第一篇：江南大學(xué)附中2014年高考數(shù)學(xué)一輪考前三級排查 推理與證明

江南大學(xué)附中2014年創(chuàng)新設(shè)計高考數(shù)學(xué)一輪簡易通考前三級排查：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．下列表述正確的是()

①演繹推理是由一般到特殊的推理；

②歸納推理是由部分到整體的推理；

③歸納推理是由一般到一般的推理；

④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③

【答案】D

2．設(shè)0?a?b，且f(x)＝B．①③④ C．③④⑤ D．①②⑤ 1??x

x2，則()

a?b)?f(ab)

2a?bC．f(ab)?f()?f(a)2A． f(b)?f（【答案】A a?b)?f(b)?f(ab)2a?bD．f(a)?f()?f(ab)2B． f（3．若a?33?10?，b?52?6?，c?11111?2?，則三個數(shù)的大小關(guān)系是()

A．c?b?a B． b?c?a C．c?a?b D．a(chǎn)?b?c

【答案】D

4．下列幾種推理是演繹推理的是()

A．在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?1?a??n?1??n?2?，由此歸納出?an?的通項公式 2?an?1?

B．某高校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得出高三所有班級的人數(shù)都超過50人。

C．由平面三角形的性質(zhì)，推測出空間四面體的性質(zhì)

D．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如果?A和?B是兩條直線的同旁內(nèi)角，則?A+?B??

【答案】D

5．用反證法證明命題：“a,b,c,d?R,a?b?1,c?d

少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為()

A．a(chǎn),b,c,d中至少有一個正數(shù)

C．a(chǎn),b,c,d中至多有一個負(fù)數(shù)

【答案】D

6．已知①正方形的對角線相等;②矩形的對角線相等;③正方形是矩形.根據(jù)”三段論”推理出一個結(jié)論。則這個結(jié)論是()

A．正方形的對角線相等

C．正方形是矩形

?1,且ac?bd?1,則a,b,c,d中至B．a(chǎn),b,c,d全為正數(shù) D．a(chǎn),b,c,d全都大于等于0 B．矩形的對角線相等 D．其他

1【答案】A

7．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60o ”時，應(yīng)該()

A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60 o C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60 o

大于60 o

【答案】B 8．函數(shù)y?x?

B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60 o

D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個

在(0,1]上是減函數(shù)，在[1,??)上是增函數(shù)；函數(shù)y?x?

在上是

xx

減函數(shù)，在??)上是增函數(shù)；函數(shù)y?x?

在上是減函數(shù)，在??)上是

x

3m

增函數(shù)；??利用上述所提供的信息解決問題：若函數(shù)y?x?(x?0)的值域是[6,??)，x

則實數(shù)m的值是()A．1 B．2

C．

3D．

4【答案】B

9．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度

C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度 【答案】B

A．a(chǎn),b沒有一個為0 C．a(chǎn),b至多有一個為0 【答案】A

11．用反證法證明：如果a＞b,?

A

?C

?

【答案】D

12．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切與三邊的中點”可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切與四面都為正三角形的什么位置？()

A．各三角形內(nèi)的點 B． 各正三角形的中心 C． 各正三角形的某高線上的點 【答案】B

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

13．對于函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間M?[a,b]（其中a?b），使得{y|y?f(x),x?M}?M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：①f(x)?x2?3x?4；②

D． 三條棱的中點

B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度

D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度

10．用反證法證明：“a,b至少有一個為0”，應(yīng)假設(shè)()

B．a(chǎn),b只有一個為0D．a(chǎn),b兩個都為0

其中假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

B

?D

?

?

(填出所有滿足條件的函數(shù)序號)． 【答案】②③

f(x)?|2x?1|；③f(x)?cos

?

④f(x)?ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有____________ x；

14．在平面幾何中，有“正三角形內(nèi)切圓半徑等于這個正三角形高的”。拓展到空間，類比平

3面幾何的上述正確結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的?！敬鸢浮?/p>

415．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)△ABC的頂點分別為A(0，a)，B(b，0)C(c，0)，點，a，b，c，p均為非零實數(shù)．直線BP、CP分別交P(0，p)是線段OA上一點（異于端點）

AC、AB于點E，F(xiàn)．一同學(xué)已正確地求出直線OE的方程為?你完成直線OF的方程：．

?11??11?

??x????y?0，請?bc??pa?

【答案】（1/c-1/b）x??

?11?

??y?0 pa??

16．下圖是選修1－2中《推理與證明》一章的知識結(jié)構(gòu)圖, 請把“①合情推理”，“② 類比推理”，“③綜合法”，“④反證法”，填入適當(dāng)?shù)姆娇騼?nèi).（填序號即可）。

【答案】

三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．求證： 6?【答案】要證：只需：6?

> 22?7 ?5>22?7

7>22?5成立，即證：

?7??2

2??

只需證：13+2

42> 13+240

即證：42>40

∵42>40顯然成立，∴ 6?

5>22?證畢。

18．已知每項均是正整數(shù)的數(shù)列A：a1,a2,a3,?,an，其中等于i的項有ki個(i?1,2,3???)，設(shè)bj?k1?k2???kj(j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?nm(m?1,2,3???)

.(Ⅰ）設(shè)數(shù)列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；

(Ⅱ）若數(shù)列A滿足a1?a2???an?n?100，求函數(shù)g(m)的最小值.【答案】（1）根據(jù)題設(shè)中有關(guān)字母的定義，k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)

b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)

g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.(2）一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?n，根據(jù)“數(shù)列A含有n項”及bj的含義知bm?1?n，故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1)①另一方面，設(shè)整數(shù)M所以g(1)?

?max?a1,a2,?,an?，則當(dāng)m?M時必有bm?n，g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)??

?1).所以g(m)的最小值為g(M下面計算g(M

?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)

?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM)

??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM)??(a1?a2?a3???an)?bM ??(a1?a2?a3???an)?n

∵a1?a2?a3???an?n?100，∴g(M∴g(m)最小值為?100.19．通過計算可得下列等式： 2-1=2×1+1 3-2=2×2+1 4-3=2×3+1 ??

(n+1）-n=2×n+1

將以上各式分別相加得：（n+1）-1=2×（1+2+3+?+n）+n n(n+1)即：1+2+3+?+n=2

類比上述求法：請你求出1+2+3+?+n的值.【答案】證明：2-1=3×1+3×1+1，3-2=3×2+3×2+14-3=3×3+3×3+1 ??

(n+1）-n=3×n+1+3×n+1

將以上各式分別相加得：（n+1）-1=3×(1+2+3+?+n)+3×（1+2+3?+n）+n（6分）.∴1+2+3+?+n 11+n3

= [(n+1)-1-n-3 n] 321

= n(n+1)(2n+1).6

20．已知a?0,b?0且a?b?2,求證:【答案】假設(shè)

?1)??100,1?b1?a

中至少有一個小于2.,ab

1?b1?a1?b1?a

都不小于2，則,?2,?2

abab

因為a?0,b?0，所以1?b?2a,1?a?2b，1?1?a?b?2(a?b)即2?a?b，這與已知a?b?2 相矛盾，故假設(shè)不成立 綜上

1?b1?a

中至少有一個小于2.,ab

113

??

a?bb?ca?b?c

a?b?ca?b?cca

【答案】要證原式，只要證??3,即??1

a?bb?ca?bb?c

21．?ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：即只要證c?a?b?ac,a2?c2?b21

而A?C?2B,B?60由余弦定理，有cosB=?

2ac2

整理得c?a?b?ac,于是結(jié)論成立，即

222

113

??

a?bb?ca?b?c

22．設(shè)?1,?2,?,?2008為2008個整數(shù)，且1??i?9（i?1,2,?,2008）。如果存在某個

k?{1,2,?,2008}，使得2008位數(shù)kk?1?20081?k?1被101整除，試證明：對一切i?{1,2,?,2008}，2008位數(shù) ii?1?20081?i?1均能被101整除。

【答案】根據(jù)已知條件，不妨設(shè)k＝1，即2008位數(shù)12?2008被101整除，只要能證明2008位數(shù)?2?3??2008?1能被101整除。事實上，A??1?2??2008

?102007?1?102006?2???10?2007??2008，B?23?20081?102007?2?102006?3???10?2008??1

從而有

10A?B?(102008?1)?1?[(104)502?1]?1?[(9999?1)502?1]?1?[9999N?1?1]?1，即有B?10A?9999N?1。因為101

A,1019999，所以101B。利用上述方法依次類推可以得到

對一切i?{1,2,?,2008}，2008位數(shù)ii?1?20081?i?1均能被101整除。

第二篇：2014高考數(shù)學(xué)考前20天沖刺 推理與證明

2014高考數(shù)學(xué)考前20天沖刺

推理與證明

1．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，n（n＋1）113，6，10，…，第n個三角形數(shù)為＋n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，222

以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：

11三角形數(shù) N(n，3)＝n2，22

正方形數(shù) N(n，4)＝n2，31五邊形數(shù) N(n，5)＝n2，22

六邊形數(shù) N(n，6)＝2n2－n，……

可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計算N(10，24)＝________．

解析：先根據(jù)給出的幾個結(jié)論，推測出當(dāng)k為偶數(shù)時，N(n，k)的表達(dá)式，然后再將n＝10，k＝24代入，計算N(10，24)的值．

?k?由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時，N(n，k)＝?－1?n2－?2?

?k2?n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.?2???

答案：1 000

2．定義映射f：A→B，其中A＝{(m，n)|m，n∈R}，B＝R，已知對所有的有序正整數(shù)對(m，n)滿足下述條件：

①f(m，1)＝1，②若n＞m，f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]，則f(2，2)＝________，f(n，2)＝________．

解析：在f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]中，令m＝1，n＝2，得f(2，2)＝2[f(1，2)＋f(1，1)]＝2(0＋1)＝2.令m＝n－1，n＝2，得f(n，2)＝2[f(n－1，2)＋f(n－1，1)]．若n＝1，則f(n，2)＝0；若n＝2，則f(n，2)＝2；若n＞2，則f(n，2)＝2[f(n－1，2)＋f(n－1，1)]＝2[f(n－1，2)＋1]，即f(n，2)＋2＝2[f(n－1，2)＋2]，故得f(n，2)＋2＝2·2n－1，故f(n，2)＝2n－2，此式對n＝1，2也成立．

答案：2 2n－2

3．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．

1V13S1h1111解析：＝·.V21S2h2428S2h23答案：1∶8

第三篇：高考數(shù)學(xué)推理與證明

高考數(shù)學(xué)推理與證明

1．（08江蘇10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n?3）從左向右的第3個數(shù)為▲.n2?n?6【答案】 2

【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個，即為22

n2?n?6． 2

2.（09江蘇8）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8

3.（09福建15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；

②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次

已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________.【答案】：5

解析：由題意可設(shè)第n次報數(shù)，第n?1次報數(shù)，第n?2次報數(shù)分別為an，an?1，an?2，所以有an?an?1?an?2，又a1?1,a2?1,由此可得在報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手5次。

4.（09上海）8.已知三個球的半徑R1，R2，R3滿足R1?2R2?3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關(guān)系是___________.?

【解析】S1?4?R1S1?22

S2?2R2S3?2R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1?

2R2?3R3?

5.（09浙江）15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1593C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125，1

………

由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?*

答案：24n?1???1?22n?1?！窘馕觥窟@是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項構(gòu)成，n

第二項前有??1?n，二項指數(shù)分別為24n?1,22n?1，因此對于n?N

n*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

第四篇：南京大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

南京大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．若P?a?a?7，Q?a?3?a?4，(a?0)則P、Q的大小關(guān)系是()

B．P＝Q

D．由a的取值確定 A．P＞Q C．P＜Q

【答案】C

2．如果正數(shù)a,b,c,d滿足a?b?cd?4，那么()

A． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值唯一

B． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值唯一

C． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值不唯一

D． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值不唯一

22【答案】A 3．用反證法證明命題：“如果a?b?0，那么a?b”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

A．a(chǎn)?b

C．a(chǎn)?b

【答案】C

4．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動點P,若滿足|PA|+|PB|=8,則|PA|的取值范圍是()

A．[1,4];B．[2,6];C．[3,5 ];D． [3,6].【答案】C

5．下面哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象較合適()

A．三角形B．平行四邊形

C．梯形D．矩形

【答案】B

6．下邊所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是()

A．2 B．4 C．6 D．2222B．a(chǎn)?b D．a(chǎn)?b且a?b 22222

2【答案】C

7．由7598139b?mb與之間大小關(guān)系為()?,?,?,?若a>b>0,m>0,則10811102521a?ma

B．前者大 C．后者大 D．不確定 A．相等

【答案】B

8．用反證法證明命題：“a,b,c,d?R,a?b?1,c?d

少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為()?1,且ac?bd?1,則a,b,c,d中至

A．a(chǎn),b,c,d中至少有一個正數(shù)

C．a(chǎn),b,c,d中至多有一個負(fù)數(shù) B．a(chǎn),b,c,d全為正數(shù) D．a(chǎn),b,c,d全都大于等于0

【答案】D

9．為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為()

A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7

【答案】C

2S10．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類a＋b＋c

比這個結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝()

V2VA．B．S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S

43V4VC．D． S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4

【答案】C

11．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．則假設(shè)的內(nèi)容是()

A．a(chǎn)，b都能被5整除

C．a(chǎn)不能被5整除

【答案】B B．a(chǎn)，b都不能被5整除D．a(chǎn)，b有1個不能被5整除

ax?a?x

12．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，S(x)?，2ax?a?x，其中a?0，且a?1，下面正確的運(yùn)算公式是()C(x)?2

①S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

②S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

③C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

④C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

A．①③

【答案】Ｄ

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

13．連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于

B．②④ C．①④ D．①②③④

．

【答案】

514．某同學(xué)在證明命題“

要證明7?7???2”時作了如下分析，請你補(bǔ)充完整.?6?2，只需證明____________,只需證明____________,＋2?9?2，即?,只需證明14?18,____________,展開得9

所以原不等式:7??6?2成立.22(7?2)?(6?)7?2??3【答案】,，因為14?18成立。

15．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第23個圖案中需用黑色瓷磚塊

.【答案】100

16．在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是 由6顆珠寶（圖中圓圈表示珠寶）構(gòu)成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾如圖2，第四件 首飾如圖3，第五件首飾如圖4，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量 的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第7件首飾上應(yīng)有____________顆珠寶。

【答案】9

1三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．

【答案】（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．

設(shè)a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1．

∵4(n2?n)是偶數(shù)，∴4n2?4n?1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．

18．有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個字母(不分大小寫),依次對應(yīng)1,2,3,?,26這26個自然數(shù),見如下表格

:

給出如下變換公式:

?x?1(x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2' X???x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??

285+1將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22

①按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？

②按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？

【答案】①g→7→7+115+1→d;o→15→→h;d→o;22

則明文good的密文為dhho

②逆變換公式為

'''??2x?1(x?N,1?x?13)x??' ''??2x?26(x?N,14?x?26)

則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o；

x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e

故密文shxc的明文為love

19．設(shè){an}和{bn}均為無窮數(shù)列．

(1）若{an}和{bn}均為等比數(shù)列，試研究：{an?bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論；若是等比數(shù)列，請寫出其前n項和公式．

(2）請類比（1），針對等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題（不必證明），并寫出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和公式（用首項與公差表示）．

【答案】（1）①設(shè)cn?an?bn，則設(shè)cn2n?12n?2n?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2))(a1q1n?2?b1q2

n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2

ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??(或）n?1cnan?bna1q1n?1?b1q2

當(dāng)q12?q2時，對任意的n?N,n?2，cn?cn?1cn?1（或cn?1?q1）恒成立，cn

故{an?bn}為等比數(shù)列；

?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n),q1?q2?1.?1?q1?

當(dāng)q1?q2時，2證法一：對任意的n?N,n?2，cn

證法二：c22?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比數(shù)列． 2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q12?q2)]?0，{an?bn}不是等比數(shù)列．

②設(shè)dn?anbn，對于任意n?N，*dn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比數(shù)列． dnanbn

?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2),qq?1.12?1?qq12?

(2）設(shè){an}，{bn}均為等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，則：

①{an?bn}為等差數(shù)列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)2

②當(dāng)d1與d2至少有一個為0時，{anbn}是等差數(shù)列，n(n?1)a1d2； 2

n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1． 2若d1?0，Sn?a1b1n?

③當(dāng)d1與d2都不為0時，{anbn}一定不是等差數(shù)列．

20．求證： 6?【答案】要證：

只需：?即證： > 22?7 ?5>22?77>22?成立，26?7??2> 2??2

只需證：13+242> 13+240

即證：42>40

∵42>40顯然成立，∴ 6?5>22?證畢。

21．△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，a,b,c分別為三個內(nèi)角A、B、C所對的邊，求證：

113??。a?bb?ca?b?c

【答案】要證

即證113a?b?ca?b?c，即需證????3。a?bb?ca?bb?ca?b?cca222??1。又需證c(b?c)?a(a?b)?(a?b)(b?c)，需證c?a?ac?b a?bb?c

∵△ABC三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列?！郆=60°。由余弦定理，有b2?c2?a2?2cacos60?，即b2?c2?a2?ac?！郼2?a2?ac?b2成立，命題得證。

22．已知x?1,y?1，用分析法證明：x?y??xy.x?y??xy，即證?x?y?2??1?xy?2，22【答案】要證22即證x?y?1?xy，即證x?11?y

因為?

?2????2??0，??0，不等式得證． x?1,y?1，所以x2?1?0,1?y2?0，22所以x?11?y

第五篇：高考必看：推理與證明

推理與證明

一．本章知識網(wǎng)絡(luò)： 推理與證

推理 證明合情推理 演繹推理 直接證明 間接證明 數(shù)學(xué)歸納

歸納 類比 綜合分析反證

二、推理●1.歸納推理1）歸納推理的定義：從個別事實．．．．中推演出一般性．．．的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。

歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問

題和提出問題。但不完全歸納的結(jié)論不一定正確，需要證明。

●2.類比推理1）根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似

類比推理的關(guān)鍵是先找到兩類事物的相似點（類比點），從而將一類事物的性質(zhì)的類比到另一個事物，但要有證明的意識。

●3.演繹推理1）演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。

2）三段論式常用的格式為： M——P（M是P）①S——M（S是M）②S——P（S是P）③

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

三．證明：綜合法，分析法，反證法，數(shù)學(xué)歸納法

1．解答證明題時，要注意是采用直接證明還是間接證明。在解決直接證明題時，綜合法和分析法往往可以結(jié)合起來使用。綜合法的使用是“由因索果”，分析法證明問題是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，因此使用時往往聯(lián)合使用。分析法要注意敘述的形式：要證A，只要證明B，B應(yīng)是A成立的充分條件。

2．應(yīng)用反證法時，注意：一是“否定結(jié)論”部分，把握住結(jié)論的“反”是什么？二是“導(dǎo)出矛盾”部分，矛盾有時是與已知條件矛盾，有時是與假設(shè)矛盾，而有時又是與某定義、定理、公理或事實矛盾，因此要弄明白究竟是與什么矛盾.對于難于從正面入手的數(shù)學(xué)證明問題，解題時可從問題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，從而將問題得以解決。因此當(dāng)遇到“否定性”、“唯一性”、“無限性”、“至多”、“至少”等類型命題時，宜選用反證法。

x成立；? p且? q；? p或? q 3數(shù)學(xué)歸納法：（兩步驟一結(jié)論，關(guān)鍵是“用假設(shè)、湊目標(biāo)”）（1）數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n0且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

四．知識應(yīng)用，鞏固提升 一．選擇題

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.2.觀察下列數(shù)的特點：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，? 中,第100項是()A．10 B.13 C.14 D.100

3.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC

2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得”（）A.AB

2+AC2

+ AD2

=BC2

+ CD2

+ BD2

B.S

2?ABC

?S2?ACD?S2?ADB?S2?BCD

C.S22S222

?ABC?S?ACD??ADB?S?BCDD.AB×AC×AD=BC ×CD ×BD

4.由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理

出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是（）A.正方形的對角線相等B.平行四邊形的對角線相等C.正方形是平行四邊形 D.其它

5、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（）。

A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度； B 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度； C。假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度；D。假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。

6用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n

·1·2?(2n－1)（n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為（）。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.2k?1k?1D.2k?

3k?

17．設(shè)a,b,c?(??,0),則a?1b,b?1c,c?1

a

（）A．都不大于?2 B．都不小于?2 C．至少有一個不大于?2D．至少有一個不小于?

28．定義運(yùn)算:x?y???

x(x?y)例如?y

(x?y),3?4?4,則下列等式不能成立．．．．的是（）A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?Cz)．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（c?0）9．（11江西理7）觀察下列各式：5

5=3125，56

=15625，57

=78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()

A．3125B．5625C．0625D．8125

二．填空題

11.（11陜西理13）觀察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規(guī)律，第n個等式為。12．（09浙江文）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，，T16

T成等比數(shù)列． 1213、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是。三．解答題

15、已知正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且公差d?0，求證：11

1a,b,c

不可能是等差數(shù)列。

16、已知數(shù)列{

an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

17．(09山東卷理)等比數(shù)列{a?

n}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N，點(n,Sn)，均在函數(shù)

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時，記 bn?2(lo2gan?

1)n?(N? 證明：對任意的)n?N?，不等式b1?1b2?1····bn?1bb?

b2

n