第一篇：直接證明和間接證明復(fù)習(xí)教案

高三數(shù)學(xué)教案

【課題】直接證明和間接證明能力要求:A

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識與技能：了解直接證明的方法——綜合法和分析法；了解間接證明的方法——反證法 過程與方法：通過師生互動，讓學(xué)生掌握三種證明方法。

情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。

【重點與難點】

能應(yīng)用綜合法和分析法解決一些簡單的證明題。

一、知識回顧

1、綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的方法。其特點是由因?qū)Ч?/p>

2、分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推理過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）的方法。其特點是執(zhí)果索因

3、反證法：其證明步驟是

（1）提出假設(shè)——假設(shè)命題的 結(jié)論不成立。

（2）推出矛盾——從 已知條件和事實出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理。得出 矛盾的結(jié)果。

（3）得出結(jié)論——由 矛盾結(jié)果，斷定 假設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。

二、預(yù)習(xí)作業(yè)

1、比較大?。?/p>

2??

2、下列表述：（1）綜合法是執(zhí)因?qū)Чā＃?）綜合法是順推法。（3）分析法是執(zhí)因?qū)Ч?。?）分析法是間接證明法。（5）反證法是逆推法。正確的語句有 3個。

3、在用反證法證明命題時，“若x?0,y?0且x?y?2，則1?y1?x和中至少有一個xy

小于2”時，假設(shè)則1?y1?x和都不小于2xy4、已知?ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為（5，-2），（1，2），（10，3），則?ABC的形狀是直角三角形

5、若a?b?0，則下列不等式中總成立的是

11bb?1?b?（2）?baaa?

1112a?ba?（3）a??b?（4）aba?2bb（1）a?

6、方程lnx－6+2x=0的解x0，則滿足x?x0的最大整數(shù)解是

三、例題

例

1、在數(shù)列?an?中，a1?2,an?1?4an?3n?1,n?N*.(1)證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列。

(2)求數(shù)列?an?的前n項和sn

(3)證明不等式

例

2、?ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c為三個內(nèi)角A,B,C的對邊。求證：

sn?1?4sn對任意n?N*都成立。113?? a?bb?ca?b?c

例

3、若a,b,c均為實數(shù)，且a?x?2y?

證明：a,b,c中至少有一個大于0.2?3，b?y?2z?2?3,c?z2?2x??3，22變題：若下列三個方程：x?4ax?4a?3?0，x?(a?1)x?a?0，2x2?2ax?2a?0中至少有一個方程有實根，試求實數(shù)a的取值范圍。

四、學(xué)教小結(jié)

五、當(dāng)堂反饋

1、“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是多有一個鈍角。

?ABC的外接圓的圓心為O，2、兩條邊上的高的交點為H，OH?m(OA?OB?OC), 則實數(shù)m的值是

1直接證明和間接證明作業(yè)卷

1、函數(shù)y?f(x)是R上的偶函數(shù)，周期為2，當(dāng)2

22、若函數(shù)f(x)的圖像可由函數(shù)y?lg(1?x)的圖像繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90得到，則 0

f(x)x3、在Rt?ABC中，?A?90，AB=1,則??0

b?1（2）a?b?0?a?2?b?2 a

ab（3）a?b,c?d,abcd?0??cd（1）a?b?0?

4、給出下列命題：

（4）a?b?0,c?d?0?a?db其中真命題的序號是d5、若a,b,c,d,x,y是正實數(shù)，且P?的大小關(guān)系為ab?cd，Q?ax?cy?bd?，則P、Qxy6、p?2x4?1,q?2x3?x2,x?R，則p和q得大小關(guān)系是p?q7、設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為2，前n項的和為sn,sn?1,sn,sn?2成等差數(shù)列，則q的值為-

28、若a?b?0，求證：a??

9、已知為a非零常數(shù)，f(x?a)?a?b1?f(x)(x?R,f(x)?1)，試判斷f(x)是否1?f(x)

為周期函數(shù),證明你的結(jié)論。

（0，1）（1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能同時大于

10、已知a,b,c?,求證1。4

第二篇：直接證明和間接證明(4個課時)教案

2．2直接證明與間接證明

教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；

（3）能根據(jù)實際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法；

（4）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學(xué)建議：

1．知識結(jié)構(gòu):（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應(yīng)用）==〉（綜合應(yīng)用）

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的a-b>0．這種證法就是求差比較法．

由于當(dāng)b>0時,a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號”．

其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負的數(shù)(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列已知條件推導(dǎo)變換，推導(dǎo)出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結(jié)論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結(jié)論）

④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更實用.（5）關(guān)于分析法與綜合法關(guān)系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，逐步地推導(dǎo)，最后達到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論已知.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

③分析法的特點是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的． 第一課時 不等式的證明（比較法）教學(xué)目標(biāo)

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學(xué)重點:

比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點:

常見的變形技巧.教學(xué)方法； 啟發(fā)引導(dǎo)法.教學(xué)過程：（－）導(dǎo)入新課

教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過（不等式的性質(zhì)）的知識，我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運算來比較兩個實數(shù)與的大小？

找學(xué)生回答問題．

（學(xué)生回答：，，）

［點評］要比較兩個實數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

作差比較法

[問題] 求證

教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題． ［本問點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據(jù)是：

④由 需證明，知：要證明

只需證

；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．

證明：∵

＝

＝，∴ ．

［本例點評］

①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號;

②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定;

③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知

都是正數(shù)，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝ ．

因為 所以

∴ 都是正數(shù)，且

． ．，即：

[本例點評]

①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法;例

3、已知a,b都是實數(shù),且a?b,求證a?b?ab?ab3322

證明:(a?b)?(ab?ab)?(a?ab)?(ab?b)222233223223

2?a(a?b)?b(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)(a?b)

?a,b?0,?a?b?0又?a?b?(a?b)?0

2故(a?b)(a?b)?0即(a?b)?(ab?ab)?0 23322?a?b?ab?ab3322

[本例點評]

①作差后是通過分組，提取公因式對差式進行恒等變形，化成n 個括號相乘的形式，從而推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——分組，提取公因式法;求商比較法：

例1 已知a,b是正數(shù),求證ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時,等號成立.abba證明:ababbaba?aa?bbb?a?a?????b?a?b

根據(jù)要證的不等式的特點(交換a,b的位置,不等式不變)?a?不妨設(shè)a?b?0,則?1,a?b?0,???b?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時,等號成立.?ab?ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時,等號成立.abbaaa?b?1小結(jié)：作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式．

（最后是與1比較）

(三)課堂練習(xí)

教師指定練習(xí)題，要求學(xué)生獨立思考．完成練習(xí)；請甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習(xí)中存在的問題．

練習(xí)：1．求證，求證

2．已知，，d都是正數(shù)，且

目的:掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

（四）布置作業(yè)

2、已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3

．

2x3、求證：2?1x?

14、求證：1?q?q?q(q?0)734

5、設(shè)a,b?R

a?b?,求證：ab?(ab)ab2

第二課時 綜合法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點 綜合法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標(biāo) 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴謹周密的邏輯思維習(xí)慣,加強學(xué)生實踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實提高學(xué)生的思想道德品質(zhì).●教學(xué)重點

1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)?B1?B2???Bn?B(結(jié)論).運用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式時,要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)a?b2?ab,對a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.ab?ba(4)當(dāng)a,b同號時有(5)a?b?c333

3≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.?3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.●教學(xué)難點

“由因?qū)Ч睍r,從哪個不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點.●教學(xué)過程 1.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)a?b2?2ab,(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;2+(4)ab≤a?b2,(a,b∈R);ab≤（ab2)2,(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;

(5)ab?b（6）aa?b?c≥2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號；

?3333abc,(a,b,c∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號；

+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.今天，我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“比較法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.2.講授新課

一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。

下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右

333邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）

22證法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性質(zhì)定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

因為a,b,c為不全相等的正數(shù)，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數(shù).222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結(jié)：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進行不等式證明時，要善于直接運用或創(chuàng)設(shè)條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為Q: P?1

Q1?Q2 Q2?Q3

…

Qn?Q

特點:“由因?qū)Ч?/p>

例2：在△ＡＢＣ中，三個內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差數(shù)列可得什么?Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形． 由a,b,c成等比數(shù)列可得什么?

3、課堂練習(xí)

1、在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數(shù)列，求證： 1a+b1b+c3a+b+c

+=

4、課后作業(yè)

1．a(chǎn)

A．a(chǎn)b+

C．

1a?1b

2（）

?1

a2B．|a|>－b ?b22 D．b>a

2．a(chǎn),b∈R，M=,A?a?b2,G?ab,H?11a?21b，則M、A、G、H間的大小關(guān)系是（）

A．M≥A≥G≥H

B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H

D．A≥G≥H≥M 3．0

A．a(chǎn)+b 2

2（）

B．a(chǎn)+b

C．2ab

D．2ab

4、已知a2＋b2＋c2＝1，求證：

2≤ab＋bc＋ca≤1.5、已知：a,b,c為正實數(shù)，求證：bca?acb?abc?a?b?c

第三課時 分析法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點 分析法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求

1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實質(zhì)——執(zhí)果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標(biāo)

分析法證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學(xué)生認識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點

分析法證明不等式,就是“執(zhí)果索因”,從所證的不等式出發(fā),不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決,特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又??只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡寫為:B?B1?B2??Bn?A.●教學(xué)難點

1.理解分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(guān)(分析推理)步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等.●教學(xué)過程

1.課題導(dǎo)入

［師］隨著我們對不等式證明學(xué)習(xí)的逐步深入,我們還會遇到這樣的問題:面對一個不等式的證明而一籌莫展,無計可施,由題設(shè)不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標(biāo)不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路,從而達到證明不等式的目的.今天,我們根據(jù)這種基本思路,繼續(xù)探討學(xué)習(xí)證明不等式的又一種重要方法——分析法.2.講授新課

證明不等式時,有時可以從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、定理或以證明的定理、性質(zhì)等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法

下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.例1 求證基本不等式a?b2?ab(a?0,b?0)

例2 求證2?7?3?6 證明: ?所以要證2?2?7和3?7?26都是正數(shù),6,6),23?只需證(2?7)?(3?展開得9?214?9?218,只需證14?18，只需證14?18,?14?18成立,所以2? 7?3?6成立.說明：證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”

入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.例2 已知?，??k??sin?+cos?=2sin?,sin??cos??sin? 1?tan?1?tan?求證：?221?tan?2(1?tan?)222?2(k?Z)且

3.課時小結(jié)

這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時,其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證??成立,只需證??”或采用符號“?”或 “?”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優(yōu)點是,當(dāng)我們面對一個不等式的證明而一籌莫展,無法下手時,它給我們提供了一個方法,即從目標(biāo)不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的過程中,會逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路.因此,分析法從本質(zhì)上說,只是對問題作嘗試與探索的過程(即執(zhí)果索因).在運用“分析法”時,典型的錯誤是把所證不等式當(dāng)作已知條件,如證明命題“若A則B”,錯誤地寫成:“因為B成立,則??”.希望同學(xué)們很好掌握

4、課堂練習(xí)

課本89頁 練習(xí)1,2,3.5、課后作業(yè)

1．6?22與5?7的大小關(guān)系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：2a?1?2b?1?22.3．若x,y是正實數(shù)，x?y?1，求證：(1?)(1?)?9

xy114．已知

1?tan?2?tan??1，求證：3sin2???4cos2?

第4課時

反證法

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點 1.反證法的概念.2.反證法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握反證法的概念.2.理解反證法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡單推理能力與思維能力.●教學(xué)重點 1.理解反證法的推理依據(jù).2.掌握反證法證明命題的方法.3.反證法證題的步驟.●教學(xué)難點 理解反證法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反證法:先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.例1 已知x,y?0,且x?y?2,試證1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

證明:假設(shè)1?x1?y1?x1?y,都不小于2,即?2,且?2,yxyx?x,y?0,?1?x?2y, 1?y?2x,?2?x?y?2(x?y)?x?y?2,這與已知條件x?y?2矛盾.?1?xy與1?yx中至少有一個小于2

1例

2、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于4

證：設(shè)(1 ? a)b >4,(1 ? b)c >4,(1 ? c)a >4，1則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①

?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1?b)b?14(1?c)c?142?14

同理：，1以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 與

①矛盾

∴原式成立

例3如果a??，b??，且a//b，已知直線a，b和平面?，?a

求證： a//??bp例

4、求證：2是無理數(shù)

3.課時小結(jié)

反證于以下兩種情形

(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情形.常見否定用語

是－－－不是

有－－－沒有 等－－－不等

成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一個不是 都有－－不都有，即至少有一個沒有

都不是－部分或全部是，即至少有一個是 唯一－－至少有兩個

至少有一個有（是）－－全部沒有（不是）至少有一個不－－－－－全部都

4、課堂練習(xí)

課本 91頁 練習(xí)1,2

5、作業(yè)布置

課本 91頁 1,2,4

補充教案

放縮法

●教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)知識點

（一）1.放縮法的概念.2.放縮法證題的基本方法.(二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握放縮法的概念.2.理解放縮法證題的基本方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標(biāo)：證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學(xué)生認識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點 1.理解放縮法的推理依據(jù).2.掌握放縮法證明命題的方法.●教學(xué)難點 理解放縮法的推理依據(jù)及方法.●教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反

放縮法:證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關(guān)項之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數(shù)變形,從而達到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、縮適當(dāng),否則就不能達到目的,因此放縮法是技巧性較強的一種證法.例1 已知a,b,c,d?R?,求證1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c ?2證明: ?a,b,c,d?0,?aa?b?c?dba?b?c?dca?b?c?dda?b?c?d????aa?b?dbb?c?acc?d?bdd?a?c

把以上四個不等式相加 得a?b?c?da?b?c?d 即1?aa?b?d112?aa?b?d?b?bb?c?a?c?cc?b?d?d?dd?a?c?2?a?ba?b?c?dc?d.b?c?a?131n22c?b?a1n2d?a?c例

2、求證： ∴112?122????21證明：

?13???1n?1?1n1n2?1n(n?1)1n?1n?1?1n

?122?132????1?1?12??2??

2、.課時小結(jié)

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進)一些項;(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應(yīng)用基本不等式進行放縮.如(a?1k212)?1234?(a?,1212);1,1k?2k?k?1,2

??k(k?1)k2k??k(k?1)1kk?1(以上k?2且k?N?)

4、課后作業(yè)

1、設(shè)x > 0, y > 0,a?x?y1?x?y, b?x1?x?y1?y，求證：a < b

111112、???????12nn?1n?22n(n?N)

?

第三篇：5直接證明與間接證明

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5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關(guān)鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質(zhì)上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結(jié)論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，?？紤]用反證法來證明.一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設(shè)錯誤，從反面證明原命題成立.

第四篇：推理與證明-13.2 直接證明與間接證明(教案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

教案第十三編推理與證明主備人張靈芝總第67期

§13.2 直接證明與間接證明

基礎(chǔ)自測

1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.答案充分 2.若a＞b＞0,則a+答案＞

3.要證明3+7＜25，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）.①反證法 答案②

4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)；②假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)

③假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)；④假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù) 答案②

5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的條件.； 答案充要

②分析法

③綜合法

1b

b+

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

例題精講

例1設(shè)a,b,c＞0,證明：

a

2b

?

b

2c

?

c

a

≥a+b+c.a

證明∵a,b,c＞0，根據(jù)基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,c

c

a

+a≥2c.三式相加：

b

+

b

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).即

1a

b

+

b

c

1a

+

a

≥a+b+c.例2（14分）已知a＞0,求證： a2?證明要證a2?

1a

-2≥a+

1a

-2.1a

-2≥a+

1a

-2,只要證a2?

+2≥a++2.2分

?∵a＞0,故只要證?

??

a

?

1a

?1?2?≥（a++?a?

2）,2

6分

427

即a+

1a

+4a2?

1a

+4≥a+2+

??

1a

+22?a?

?

?

1?

?+2, a?

8分

從而只要證2a2?

只要證4??a?

1a

≥2?a?

1?

?,a?

10分

??1?112

?≥2（a+2+）,即a2+≥2,而該不等式顯然成立，故原不等式成立.14分 2?22a?aa

例3若x,y都是正實數(shù)，且x+y＞2,求證：證明假設(shè)

1?xy

1?xy

＜2與

1?xy

1?yx

＜2中至少有一個成立.1?yx

＜2和

1?yx

＜2都不成立，則有≥2和≥2同時成立，因為x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，因此

1?xy

＜2與

1?yx

＜2中至少有一個成立

.鞏固練習(xí)

1.已知a,b,c為互不相等的非負數(shù).求證：a2+b2+c2＞abc(a+b+c).證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c為互不相等的非負數(shù)，∴上面三個式子中都不能取“=”，∴a+b+c＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc2,ab+ac≥2a2bc,又a,b,c為互不相等的非負數(shù)，∴ab+bc+ac＞abc(a+b+c),∴a2+b2+c2＞abc(a++c).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,試用分析法證明不等式?a?

?

251??1??

證明要證?a???b??≥

4a??b??

?

251??1?

??b??≥

4a??b?

.,只需證ab+

a

?bab

?

1≥

54，只需證4(ab)+4(a+b)-25ab+4≥0,只需證4(ab)+8ab-25ab+4≥0, 只需證4(ab)2-17ab+4≥0,即證ab≥4或ab≤而由1=a+b≥2ab,∴ab≤

14,只需證ab≤

??

14，成立.顯然成立，所以原不等式?a?

251??1?

??b??≥

4a??b?

3.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于.證明方法一假設(shè)三式同時大于，即(1-a)b＞

4,(1-b)c＞

14,(1-c)a＞

14,428

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞同理（1-b）b≤

4?1?a?a?

.又(1-a)a≤??642??

=

14，(1-c)c≤

14,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.14

2方法二假設(shè)三式同時大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1?a)?b

≥(1?a)b＞=,同理

(1?b)?c

＞

12,(1?c)?a

＞

12,三式相加得

＞

32,這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，∴原命題正確

.回顧總結(jié)知識 方法

思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果a＞b,那么a＞b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是.答案a=b或a＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

?b

2?,q=logc?

??

1a?

?

?，則p,q的大小關(guān)系??

3.設(shè)S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號是.①（a*b）*a=a ③b*(b*b)=b答案②③④

②［a*(b*a)］*(a*b)=a ④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）

429

答案銳角鈍角

5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號是

.答案①

6.對于任意實數(shù)a,b定義運算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論： ①對于任意實數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②對于任意實數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.（寫出你認為正確的結(jié)論的所有序號）

答案②③

二、解答題

7.已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；

（3）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式.（1）證明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,?),∴bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.430

（2）證明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n.∵cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.將bn=3·2n-1代入得

cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為

a12

34的等差數(shù)列，它的首項c1==

12，故cn=

n-

(n=1,2,?).-2

（3）解∵cn=n-=

(3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n(n=1,2,?)

當(dāng)n≥2時，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也適合于此公式，所以{an}的前n項和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I2＜4S.證明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c為任意三角形三邊長，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S ∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c為正實數(shù),a+b+c=1.求證：（1）a2+b2+c2≥

;(2)3a?2+ 3b?2+3c?2≤6.13

證明（1）方法一a2+b2+c2-13

=

(3a2+3b2+3c2-1)=

［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］

=(3a+3b+3c-a-b-c-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)+(b-c)+(c-a)］≥0∴a+b+c≥

.方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥

1313

.方法三設(shè)a=∴a+b+c=（+?,b=

+?,c=

+?.∵a+b+c=1,∴?+?+?=0

+?）+（+?）+（+?）=

+

(?+?+?)+?+?+?

222

431

=

+?2+?2+?2≥

∴a2+b2+c2≥

.=

3a?32

(2)∵3a?2=(3a?2)?1≤

3a?2?1,同理3b?2≤

3b?32,3c?2≤

3c?32

∴3a?2+3b?2+3c?2≤

x?2x?1

3(a?b?c)?9

=6∴原不等式成立.10.已知函數(shù)y=ax+(a＞1).（1）證明：函數(shù)f(x)在（-1,+∞)上為增函數(shù)；

（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.證明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1,∴ax2?x1＞1且ax1＞0, ∴a∴

x2

-ax1=ax1(ax2?x1-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,-x1?2x1?1

x2?2x2?1

=

(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)

(x1?1)(x2?1)x2?2x2?1

=

3(x2?x1)(x1?1)(x2?1)

＞0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x1?2x1?1

＞0,故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù).x0?2x0?1

（2）方法一假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則ax0=-∵a＞1,∴0＜ax0＜1,∴0＜-x0?2x0?1

.＜1,即

＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒有負數(shù)根.方法二假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則②若x0＜-1,則

x0?2x0?1

＜-2,ax0＜1,∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾.x0?2x0?1

＞0,ax0＞0,∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數(shù)根.432

第五篇：直接證明與間接證明-分析法學(xué)案(!)

2.2.2直接證明與間接證明—分析法

班級：姓名：

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：

（1）結(jié)合教學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法之一：分析法（2）通過教學(xué)實例，了解綜合法的思考過程、特點

（3）通過教學(xué)實例了解分析法的思考過程、特點；體會分析法和綜合法的聯(lián)系與區(qū)別【學(xué)習(xí)過程】：

變式練習(xí)1：求證?7?22?5

自主學(xué)習(xí)

1：從要證明的，逐步需尋求是它成立的，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、、、等），這種證明方法叫分析法。

2：分析法是一種?…?，它的特點是。

合作學(xué)習(xí)

1：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？

2：綜合法與分析法的區(qū)別是什么？

課堂練習(xí)

例1：求證：3?7?2

例2.如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F, 求證：AF⊥SC

變式訓(xùn)練2：已知a?0，求證a2?1a2

?2?a?1a?2

【課后檢測】：

1：校本教材P55頁作業(yè)與測試。