第一篇：課時(shí)作業(yè)39 直接證明與間接證明

課時(shí)作業(yè)39 直接證明與間接證明

時(shí)間：45分鐘 分值：100分

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應(yīng)用了()

A．分析法

B．綜合法

C．綜合法、分析法綜合使用

D．間接證明法

解析：因?yàn)樽C明過程是“從左往右”，即由條件?結(jié)論． 答案：B

2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－a2b2≤0

44a＋bB．a(chǎn)2＋b2－1－20

?a＋b?2C.2－1－a2b2≤0

D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因?yàn)閍2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D

3．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()

A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)

C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)

D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

解析：“恰有一個(gè)偶數(shù)”的對(duì)立面是“沒有偶數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”．

答案：B

4．設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b，a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．

其中正確判斷的個(gè)數(shù)為()

A．0

C．2B．1 D．3

解析：①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個(gè)．

答案：C

5．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證b－ac<3a”索的因應(yīng)是()

A．a(chǎn)－b>0

C．(a－b)(a－c)>0B．a(chǎn)－c>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：b－ac<3a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.答案：C

6．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1，3a－4f(2)＝a的取值范圍是()a＋

13A．a(chǎn)<4

3C．a(chǎn)>4a<－13B．a(chǎn)<4a≠－1 3D．－11，可得f(2)<－1，3a－43即－1，解得－1

答案：D

二、填空題(每小題5分，共15分)

7．設(shè)a＝3＋22，b＝27，則a，b的大小關(guān)系為________． 解析：a＝3＋2，b＝2＋7兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋7，顯然，6<7.∴a

8．用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：________.解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”．

答案：a，b，c，d全是負(fù)數(shù)

9．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝x＋1圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．

1解析：由條件得cn＝an－bn＝n＋1－n，∴cn隨nn＋1＋n的增大而減?。郼n＋1

三、解答題(共55分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程)

10．(15分)若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，d＋a

11．(20分)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的增函數(shù)．

(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)寫出(1)中的命題的逆命題，判斷真假并證明你的結(jié)論． 解：(1)∵函數(shù)y＝f(x)是R上的增函數(shù)，又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)逆命題：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.真命題．

證明如下：

假設(shè)a＋b<0，∵y＝f(x)是R上的增函數(shù)，∴當(dāng)a<－b時(shí)，f(a)

當(dāng)b<－a時(shí)，f(b)

∴f(a)＋f(b)

12．(20分)設(shè)f(x)＝ex－1.當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，證明：f(x)>x2－2ax.證明：欲證f(x)>x2－2ax，即ex－1>x2－2ax，也就是ex－x2＋2ax－1>0.可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，則u′(x)＝ex－2x＋2a.令h(x)＝ex－2x＋2a，則h′(x)＝ex－2.當(dāng)x∈(－∞，ln2)時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)在(－∞，ln2]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(ln2，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在[ln2，＋∞)上單調(diào)遞增．

所以h(x)的最小值為h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.因?yàn)閍>ln2－1，所以h(ln2)>2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h(ln2)>0.所以u(píng)′(x)＝h(x)>0，即u(x)在R上為增函數(shù)．

故u(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．所以u(píng)(x)>u(0)．

而u(0)＝0，所以u(píng)(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.即當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，f(x)>x2－2ax.

第二篇：直接證明和間接證明(4個(gè)課時(shí))教案

2．2直接證明與間接證明

教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；

（3）能根據(jù)實(shí)際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法；

（4）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學(xué)建議：

1．知識(shí)結(jié)構(gòu):（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應(yīng)用）==〉（綜合應(yīng)用）

2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的a-b>0．這種證法就是求差比較法．

由于當(dāng)b>0時(shí),a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號(hào)”．

其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)的數(shù)(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列已知條件推導(dǎo)變換，推導(dǎo)出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結(jié)論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結(jié)論）

④分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對(duì)于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更實(shí)用.（5）關(guān)于分析法與綜合法關(guān)系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，逐步地推導(dǎo)，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論已知.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的． 第一課時(shí) 不等式的證明（比較法）教學(xué)目標(biāo)

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學(xué)重點(diǎn):

比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點(diǎn):

常見的變形技巧.教學(xué)方法； 啟發(fā)引導(dǎo)法.教學(xué)過程：（－）導(dǎo)入新課

教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過（不等式的性質(zhì)）的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大??？

找學(xué)生回答問題．

（學(xué)生回答：，，）

［點(diǎn)評(píng)］要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

作差比較法

[問題] 求證

教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題． ［本問點(diǎn)評(píng)］

①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據(jù)是：

④由 需證明，知：要證明

只需證

；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng)．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．

證明：∵

＝

＝，∴ ．

［本例點(diǎn)評(píng)］

①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào);

②作差后，式子符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定;

③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知

都是正數(shù)，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝ ．

因?yàn)?所以

∴ 都是正數(shù)，且

． ．，即：

[本例點(diǎn)評(píng)]

①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào);

②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法;例

3、已知a,b都是實(shí)數(shù),且a?b,求證a?b?ab?ab3322

證明:(a?b)?(ab?ab)?(a?ab)?(ab?b)222233223223

2?a(a?b)?b(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)(a?b)

?a,b?0,?a?b?0又?a?b?(a?b)?0

2故(a?b)(a?b)?0即(a?b)?(ab?ab)?0 23322?a?b?ab?ab3322

[本例點(diǎn)評(píng)]

①作差后是通過分組，提取公因式對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，化成n 個(gè)括號(hào)相乘的形式，從而推出差的符號(hào);

②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——分組，提取公因式法;求商比較法：

例1 已知a,b是正數(shù),求證ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.abba證明:ababbaba?aa?bbb?a?a?????b?a?b

根據(jù)要證的不等式的特點(diǎn)(交換a,b的位置,不等式不變)?a?不妨設(shè)a?b?0,則?1,a?b?0,???b?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.?ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立.abbaaa?b?1小結(jié)：作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式．

（最后是與1比較）

(三)課堂練習(xí)

教師指定練習(xí)題，要求學(xué)生獨(dú)立思考．完成練習(xí)；請甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．

練習(xí)：1．求證，求證

2．已知，，d都是正數(shù)，且

目的:掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào)．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

（四）布置作業(yè)

2、已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3

．

2x3、求證：2?1x?

14、求證：1?q?q?q(q?0)734

5、設(shè)a,b?R

a?b?,求證：ab?(ab)ab2

第二課時(shí) 綜合法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 綜合法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標(biāo) 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維習(xí)慣,加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進(jìn)一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實(shí)提高學(xué)生的思想道德品質(zhì).●教學(xué)重點(diǎn)

1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)?B1?B2???Bn?B(結(jié)論).運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式時(shí),要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)a?b2?ab,對(duì)a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).ab?ba(4)當(dāng)a,b同號(hào)時(shí)有(5)a?b?c333

3≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).?3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào).(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào).●教學(xué)難點(diǎn)

“由因?qū)Ч睍r(shí),從哪個(gè)不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點(diǎn).●教學(xué)過程 1.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個(gè)重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)a?b2?2ab,(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào);2+(4)ab≤a?b2,(a,b∈R);ab≤（ab2)2,(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào);

(5)ab?b（6）aa?b?c≥2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)；

?3333abc,(a,b,c∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)；

+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào).今天，我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“比較法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.2.講授新課

一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。

下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右

333邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）

22證法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性質(zhì)定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù)，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①,②,③三式也不能全取“=”號(hào).由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數(shù).222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結(jié)：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時(shí)，要善于直接運(yùn)用或創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用基本不等式，其中拆項(xiàng)、并項(xiàng)、分解、組合是變形的重要技巧.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為Q: P?1

Q1?Q2 Q2?Q3

…

Qn?Q

特點(diǎn):“由因?qū)Ч?/p>

例2：在△ＡＢＣ中，三個(gè)內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差數(shù)列可得什么?Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形． 由a,b,c成等比數(shù)列可得什么?

3、課堂練習(xí)

1、在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數(shù)列，求證： 1a+b1b+c3a+b+c

+=

4、課后作業(yè)

1．a(chǎn)

A．a(chǎn)b+

C．

1a?1b

2（）

?1

a2B．|a|>－b ?b22 D．b>a

2．a(chǎn),b∈R，M=,A?a?b2,G?ab,H?11a?21b，則M、A、G、H間的大小關(guān)系是（）

A．M≥A≥G≥H

B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H

D．A≥G≥H≥M 3．0

A．a(chǎn)+b 2

2（）

B．a(chǎn)+b

C．2ab

D．2ab

4、已知a2＋b2＋c2＝1，求證：

2≤ab＋bc＋ca≤1.5、已知：a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：bca?acb?abc?a?b?c

第三課時(shí) 分析法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 分析法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標(biāo)

分析法證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),加強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點(diǎn)

分析法證明不等式,就是“執(zhí)果索因”,從所證的不等式出發(fā),不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時(shí),有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決,特別對(duì)于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又??只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡寫為:B?B1?B2??Bn?A.●教學(xué)難點(diǎn)

1.理解分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(guān)(分析推理)步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等.●教學(xué)過程

1.課題導(dǎo)入

［師］隨著我們對(duì)不等式證明學(xué)習(xí)的逐步深入,我們還會(huì)遇到這樣的問題:面對(duì)一個(gè)不等式的證明而一籌莫展,無計(jì)可施,由題設(shè)不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標(biāo)不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路,從而達(dá)到證明不等式的目的.今天,我們根據(jù)這種基本思路,繼續(xù)探討學(xué)習(xí)證明不等式的又一種重要方法——分析法.2.講授新課

證明不等式時(shí),有時(shí)可以從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、定理或以證明的定理、性質(zhì)等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法

下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.例1 求證基本不等式a?b2?ab(a?0,b?0)

例2 求證2?7?3?6 證明: ?所以要證2?2?7和3?7?26都是正數(shù),6,6),23?只需證(2?7)?(3?展開得9?214?9?218,只需證14?18，只需證14?18,?14?18成立,所以2? 7?3?6成立.說明：證明某些含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”

入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.例2 已知?，??k??sin?+cos?=2sin?,sin??cos??sin? 1?tan?1?tan?求證：?221?tan?2(1?tan?)222?2(k?Z)且

3.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時(shí),其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證??成立,只需證??”或采用符號(hào)“?”或 “?”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優(yōu)點(diǎn)是,當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)不等式的證明而一籌莫展,無法下手時(shí),它給我們提供了一個(gè)方法,即從目標(biāo)不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的過程中,會(huì)逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路.因此,分析法從本質(zhì)上說,只是對(duì)問題作嘗試與探索的過程(即執(zhí)果索因).在運(yùn)用“分析法”時(shí),典型的錯(cuò)誤是把所證不等式當(dāng)作已知條件,如證明命題“若A則B”,錯(cuò)誤地寫成:“因?yàn)锽成立,則??”.希望同學(xué)們很好掌握

4、課堂練習(xí)

課本89頁 練習(xí)1,2,3.5、課后作業(yè)

1．6?22與5?7的大小關(guān)系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：2a?1?2b?1?22.3．若x,y是正實(shí)數(shù)，x?y?1，求證：(1?)(1?)?9

xy114．已知

1?tan?2?tan??1，求證：3sin2???4cos2?

第4課時(shí)

反證法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.反證法的概念.2.反證法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握反證法的概念.2.理解反證法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進(jìn)行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡單推理能力與思維能力.●教學(xué)重點(diǎn) 1.理解反證法的推理依據(jù).2.掌握反證法證明命題的方法.3.反證法證題的步驟.●教學(xué)難點(diǎn) 理解反證法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反證法:先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對(duì)于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.例1 已知x,y?0,且x?y?2,試證1?x1?y,中至少有一個(gè)小于2.yx

證明:假設(shè)1?x1?y1?x1?y,都不小于2,即?2,且?2,yxyx?x,y?0,?1?x?2y, 1?y?2x,?2?x?y?2(x?y)?x?y?2,這與已知條件x?y?2矛盾.?1?xy與1?yx中至少有一個(gè)小于2

1例

2、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大于4

證：設(shè)(1 ? a)b >4,(1 ? b)c >4,(1 ? c)a >4，1則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①

?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1?b)b?14(1?c)c?142?14

同理：，1以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 與

①矛盾

∴原式成立

例3如果a??，b??，且a//b，已知直線a，b和平面?，?a

求證： a//??bp例

4、求證：2是無理數(shù)

3.課時(shí)小結(jié)

反證于以下兩種情形

(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類討論而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情形.常見否定用語

是－－－不是

有－－－沒有 等－－－不等

成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一個(gè)不是 都有－－不都有，即至少有一個(gè)沒有

都不是－部分或全部是，即至少有一個(gè)是 唯一－－至少有兩個(gè)

至少有一個(gè)有（是）－－全部沒有（不是）至少有一個(gè)不－－－－－全部都

4、課堂練習(xí)

課本 91頁 練習(xí)1,2

5、作業(yè)布置

課本 91頁 1,2,4

補(bǔ)充教案

放縮法

●教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

（一）1.放縮法的概念.2.放縮法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握放縮法的概念.2.理解放縮法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo)：證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),加強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點(diǎn) 1.理解放縮法的推理依據(jù).2.掌握放縮法證明命題的方法.●教學(xué)難點(diǎn) 理解放縮法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反

放縮法:證明不等式時(shí),通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關(guān)項(xiàng)之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項(xiàng)得到簡化而有利于代數(shù)變形,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、縮適當(dāng),否則就不能達(dá)到目的,因此放縮法是技巧性較強(qiáng)的一種證法.例1 已知a,b,c,d?R?,求證1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c ?2證明: ?a,b,c,d?0,?aa?b?c?dba?b?c?dca?b?c?dda?b?c?d????aa?b?dbb?c?acc?d?bdd?a?c

把以上四個(gè)不等式相加 得a?b?c?da?b?c?d 即1?aa?b?d112?aa?b?d?b?bb?c?a?c?cc?b?d?d?dd?a?c?2?a?ba?b?c?dc?d.b?c?a?131n22c?b?a1n2d?a?c例

2、求證： ∴112?122????21證明：

?13???1n?1?1n1n2?1n(n?1)1n?1n?1?1n

?122?132????1?1?12??2??

2、.課時(shí)小結(jié)

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個(gè)中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng);(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.如(a?1k212)?1234?(a?,1212);1,1k?2k?k?1,2

??k(k?1)k2k??k(k?1)1kk?1(以上k?2且k?N?)

4、課后作業(yè)

1、設(shè)x > 0, y > 0,a?x?y1?x?y, b?x1?x?y1?y，求證：a < b

111112、???????12nn?1n?22n(n?N)

?

第三篇：直接證明與間接證明

鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會(huì)用直接法證明一般的數(shù)

學(xué)問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；會(huì)用反證

法證明一般的數(shù)學(xué)問題 3.求證?7?25

自學(xué)導(dǎo)讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點(diǎn)：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實(shí)數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個(gè)不小于12.

第四篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導(dǎo)學(xué)案學(xué)科 數(shù)學(xué) 編號(hào) 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時(shí)間

班級(jí)：小組：姓名：小組評(píng)價(jià)：教師評(píng)價(jià)：課題：（直接證明與間接證明）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn) ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。

難點(diǎn) ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。

【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】①要求學(xué)生完成知識(shí)梳理和基礎(chǔ)自測題；限時(shí)完成預(yù)習(xí)案，識(shí)記基礎(chǔ)知識(shí)；②課前只獨(dú)立完成預(yù)習(xí)案，探究案和訓(xùn)練案留在課中完成預(yù)習(xí)案

一、知識(shí)梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．

(2)分析法

①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個(gè)明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎(chǔ)自測

1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設(shè)a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數(shù)f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列。

二、總結(jié)整理

訓(xùn)練案

一、課中訓(xùn)練與檢測

1.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)．現(xiàn)有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號(hào))

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個(gè)小于2.ab

第五篇：5直接證明與間接證明

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時(shí)以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時(shí)難度為高檔，分值約為4～8分.對(duì)于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個(gè)別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識(shí)為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關(guān)鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實(shí)質(zhì)上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件.因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對(duì)于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設(shè)錯(cuò)誤，從反面證明原命題成立.