第一篇：2009年高考數(shù)學(xué)試題分類——推理與證明
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2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編
推理與證明
1、(湖北卷理)10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是
A.289B.1024C.1225D.1378
10.【答案】C
【解析】【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項a?nn(n?1)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)
2n成的數(shù)列通項bn?n2，則由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由a?
數(shù)，故選C.n(n?1)知an必為奇
22、（江蘇卷）8.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：83、（北京卷理）14．已知數(shù)列{an}滿足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?
a2009?________； ?則an,n?N,版權(quán)所有@高考資源網(wǎng)
a2014=_________.【答案】1，0
【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0.∴應(yīng)填1，0.4、(湖南卷)
15、將正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=
31(n+1)(n+2)6
15.【答案】：101,(n?1)(n?2)36
【解析】當(dāng)n=3時，如圖所示分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a
x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z
26g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2 即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233
進(jìn)一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三個數(shù)，f(2)中 有6個數(shù)，f(3)中共有10個數(shù)相加，f(4)中有15個數(shù)相加….，若f(n?1)中有an?1(n?1)個數(shù)相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)個數(shù)相加，且由
363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...3333333
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n?1,所以 3
n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)3333333
n?1nn?13211??????(n?1)(n?2)=3333336可得f(n)?f(n?1)?
5、(浙江卷)15．觀察下列等式：
1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，159C1C1?3C7?C1?7C?17171715?217?2，………
由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：
1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?． *
答案：24n?1???1?22n?1
nn【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項構(gòu)成，第二項前有??1?，二項指
數(shù)分別為24n?n1?,，2
n因此對于n?N*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?
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第二篇：高考文科數(shù)學(xué)試題分類—推理與證明
高中數(shù)學(xué)
高考文科試題解析分類匯編：推理和證明
1.【高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反3
射角等于入射角，當(dāng)點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為
（A）8（B）6（C）4（D）3
1151?2?3?，233
11151?2?2?2? 2343……
照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．
高中數(shù)學(xué)
【答案】1?
1111111?????.22324252626
1，【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左邊=1?1?1???
2232?n?1?
右邊=
11111112?n?1??1，所以第五個不等式為1?2?2?2?2?2?．
234566n?1
?
5.【高考湖南文16】對于n?N，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21a0?20,當(dāng)i?k時ai?1，當(dāng)0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；
（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?121?00,1?b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?2?0,5?1?22?0?21?1?20,b5?0；2?2106?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）
5k?5k?1?
n(n?1)，寫出其若2
【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?
干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2k?a5k?
5k(5k?1)
（k為正整數(shù)），2
(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)
b2k?1?a5k?1??，22
故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想
需要有一定的經(jīng)驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查.質(zhì)，并且，因此，不妨設(shè)112，由的定義，(A從)c而k(?1A)r(?1A),k?(A)k3k?1(A)?r1(A?2)c?(A ?)c?(A?)a(?b?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3
因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為知，1。
8.【高考福建文20】20.（本小題滿分13分）
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
第三篇：2011年高考數(shù)學(xué)試題分類 推理與證明、創(chuàng)新題
十三、推理與證明、創(chuàng)新題
b?1,?a,a?
a?b??
.設(shè)函數(shù)?b,a?b?11．（天津理4）對實數(shù)a和b，定義運算“?”：
f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.y?f(x)?cx
若函數(shù)
則實數(shù)c的取值范圍是
A．的圖像與軸恰有兩個公共點，???,?2?????1,?
3?
?
2?
B．
???,?2?????1,?
?
3?
?
4?
【答案】B
1??1???1,?,??????4??4?C．?3??1??
?1,??,??????
4??4? D．?
??????????
1A3??A1A22．（山東理12）設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若A,則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2,已知平
面上的點C，D調(diào)和分割點A，B則下面說法正確的是A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C，D可能同時在線段AB上D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 【答案】D
（μ∈R），且?
??????
A?A14?A12（λ∈R），A
?
?
?
23.（湖北理9）若實數(shù)a,b滿足a?0,b?0,且ab?0，則稱a與b
互補，記
?(a,b)?a?b,，那么??a,b??0是a與b互補的A．必要而不充分的條件
C．充要條件【答案】C
B．充分而不必要的條件
D．即不充分也不必要的條件
4.（福建理15）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射f:V?R滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意?∈R，均有
則稱映射f具有性質(zhì)P。現(xiàn)給出如下映射：
f(??a(1??)b)??f(a)?(1??)f(b),①f1:V?R,f2(m)?x,?y,m?(x,y)?V;
2f:V?R,f(m)?x?y,m?(x,y)?V;2②2
③f3:V?R,f3(m)?x?y?1,m?(x,y)?V.其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）【答案】①③
*
5.（湖南理16）對于n?N,將n 表示n?a0?2?a1?2
kk?
1?a2?2k?2?...?ak?1?21?ak?20,當(dāng)i?0時，ai?1,當(dāng)1?i?k時, a1為0或1．記I(n)為上述表示中ai為0的個數(shù)（例如：I?1?2,4?1?2?0?2?0?2）,故I(1)?0, I(4)?2）,則（1）I(12)?________________;（2）
0m
?2
n?1
I(n)
________________;
【答案】2109
36.（北京理8）設(shè)A?0,0?,B?4,0?，C?t?4,4?,D?t,4??t?R?.記N?t?為平行四邊形ABCD
內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則函數(shù)N?t?的值域為
?A．?9,10,11B．?9,10,12?
D．?10,11,12?
72011 C．?9,11,12?【答案】C 567.（江西理7）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，則5的末四位數(shù)字
為
A．3125B．5625C．0625D．8125
【答案】D
8.（廣東理8）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法
是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有
abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，則下列結(jié)論恒成立的是 A．T,V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的 B．T,V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的 C．T,V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．T,V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A
9.（江西理10）如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方
向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當(dāng)小
圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大
致是
【答案】A
10.（安徽理15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y?kx?b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y?kx?b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線
【答案】①，③，⑤
=f（x2）11.（四川理16）函數(shù)f（x）的定義域為A，若x1，x2?A且f（x1）時總有
x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x?R）是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f（x）=x（x?R）是單函數(shù)； 2
?f（x2）； ②若f（x）為單函數(shù)，x1，x2?A且x1?x2，則f（x1）
③若f：A?B為單函數(shù)，則對于任意b?B，它至多有一個原象；④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）
答案：②③④
解析 ：①錯，?x1??x2，②③④正確
12.（山東理15）設(shè)函數(shù)f(x)?x(x?0)x?2,觀察:
f1(x)?f(x)?x,x?2
f2(x)?f(f1(x))?
f3(x)?f(f2(x))?x,3x?4 x,7x?8
f4(x)?f(f3(x))?x,15x?16
??
根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：
?當(dāng)n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))?.x
nn(2?1)x?2【答案】
13.（陜西理13）觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
??
照此規(guī)律，第n個等式為。
【答案】n?(n?1)?(n?2)???(3n?2)?(2n?1)
第四篇：2011年高考數(shù)學(xué)試題分類十三 推理與證明、創(chuàng)新題
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十三、推理與證明、創(chuàng)新題,?b?1,?aaa?b??.設(shè)函數(shù)?b,a?b?11．（天津理4）對實數(shù)a和b，定義運算“?”：
f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.y?f(x)?cx若函數(shù)
則實數(shù)c的取值范圍是
A．的圖像與軸恰有兩個公共點，???,?2?????1,?3??2?B．???,?2?????1,??3??4?
【答案】B 1??1???1,?,??????4??4?C．?3??1???1,??,??????4??4? D．?
1A3??A1A22．（山東理12）設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若A,則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2,已知
平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B則下面說法正確的是
A．C可能是線段AB的中點
B．D可能是線段AB的中點
C．C，D可能同時在線段AB上
D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上
【答案】D（μ∈R），且?A?A14?A12（λ∈R），A?1??
23.（湖北理9）若實數(shù)a,b滿足a?0,b?0,且ab?0，則稱a與b
互補，記
?(a,b)?a?b,，那么??a,b??0是a與b互補的A．必要而不充分的條件
C．充要條件
【答案】C B．充分而不必要的條件 D．即不充分也不必要的條件
4.（福建理15）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射f:V?R滿足：對任意向量a=
（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意?∈R，均有
則稱映射f具有性質(zhì)P?，F(xiàn)給出如下映射： f(??a(1??)b)??f(a)?(1??)f(b), ①f1:V?R,f2(m)?x,?y,m?(x,y)?V;2f:V?R,f(m)?x?y,m?(x,y)?V;2②2
③f3:V?R,f3(m)?x?y?1,m?(x,y)?V.其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）
【答案】①③
5.（湖南理16）對于n?N,將n 表示*
n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2?...?ak?1?21?ak?20,當(dāng)i?0時，ai?1,當(dāng)1?i?k時, a1為0或1．記I(n)為上述表示中ai為0的個數(shù)（例如：
I?1?20,4?1?22?0?21?0?20）,故I(1)?0, I(4)?2）,則
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（1）I(12)?________________;（2）
【答案】21093 ?2n?1mI(n)________________;
C?t?4,4?,D?t,4??t?R?.記N?t?為平行四邊形ABCD6.（北京理8）設(shè)A?0,0?,B?4,0?，內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則函數(shù)N?t?的值域為
?A．?9,10,11B．?9,10,12?
D．?10,11,12?
72011 C．?9,11,12?【答案】C 567.（江西理7）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，則5的末四位數(shù)
字為
A．3125B．5625C．0625D．8125
【答案】D
8.（廣東理8）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘
法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有
abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，則下列結(jié)論恒成立的是 A．T,V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的 B．T,V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的 C．T,V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．T,V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A
9.（江西理10）如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方 向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當(dāng)小
圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大
致是
【答案】A
10.（安徽理15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y?kx?b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y?kx?b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線
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【答案】①，③，⑤
=f（x2）11.（四川理16）函數(shù)f（x）的定義域為A，若x1，x2?A且f（x1）時總有
x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x?R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x（x?R）是單函數(shù)； 2
?f（x2）； ②若f（x）為單函數(shù)，x1，x2?A且x1?x2，則f（x1）
③若f：A?B為單函數(shù)，則對于任意b?B，它至多有一個原象；④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）答案：②③④
解析 ：①錯，x1??x2，②③④正確
f(x)?x(x?0)x?2,觀察: 12.（山東理15）設(shè)函數(shù)
f1(x)?f(x)?x,x?2
x,3x?4
x,7x?8
x,15x?16 f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?f4(x)?f(f3(x))?
根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：
?當(dāng)n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))? x
nn【答案】(2?1)x?2
13.（陜西理13）觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
??
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第五篇：2013年全國高考試題分類：推理與證明
第十三章推理與證明
考點一 合情推理與演繹推理
1.(2013湖南,15,5分)對于E={a1,a2,?,a100}的子集X={，?,},定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,?,x100,其中==?==1,其余項均為0.例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,?,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項和等于;
(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1,p2,?,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數(shù)列”q1,q2,?,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數(shù)為
.答案(1)2(2)17
2.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式
(1+1)=2×
12(2+1)(2+2)=2×1×
3(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×
5??
照此規(guī)律,第n個等式可為
.答案(n+1)(n+2)?(n+n)=2×1×3×?×(2n-1)
3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,若點P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4.n3
(1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是;
(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=(用數(shù)值作答).答案(1)3,1,6(2)79
4.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=a為常數(shù)且a∈(0,1).(1)當(dāng)a=時,求f;
(2)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2;
(3)對于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值
.解析(1)當(dāng)a=時, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=
當(dāng)0≤x≤a時,由x=x解得x=0, 因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點;
當(dāng)a =≠, 222 2故x=為f(x)的二階周期點; 當(dāng)a 當(dāng)a-a+1≤x≤1時,由(1-x)=x解得x=∈(a-a+1,1),因f =· =≠,故x=為f(x)的二階周期點.因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點,x1=,x2=.(3)由(2)得 A,B,則S(a)=·,S'(a)=·,因為a∈,a+a<1,所以S'(a)=· =·>0.或令g(a)=a-2a-2a+2,g'(a)=3a-4a-2 =3,因a∈(0,1),g'(a)<0,則g(a)在區(qū)間上的最小值為g=>0,故對于任意a∈,g(a)=a-2a-2a+2>0, S'(a)=·>0 則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故S(a)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=.考點二 直接證明與間接證明 5.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是() A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 答案 A 22 22232232 x6.(2013陜西,21,14分)已知函數(shù)f(x)=e,x∈R.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖象上點(1,0)處的切線方程; (2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x+x+1有唯一公共點; (3)設(shè)a .解析(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)=ln x,設(shè)所求切線的斜率為k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在點(1,0)處切線方程為y=x-1.(2)解法一:曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數(shù)等于函數(shù)φ(x)=e-x-x-1零點的個數(shù).∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零點x=0.xxx又φ'(x)=e-x-1,令h(x)=φ'(x)=e-x-1,則h'(x)=e-1,當(dāng)x<0時,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.當(dāng)x>0時,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.∴φ'(x)在x=0處有唯一的極小值φ'(0)=0,x2x22 即φ'(x)在R上的最小值為φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(僅當(dāng)x=0時等號成立),∴φ(x)在R上是單調(diào)遞增的,∴φ(x)在R上有唯一的零點,故曲線y=f(x)與y=x+x+1有唯一的公共點.解法二:∵e>0,x+x+1>0,∴曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數(shù)等于曲線y=與y=1公共點的個數(shù),設(shè)φ(x)=,則φ(0)=1,即x=0時,兩曲線有公共點.又φ'(x)==≤0(僅當(dāng)x=0時等號成立),∴φ(x)在R上單調(diào)遞減,∴φ(x)與y=1有唯一的公共點,故曲線y=f(x)與y= x+x+1有唯一的公共點.(3)-f =-==[--(b-a)].設(shè)函數(shù)u(x)=e--2x(x≥0),則u'(x)=e+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(僅當(dāng)x=0時等號成立),∴u(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x>0時,u(x)>u(0)=0.令x=,則得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質(zhì)隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1 (2)在△ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.2x2x22xx 解析(1)依題意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1 由A1A2⊥平面ABC,MN?平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位線,可得MN= BC=a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG =·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d1 (2)證明:當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2 <0.解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞).f '(x)='e+e=e =e.當(dāng)x<0時, f '(x)>0; 當(dāng)x>0時, f '(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).(2)當(dāng)x<1時,由于>0,e>0,故f(x)>0; 同理,當(dāng)x>1時, f(x)<0.當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)時,不妨設(shè)x1
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