第一篇：余弦定理 三角函數(shù)（模版）

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它

們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c 三角為A,B,C，則滿足性質——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2)/(2·a·b)

cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2·b·c)

（物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有a＝b·cos C＋c·cos B，b＝c·cos A＋a·cos C，c＝a·cos B＋b·cos A。

編輯本段余弦定理證明

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

三倍角公式

sin3a=3sina-4(sina)^3

cos3a=4(cosa)^3-3cosa

tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

積化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

誘導公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

萬能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

第二篇：84正弦、余弦定理綜合——三角形形狀、三角函數(shù)最值、解三角形

江蘇省淮陰中學2009高一數(shù)學學案NO5編制：上官志薇 正弦、余弦定理綜合——三角形形狀、三角函數(shù)最值、解三角形

【典例練講】

例1：?ABC中，AB=1,AC=2，?A的平分線AD=1，（1）求?ABC的面積；

（2）求BC邊上的中線長.例

2、如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，問：點B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大？

例

3、在△ABC中,根據(jù)下列條件，判定三角形形狀。

（1）?B?60o,2b?a?c

（2）(a?b?c)(a?b?c)?3ab,sinAsinB?3

4例

4、求證：頂點在單位圓上的銳角三角形各角的余弦和小于該三角形的周長之半。

第三篇：余弦定理說課稿

1.1.2 余弦定理說課

尊敬的各位評委、老師，大家好！

今天我說課的題目是：余弦定理，下面我將從教材分析，教學目標，教學重難點，教法學法、教學過程、教學反思等方面對本課題進行分析說明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

余弦定理是人教版普通高中課程標準實驗教科書第一章第一節(jié)的內容，在此之前學生已經(jīng)學習過了勾股定理、平面向量、正弦定理等相關知識，這為過渡到本節(jié)內容的學習起著鋪墊作用。本節(jié)內容實質是學生已經(jīng)學習的勾股定理的延伸和推廣，它描述了三角形重要的邊角關系，將三角形的“邊”與“角”有機的聯(lián)系起來，實現(xiàn)邊角關系的互化，為解決斜三角形中的邊角求解問題提供了一個重要的工具，同時也為在日后學習中判斷三角形形狀，證明三角形有關的等式與不等式提供了重要的依據(jù).二、學情分析

基于高二學生的理解能力、思維特征和生理特征，在課堂教學中，一方面要充分利用多媒體，引發(fā)學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學生發(fā)表見解，發(fā)揮學生學習的主動性。

三、教學目標

基于以上對教材的認識，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，我認為本節(jié)課的教學目標有：

1.知識與技能：熟練掌握余弦定理的內容及公式，能初步應用余弦定理解決一些有關三角形邊角計算的問題；

2.過程與方法:掌握余弦定理的兩種證明方法，通過探究余弦定理的過程學會分析問題從特殊到一般的過程與方法，提高運用已有知識分析、解決問題的能力；

3.情感態(tài)度與價值觀：在探究余弦定理的過程中培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新意識，形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維方式，培養(yǎng)用數(shù)學觀點解決問題的能力和意識.四、教學重難點

1、教學重點：余弦定理的內容和公式的掌握，余弦定理在三角形邊角計算中的運用；

2、教學難點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明；

五、教學過程

為達到本節(jié)課的教學目標、突出重點、突破難點，在教材分析、確定教學目標和合理選擇教法與學法的基礎上，我把教學過程設計為以下四個階段：創(chuàng)設情境、引入課題；探索研究、構建新知；例題講解、鞏固練習；課堂小結，布置作業(yè)。具體過程如下：

1.創(chuàng)設情境，引入課題 利用多媒體引出如下問題：

A地和B地之間隔著一個水塘（如圖所示）現(xiàn)選擇一地點C，可以測得∠C的大小及BC=，AC=，求 A、B兩地之間的距離c.【設計意圖】由于學生剛學過正弦定理，一定會采用剛學的知識解題，但 由于無法找到一組已知的邊及其所對角，從而產(chǎn)生疑惑，激發(fā)學生探索欲望.2.探索研究、構建新知

(1)由于初中接觸的是解直角三角形的問題，所以我將先帶領學生從特殊情況△ABC為直角三角形（∠C=90°）時考慮。此時使用勾股定理，得c2=a2+b2.(2)從直角三角形這一特殊情況出發(fā)，引導學生在一般三角形中構造直角即作BC邊的高AD，從而在構造的直角三角形中利用勾股定理列出邊之間的等式關系.(3)考慮到我們所作的圖為銳角三角形，討論上述結論能否推廣到△AB為鈍角三角形（∠C>90°）中.通過解決問題可以得到在任意三角形中都有c2=a2+b2-2ab cosC，之后讓同學們類比出a2、b2.這樣我就完成了對余弦定理的引入，之后總結給出余弦定理的內容及公式表示.【設計意圖】通過創(chuàng)設情景、引導學生探究出余弦定理這一數(shù)學體驗，既可以培養(yǎng)學生分析問題的能力，也可以加深學生對余弦定理的認識.在學生已學習了向量的基礎上，考慮到新課改中要求使用新工具、新方法，我會引導同學類比向量法證明正弦定理的過程嘗試使用向量的方法證明余弦定理.之后引導學生對余弦定理公式進行變形，用三邊值來表示角的余弦值，給出余弦定理的第二種表示形式，這樣就完成了新知的構建.根據(jù)余弦定理的兩種形式，我們可以利用余弦定理解決以下兩類解斜三角形的問題：(1)已知三邊，求三個角；

(2)已知三角形兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角.3.例題講解、鞏固練習

本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握使用余弦定理解決問題的方法。其中例題先以學生自己思考解題為主，教師點評后再規(guī)范解題步驟及板書，課堂練習請同學們自主完成，并請同學上黑板板書，從而鞏固余弦定理的運用.例題講解：

例1 在中，(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=4,b=5,c=6，求A.【設計意圖】例題1分別是通過已知三角形兩邊及其夾角求第三邊，已知三角形三邊求其夾角，這樣余弦定理的兩個形式分別得到了運用，進而鞏固了學生對余弦定理的運用.例2 對于例題1(2)，求,BC的大小.【設計意圖】已經(jīng)求出了A的度數(shù)，學生可能會有兩種解法：運用正弦定理或運用余弦定理，比較正弦定理和余弦定理，發(fā)現(xiàn)使用余弦定理求解角的問題可以避免解的取舍問題.例3 使用余弦定理證明：在中，當C為銳角時，a2+b2>c2；當C為鈍角時，a2+b2

練習1 在中，(1)已知b=4,c=7,A=60°,求a;(2)已知a=7,b=5,c=3，求A.【設計意圖】檢驗學生是否掌握余弦定理的兩個形式，鞏固學生對余弦定理的運用.練習2 若三條線段長分別為5，6，7，則用這三條線段（）.A．能組成直角三角形

B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形

D.不能組成三角形

【設計意圖】與例題3相呼應.練習3 在 △ABC中，a2+b2+ab=c2，試求C的大小.【設計意圖】要求靈活使用公式，對公式進行變形.4．課堂小結，布置作業(yè)

先請同學對本節(jié)課所學內容進行小結，教師再對以下三個方面進行總結：

(1)余弦定理的內容和公式；

(2)余弦定理實質上是勾股定理的推廣；

(3)余弦定理的可以解決的兩類解斜三角形的問題.通過師生的共同小結，發(fā)揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養(yǎng)學生的歸納和概括能力.布置作業(yè)

必做題：習題1.2 1、2、3、5、6； 選做題：習題1.2 12、13.【設計意圖】作業(yè)分為必做題和選做題.針對學生素質的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高.各位老師，以上所說只是我預設的一種方案，但課堂是千變萬化的，會隨著學生和教師的臨時發(fā)揮而隨機生成.預設效果如何，最終還有待于課堂教學實踐的檢驗.本說課一定存在諸多不足，懇請老師提出寶貴意見，謝謝.

第四篇：余弦定理說課稿（范文模版）

余弦定理說課稿

教材分析：（說教材）。

<<正弦定理、余弦定理>>是全日制普通高級中學教科書（必修）數(shù)學第一冊(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的一個重要定理。這堂課，我并不是將余弦定理全盤呈現(xiàn)給學生，而是從實際問題的求解困難，造成學生認知上的沖突，從而激發(fā)學生探索新知識的強烈欲望。

另外，本節(jié)與教材其他課文共性是，都要掌握定理內容及證明方法，會解決相關的問題。

下面說一說我的教學思路。

教學目的：通過對教材的分析鉆研制定了教學目的：

1．掌握余弦定理的內容及證明余弦定理的向量方法，會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.培養(yǎng)學生在方程思想指導下解三角形問題的運算能力。3.培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的思維能力。

4.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識的聯(lián)系理解事物之間普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學重點：余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具。余弦定理是初中學習的勾股定理同角的拓廣，也是前階段學習的三角函數(shù)知識與平面向量知識在三角形中的交匯應用。本節(jié)課的重點內容是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及基本應用，其中發(fā)現(xiàn)余弦定理的過程是檢驗和訓練學生思維品質的重要素材。教學難點：

余弦定理是勾股定理的推廣形式，勾股定理是余弦定理的特殊情形，勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中，起到奠基作用，因此分析勾股定理的結構特征是突破發(fā)現(xiàn)余弦定理這個難點的關鍵。教學方法：

在確定教學方法之前，首先分析一下學生：我所教的是課改一年級的學生。他們的基礎比正常高中的學生要差許多，拿其中一班學生來說：數(shù)學入學成績及格的占50%左右，相對來說教材難度較大，要求教師吃透教材，選擇恰當?shù)慕虒W方法和教學手段把知識傳授給學生。

根據(jù)教材和學生實際，本節(jié)主要采用“啟發(fā)式教學”、“講授法”、“演示法”，并采用電教手段使用多媒體輔助教學。

1.啟發(fā)式教學：

利用一個工程問題創(chuàng)設情景，啟發(fā)學生對問題進行思考。在研究過程中，激發(fā)學生探索新知識的強烈欲望。2.練習法：通過練習題的訓練，讓學生從多角度對所學定理進行認識，反復的練習，體現(xiàn)學生的主體作用。3.講授法：充分發(fā)揮主導作用，引導學生學習。

這節(jié)課準備的器材有：計算機、大屏幕。教學程序：

1.復習正弦定理（2分鐘）：安排一名同學上黑板寫正弦定理。

2.設計精彩的新課導入（5分鐘）：利用大屏幕演示一座山，先展示，后出現(xiàn)B、C，再連成虛線，并閃動幾下，閃動邊AB、AC幾下，再閃動角A的陰影幾下，可測得AC、AB的長及∠A大小.問你知道工程技術人員是怎樣計算出來的嗎？

一下子，學生的注意力全被調動起來，學生一定會采用正弦定理，但很快發(fā)現(xiàn)∠B、∠C不能確定，陷入困境當中。

3.探索研究，合理猜想。

當AB=c,AC=b一定,∠A變化時,a可以認為是A的函數(shù),a=f(A),A∈(0,∏)

比較三種情況,學生會很快找到其中規(guī)律.-2ab的系數(shù)-1、0、1與A=0、∏/

2、∏之間存在對應關系.教師指導學生由特殊到一般，經(jīng)比較分析特例，概括出余弦定理，這種促使學生主動參與知識形成過程的教學方法，既符合學生學習的認知規(guī)律，又突出了學生的主體地位?！笆谌艘贼~”，不如“授人以漁”，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，探究知識，建構知識，對學生來說，既是對數(shù)學研究活動的一種體驗，又是掌握一種終身受用的治學方法。4.證明猜想，建構新知

接下來就是水到渠成，現(xiàn)在余弦定理還需要進一步證明，要符合數(shù)學的嚴密邏輯推理，鍛煉學生自己寫出定理證明的已知條件和結論，請一位學生到黑板寫出來，并請同學們自己進行證明。教師在課中進行指導，針對出現(xiàn)的問題，結合大屏幕打出的正確過程進行講解。

在大屏幕打出余弦定理，為了促進學生記憶，在黑板上讓學生背著寫出定理，也是當堂鞏固定理的方法。5.操作演練，鞏固提高。

定理的應用是本節(jié)的重點之一。我分析題目，請同學們進行解答，在難點處進行點撥。以第二題為例，在求A的過程中學生會產(chǎn)生分歧，一部分采用正弦定理，一部分采用余弦定理，其實兩種做法都可得到正確答案，形成解法一和解法二。在這道例題中進行發(fā)散思維的訓練，（在上例中，能否既不使用余弦定理，也不使用正弦定理，求出∠A？）

啟發(fā)一:a視為B與C兩點間的距離，利用B、C的坐標構造含A的等式

啟發(fā)二：利用平移，用兩種方法求出C’點的坐標，構造等式。使學生的思維活躍，漸入新的境界。每次啟發(fā)，或是針對一般原則的提示，或是在學生出現(xiàn)思維盲點處點撥，或是學生“簡單一跳未摘到果子”時的及時提醒。

6．課堂小結：

告訴學生余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例。

7.布置作業(yè)：書面作業(yè) 3道題

作業(yè)中注重余弦定理的應用，重點培養(yǎng)解決問題的能力。

第五篇：余弦定理學案

1.1正弦定理和余弦定理 ?

探究案

Ⅰ.質疑探究——質疑解惑、合作探究

探究一：課本中余弦定理是用（）法證明的，也就是說，在△ABC中，已知BC=a，AC=b及邊BC，AC的夾角C，則=（），所以BA2=（）=（），即c=（）

探究二：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

【歸納總結】

1.熟悉余弦定理的（），注意（）,（），（）等。

2.余弦定理是（）的推廣，（）是余弦定理的特例.3.變形：（），（），（）。

3.余弦定理及其推論的基本作用為：

（1）

（2）

例1． 在△ABC中，已知a?2，c?6?2，B?45，求b及A。

【規(guī)律方法總結】

1.當已知三角形的兩邊及其夾角三角形時，可選用（）求解。

2.在解三角形時，如果（）與（）均可選用時，那么 求邊時（），求角是最好（）原因是（）

例2．（1）在△ABC中，已知a?42,b?4,c?2(6?2)，解三角形。

（2）在△ABC中，已知a:b:c?2::3?1，求△ABC的各角。

【拓展提升】 在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC?3:2:4，判斷△ABC 的形狀。

2例3．在?ABC中，a、b、c分別是?A，?B，?C的對邊長。已知b?ac，且2?

a2?c2?ac?bc，求?A的大小及bsinB的值。c

課后作業(yè)

基礎鞏固-----------把簡單的事情做好就叫不簡單！

1.在△ABC中，已知a?2,b?2,c?3?1，則A等于（）

A．30B.135C.45D.120

2.在△ABC中，已知a?b?c?bc，則A為（）

A．222??????2??2?B.C.D.或 3336

33.若三條線段的長分別為5、6、7，則用這三條線段（）

A．能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形

D．不能組成三角形

4.已知△ABC中，a=6 ,b=3 ,C=2?，c=

35.(2012,福建理)已知△ABC的三邊長分別是2x,2x,22x（x>0）,則其最大角的余弦值

6.（2012，北京理）在△ABC中，若a?2,b?c?7,cosB??

綜合應用--------------挑戰(zhàn)高手，我能行！

7.在不等邊三角形ABC中，a是最大邊，若a?c?b，則A的取值范（）

A．90?A?180B.45?A?90C.60?A?90 B.0?A?90

8.在△ABC中,已知a+b+c=2c(a+b),則角C=

9.若△ABC的內角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a?b)?c?4且C=

值為

拓展探究題------------戰(zhàn)勝自我，成就自我10.在△ABC中，已知a=2，b=2,（a+b+c）(b+c-a)=(2?2)bc，解三角形。

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC?

（1）求cosC； 224442221,則b=4222?????????，則ab的3????????5CA?，且a?b?9，求c．（2）若CB?

2課后檢測案

1.△ABC中，若AB?5，AC?3，BC?7，則A 的大小為（）

A．150 ?B．120C．60D．30

2???2.在△ABC中，若c

A.60°?a2?b2?ab，則∠C=（）C.150°D.120°B.90°

3.在△ABC中,若a=7,b=8,cosC=13/14,則最大角的余弦為()1111B.?C.?D.? 5678

4.邊長為5,7,8的三角形的最大角的余弦是（）.A.?A．?11111B．C．D．714147

ab?，cosBcosA5.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

則?ABC的形狀一定是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

6.已知?ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且a?2,b?3,cosB?則sinA 的值為． 4，512,13cosA?7.已知△ABC的面積是30，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若c?b?1，則a的值是.8.在△ABC中,若(a+c-b)tanB = 3ac,則角B的值為。2229.在?ABC中，若cosB?b? cosC2a?c

（1）求角B的大小

（2）若b?a?c?4，求?ABC的面積

10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB.（1）求cosB的值；

（2）若??2，且b?22，求a和c的值.