第一篇：2.2直接證明與間接證明學(xué)案(含答案)

§2.2直接證明與間接證明學(xué)案

審核簽名：編制：編制時間： 3月4日 完成所需時間： 40分鐘班級姓名第小組 一．自主測試

1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.2.若a＞b＞0,則a+b+

b

11a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

3.要證明

3+

7＜

25，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）.③綜合法

2①反證法②分析法

4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)

②假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) ③假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù) ④假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)

5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的條件.二．典例分析

例1（1）設(shè)a,b,c＞0,證明：

a

2b

?

b

2c

?

c

a

≥a+b+c.abc

（2）已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2＞

例2（1?

1?xy

1?yx

（a

+

b

+

c)

?（2）已知a＞0,求證：

a

?

1a

≥a+

1a

-2.例3 若x,y都是正實數(shù)，且x+y＞2, 求證：

＜2與＜2中至少有一個成立.三．鞏固練習(xí)

1.用反證法證明“如果a＞b,那么a

＞b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=loga

c?b,q=log?

c?

1?2

??，則p,q的大小關(guān)系

?

a?

b??

是.3.設(shè)S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號是.①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a ③b*(b*b)=b

④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號是.6.對于任意實數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論： ①對于任意實數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②對于任意實數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號）

7.（教材）在△ABC中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a, b, c且A,B,C成等差數(shù)列，a, b, c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形。

8.（教材）已知1?tan?3sin24cos22?tan?

?1,求證????

9.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于

14.參考答案

一，自主測試

1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.答案充分

2.若a＞b＞0,則a+b+

b1

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

答案＞ 3.要證明

+

7＜

2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）.③綜合法

①反證法答案②

②分析法

4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù) ②假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) ③假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù) ④假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù) 答案②

5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的條件.答案充要 二．典例分析

例1設(shè)a,b,c＞0,證明：

a

b

?

b

c

?

c

a

≥a+b+c.證明∵a,b,c＞0，根據(jù)基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,b

c

a

+a≥2c.三式相加：即

a

bc

+

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).b

+

b

c

+

a

≥a+b+c.變.已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a+b+c＞

abc

（a

+

+

c).證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴上面三個式子中都不能取“=”，22

2∴a+b+c＞ab+bc+ac, ∵ab+bc≥2ab+ac≥2

abc,bc+ac≥2

abc,abc,又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴ab+bc+ac＞∴a2+b2+c2＞

abc

（a

a

+

b

b

+

c

c),abc

(++).例2（1）略（2）已知a＞0,求證： 證明要證只要證

a

a

?

1a

≥a+

1a

-2.a1a

?

1a

1a

≥a++

1a

-2,2分

?

+2≥a+.?

∵a＞0,故只要證?

??

a

?

1a

??2?

??

≥（a+

1a

+）,6分

即a2+

1a

+

4a

?

1a

+4

≥a2+2+

a

+2

1??

2?a??+2,a??a

1a

8分 10分

從而只要證2

只要證4??a

?

1a

≥

1??

2?a??,a??

??

?

1?12

?≥2（a+2+2?2a?a）,即a+

≥2,而該不等式顯然成立，14分

故原不等式成立.例3若x,y都是正實數(shù)，且x+y＞2, 求證：

1?xy

＜2與

1?xy

1?yx

＜2中至少有一個成立.1?yx

證明假設(shè)則有

1?xy

＜2和

1?yx

＜2都不成立，≥2和≥2同時成立，因為x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，因此

一、填空題

1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果a＞b,那么答案a

a

1?xy

＜2與

1?yx

＜2中至少有一個成立.＞b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是=b或a

＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

?b

2?,q=logc?

??

1a?

???b?，則p,q的大小關(guān)系

3.設(shè)S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號是.①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a ③b*(b*b)=b 答案②③④

4.如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）答案銳角鈍角

5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號是

.④(a*b)*［b*(a*b)］=b

答案①

6.對于任意實數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論： ①對于任意實數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②對于任意實數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號）答案②③

二、解答題 7.略，8略

9.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于.41證明方法一假設(shè)三式同時大于，即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,111

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞

164

.1?a?a?

又(1-a)a≤???

2??

=,同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.方法二假設(shè)三式同時大于，41

∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1?a)?b

≥

(1?a)b

＞

=,同理

(1?b)?c

＞,232

(1?c)?a

＞,三式相加得＞,這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，∴原命題正確.

第二篇：直接證明與間接證明-分析法學(xué)案(!)

2.2.2直接證明與間接證明—分析法

班級：姓名：

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：

（1）結(jié)合教學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法之一：分析法（2）通過教學(xué)實例，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)

（3）通過教學(xué)實例了解分析法的思考過程、特點(diǎn)；體會分析法和綜合法的聯(lián)系與區(qū)別【學(xué)習(xí)過程】：

變式練習(xí)1：求證?7?22?5

自主學(xué)習(xí)

1：從要證明的，逐步需尋求是它成立的，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、、、等），這種證明方法叫分析法。

2：分析法是一種?…?，它的特點(diǎn)是。

合作學(xué)習(xí)

1：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？

2：綜合法與分析法的區(qū)別是什么？

課堂練習(xí)

例1：求證：3?7?2

例2.如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F, 求證：AF⊥SC

變式訓(xùn)練2：已知a?0，求證a2?1a2

?2?a?1a?2

【課后檢測】：

1：校本教材P55頁作業(yè)與測試。

第三篇：直接證明與間接證明學(xué)案(陳學(xué)俊整理)[推薦]

興化市文正實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)學(xué)案（選修2-2）第二章 推理與證明2013/3/

21§2.2.1直接證明

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；

2.會用綜合法、分析法證明問題；

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】會用綜合法、分析法證明問題；

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用.【學(xué)習(xí)過程】

一、復(fù)習(xí)回顧，新課引入：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明，本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法。

1：兩類基本的證明方法2：直接證明的兩中方法:和.二、學(xué)習(xí)過程

問題1：已知四邊形ABCD是平行四邊形，求證：AB=CD,BC=DA

D

新知：一般地,利用

經(jīng)過一系列的推理論證,最后導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫綜合法.練習(xí)：

1.已知a,b?0, 求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc.2.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.問題2.求證：

a?b2?ab（a>0，b>0）

新知：從出發(fā)，逐步，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.這種證明方法叫分析法.練習(xí)：1.求證3?7?2

52.求證：3?2?6?5

小結(jié)：綜合法與分析法從書寫形式看，有何特點(diǎn)？

三、課堂練習(xí)：

1.已知?,??k?????cos??2sin?,2(k?Z),且sin

sin??cos??sin2?,2.課本P84練習(xí)：1,4四、課后作業(yè)：鳳凰新學(xué)案練習(xí)本P41-4

422求證:1?tan?1?tan2??1?tan?2(1?tan2?).§2.2.2間接證明

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；

2.了解反證法的思考過程、特點(diǎn);

3.會用反證法證明問題.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】了解反證法的思考過程、特點(diǎn)

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】反證法的思考過程、特點(diǎn)

【學(xué)習(xí)過程】

一、復(fù)習(xí)回顧：

1：直接證明的兩種方法2：綜合法的特點(diǎn)：，分析法的特點(diǎn)：

二、學(xué)習(xí)新知

問題1：將9個球分別染成紅色或白色,那么無論怎樣染,至少有5個球是同色的,你能證明這個結(jié)論嗎?

問題2：在一個三角形的3個內(nèi)角中，至少有兩個銳角，為什么？請說明理由。

新知：一般地，假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)，從而證明了原命題.這種證明方法叫.反證法證明的步驟：

三、例題講解

例1.證明：2,3,5不可能成等差數(shù)列.練習(xí)：求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60?.例2．求證：正弦函數(shù)沒有比2?小的正周期。

練習(xí)：

1.若 求證：

都為實數(shù)，且中至少有一個大于0.，，2.設(shè)a3?b3?2，求證a?b?2.例3．證明2不是有理數(shù)。

練習(xí): 已知x,y?0,且x?y?2.求證:

四、課堂練習(xí)：課本1?x1?y,yx中至少有一個小于2.P863，4,5P45-46

五、布置作業(yè)：鳳凰新學(xué)案練習(xí)本

§2.3數(shù)學(xué)歸納法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟;

2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解.【學(xué)習(xí)過程】

第四篇：直接證明與間接證明-反證法習(xí)題課學(xué)案

2.2.2直接證明與間接證明—反證法

班級：姓名：

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：

（1）了解間接證明的一種方法—反證法及其思維過程，特點(diǎn)

（2）通過反證法的學(xué)習(xí)，體會直接證明與間接證明之間的辯證關(guān)系，掌握對立與統(tǒng)一的思想和方法（3）通過反證法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)慎密思維的習(xí)慣，開拓數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值。

【學(xué)習(xí)過程】：

1：反正法是的一種基本方法，假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后的出，應(yīng)此說明假設(shè)，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法。

2：用反證法證明命題的步驟，大體上分為：

（1）反證：假設(shè)原命題的結(jié)論，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）歸謬：從出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；（3）結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確。課堂練習(xí)

例1：求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)例

：

已

知

a,b,c

是互不相等的實數(shù)，求證：

y?ax2?2bx?c,y?bx2?2cx?a和y?cx2?2ax?b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有

兩個不同的交點(diǎn)，變式訓(xùn)練：若下列三個方程：x2?4ax?4a?3?0,x2?(a?1)x?a2=0，x2?2ax?2a?0

中至少有一個方程有實根，求a的范圍。

例3：求證當(dāng)x2?bx?c2?0有兩個不相等的非零實根時bc?0

變式訓(xùn)練：已知實數(shù)p滿足不等式(2p?1)(p?2)?0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2?2x?5?p2?0無實根

【課后檢測】： 校本教材P75課時作業(yè)

第五篇：2.2直接證明與間接證明(學(xué)生學(xué)案)

SCH數(shù)學(xué)題庫（學(xué)生學(xué)案）班級座號姓名請到QQ群208434765或高二數(shù)學(xué)備課組百度文庫下載答案

例

2.2直接證明與間接證明（學(xué)生學(xué)案）（1）2.2.1綜合法和分析法（1）--綜合法

1（課本P36例）：已知a,b>0,求證

2a(b?

c)?

b(2c?)a?4abc

布置作業(yè)：

A組：

1、若a?0,b?0，且a＋b＝4，則下列不等式中恒成立的個數(shù)是____（個）（寫出所有正確的情況）

例2（課本P37例3）：在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)111111

?②??1③ab?2④2?

ab2aba?b282、（課本P44習(xí)題2.2A組：NO：1）已知A,B都是銳

①

列,求證△ABC為等邊三角形.例3：已知a,b?R?,求證aabb?abba

.例

4、若實數(shù)x?1，求證：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.例5．設(shè)函數(shù)f(x)對任意x，y?R，f(x?y)?f()x?，且f(yx?0時，f(x)?0．（1）證明f(x)為奇函數(shù)；

（2）證明f(x)在R上為減函數(shù)．

角，且A?B?

?,(1?tanA)(1?tanB)?2,，求證：A?B?

?

.3、（課本P44習(xí)題2.2 A組：NO：2）

4、在△ABC中，已知(a?b?c)(a?b?c)?3a，b且2cosAsiBn?sCi．判斷n△ABC的形狀． 都有