第一篇：1.1 正弦定理和余弦定理 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：理解并掌握正弦定理，能初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形；

技能目標(biāo)：理解用向量方法推導(dǎo)正弦定理的過程，進(jìn)一步鞏固向量知識，體現(xiàn)向量的工具性

情感態(tài)度價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

正弦定理

教學(xué)過程 講授新課

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又，則

.從而在直角三角形ABC中，思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：（證法一）如圖1．1-3，當(dāng)

ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根，則

.據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=

同理可得，從而.類似可推出，當(dāng)自己推導(dǎo)）ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）

等價(jià)于。

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如

；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

課堂小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

或，（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

課后習(xí)題

板書

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識概述

主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個(gè)定理去解斜三角形，學(xué)會用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認(rèn)識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況．

二、重點(diǎn)知識講解

1、三角形中的邊角關(guān)系

在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關(guān)系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時(shí)除

以在此方法推導(dǎo)過程中，要注意對

面積公式的應(yīng)用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 分析：

在正弦定理中，由

進(jìn)而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題． 解：

可以把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當(dāng)C=30°時(shí)，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當(dāng)C=150°時(shí)，由A－B=90°得B為負(fù)值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．

解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時(shí)化邊為角，要么同時(shí)化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問題要周密、嚴(yán)謹(jǐn)．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運(yùn)用方程的思想．

例

5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運(yùn)用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：

設(shè)邊長為x(1

設(shè)x=t，則1

－5)=16t

三、難點(diǎn)剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時(shí)，將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解三角形的各種情況．

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)（如下圖），也可利用正弦定理進(jìn)行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．

2、用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，等式便成為方程．式中有四個(gè)量，知道任意三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個(gè)數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第三篇：《正弦定理和余弦定理》教學(xué)反思

《正弦定理、余弦定理》教學(xué)反思

我對教學(xué)所持的觀念是：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的是：“在掌握知識的同時(shí)，領(lǐng)悟由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想方法，要在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方式是“主動、探究、合作。”現(xiàn)代教育應(yīng)是開放性教育，師生互動的教育，探索發(fā)現(xiàn)的教育，充滿活力的教育?？墒沁@些說起來容易，做起來卻困難重重，平時(shí)我在教學(xué)過程中迫于升學(xué)的壓力，課堂任務(wù)完不成的擔(dān)心，總是顧慮重重，不敢大膽嘗試，畏首畏尾，放不開，走不出以知識傳授為主的課堂教學(xué)形式，教師講的多，學(xué)生被動的聽、記、練，教師唱獨(dú)角戲，師生互動少，這種形式單一的教法大大削弱了學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣，壓抑了學(xué)生的思維發(fā)展，從而成績無法大幅提高。今后要改變這種狀況，我想在課堂上多給學(xué)生發(fā)言機(jī)會、板演機(jī)會，創(chuàng)造條件，使得學(xué)生總想在老師面前同學(xué)面前表現(xiàn)自我，讓學(xué)生在思維運(yùn)動中訓(xùn)練思維，讓學(xué)生到前面來講，促進(jìn)學(xué)生之間聰明才智的相互交流。

三角形中的幾何計(jì)算的主要內(nèi)容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是對正、余弦定理的拓展和強(qiáng)化，可看作前兩節(jié)課的習(xí)題課。本節(jié)課的重點(diǎn)是運(yùn)用正弦定理和余弦定理處理三角形中的計(jì)算問題，難點(diǎn)是如何在理解題意的基礎(chǔ)上將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。在求解問題時(shí)，首先要確定與未知量之間相關(guān)聯(lián)的量，把所求的問題轉(zhuǎn)化為由已知條件可直接求解的量上來。為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，我是從這幾方面體現(xiàn)的：我在這節(jié)課里所選擇的例題就考常出現(xiàn)的三種題型：解三形、判斷三角形形狀及三角形面積，題目都是很有代表性的，并在學(xué)生練習(xí)過程中將例題變形讓學(xué)生能觀察到此類題的考點(diǎn)及易錯點(diǎn)。這節(jié)課我試圖根據(jù)新課標(biāo)的精神去設(shè)計(jì)，去進(jìn)行教學(xué)，試圖以“問題”貫穿我的整個(gè)教學(xué)過程，努力改進(jìn)自己的教學(xué)方法，讓學(xué)生的接受式學(xué)習(xí)中融入問題解決的成份，企圖把講授式與活動式教學(xué)有機(jī)整合，希望在學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識的同時(shí)，能夠發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，但我覺得自己還有如下幾點(diǎn)做得還不夠：①課堂容量中體來說比較適中，但由于學(xué)生的整體能力比較差，沒有給出一定的時(shí)間讓同學(xué)們進(jìn)行討論，把老師自己認(rèn)為難的，學(xué)生不易懂得直接讓優(yōu)等生進(jìn)行展示，學(xué)生缺乏對這幾個(gè)題目事先認(rèn)識，沒有引起學(xué)生的共同參與，效果上有一定的折扣；②沒有充分挖掘?qū)W生探索解題思路，對學(xué)生的解題思維只給出了點(diǎn)評，而沒有引起學(xué)生對這一問題的深入研究，例如對于運(yùn)用正弦定理求三角形的角的時(shí)候，出了給學(xué)生們常規(guī)方法外，還應(yīng)給出老教材中關(guān)于三角形個(gè)數(shù)的方法，致少應(yīng)介紹一下；③沒有很好對學(xué)生的解題過程和方法進(jìn)行點(diǎn)評，沒起到“畫龍點(diǎn)睛”的作用。④ 00

第四篇：《正弦定理和余弦定理》測試卷

《正弦定理和余弦定理》學(xué)習(xí)成果測評

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為()

A.一個(gè)解B.二個(gè)解C.無解D.無法確定

2．在△ABC

中，若a?2,b?c??A的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=()

A.60?B.45?C.120?D.30?

4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B?

45，c?

b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升：

AB的取值范圍是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.?

14B.1

422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC

11.等腰三角形底邊長為6，一條腰長12，則它的外接圓半徑為()

12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．鈍角?ABC的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ????

sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB

5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長為_____.綜合探究：

17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc

參考答案：

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22

∴∠A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當(dāng)∠A=60?時(shí)，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45?

bsinC2sin15?6?2當(dāng)∠A=120?時(shí)，∠C=15?，c?.???sinB2sin45

解法2：設(shè)c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2

222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當(dāng)c?時(shí)，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時(shí)，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2

bc?6.∵，sinBsinC當(dāng)c?

csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120

∴當(dāng)C?60時(shí)，A?75； ?????

當(dāng)C?120時(shí)，A?15，；

所以A?75或A?15．

7.由余弦定理的推論得： ????

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?0.5543,?cosA?A?56020?；

c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

? cosB?B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222??

a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2

∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號即可。

選項(xiàng)A不能構(gòu)成三角形； ??

22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項(xiàng)B中最大角的余弦值為2?2?34

32?42?52

?0，故該三角形為直角三角形； 選項(xiàng)C中最大角的余弦值為：2?4?3

42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項(xiàng)D中最大角的余弦值為2?4?58

14.120?

1516.4綜合探究：

17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長，∵?ABC為鈍角三角形

∴當(dāng)C為鈍角時(shí) a2?b2?c2

?0，∴cosC?2ab

∴a?b?c?0, 即a?b?c

∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222

a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C

=?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC

222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc

又由正弦定理得bsinB?，csinC

a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC

sin(A?B)?2sinBcosA sinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC

sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC

sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc?

又由余弦定理得

a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc

(a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c

a2?b2

?.c2

第五篇：正弦定理余弦定理練習(xí)

正弦定理和余弦定理練習(xí)

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.