

先用世界杯網(wǎng)絡測試的背景作為引例，啟發(fā)學生放飛思維，聯(lián)系生活實際，舉類似的例子；再引導學生充分討論，深入探究，尋求例子的共性，歸納、概括出分類加法計數(shù)原理；接著為了加深對于原理的認識，給出“原理”的含義，并進一步對原理的內(nèi)容進行解釋，強調(diào)“完成一件事”“分類”“加法”三個關鍵詞；再通過實例引導學生推廣原理；最后依然用世界杯的背景例子啟發(fā)學生歸納出分類的基本原則：“不重不漏”。

【類比研究、研究分步乘法計數(shù)原理】

完全類比分類加法計數(shù)原理的研究思路，充分討論，層層設問，得出原理，延伸推廣，強調(diào)分步注意“步驟完整，步步相依”。

【典型例題、區(qū)分兩個原理】

把課本上的書架三層有三種書分別若干本的例子，改編為三問：第一問求任取一本書的取法數(shù)，直接用分類加法計數(shù)原理即可解決；第二問求每層各取一本書的方法數(shù)，直接用分步乘法計數(shù)原理；第三問求取兩本不同學科的書的方法數(shù)，需要先分類，再分步，體現(xiàn)了兩個原理的綜合應用。本題旨在同一背景下認識兩個原理，區(qū)分兩個原理，尤其區(qū)分“類”和“步”。然后先討論，再和學生一起歸納出兩個原理的聯(lián)系和區(qū)別，填充表格。

【課下討論探究】

設計了兩個小題，分別是參賽、奪冠兩個極易混淆的背景，需要學生課下充分討論、探究，深思熟慮再解決，是課堂教學的延伸。

【布置作業(yè)、反思小結(jié)】

布置課后作業(yè)，小結(jié)內(nèi)容，提煉歸納出利用兩個原理解決計數(shù)問題的一般思路。最后指出：細微的生活中往往蘊涵著深刻的數(shù)學思想方法，利用數(shù)學工具研究繽紛多彩的世界充滿了無限的樂趣！這就是數(shù)學的魅力！最后預祝大家都能學好數(shù)學、用好數(shù)學、欣賞數(shù)學、熱愛數(shù)學！

通過以上設計，預期達到以下效果：使學生在對于兩個原理的發(fā)現(xiàn)過程中，體會由特殊到一般的歸納推理思維；在應用原理解決實際問題的過程中，體會主動應用數(shù)學的意識；通過大量的老師舉例、學生舉例、典型例題，使學生熟練兩個原理的應用，體會兩個原理的廣泛應用。

新的課程改革的理念側(cè)重以下四個環(huán)節(jié)：以人為本；樹立開放的大課程觀；樹立師生交往互動的平等觀；強調(diào)整合構(gòu)建新的課堂教學目標體系。本節(jié)課圍繞以上四個環(huán)節(jié)緊密展開，力求通過對于兩個原理的探究，提高學生數(shù)學素養(yǎng)，增強學習興趣，優(yōu)化學習習慣，提高數(shù)學能力。