第一篇：余弦定理教學(xué)教案

1.1.2余弦定理

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題 ●教學(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用； ●教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用?！窠虒W(xué)過程

1、復(fù)習(xí)：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學(xué)生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

師生活動(dòng)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A

引出課題：余弦定理

Ⅱ.講授新課 [探索研究]

從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)同理可證a2?b2?c2?2bccosA

2b?a?c?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA

222

b?a?c?2accosB 222

c?a?b?2abcosC

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b?c?a

cosA?

2bca?c?b

cosB?

2acb?a?c

cosC?

2ba

[理解定理] 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？

從而知余弦定理及其推論的基本作用為： 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； 由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。????????????????

A如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則b

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ ?

c（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b

2?2??????由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。?c?c??a?b??a?b???????[例題分析]?a?a?b?b?2a?bCaB?2?2??

?a

??2a?b

例

1、在?ABC中，已知a?23,b?3,C?30?，解此三角形。

32法一：由正弦定理

?3

bsinB

?

csinC，即

312

?

33sinC，解得sinC?

32，解：由余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC?12?9?2?23?3?

因?yàn)閏?b，所以C?60?或120?，?c?

?cosA?

b?c?a

2bc

?

?

222

當(dāng)C?60?時(shí)，A?90?，?ABC為直角三角形，此時(shí)a?

?

9?3?1263

?

b?c

?6；

?0，?A?90；

?

當(dāng)C?120?時(shí)，A?30?，A?B，所以a?b?3。法

?B?180?30?90?60；

?

二

：由余弦定理b?a?c?2accosB

222，得

例

2、在?ABC中，已知a?7,b?10,c?6，求此三角形三個(gè)角的余弦值并判定其形狀。

解：由余弦定理的推論可得： cosA?

b?c?a

2bca?c?b

2aca?b?c

2ab

528

3?a?3

3??

?

?2?33a?cos30，化簡(jiǎn)可得a2?9a?18?0，解得a?6或a?3。

2940

?

100?36?49

12049?36?100

8449?100?36

140

?

當(dāng)a?6時(shí)，由正弦定理得sinA?

asinBb

?1，?A?90,C?60;

??

cosB????

528

當(dāng)a?3時(shí)，由正弦定理得sinA?

asinBb

?

2，?A?30?,C?120?

cosC???

113140

問題拓展：如果本題只要求判定三角形形狀，是否還是按照上述步驟進(jìn)行求解。請(qǐng)同學(xué)分析上述兩種解法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而總結(jié)適合自己的方法。

[補(bǔ)充練習(xí)]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

由cosB???0可知B為鈍角，所以?ABC為鈍角三角形。

?

例

3、在?ABC中，已知b?3,c?33,B?30,解此三角形。

解：

第二篇：余弦定理教案

余弦定理

課 型:新知課 上課時(shí)間：5月16日

教學(xué)目的：

1、掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法。

2、會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

3、培養(yǎng)學(xué)生在方程思想的指導(dǎo)下解三角形問題的能力。重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用。難點(diǎn)：由勾股定理及向量的數(shù)量積發(fā)現(xiàn)余弦定理。學(xué)前分析：

余弦定理是初中學(xué)習(xí)勾股定理同角的推廣，也是前階段學(xué)習(xí)三角函數(shù)與平面向量知識(shí)在三角形中的交匯應(yīng)用。課前準(zhǔn)備：

多媒體課件、電腦、投影儀 教學(xué)設(shè)計(jì)：

一、新課引入

生活實(shí)例：隧道工程設(shè)計(jì)

提出問題：①如何求出隧道的實(shí)際長(zhǎng)度？ ②用正弦定理能否求出其長(zhǎng)度？

③用平面向量的數(shù)量積能否求出其長(zhǎng)度？

二、探索研究，引出定理

1、化歸：已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊，即在?ABC中，已知AB=C，AC=b，?A=A，求a。

2、探究：

由BC?BA?AC則BC?BC?BA?AC?BA?AC 即BC?BA?2BA?AC?AC

????2????????????=BA?2BA?ACcosA?AC 222????

=c2-2bccosA+b2

?a2=c2-2bccosA+b2 同理可得：b2=a2-2a ccosB+c2

c2=a2-2abcosC+b2 余弦定理文字表述：

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方和減去這兩邊的它們夾角的余弦的積的兩倍。

三、例題講解：

eg1：在?ABC中，a=1，b=2，?c=120°求c的值。解：由余弦定理知c2=a2+b2-2abcos?c 即c2=12+22-2×1×2×cos120°=7 ?c=7 練習(xí)：在?ABC中，已知b=8，c=3，A=60°求a 問題:已知三角形的邊長(zhǎng)，如何求出其三個(gè)內(nèi)角？ 余弦定理的變式

b2?c2?a2cosA?

2bca2?c2?b2cosB?

2aca2?b2?c2cosC?

2aceg2：在?ABC中，已知a=22，b =23，c=6?2，求三內(nèi)角A、B、C。

解：由余弦定理可知

b2?c2?a2(23)2?(6?2)2?(22)22 cosA???2bc22?23?(6?2)

?A?45?

a2?c2?b21cosB??

2ac2?B?60?

從而C?180??(A?B)?75? 變式練習(xí)：

1、若例1中條件不變，如何求出?A、?B？

2、在不等邊?ABC中，a為最大邊，且a2?b2?c2，求A的范圍。

四、課堂小結(jié)

1、余弦定理是任何三角形之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例.2、余弦定理有兩個(gè)基本應(yīng)用：一是已知兩邊及它們的夾角，求第三邊, 二是已知三邊求角.五、布置作業(yè)

1、平行四邊形兩角鄰邊的長(zhǎng)分別為46和43，它們的夾角為45?，求這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)與它們面積。

2、在?ABC中，已知a?84,b?56,c?74，求A及S?ABC

3、課外思考：

余弦定理和正弦定理反映了三角形邊、角之間的度量關(guān)系，本質(zhì)上是一致的，你能證明這兩個(gè)定理是等價(jià)的嗎？

第三篇：余弦定理教案

《余弦定理》教學(xué)案例

天印高級(jí)中學(xué)張梅

一、教材分析及設(shè)計(jì)思路

1、教材分析

“余弦定理”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（數(shù)學(xué)必修5）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個(gè)重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出，學(xué)生不是被動(dòng)的、消極的知識(shí)的接受者，而是主動(dòng)的、積極的知識(shí)的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識(shí)獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

2、設(shè)計(jì)思路

根據(jù)“情境--問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境--提出問題--解決問題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計(jì)：

（1）創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景

（2）啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決問題時(shí)需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊

（3）為了解決提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過作邊BC的垂線得到兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達(dá)式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時(shí)，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系

（4）由學(xué)生獨(dú)立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問題

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握余弦定理及其證明方法；

2、會(huì)運(yùn)用余弦定理解三角形；

能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律和歸納總結(jié)的思維能力，以及觀察、分析、類比、計(jì)算能力；

德育目標(biāo)：

通過知識(shí)間的聯(lián)系，體現(xiàn)事物的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一；

教學(xué)重難點(diǎn)：

余弦定理的推導(dǎo)、證明及應(yīng)用；

教法學(xué)法：

教師的“引導(dǎo)式教學(xué)”和學(xué)生的“研究性學(xué)習(xí)”相結(jié)合二、教學(xué)過程

Ⅰ、設(shè)置情境

自動(dòng)卸貨汽車的車箱采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿 BC的長(zhǎng)度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為

1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°20′，AC的長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算BC的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）。

Ⅱ、提出問題

師：大家想一想，能否把這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題？（數(shù)學(xué)建模）

能，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的長(zhǎng)。

師：能用正弦定理求解嗎？為什么？

不能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；已知三角形的兩角與一邊，求角的對(duì)邊。

師：這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是什么？

在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

III、解決問題

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是怎樣處理的？ 先從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。（特殊化）

可以先在直角三角形中試探一下。

直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C為直角）斜三角形ABC中（如圖

3），過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（聯(lián)想構(gòu)造）師：垂足 D一定在邊BC上嗎？

不一定，當(dāng)角 C為鈍角時(shí)，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上。

（分類討論，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問題）

在銳角三角形 ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC

又 BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)

2=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C

=a 2 +b 2-2abcosC

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA

b 2 =a 2 +c 2-2accosB

在鈍角三角形 ABC中，不妨設(shè)角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長(zhǎng)線于D，在直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C

=a 2 +b 2-2abcosC

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA

b 2 =a 2 +c 2-2accosB

同理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA

b 2 =a 2 +c 2-2accosB

師：大家回想一下，在證明過程易出錯(cuò)的地方是什么？

IV、反思應(yīng)用

師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系，請(qǐng)大家考慮一下，余弦定理能夠解決哪些問題？

知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。

余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

師：請(qǐng)同學(xué)們用余弦定理解決本節(jié)課開始時(shí)的問題。

（請(qǐng)一位同學(xué)將他的解題過程寫在黑板上）

解：由余弦定理，得BC≈1.89(m)

答：頂桿BC約長(zhǎng)1.89m。

師：大家回想一想，三角形中有六個(gè)元素，三條邊及三個(gè)角，知道其中任意三個(gè)元素，是否能求出另外的三個(gè)元素？

不能，已知的三個(gè)元素中，至少要有一個(gè)邊。

師：解三角形時(shí)，何時(shí)用正弦定理？何時(shí)用余弦定理？

已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角或兩角與一角的對(duì)邊，解三角形時(shí)，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解三角形時(shí)，利用余弦定理。鞏固練習(xí)：課本第 9頁練習(xí)2、3、4三、教學(xué)反思

本課中教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了落實(shí)。

第四篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個(gè)重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個(gè)三角形全等”。同時(shí)學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，使學(xué)生能更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。

三、教學(xué)問題診斷分析

1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對(duì)余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對(duì)余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。

3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學(xué)支持條件分析

為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，將精力放在對(duì)定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。

五、教學(xué)過程

（一）教學(xué)基本流程

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2?！驹O(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單入手，從而通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學(xué)生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學(xué)生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學(xué)生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。

師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡(jiǎn)便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì)有什么想法？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂趣。

學(xué)生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。

學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設(shè)計(jì)意圖】：通過以上平面幾何知識(shí)、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

四、目標(biāo)檢測(cè)

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對(duì) 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡(jiǎn)捷、和諧、對(duì)稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

學(xué)案

1．2 余弦定理

班級(jí)學(xué)號(hào)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標(biāo)檢測(cè)

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對(duì) 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡(jiǎn)bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內(nèi)角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長(zhǎng)為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對(duì)邊，且cosC（1）求角B的大??；（2）若b?

??，a?c?4，求a的值；

第五篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創(chuàng)）

余弦定理

一、教材依據(jù)：人民教育出版社（A版）數(shù)學(xué)必修5第一章 第二節(jié)

二、設(shè)計(jì)思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，是解三角形這一章知識(shí)的一個(gè)重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識(shí)、向量、三角形有著密切的聯(lián)系。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

2、學(xué)情分析：這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理及有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)入對(duì)余弦定理的學(xué)習(xí)，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)熟悉了探索新知識(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，具備了一定的分析能力。

3、設(shè)計(jì)理念：由于余弦定理有較強(qiáng)的實(shí)踐性，所以在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，創(chuàng)設(shè)了一些數(shù)學(xué)情景，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，自己去分析、探索和證明。激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

4、教學(xué)指導(dǎo)思想：根據(jù)當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際和本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，我采用的是“問題教學(xué)法”，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，提出探究性問

找到解決問題的方法。

三、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

理解并掌握余弦定理的內(nèi)容，會(huì)用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角度量問題

2．過程與方法：

通過實(shí)例，體會(huì)余弦定理的內(nèi)容，經(jīng)歷并體驗(yàn)使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發(fā)展用數(shù)學(xué)工具解答現(xiàn)實(shí)生活問題的能力。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想。通過余弦定理的應(yīng)用，感受余弦定理在解決現(xiàn)實(shí)生活問題中的意義。

四、教學(xué)重點(diǎn)：

通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應(yīng)用它們解三角形及求解有關(guān)問題。

五、教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的靈活應(yīng)用

六、教學(xué)流程：

(一)創(chuàng)設(shè)情境，課題導(dǎo)入：

1、復(fù)習(xí)：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學(xué)生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

設(shè)計(jì)意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)量化

師生活動(dòng)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出課題：余弦定理

（二）設(shè)置問題，知識(shí)探究

1、探究：我們可以先研究計(jì)算第三邊長(zhǎng)度的問題，那么我們又從那些角度研究這個(gè)問題能得到一個(gè)關(guān)系式或計(jì)算公式呢？ 設(shè)計(jì)意圖：期望能引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動(dòng)：從某一個(gè)角度探索并得出余弦定理

2、①考慮用向量的數(shù)量積：如圖 A

C

??????設(shè)CB?a,CA?b,AB?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcosCB 即cab222?a?b?2abcosC,引導(dǎo)學(xué)生證明22222

?b?c?2bccosA?c?a?2cacosB2②還 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用此法來進(jìn)行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學(xué)生自己總結(jié)，教師補(bǔ)充完整）

（三）典型例題剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教師分析、點(diǎn)撥并板書證明過程

總結(jié)：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是關(guān)于三角形三邊和一個(gè)角的一個(gè)關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

設(shè)計(jì)意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)式子作某種變形，從而得到解決其他類型的數(shù)學(xué)問題，這是一種基本的研究問題的方法。

師生活動(dòng)：對(duì)余弦定理作某些變形，研究變形后所得關(guān)系式的應(yīng)用。因此應(yīng)把重點(diǎn)引導(dǎo)到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。

引入余弦定理的推論：cosA=cosB=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosC=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

若A為銳角，則 cosA>0, 從而b2+c2>a2

若A為鈍角，則 cosA﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求A、B、C例2:已知在?ABC中,a?23,b?22,c?

先讓學(xué)生自己分析、思索，老師進(jìn)行引導(dǎo)、啟發(fā)和補(bǔ)充，最后師生一起求解。

總結(jié)：對(duì)于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內(nèi)角和定理求出第三角。（可以先讓學(xué)生歸納總結(jié)，老師補(bǔ)充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學(xué)生板練，師生共同評(píng)判

3、三角形形狀的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

（教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，運(yùn)用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關(guān)系來判定，在運(yùn)算過程中，盡可能地把角的關(guān)系化為邊的關(guān)系；二是利用角之間的關(guān)系來判定，將邊化成角。

變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

讓學(xué)生板練，發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行糾正。

（四）課堂檢測(cè)反饋：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,則A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形

（五）課時(shí)小結(jié)：

（學(xué)生自己歸納、補(bǔ)充，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和歸納概括能力，教師總結(jié)）

運(yùn)用多種方法推導(dǎo)出余弦定理，并靈活運(yùn)用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。

（六）課后作業(yè)：課本第10頁A組3（2）、4（2）；B組第2題

（七）教學(xué)反思：

本堂課的設(shè)計(jì)，立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，注重提出問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受到了創(chuàng)造的苦和樂，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。