第一篇：考研高數(shù) 多元函數(shù)（最終版）

一維到高維空間也是質(zhì)變

多元微分學(xué)主要研究多元初等函數(shù)。基本工具還是極限。比如，多元函數(shù)在定義域上一點M連續(xù)的定義為

—— 若在函數(shù)f（M）的定義域D內(nèi)，總有M → M0 時，l i m f（M）= f（M0），就稱函數(shù)f（M）在點M0連續(xù)。

體會一維到高微空間是質(zhì)變，自然就得從體驗極限開始。(多元函數(shù)以二元函數(shù)為例。)

在數(shù)軸上，動點x趨于定點x0時，只有左，右兩個連續(xù)的變動方向，因而一元函數(shù)有簡明的極限存在性判斷定理 ——

“x → x0時，極限 l i m f（x）存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等?！?/p>

（潛臺詞：學(xué)好一元微分學(xué)的起點，就是學(xué)會分左右討論極限及相關(guān)問題。管它什么左連續(xù)，右連續(xù)，左導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的左極限，右導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的右極限，??，概念全都清清楚楚，計算通通滾瓜爛熟。）簡單地說，一元函數(shù)在每一個極限過程中僅有兩個“道路極限”。

在日常生活中，我們感覺大地是一張平面，人們在行動時談“方位”十分自然。倒是直線顯得較為特殊。

二元函數(shù)的（有序）自變量組（x，y）與平面成一一對應(yīng)。討論二元函數(shù)，任意選定中心點M0，動點M可以在它的四周任意一個方位處。我們只能用向量方式（Δx，Δy）來表式相應(yīng)自變量增量。相對偏離為微距離Δ r =√（（Δx）平方+（Δy）平方）。進而自然地稱函數(shù)z = f（M）相應(yīng)的增量Δz為全增量。“全”，就是強調(diào)增量可以在任意方位出現(xiàn)。

當(dāng)動點M → M0時，M可以有無窮多個連續(xù)變動方式趨向M0，既可以沿直線道路，也可以沿曲線路徑逼近M0，這就大大提高了討論極限的難度。

與一元函數(shù)對比，由兩個“道路極限”到無窮多個（還是不可列無窮多）“道路極限”，量變引起質(zhì)變。

鑒于這個困難，《高等數(shù)學(xué)》不開展關(guān)于多元函數(shù)極限的討論。學(xué)習(xí)多元微分學(xué)，首先要學(xué)會利用海涅定理，選擇兩個道路極限不相等，來判斷某些極限不存在。體驗多元函數(shù)求極限的困難。例1試證明，（x，y）→（0，0）時，極限lim（y ∕(x+y））不存在分析分別取直線道路 y = x，y = 2 x，就得到不相等的“道路極限”1/2與1/3，因而所求極限不存在。

實際上，只要 k ≠ ?1，沿直線道路 y = k x，（x，y）→（0，0）時，顯然，所算得的道路極限值隨k變而變，你可以由此而窺見問題之復(fù)雜。

例2試證明極限（x，y）→（0，0）時，極限lim（xy ∕(x+y））不存在分析先取道路y = k x，k ≠ ?1，令（x，y）→（0，0）實施觀察，所有的道路極限都為0，但是你還不能就此以為所求極限為0，因為（x，y）還可以沿彎曲的道路趨于0

選取彎曲的路徑，拋物線 y = ?x +（x平方），道路極限為 ?1，故所求極限不存在。

實際上，選拋物線道路 y = ?x + a（x平方），常數(shù) a ≠ 0，則將得到隨a值不同而互不相等的無窮多個道路極限。

（畫外音：你是否感覺到大開眼界。）

進一步的討論中，“方位”成為前提。我們從中心點M0（x0，y0）出發(fā)，選定一個方向，就可以計算函數(shù)沿這個方向的平均變化率 Δz /Δ r，令 Δ r → 0 求極限，得到沿這個方向的 “瞬時變化率”。這個瞬時變化率稱為方向?qū)?shù)。

（畫外音：你見過用竹桿探路行進的盲人嗎？）

令人難忘的自然是直角坐標系的兩個坐標方向。在中心點M0（x0，y0）處，一元函數(shù) z = f（x，y0）的導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。它就是函數(shù)沿x軸正向的方向?qū)?shù)。同理有二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)。它就是函數(shù)沿y軸正向的方向?qū)?shù)。（潛臺詞：偏導(dǎo)數(shù)的特點是“偏”。僅僅是函數(shù)在一個特殊方向的變化率。）

與一元函數(shù)一樣，更深入的問題是，在中心點M0鄰近，二（多）元函數(shù)的全增量“能否微局部線性化”，即，二（多）元函數(shù)在M0是否可微（存在全微分）。

定義 —— 若在點M0的適當(dāng)小的（園）鄰域內(nèi)，函數(shù)增量△z恒可以表示為

Δz = A Δx + BΔy + о(Δ r)=“線性主部 + 高階無窮小о(Δ r)”

則稱二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0可微（存在全微分）。

（畫外音：要檢驗函數(shù)是否可微，先寫出о(Δ r)= Δz ? A Δx + BΔy，再令Δ r → 0討論極限，看能否證明，這個尾項的確是較Δr高階的無窮小。（數(shù)學(xué)一））

矛盾自然出現(xiàn)了。矛盾集中于“全（微分）”與“偏（導(dǎo)數(shù)）”。就算二（多）元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，幾個特殊方向的變化率，又怎能確定函數(shù)全方位的變化？？僅僅是“偏導(dǎo)數(shù)（都）存在”顯然不能保證“全微分存在”。這與一元函數(shù)“可微與可導(dǎo)等價”是截然不同的。

如果二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0可微（存在全微分）。則容易證明兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù) = A，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù) = B

“偏導(dǎo)數(shù)都存在”是可微分的必要條件。

歷史上的深入討論，找到了二（多）元函數(shù)在一點可微的一個充分條件是，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)。

一維到高微空間是質(zhì)變。一元微分學(xué)最講究條件。討論前沿問題時，總是想能否把條件削弱一點來得到同樣的結(jié)論。而多元微分學(xué)只能以假設(shè)為前提，要什么條件就得給什么條件。比如，要是二階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，二階混合偏導(dǎo)數(shù)就可能與求偏導(dǎo)順序有關(guān)。給應(yīng)用帶來巨大障礙。

在討論多元函數(shù)時，條件“（一階）偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)”是一個基本條件。沒有這個條件，僅僅知道偏導(dǎo)數(shù)存在是什么事情也做不成的。有了這個條件，則

（1）偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)的全微分存在。

（2）全微分存在函數(shù)必定連續(xù)。故偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，函數(shù)必定連續(xù)。

*（3）偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時，全體偏導(dǎo)數(shù)按坐標順序排成“梯度向量”，函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)，就是“梯度向量”在該方向的投影。且“梯度向量”是方向?qū)?shù)最大的方向。

（潛臺詞：理解時要落實（站立）在中心點。）

記住主關(guān)系鏈，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) —→ 全微分存在 —→ 函數(shù)連續(xù)

相關(guān)選擇題就迎刃而解了。

例3設(shè)函數(shù) z=f(x, y)有定義式：

f(0, 0)= 0，其它點處f(x, y)= xy∕(x平方+y平方)

試證明，在原點（0，0）函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在但函數(shù)卻不連續(xù)。

分析類似例1，取直線道路 y = k x，即知（x，y）→（0，0）時，函數(shù)不存在極限，當(dāng)然在原點不連續(xù)。

但是，f(x，0)= 0，f(0，y)= 0，在原點處，兩個偏導(dǎo)數(shù)都為0

例4考慮二元函數(shù) f(x, y)的 4 條性質(zhì)

（1）f(x, y)在點（x0，y0）處連續(xù)。（2）f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)都在（x0，y0）連續(xù)。

（3）f(x, y)在點（x0，y0）處可微。（4）f(x, y)在點（x0，y0）的偏導(dǎo)數(shù)都存在。如果用表達式“P → Q”說明可以由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有（？）

（A）（2）→（3）→（1）（B）（3）→（2）→（1）

（C）（3）→（4）→（1）（D）（3）→（1）→（4）

分析（A）對。這就是主關(guān)系鏈。（3）不能推出（2），（B）錯。

（3）可以推出（4），但（4）不能推出（1），（C）錯。

（3）可以推出（1），但（1）不能推出（4）。比如二元函數(shù)z = | x |，（D）錯。

第二篇：考研高數(shù)精華知識點總結(jié)：分段函數(shù)

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴格管理，成就學(xué)員！

考研高數(shù)精華知識點總結(jié)：分段函數(shù)

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)考試中內(nèi)容最多的一部分，分值所占比例也最高。為此我們?yōu)榇蠹艺矸窒砹丝佳懈邤?shù)精華知識點總結(jié)之分段函數(shù)。凱程考研將第一時間滿足莘莘學(xué)子對考研信息的需求，并及時進行權(quán)威發(fā)布，敬請關(guān)注!

分段函數(shù)：

1、分段函數(shù)：定義域中各段的x與y的對應(yīng)法則不同，函數(shù)式是分兩段或幾段給出的;

分段函數(shù)是一個函數(shù)，定義域、值域都是各段的并集。

2、絕對值函數(shù)去掉絕對符號后就是分段函數(shù)。

3、分段函數(shù)中的問題一般是求解析式、反函數(shù)、值域或最值，討論奇偶性單調(diào)性等。

4、分段函數(shù)的處理方法：分段函數(shù)分段研究。

抽象函數(shù)：我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù);

一般形式為y=f(x)，或許還附有定義域、值域等，如：y=f(x)，(x>0，y>0)。

凱程考研，考研機構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

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凱程考研：

凱程考研成立于2005年，具有悠久的考研輔導(dǎo)歷史，國內(nèi)首家全日制集訓(xùn)機構(gòu)考研，一直從事高端全日制輔導(dǎo)，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學(xué)員全程高質(zhì)量授課、答疑、測試、督導(dǎo)、報考指導(dǎo)、方法指導(dǎo)、聯(lián)系導(dǎo)師、復(fù)試等全方位的考研服務(wù)。凱程考研的宗旨：讓學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣； 凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學(xué)員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導(dǎo)機構(gòu)； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務(wù)：以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團隊合作，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

特別說明：凱程學(xué)員經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，同學(xué)們和家長可以查看。扎扎實實的輔導(dǎo)，真真實實的案例，凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里。

如何選擇考研輔導(dǎo)班：

在考研準備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報輔導(dǎo)班來彌補自己復(fù)習(xí)的不足，可以大大提高復(fù)習(xí)效率，節(jié)省復(fù)習(xí)時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導(dǎo)班，或許能幫你找到適合你的輔導(dǎo)班。

師資力量：師資力量是考察輔導(dǎo)班的首要因素，考生可以針對輔導(dǎo)名師的輔導(dǎo)年限、輔導(dǎo)經(jīng)驗、歷年輔導(dǎo)效果、學(xué)員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學(xué)長然后選擇。判斷師資力量關(guān)鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由

一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結(jié)果。還要深入了解教師的學(xué)術(shù)背景、資料著述成就、輔導(dǎo)成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機構(gòu)只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業(yè)有輔導(dǎo)歷史：必須對該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導(dǎo)學(xué)員考取該校。在考研輔導(dǎo)班

凱程考研，考研機構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴格管理，成就學(xué)員！

中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學(xué)院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿(mào)大金融碩士合計20人，北師大教育學(xué)7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學(xué)方面，凱程在人大、北大、貿(mào)大、政法、武漢大學(xué)、公安大學(xué)等院校斬獲多個法學(xué)和法碩狀元，更多專業(yè)成績請查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學(xué)員經(jīng)驗談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓(xùn)營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達到優(yōu)異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。

凱程考研歷年戰(zhàn)績輝煌，成就顯著！

在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下國內(nèi)最高學(xué)府清華大學(xué)五道口金融學(xué)院金融碩士29人，占五道口金融學(xué)院錄取總?cè)藬?shù)的約50%，五道口金融學(xué)院歷年狀元均出自凱程.例如，2014年狀元武玄宇,2013年狀元李少華，2012年狀元馬佳偉，2011年狀元陳玉倩;考入北大經(jīng)院、人大、中財、外經(jīng)貿(mào)、復(fù)旦、上財、上交、社科院、中科院金融碩士的同學(xué)更是喜報連連，總計達到150人以上，此外，還有考入北大清華人大法碩的張博等10人，北大法學(xué)考研王少棠，北大法學(xué)經(jīng)濟法狀元王yuheng等5人成功考入北大法學(xué)院，另外有數(shù)10人考入人大貿(mào)大政法公安大學(xué)等名校法學(xué)院。北師大教育學(xué)和全日制教育碩士輔導(dǎo)班學(xué)員考入15人，創(chuàng)造了歷年最高成績。會計碩士保錄班考取30多人，中傳鄭家威勇奪中傳新聞傳播碩士狀元，王園璐勇奪中傳全日制藝術(shù)碩士狀元，（他們的經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，隨時可以查看播放。）對于如此優(yōu)異的成績，凱程輔導(dǎo)班班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達到優(yōu)異的成績。

考研路上，拼搏和堅持，是我們成功的必備要素。

王少棠

本科學(xué)校：南開大學(xué)法學(xué)

錄取學(xué)校：北大法學(xué)國際經(jīng)濟法方向第一名 總分：380+ 在來到凱程輔導(dǎo)之前，王少棠已經(jīng)決定了要拼搏北大法學(xué)院，他有自己的理想，對法學(xué)的癡迷的追求，決定到最高學(xué)府北大進行深造，他的北大的夢想一直激勵著他前進，在凱程凱程考研，考研機構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴格管理，成就學(xué)員！

輔導(dǎo)班的每一刻，他都認真聽課、與老師溝通，每一個重點知識點都不放過，對于少棠來說，無疑是無比高興的是，圓夢北大法學(xué)院。在復(fù)試之后，王少棠與凱程老師進行了深入溝通，講解了自己的考研經(jīng)驗，與廣大考北大法學(xué)，人大法學(xué)、貿(mào)大法學(xué)等同學(xué)們進行了交流，錄制為經(jīng)驗談，在凱程官方網(wǎng)站能夠看到。

王少棠參加的是凱程考研輔導(dǎo)班，回憶自己的輔導(dǎo)班的經(jīng)歷，他說：“這是我一輩子也許學(xué)習(xí)最投入、最踏實的地方，我有明確的復(fù)習(xí)目標，有老師制定的學(xué)習(xí)計劃、有生活老師、班主任、授課老師的管理，每天6點半就起床了，然后是吃早餐，進教室里早讀，8點開始單詞與長難句測試，9點開始上課，中午半小時吃飯，然后又回到教室里學(xué)習(xí)了，夏天比較困了就在桌子上睡一會，下午接著上課，晚上自習(xí)、測試、答疑之類，晚上11點30熄燈睡覺?！?/p>

這樣的生活，貫穿了我在輔導(dǎo)班的整個過程，王少棠對他的北大夢想是如此的堅持，無疑，讓他忘記了在考研路上的辛苦，只有堅持的信念，只有對夢想的勇敢追求。

龔輝堂

本科西北工業(yè)大學(xué)物理

考入:五道口金融學(xué)院金融碩士(原中國人民銀行研究生部)作為跨地區(qū)跨校跨專業(yè)的三凱程生,在凱程輔導(dǎo)班里經(jīng)常遇到的,五道口金融學(xué)院本身公平的的傳統(tǒng),讓他對五道口充滿了向往,所以他來到了凱程輔導(dǎo)班,在這里嚴格的訓(xùn)練,近乎嚴苛的要求,使他一個跨專業(yè)的學(xué)生,成功考入金融界的黃埔軍校,成為五道口金融學(xué)院一名優(yōu)秀的學(xué)生,實現(xiàn)了人生的重大轉(zhuǎn)折。

在凱程考研輔導(dǎo)班，雖然學(xué)習(xí)很辛苦，但是每天他都能感覺到自己在進步，改變了自己以往在大學(xué)期間散漫的學(xué)習(xí)狀態(tài)，進入了高強度學(xué)習(xí)狀態(tài)。在這里很多課程讓他收獲巨大，例如公司理財老師，推理演算，非常純熟到位，也是每個學(xué)生學(xué)習(xí)的榜樣，公司理財老師帶過很多學(xué)生，考的非常好。在學(xué)習(xí)過程中，拿下了這塊知識，去食堂午餐時候加一塊雞翅，經(jīng)常用小小的獎勵激勵自己，尋找學(xué)習(xí)的樂趣。在輔導(dǎo)班里，學(xué)習(xí)成績顯著上升。

在暑期，輔導(dǎo)班的課程排得非常滿，公共課、專業(yè)課、晚自習(xí)、答疑、測試，一天至少12個小時及以上。但是他們?nèi)匀惶貏e認真，在這個沒有任何干擾的考研氛圍里，充實地學(xué)習(xí)。

在經(jīng)過暑期嚴格的訓(xùn)練之后，龔對自己考入五道口更有信心了。在與老師溝通之后，最終確定了五道口金融學(xué)院作為自己最后的抉擇，決定之后，讓他更加發(fā)奮努力。

五道口成績公布，龔輝堂成功了。這個封閉的考研集訓(xùn)，優(yōu)秀的學(xué)習(xí)氛圍，讓他感覺有質(zhì)的飛躍，成功的喜悅四處飛揚。

另外，在去年，石繼華，本科安徽大學(xué)，成功考入五道口金融學(xué)院，也就是說，我們只要努力，方向正確，就能取得優(yōu)異的成績。師弟師妹們加油，五道口、人大、中財、貿(mào)大這些名校等著你來。

黃同學(xué)(女生)本科院校：中國青年政治學(xué)院

凱程考研，考研機構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

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報考院校：中國人民大學(xué)金融碩士 總分：跨專業(yè)380+ 初試成績非常理想，離不開老師的辛勤輔導(dǎo)，離不開班主任的鼓勵，離不開她的努力，離不開所有關(guān)心她的人，圓夢人大金融碩士，實現(xiàn)了跨專業(yè)跨校的金融夢。

黃同學(xué)是一個非常靦腆的女孩子，英語基礎(chǔ)算是中等，專業(yè)課是0基礎(chǔ)開始復(fù)習(xí)，剛剛開始有點吃力，但是隨著課程的展開，完全能夠跟上了節(jié)奏。

初試成績公布下來，雖然考的不錯，班主任老師沒有放松對復(fù)試的輔導(dǎo)，確保萬無一失，拿到錄取通知書才是最終的塵埃落地，開始了緊張的復(fù)試指導(dǎo)，反復(fù)的模擬訓(xùn)練，常見問題、禮儀訓(xùn)練，專業(yè)知識訓(xùn)練，每一個細節(jié)都訓(xùn)練好之后，班主任終于放心地讓她去復(fù)試，果然，她以高分順利通過復(fù)試，拿到了錄取通知書。這是所有凱程輔導(dǎo)班班主任、授課老師、生活老師的成功。

張博，從山東理工大學(xué)考入北京大學(xué)法律碩士，我復(fù)習(xí)的比較晚，很慶幸選擇了凱程，法碩老師講的很到位，我復(fù)習(xí)起來減輕了不少負擔(dān)。愿大家在考研中馬到成功，也祝愿凱程越辦越好。

張亞婷，海南師范大學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)，考入了北京師范大學(xué)教育學(xué)部課程與教學(xué)論方向，成功實現(xiàn)了自己的北師大夢想。特別感謝凱程的徐影老師全方面的指導(dǎo)。

孫川川，西南大學(xué)考入中國傳媒大學(xué)藝術(shù)碩士，播音主持專業(yè)。在考研輔導(dǎo)班，進步飛快，不受其他打擾，能夠全心全意投入到學(xué)習(xí)中。凱程老師也很負責(zé)，真的很感謝他們。

在凱程考研輔導(dǎo)班，他們在一起創(chuàng)造了一個又一個奇跡。從河南理工大學(xué)考入人大會計碩士的李夢說：考取人大，是我的夢想，我一直努力，肯定能夠成功的，只要我們不放棄，不拋棄，并且一直在努力前進創(chuàng)造成功的條件，每個人都能夠成功。正確的方法+不懈的努力+良好的環(huán)境+嚴格的管理=成功。我相信，每個人都能夠成功。

凱程考研，考研機構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

第三篇：高數(shù)8多元函數(shù)的極限與連續(xù)

二元函數(shù)的極限

二元極限存在常用夾逼準則證明

例1 lim(3x?2y)?14

x?2y?1211??xsin?ysin，xy?0，例2 函數(shù)f(x,y)??在原點（0,0）的極限是0.yx

xy?0.?0?二元極限不存在常取路徑

x2y例3

證明：函數(shù)f(x，y)?4在原點（0，0)不存在極限.((x，y)?（0，0））4x?y與一元函數(shù)極限類似，二元函數(shù)極限也有局部有限性、極限保序性、四則運算、柯西收斂準則等.證明方法與一元函數(shù)極限證法相同，從略.上述二元函數(shù)極限limf(x，y)是兩個自變量x與y分別獨立以任意方式無限趨近于x?x0y?y0x0與y0.這是個二重極限.二元函數(shù)還有一種極限：

累次極限

定義

若當(dāng)x?a時（y看做常數(shù)），函數(shù)f(x，y)存在極限，設(shè)當(dāng)y?b時，?(y)也存在極限，設(shè)

lim?(y)?limlimf(x，y)?B，y?by?bx?a則稱B是函數(shù)f(x，y)在點P(a，b)的累次極限.同樣，可定義另一個不同次序的累次極限，即

limlimf(x，y)?C.x?ay?b那么二重極限與累次極限之間有什么關(guān)系呢？一般來說，它們之間沒有蘊含關(guān)系.例如： 1)兩個累次極限都存在，且相等，但是二重極限可能不存在.如上述例3.2)二重極限存在，但是兩個累次極限可能都不存在.如上述的例2.多重極限與累次極限之間的關(guān)系

定理

若函數(shù)f(x，y)在點P0(x0，y0）的二重極限與累次極限（首先y?0，其次x?0）都存在，則

?limlimf(x，y).limf(x，y）x?x0y?y0x?x0y?y0

二元函數(shù)的連續(xù)性

定理

若二元函數(shù)f(P)與g?P?在點P0連續(xù)，則函數(shù)f(P)?g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)?0）都在點P0連續(xù)

f(P)

g(P)

定理

若二元函數(shù)u??(x，y)，v??(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)，并且二元函數(shù)f(u，v)在點(u0，v0)???(x0，y0)，?(x0，y0)?連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f??(x0，y0)，?(x0，y0)? 在點P0(x0，y0)連續(xù).1.用極限定義證明下列極限：

1)lim(4x?3y)?19；

2）lim(x?y)sinx?2y?12x?0y?011sin?0； xyx2y2xy?03）lim2.(提示：應(yīng)用?1.）22x?0x?y2x?yy?02.證明：若f(x，y)?x?y，(x?y?0)，則 x?y??y?0x?0

lim?limf(x，y)??1

與

limlimf(x，y)??1.x?0??y?0??x4y43.設(shè)函數(shù)f(x，y)?4，證明：當(dāng)點(x，y)沿通過原點的任意直線(y?mx)趨23(x?y)于（0,0）時，函數(shù)f(x，y)存在極限，且極限相等.但是，此函數(shù)在原點不存在極限.（提示：在拋物線y?x上討論.)2x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數(shù)f(x，y)?2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點2x?y??（0，0）存在極限（關(guān)于D).5.求下列極限： 1）limx?ysinxy；

2）； limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?422x?0y?03）lim(x?y)In(x?y)；

（提示：設(shè)x?rcos?，y?rsin?）

4）limx?0y?0(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2.

第四篇：多元函數(shù)

第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

分布圖示

★ 領(lǐng)域★平面區(qū)域的概念

★ 多元函數(shù)的概念★ 例1★ 例

2★ 二元函數(shù)的圖形

★ 二元函數(shù)的極限★ 例3★ 例

4★ 例5★ 例6★ 例7

★ 二元函數(shù)的連續(xù)性★ 例 8

★ 二元初等函數(shù)★ 例 9-10

★ 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

★ 內(nèi)容小結(jié)★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題6-2

內(nèi)容提要：

一、平面區(qū)域的概念：內(nèi)點、外點、邊界點、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域

二、多元函數(shù)的概念

定義1 設(shè)D是平面上的一個非空點集，如果對于D內(nèi)的任一點(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實數(shù)z與之對應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的函數(shù)值記為f(x,y)，即z?f(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集{z|z?f(x,y),(x,y)?D}稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)n?2時, n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限

定義2 設(shè)函數(shù)z?f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點P(x,y)無限趨于點P0(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z?f(x,y)當(dāng)(x,y)?(x0,y0)時的極限.記為

x?x0y?y0limf(x,y)?A.或f(x,y)?A（(x,y)?(x0,y0)）

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)P?P0

二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0),則稱z?f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z?f(x,y)在點(x0,y0)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z?f(x,y)在(x0,y0)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算和復(fù)合運算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結(jié)論，當(dāng)要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點的極限時，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 若在D上取得兩個不同的函數(shù)值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講：

多元函數(shù)的概念

例1某公司的總成本（以千元計）為

C(x,y,z,w)?5x?4y?2z?ln(w?1)

其中x是員工工資，y是原料的開銷，z是廣告宣傳的開銷，w是機器的開銷.求2C(2,3,0,10).解 用2替換x，3替換y，0替換z，10替換w，則C(2,3,0，10)?5?2?4?3?0?ln(10?1)

?29.6（千元）。

例2（E02）求二元函數(shù)f(x,y)?2arcsin(3?x2?y2)

x?y2的定義域.22??3?x?y?1解? 2??x?y?0

?2?x2?y2?4 ?2?x?y

所求定義域為D?

{(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}.例3（E03）已知函數(shù)f(x?y,x?y)?解設(shè)u?x?y,v?x?y,則 x2?y2x2?y2, 求f(x,y).x?u?vu?v,y?, 22

22?u?v??u?v??????2uv2??2??故得f(u,v)??, 2222u?v?u?v??u?v???????2??2?

即有f(x,y)?2xy.x2?y2

二元函數(shù)的極限

例4（E04）求極限 lim(x2?y2)sinx?0y?01.22x?y

解令u?x2?y2,則

lim(x2?y2)sinx?0

y?011=0.?limusin22u?0ux?y

例5 求極限limx?0

y?0sin(x2y)x?y22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2u?xy?1, ?22, 其中l(wèi)im解li22?li2limx?0x?0x?yx?0u?0uxyx?yx2yy?0y?0y?0x2y

x2?y2?12xy1?x?x2x2?y22x?0????0, sin(x2y)所以lim22?0.x?0x?yy?0

例6求極限 limx?y.x??x2?y2

y??

解當(dāng)xy?0時，0?x?yx?y11x?y???0(x??,y??), ??2y2x2xyx2?y2x2?y2

所以limx?y

x???0.y??x2?y2

例7（E05）證明limxy

x?0x2?y2不存在.y?0

證取y?kx(k為常數(shù)),則

limxy

x?0x2?y2?limx?kxk

x?0?2,y?0y?kxx2?k2x21?k易見題設(shè)極限的值隨k的變化而變化,故題設(shè)極限不存在.例8 證明limx3y

x?06不存在.y?0x?y2

證取y?kx3,limx3y

x?0x6?y2?limx3?kx3k

x?0x6?2,其值隨k的不同而變化,y?0y?kx3?k2x61?k

限不存在.二元函數(shù)的連續(xù)性

?x3?y3

例9討論二元函數(shù)f(x,y)???x2?y2,(x,y)?(0,0)在(0,0)處的連續(xù)性.??0,(x,y)?(0,0)

解由f(x,y)表達式的特征，利用極坐標變換： 令x??cos?,y??sin?,則

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?lim??0?(sin3??cos3?)?0?f(0,0), 所以函數(shù)在(0,0)點處連續(xù).例10（E06）求lim??ln(y?x)y?

x?0?.y?1????x2?

?

解l?

x?i0m?lny(?x)?y???1???1.y?1??x???ln1(?0)????02?

?

例11求limex?y

x?0x?y.y?1故極

ex?ye0?1ex?y??2.解因初等函數(shù)f(x,y)?在(0,1)處連續(xù)，故limx?0x?y0?1x?y

y?1

課堂練習(xí)

y??1.設(shè)f?x?y,??x2?y2, 求f(x,y).x??

2.若點(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(x0,y0)時, 函數(shù)f(x,y)都趨向于A, 能否斷定

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? ?xy2,x2?y2?0?243.討論函數(shù)f(x,y)??x?y的連續(xù)性.?2x?y2?0?0,

第五篇：多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、平面點集與多元函數(shù)

（一）平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環(huán).圓的個部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.（二）點集的基本概念: 1.內(nèi)點、外點和界點：集合E的全體內(nèi)點集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內(nèi)點?E, 外點?E, 界點不定.2.聚點和孤立點: 孤立點必為界點.例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內(nèi)點、外點集、邊界和聚點.intE?E時稱E為開集,E的聚點集?E時稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點集均為區(qū)域.5.有界集與無界集: 6.點集的直徑d(E)：兩點的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數(shù): 1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數(shù): 4.n元函數(shù): 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數(shù)的極限

（一）.二元函數(shù)的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設(shè)f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個子集E ,只要點P0是E的聚點,就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?D推論1 設(shè)E1?D,P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設(shè)E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對D內(nèi)任一點列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數(shù)列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設(shè)f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設(shè)f(x,y)???1,0,當(dāng)0?y?x2,???x???時，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設(shè)f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22x?yx2?y2例9 設(shè)f(x,y)?2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.2x?y例10 設(shè)f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1y在點(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時, 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時, 全面極限不存在.注: 兩個累次極限中一個存在,另一個不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數(shù)的連續(xù)性

（一）二元函數(shù)的連續(xù)概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設(shè)f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設(shè)f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(0 , 0)f對x和y分別連續(xù).2.函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.3.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.4.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.