第一篇：高數(shù)復(fù)習(xí)方案(函數(shù)和極限)

計算機科學(xué)與技術(shù)09級學(xué)生工作委員會—學(xué)習(xí)部

函數(shù)與極限

1.集合：具有某種特性定性質(zhì)的事物的總體成為集合組成集合的事物叫做元素設(shè)元素為a集合為M那么a?M

?交集，?子集，?屬于，?不屬于 ?包含于，?并集，?空集

2.設(shè)X，y是兩個變量，D是數(shù)集，按照一定的對應(yīng)關(guān)系，總有唯一的y和x相對應(yīng)，則說

y是x的函數(shù)，記做y=f（x），y是因變量，x是自變量。（簡單一點說：x在一個對應(yīng)法則的機器攪和攪和就出來一個y）

F（D）為值域x?D是定義域

函數(shù)的三要素：定義域 值域 對應(yīng)法則

注意： 強烈建議只要寫函數(shù)就寫定義域

eg：求下列函數(shù)的自然定義域

(1)y?arcsin(2)y?tan

(3)y?（x?3）（x+1）

3.函數(shù)的特性

（1）單調(diào)性：增函數(shù)和 減函數(shù)

如果對于arctan1 xI 上任意兩點x1及x2，當(dāng)

x1?x2時，恒有f（x1）?f（x2）成立，則稱在I上f（x）是增函數(shù)，反之則是減函數(shù)注意：增減性在解間斷點時候有重要性（下文解釋）

eg：設(shè)f（x）為定義在（-a，a）內(nèi)的奇函數(shù)，若f（x）在（o，a）上單點增加，證明f（x）在（-a，0）上也單點增加

（2）有界性： ?x?D,? M?0,f(x)?M,則稱f（x）為有界函數(shù)

f(x)?M,? x?D,? M?0,則函數(shù)在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千萬不要搞錯了

（3）奇偶性：奇函數(shù)特性

注意：奇偶性的定義與一定是對稱的不對稱就沒有這個性質(zhì)而言

（4）周期性：正弦余弦就是明顯的特點f（x+T）=f（x）

注意：如果一個函數(shù)關(guān)于兩個直線對稱，那么兩個直線之間的距離是函

數(shù)周期大小的一半。

4.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)：反函數(shù)的定義域和值域和原函數(shù)相反但是奇和

偶函數(shù)的反函數(shù)奇偶性質(zhì)不變。復(fù)合函數(shù)的定于與要明確，增減為減增增 減減為增

5.數(shù)列的極限：如果給定的數(shù)列{}，當(dāng)變量n趨近于無窮大時，數(shù)列

趨近于一個常數(shù)a，則稱a是數(shù)列的極限當(dāng)然如果a不存在，說明這個函數(shù)是發(fā)散的注意：課本P34 例題5 有證明函數(shù)極限，這個很重要

Eg

：證明：當(dāng)x0?0時，limx?x0?6.極限的性質(zhì)：（1）唯一性，如果這個a存在，那么一定是唯一的假設(shè)不存在，那么不就和定義說函數(shù)是發(fā)散的嗎

（2）有界性：若limf（x）?a存在，則函數(shù)f（x）有界x??

（3）保號性：若limxn?a（a?0或a?0），則?N，當(dāng)n?N時，xn?（0?0），n??

反之，若xn?（0?0），則limxn?（0?0）n??

7.n??數(shù)列的存在準(zhǔn)則：（1）夾逼準(zhǔn)則（2）單調(diào)有界函數(shù)必有界 eg：證明limn?（8.（1）（2）111??.......?)=1n2??n2?2?n2?n?我主要講講極限的一些重要求的方法： 1xsinx）?eli?（有興趣可以證明）1 x??x?0xx7個重要的等價無窮小且都x?0（1?兩個重要極限lim

（1?x?1?（1）1

n1x（2）tanx?x（3）arctanx?x n

1-cosx?（4）arcsinx?x（5）

（3）

（4）12（1?x）?x x（6）ex?1?x（7）ln2兩個準(zhǔn)則：夾逼 還有單調(diào)有界

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小 有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小利用極限的四則運算和指數(shù)預(yù)算 利用泰勒公式 洛比達法則 利用導(dǎo)數(shù)極限求極限 函數(shù)的性質(zhì)求因為數(shù)列是特殊的函數(shù)

注意：這里就有一些小方法了，有換元等價代換拆項求和三角的和差化積 數(shù)列求和的公式…

（10）間斷點和連續(xù)性

間斷點：除去不成立的點，一般都是間斷點

連續(xù)性：區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，就是在該區(qū)間連續(xù)，一定是不間斷的注意：可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界

第一類間斷點：可去和跳躍間斷點

eg：y?x（x?1）且x=1 y=0.5?可去間斷點

第二類間斷點：無窮間斷點和震蕩間斷點

y=tanxx=?1為無窮間斷點y=sinx=0為振蕩間斷點 2x

（11）漸近線：當(dāng)變量無窮大時利用函數(shù)求極限一般都有a值（水平漸近線）

還有一些點怎么看這些點呢，一般都是間斷點的地方有漸近（鉛直漸近線）0這點很重要

還有一個斜漸近線說明圖像到達一個點變化的斜率很小這樣的話 一般是圖像上面有部分是直線

eg求e的漸近線

?

x?o?1x?cos)x課后練習(xí)求下列極限（1）limx（2）lim(sinx??2x1x

?3x)（3）lim(1x?02sin(x)

（4）x?0（5）x?03x?4x1)x（6）lim(x?02

第二篇：高數(shù)復(fù)習(xí)筆記之極限與函數(shù)

1，隱含的分段函數(shù)與建立函數(shù)關(guān)系

2，如何判斷微積分的有界性

3，極限定義做了解，性質(zhì)：唯一性、保號性、四則運算，若一個極限存在另一個不存在則相加減的極限必不存在、乘除的極限可能存在也可能不存在；若兩個極限都不存在那么加減乘除的極限可能存在也可能不存在。舉反例：（參考書籍：數(shù)學(xué)分析中的反例）；相除時，分母為0分子不為0則極限為無窮大，若分子分母全為0，極限怎么算？

4，極限的復(fù)合運算：若此函數(shù)連續(xù)則函數(shù)符號跟極限符號可以調(diào)換位置。

極限存在準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限；夾逼定理

兩類重要極限：書上找

5：無窮大量與無窮小量（即把任何函數(shù)的極限為A的問題轉(zhuǎn)化為極限為零的問題）

無窮小量的比較（視頻001 2第16分鐘）：高階l=0（兩個趨近于0的速度前者比后者快）、同階l不=0（兩者趨近于0的速度一樣快）、等價l=1（五個等價無窮小的特例：把指數(shù)、三角、對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解簡單的冪函數(shù)）

無窮大量：即極限不存在的情況無界變量：在一個絕對值范圍內(nèi)要多大有多大的值 注意:無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量（視頻25分講述）6,四類未定式（洛必塔法則解決）

第三篇：高數(shù)課件-函數(shù)極限和連續(xù)

一、函數(shù)極限和連續(xù)自測題

1,是非題

（1）無界變量不一定是無窮大量

（）（2）若limf(x)?a，則f(x)在x0處必有定義

（）

x?x012x（3）極限lim2sinx?limx?0

（）

x???x???33x2，選擇題

（1）當(dāng)x?0時，無窮小量1?x?1?x是x的（）A．等價無窮小

B.同階但不等價

C.高階無窮小

D.低價無窮小

?x?1?1x?0?（2）設(shè)函數(shù)f(x)??，則x?0是f(x)的（）x?0x?0?A.可去間斷點 B.無窮間斷點

C 連續(xù)點

D 跳躍間斷點

?exx?0（3）設(shè)函數(shù)f(x)??，要使f(x)在x0處連續(xù)，則a?

（）?a?xx?0A.2

B 1

C 0

D ?1

3n2?5n?1?

（）（4）lim2n??6n?3n?2A 151

B ?

C ?

D ? 2321?xsinx?0??x(5)設(shè)f(x)??，則在x?0處f(x)

（）

?1sinx?1x?0??xA 有定義

B 有極限

C 連續(xù)

D左連續(xù)

3(6)x?1是函數(shù)y?x?1的（）x?1A 可去間斷點

B 無窮間斷點

C 連續(xù)

D跳躍間斷點

3.求下列極限

（1）limx??x?sinxsin(?2x)x?2?3

（2）lim

（3）lim

x?0x?12xln(1?2x)x?1e?2x?1（4）lim

（5）limn[ln(1?n)?lnn]

（6）lim(sinn?1?sinn)

n??n??x?0x2x?3x?2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x?1?x)x??2x?1x?01?cosx2x??cosx?cosaarctanxex?ex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

x?ax??x?x0x?xx?ax0x2?32x2?1sin(x?1))（13）lim

（14）lim(2

x??x?1x?1x?24，求滿足下列條件的a,b的值

1x2?x?a?b

（2）lim(3x?ax2?x?1)?（1）limx???x?26x?2?tanaxx?0ax?b??2

(4)已知f(x)??x（3）lim且limf(x)存在

x?0x?1x?2?x?2x?0?x??1??2?2（5）已知f(x)??x?ax?b?1?x?1在(??,??)內(nèi)連續(xù)

?2x?1??sin2x?e2ax?1x?0?(6)函數(shù)f(x)??在x?0點連續(xù) x?ax?0?5．求下列函數(shù)的間斷點并判斷其類型

?x?1x?11?cosxx2?1（1）y?2

（2）y??

（3）f(x)?

sinxx?3x?2?3?xx?1?1x?0x?（4）f(x)??ex?1

（5）y?

tanx??ln(1?x)?1?x?026.已知x??1時，x?ax?5x?1是同階無窮小，求a

7.證明方程x?4x?2?0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個根 8.當(dāng)x?0時，e?ln(1?x)?1與x是同階無窮小，求n 9.設(shè)函數(shù)f(x)?a,(a?0,a?1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)?f(n)]

n??n2

第四篇：高數(shù)競賽練習(xí)題答案(函數(shù)、極限、連續(xù))

函數(shù)、極限、連續(xù)

1.f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f(a)?g(a),f(b)?g(b),證明：(1)???(a,b),使f(?)?g(?)

(2)???(a,b),使f??(?)?g??(?)證明：設(shè)f(x),g(x)分別在x?c,x?d處取得最大值M，不妨設(shè)c?d(此時a?c?d?b)，作輔助函數(shù)F(x)?f(x)?g(x),往證???(a,b),使F??(?)?0

令F(x)?f(x)?g(x),則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)二階可導(dǎo)，且F(a)?F(b)?0，① 當(dāng)c?d，由于 F(c)?f(c)?g(c)?M?g(c)?0F(d)?f(d)?g(d)?f(d)?M?0由“閉.連.”零點定理，???[c,d]?(a,b),使f(?)?g(?)② 當(dāng)c?d，由于F(c)?f(c)?g(c)?f(c)?g(d)?M?M?0即???(a,b),使f(?)?g(?)

對F(x)分別在[a,?],[?,b]上用羅爾定理，??1?(a,?),?2?(?,b)，使

在[?1,?2]上對F(x)在用羅爾定理，F(xiàn)?(?1)?F?(?2)?0，???(?1,?2)?(a,b)，使F??(?)?0，???(a,b),使f??(?)?g??(?).2.設(shè)數(shù)列{xn}滿足0?x1??,xn?1?sinxn,n?1,2,?

xn存在，并求該極限(1)證明limn??

xn?1x1n(2)計算lim()n??xn

分析：(1)確定{xn}為單調(diào)減少有下界即可

1xn，用洛必達法則.(2)利用(1)確定的limn??

解：易得0?xn?1(n?2,3,?)，所以xn?1?sinxn?xn,n?(2,3,?)，即{xn}為

xn存在，并記為limxn?a,則a?[0,1]，單調(diào)減少有下界的數(shù)列，所以 lim n??n??

對等式xn?1?sinxn?xn,兩邊令n??取極限，得a?sina,a?[0,1]，所以

a?0,即limxn?0.n??

lim((2)n

??

xn?1sinxn)?lim()

n??xnxn

2xn

2xn

令t?xn

?lim（t?0

sint)?et?0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t?0

t

ln(sin)ttsint

ln[1?(sin?1)]?1-1t2sint?t洛cost?11tt2

?lim?lim?lim?lim?lim?? t?0t?0t?0t?0t?03t2t2t2t33t26

xn?1xn?1

所以lim()?e.n??xn

3.已知f(x)在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1，證明：(1)???(0,1),使f(?)?1??，(2)存在兩個不同點?,??(0,1),使f?(?)f?(?)?1

證：(1)令F(x)?f(x)?x?1，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且

F(0)??1?0,F(1)?1?0，由“閉.連.”零點定理，???(0,1),使F(?)?0,即f(?)?1??

(2)f(x)在[0,?],[?,1]上都滿足拉格朗日中值定理，所以

???(0,?),??(?,1)，使

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),f(1)?f(?)?f?(?)(1??)，即

f?(?)?f?(?)?

f(?)

?

?

1??

?

1?f(?)1?(1??)?

??1??1??1??

?f?(?)f?(?)?

1??

?

?

?

1??

?1

4.設(shè)方程xn?nx?1?0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正

?

實根xn，并證明當(dāng)??1時，級數(shù)?xn收斂.n?1?

證：令f(x)?xn?nx?1,則f(x)在(0,??)上連續(xù)，且

f(0)??1?0,f()?()n?0

nn

所以由連續(xù)函數(shù)的零點定理，所給方程在(0,)內(nèi)有根，又由f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，所以所給方程(0,)內(nèi)只有唯一的根，在(，?)上無根，即所給方程存在唯一的正實根xn.?

?由上述知，對n?1,2,?，有0?xn?,有0?xn

?

1n

1n1n

1n

1n1，n?

此外，由??1知，級數(shù)?

收斂，所以由正項級數(shù)比較審斂法，知?

n?1n

?x?收斂.nn?1

?

5.求lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

x?0ln(1?x)

解：lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

=e

lim

lncosx，其中l(wèi)imln(1?x

x?0

lncosx)

?lim

x?0

ln[1?(cosx?1)]ln(1?x)

?lim

x?0

?x22x

??

(cosx)所以，limx?0

ln(1?x)

?e

?

6.f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)?0,f?(0)?0,若

af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0時是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.解1：（利用導(dǎo)數(shù)定義）

0?lim

af(h)?bf(2h)?f(0)af(h)?af(0)?af(0)?bf(2h)?bf(0)?bf(0)?f(0)

?lim

h?0h?0hhaf(h)?af(0)bf(2h)?bf(0)[(a?b)?1]f(0)[(a?b)?1]f(0)?lim?lim?lim?(a?b)f?(0)?limh?0h?0h?0h?0hhhh

?a?b?1

?由f(0)?0,f(0)?0,得?,即a?2,b??1

a?2b?0?

解2：按解1，只要假定f(x)在x?0處可導(dǎo)即可，但在題中“f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的假定下，有以下解法：由lim

h?0

h?0

af(h)?bf(2h)?f(0)

?0得 limaf(h)?bf(2h)?f(0)=0

h?0h

即0?limaf(h)?bf(2h)?f(0)?(a?b?1)f(0)，由f(0)?0,得a?b?1（1）

af(h)?bf(2h)?f(0)洛

?limaf?(h)?2bf?(2h)?(a?2b)f?(0)且f?(0)?0,又由0?lim

h?0h?0h

所以 a?2b?0（2）

由（1）、（2）得a?2,b??1.?2?esinx?

?.7.求lim?4??x?0x??1?e?

解：

?2e??e?sinx??2?esinx?

??1 ???lim?lim?4?4????x?0x?0?x?x??1?e??e?1??2?esinx??2?esinx?

?????1 lim?lim4?4??????x?0x?x?0?1?ex??1?e?

所以 原式 = 1

8.求lim

x?0

143

?x??x?2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

?x??x?2?[1?

1111

x?x2?o(x2)]?[1?x?x2?o(x2)]?22828(x?0)

??x2?o(x2)~?x2

所以

1?x2

?x??x?2??1lim?limx?0x?0x2x24

解2：（洛必達法則）

?

?x??x?2洛必達lim?limx?0x?0x22x1?x??x1

?lim?lim x?0?x?x4x?0x

1?2x1?lim.??4x?0x(?x??x)4

第五篇：高數(shù)極限習(xí)題

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設(shè)f(x)在點x0可導(dǎo),a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

f?(x0)Aabf?(x0)

B(a?b)f?(x0)

C(a?b)f?(x0)

D

答案 C

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設(shè)f(x)在x?a的某個鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(A)limh?f?a???f(a)?存在(B)lim存在h?0h???hh????(C)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(D)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 D

解題思路

(1)對于答案(A)，不妨設(shè)

1h??x，當(dāng)h???時，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故(A)不對.?(2)對于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點a處的函數(shù)值f(a)，因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(B)與(C)兩個極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說明(B)與(C)成立并不能保證f?(a)存在，從而(B)與(C)也不對.(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件D是f?(a)存在的一個充分必要條件.例3(00103)設(shè)f(0)?0,則f(x)在點x?0可導(dǎo)的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(A)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(B)lim1h1hh?0f(1?e)存在

h(C)limh?02f(h?sinh)存在(D)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

答案 B

解題思路

(1)當(dāng)h?0時, 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當(dāng)h?0時,u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當(dāng)h?0時,恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當(dāng)h?0時, 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當(dāng)h?0時, ?h?o(h)既能取正值,又能取負(fù)值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價.(3)當(dāng)h?0時, 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點x?0可導(dǎo)一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在點x?0可導(dǎo).h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個不可導(dǎo)點

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解題思路 當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時,不可導(dǎo)的點就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點,因為函數(shù)零點是分段函數(shù)的分界點.因此需要分別考察函數(shù)在點x0?0,x1?1,x2??1考察導(dǎo)數(shù)的存在性.解 將f(x)寫成分段函數(shù):

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫成分段函數(shù):

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個不可導(dǎo)的點.例5(95103)設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),F(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是F(x)在x?0處可導(dǎo)的()

(A)必要但非充分條件

(B)充分但非必要條件

(C)充分且必要條件

(D)既非充分也非必要條件

答案 C

分析 從F(x)在x?0的導(dǎo)數(shù)定義著手.將F(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

F(x)?F(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limF??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|F(x)?F(0)?lim?limF??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知F??(0)?F??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設(shè)函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解題思路 應(yīng)先去掉f(x)中的絕對值,將f(x)改寫為分段函數(shù)

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點x?0的情況.例8(96203)設(shè)??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當(dāng)x?(??,?)時，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(A)間斷點，(B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點，(C)可導(dǎo)的點，且2f'(0)?0

(D)可導(dǎo)的點，且f'(0)?0

答案

C

解 由題目條件易知f(0)?0,因為

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）

例9(87103)設(shè)f(x)??x?0,x?0.?

1(A)0

(B)

(C)1

(D)?1

2答案

(C)

解題思路

因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當(dāng)u?0時,e ?1與u是等價無窮小,所以當(dāng)x?0時,1?e與x是等價無窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時,f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設(shè)f(x)可導(dǎo)且f?(x0)??x比較是()的無窮小.(A)等價(B)同階(C)低階(D)高階

答案 B

解題思路

根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(A)連續(xù),且可導(dǎo)

(B)連續(xù),不可導(dǎo)

(C)不連續(xù)

(D)不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù)

答案 B

解題思路

一般來說,研究分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性時,應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點處可導(dǎo)性,應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義,或者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此,本題應(yīng)分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導(dǎo)性.解(1)討論函數(shù)在點x?0處的連續(xù)性

1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數(shù)在點x?0處的可導(dǎo)性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導(dǎo).??x

例12 設(shè)f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點x?0可導(dǎo),但是f?(x)導(dǎo)數(shù)在點x?0不連續(xù),則

A0?p?1

B1?p?2

C0?p?2

D1?p?答案 B

解題思路

(1)當(dāng)p?1時,下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當(dāng)p?1時, x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說,只有當(dāng)p?1時, f?(0)才存在,所以選項A,C可以被排除.(2)當(dāng)p?1時

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當(dāng)且僅當(dāng)p?2?0,即p?2時,limf?(x)?0?f?(0),所以當(dāng)且僅當(dāng)1?p?2時，x?0f(x)在點x?0可導(dǎo),但是f?(x)在點x?0不連續(xù).例13(95403)設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(A)2,(B)?2,(C),(D)?1

答案 B

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設(shè)y?ln(1?2x),則y

(A)(10)?()

9!(1?2x)10

(B)?9!(1?2x)10

(C)10!?2910(1?2x)

(D)?9!?21010(1?2x)

答案 D

解題思路

求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù);找出規(guī)律,即可寫出高階導(dǎo)數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).例17

(90103)設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解題思路 這是一個求高階導(dǎo)數(shù)的問題,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

由f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當(dāng)n?1,n?2時雖然(B)也正確,但當(dāng)n?2就不正確了,所以將(B)排除之;

?222(2)在求導(dǎo)數(shù)f(x)時,可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復(fù)合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學(xué)者可能會這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個因子f?(x).則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數(shù),則（）(A)a?0,b??

2(B)a?1,b??3

(C)a??3,b?

1(D)a??1,b??1

答案 D

解題思路

兩曲線在某點相切就是指兩曲線在此公共點處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應(yīng)相等.解

曲線y?x?ax?b在點(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到: 對于方程2y??1?xy兩邊求導(dǎo)得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設(shè)f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(A)limg(x)?0且g'(0)?0，(B)limg(x)?0且g'(0)?1

x?0x?0(C)limg(x)?1且g'(0)?0

(D)limg(x)?0且g'(0)?2

x?0x?0 答案 D

解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達式,并運用f(x)在x?0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設(shè)f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)

(C)連續(xù),但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

答案 D

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導(dǎo),則(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù),因而 f(x)在x?0處可導(dǎo).x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）

? 例21 設(shè)f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則()A.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)B.若f(x)為單調(diào)函數(shù)C.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)D.若f(x)為非負(fù)函數(shù) 答案 A

解題思路 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調(diào)函數(shù) ,則f?(x)為非負(fù)函數(shù)

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設(shè)y?esinsin22x,則dy?()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解題思路 運用復(fù)合函數(shù)微分法

例 24 設(shè)f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當(dāng)x?0時,有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當(dāng)x?0時,sinx與x是等價無窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價無窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因為f?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設(shè)f(x)?? 在點x?0可導(dǎo),則()x?ax?b,x?0?A.a?1,b??2 B.a?1,b?0 C.a??1,b???2 D.a??1,b??2

答案D

解題思路 先考察函數(shù)在點x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導(dǎo)數(shù).由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有

(A)f?(x)?0,f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0

(C)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 C

解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).