第一篇：高數(shù)極限習題及答案

練習題

1.極限

(1)lim1?x?x3?x32x??(2)limx?5x?6x?8x?15x?1x222x?3(3)limx?1x?12x?1(4)limx???

?x?1???0lim??ax?b?x???x?1(5)已知, ??求常數(shù)a, b.xsin(6)2limx?0?x?1?x?lim?x???x2?1???sinx

(7)

12x2

(8)limxx?01?2x

(9)

limln(1?3x)sinx

x?0(10)??x?limxe?1???x????

12.函數(shù)的連續(xù)性

(1)確定b的值, 使函數(shù)

?2x?by?f(x)??x?1?e在x=0點連續(xù).(2)確定a, b的值, 使函數(shù)

x?0x?0

y?f(x)?lim在整個實數(shù)軸上連續(xù).x2n?1?axx2n2?bx

n???1(3)討論下列函數(shù)的連續(xù)性, 并判斷其間斷點的類型.① f(x)?sixnx ?x2?1??1f(x)??x2?1?②

??01x?0x?0

3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)設f(x)?x(2)若

n?xn?1???x?1, 證明：

f(x)?A, f(x)有一個不大于1的正根.f(x)?C(??,??)，且limx??證明:

f(x)在(??,??)內(nèi)有界.提高 1of(x)在(??,??)內(nèi)至少有一個最值存在.2o 對于最值與A間的任意值C, 存在?1,?2, 使得

f(?1)?f(?2)?C.2.函數(shù)的連續(xù)性

(1)確定b的值, 使函數(shù)

?2x?by?f(x)??x?1e?x?0x?0 在x=0點連續(xù).解:f(0)?limf(x)?b?limf(x)?ex?0??1x?0?

(2)確定a, b的值, 使函數(shù)

y?f(x)?lim在整個實數(shù)軸上連續(xù).?1x?1?x?2ax?bxx?1??解:y?f(x)??1?a?bx?1?2???1?a?bx??1?2?f(1)?x2n?1?axx2n2?bx

n???1

1?a?b?lim?f(x)?1?lim?f(x)?a?b x?1x?12?1?a?b?lim?f(x)??1?lim_f(x)?a?b x??1x??12b??1f(?1)?a?0，(3)討論下列函數(shù)的連續(xù)性, 并判斷其間斷點的類型.① f(x)?sixnx

解: x=0為可去間斷點.?x2?1??1f(x)??x2?1?②

??0x?0?1x?0x?0

解:limf(x)?1?limf(x)??1, x=0為跳躍間斷點.x?0?

3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)設f(x)?x解: 若n=1, 則顯然有解x=1.若n>1, 則f(0)??1?0,n?xn?1???x?1, 證明：

證明: f(x)有一個不大于1的正根.f(1)?n?1?0, 由零點定理可知在(0, 1)內(nèi)至少有一個根..(2)若f(x)?C(??,??), 且limx??f(x)?A, f(x)在(??,??)內(nèi)有界.解: 由limf(x)?A可知: ?X?0, 當x?X時, f(x)?A?1, 故f(x)?A?1

x??由f(x)?C(??,??)可知f(x)?C[?X?1,X?1], 故?M1?0,當x?X?1時, f(x)?M1 取M?max{M1,A?1}即可.提高 1of(x)在(??,??)內(nèi)至少有一個最值存在.2o 對于最值與A間的任意值C, 存在?1,?2, 使得

f(?1)?f(?2)?C.證明: 若f(x)?A, 則顯然結(jié)論成立.設存在f(x0)?A, 則存在X>0, 當

f(x0)?A2x?X時, 有

f(x)?A?

于是:

f(x)?f(x0)?A2?f(x0)由f(x)?C[?X,X], 可知存在??[?X,X]

f(?)?max?f(x):x?[?X,X]??f(?).f(x0)

從而f(x)在(??,??)內(nèi)有最大值對于任意的C, x?X1時，A?C?f(?), 存在X1>0, 當

?C有

f(x)?C?A2?C于是有

f(?X1)?1C?A2.分別在閉區(qū)間[?X結(jié)論2o.,?],[?,X1]上使用介值定理即可得

第二篇：高數(shù)極限習題

第二章 導數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設f(x)在點x0可導,a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

f?(x0)Aabf?(x0)

B(a?b)f?(x0)

C(a?b)f?(x0)

D

答案 C

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設f(x)在x?a的某個鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導的一個充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(A)limh?f?a???f(a)?存在(B)lim存在h?0h???hh????(C)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(D)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 D

解題思路

(1)對于答案(A)，不妨設

1h??x，當h???時，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導數(shù)存在,它并不是可導的充分條件,故(A)不對.?(2)對于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點a處的函數(shù)值f(a)，因此與導數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(B)與(C)兩個極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導，這就說明(B)與(C)成立并不能保證f?(a)存在，從而(B)與(C)也不對.(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件D是f?(a)存在的一個充分必要條件.例3(00103)設f(0)?0,則f(x)在點x?0可導的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(A)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(B)lim1h1hh?0f(1?e)存在

h(C)limh?02f(h?sinh)存在(D)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

答案 B

解題思路

(1)當h?0時, 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當h?0時,u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當h?0時,恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當h?0時, 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當h?0時, ?h?o(h)既能取正值,又能取負值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價.(3)當h?0時, 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點x?0可導一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在點x?0可導.h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個不可導點

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解題思路 當函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時,不可導的點就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點,因為函數(shù)零點是分段函數(shù)的分界點.因此需要分別考察函數(shù)在點x0?0,x1?1,x2??1考察導數(shù)的存在性.解 將f(x)寫成分段函數(shù):

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫成分段函數(shù):

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個不可導的點.例5(95103)設f(x)具有一階連續(xù)導數(shù),F(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是F(x)在x?0處可導的()

(A)必要但非充分條件

(B)充分但非必要條件

(C)充分且必要條件

(D)既非充分也非必要條件

答案 C

分析 從F(x)在x?0的導數(shù)定義著手.將F(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

F(x)?F(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limF??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|F(x)?F(0)?lim?limF??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知F??(0)?F??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解題思路 應先去掉f(x)中的絕對值,將f(x)改寫為分段函數(shù)

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導數(shù)的階數(shù)等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點x?0的情況.例8(96203)設??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當x?(??,?)時，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(A)間斷點，(B)連續(xù)而不可導的點，(C)可導的點，且2f'(0)?0

(D)可導的點，且f'(0)?0

答案

C

解 由題目條件易知f(0)?0,因為

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）

例9(87103)設f(x)??x?0,x?0.?

1(A)0

(B)

(C)1

(D)?1

2答案

(C)

解題思路

因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點處的導數(shù)應按導數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當u?0時,e ?1與u是等價無窮小,所以當x?0時,1?e與x是等價無窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時,f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設f(x)可導且f?(x0)??x比較是()的無窮小.(A)等價(B)同階(C)低階(D)高階

答案 B

解題思路

根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(A)連續(xù),且可導

(B)連續(xù),不可導

(C)不連續(xù)

(D)不僅可導,導數(shù)也連續(xù)

答案 B

解題思路

一般來說,研究分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性時,應當分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點處可導性,應當按照導數(shù)定義,或者分別考察左右導數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)是否存在.因此,本題應分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導性.解(1)討論函數(shù)在點x?0處的連續(xù)性

1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數(shù)在點x?0處的可導性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導.??x

例12 設f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點x?0可導,但是f?(x)導數(shù)在點x?0不連續(xù),則

A0?p?1

B1?p?2

C0?p?2

D1?p?答案 B

解題思路

(1)當p?1時,下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當p?1時, x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說,只有當p?1時, f?(0)才存在,所以選項A,C可以被排除.(2)當p?1時

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當且僅當p?2?0,即p?2時,limf?(x)?0?f?(0),所以當且僅當1?p?2時，x?0f(x)在點x?0可導,但是f?(x)在點x?0不連續(xù).例13(95403)設f(x)可導，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(A)2,(B)?2,(C),(D)?1

答案 B

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設y?ln(1?2x),則y

(A)(10)?()

9!(1?2x)10

(B)?9!(1?2x)10

(C)10!?2910(1?2x)

(D)?9!?21010(1?2x)

答案 D

解題思路

求高階導數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導數(shù);找出規(guī)律,即可寫出高階導數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).例17

(90103)設函數(shù)f(x)有任意階導數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解題思路 這是一個求高階導數(shù)的問題,涉及到求抽象函數(shù)的導數(shù).解

由f(x)有任意階導數(shù)且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當n?1,n?2時雖然(B)也正確,但當n?2就不正確了,所以將(B)排除之;

?222(2)在求導數(shù)f(x)時,可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學者可能會這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個因子f?(x).則根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數(shù),則（）(A)a?0,b??

2(B)a?1,b??3

(C)a??3,b?

1(D)a??1,b??1

答案 D

解題思路

兩曲線在某點相切就是指兩曲線在此公共點處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應相等.解

曲線y?x?ax?b在點(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導數(shù)得到: 對于方程2y??1?xy兩邊求導得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(A)limg(x)?0且g'(0)?0，(B)limg(x)?0且g'(0)?1

x?0x?0(C)limg(x)?1且g'(0)?0

(D)limg(x)?0且g'(0)?2

x?0x?0 答案 D

解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達式,并運用f(x)在x?0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)

(C)連續(xù),但不可導(D)可導

答案 D

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導,則(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點的左導數(shù)等于右導數(shù),因而 f(x)在x?0處可導.x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）

? 例21 設f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 設f(x)是可導函數(shù),則()A.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)B.若f(x)為單調(diào)函數(shù)C.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)D.若f(x)為非負函數(shù) 答案 A

解題思路 根據(jù)導數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調(diào)函數(shù) ,則f?(x)為非負函數(shù)

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設y?esinsin22x,則dy?()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解題思路 運用復合函數(shù)微分法

例 24 設f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當x?0時,有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當x?0時,sinx與x是等價無窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價無窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因為f?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設f(x)?? 在點x?0可導,則()x?ax?b,x?0?A.a?1,b??2 B.a?1,b?0 C.a??1,b???2 D.a??1,b??2

答案D

解題思路 先考察函數(shù)在點x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導數(shù).由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有

(A)f?(x)?0,f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0

(C)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 C

解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).

第三篇：高數(shù)極限求法總結(jié)

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？ 各個章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個方面

首先 對 極限的總結(jié) 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負與極限一致 極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！??！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提?。?！

必須是 X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點 數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死?。?/p>

必須是 0比0 無窮大比無窮大?。。。?！

當然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況 0比0 無窮比無窮 時候 直接用 0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了 3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母?。。。。?！看上去復雜處理很簡單?。。。。?/p>

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了?。?/p>

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要！?。Φ谝粋€而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式（地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。。‘攛趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的

14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導數(shù)定義?。。?/p>

（從網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)，謝謝總結(jié)者）

第四篇：高數(shù)競賽練習題答案(函數(shù)、極限、連續(xù))

函數(shù)、極限、連續(xù)

1.f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又f(a)?g(a),f(b)?g(b),證明：(1)???(a,b),使f(?)?g(?)

(2)???(a,b),使f??(?)?g??(?)證明：設f(x),g(x)分別在x?c,x?d處取得最大值M，不妨設c?d(此時a?c?d?b)，作輔助函數(shù)F(x)?f(x)?g(x),往證???(a,b),使F??(?)?0

令F(x)?f(x)?g(x),則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)二階可導，且F(a)?F(b)?0，① 當c?d，由于 F(c)?f(c)?g(c)?M?g(c)?0F(d)?f(d)?g(d)?f(d)?M?0由“閉.連.”零點定理，???[c,d]?(a,b),使f(?)?g(?)② 當c?d，由于F(c)?f(c)?g(c)?f(c)?g(d)?M?M?0即???(a,b),使f(?)?g(?)

對F(x)分別在[a,?],[?,b]上用羅爾定理，??1?(a,?),?2?(?,b)，使

在[?1,?2]上對F(x)在用羅爾定理，F(xiàn)?(?1)?F?(?2)?0，???(?1,?2)?(a,b)，使F??(?)?0，???(a,b),使f??(?)?g??(?).2.設數(shù)列{xn}滿足0?x1??,xn?1?sinxn,n?1,2,?

xn存在，并求該極限(1)證明limn??

xn?1x1n(2)計算lim()n??xn

分析：(1)確定{xn}為單調(diào)減少有下界即可

1xn，用洛必達法則.(2)利用(1)確定的limn??

解：易得0?xn?1(n?2,3,?)，所以xn?1?sinxn?xn,n?(2,3,?)，即{xn}為

xn存在，并記為limxn?a,則a?[0,1]，單調(diào)減少有下界的數(shù)列，所以 lim n??n??

對等式xn?1?sinxn?xn,兩邊令n??取極限，得a?sina,a?[0,1]，所以

a?0,即limxn?0.n??

lim((2)n

??

xn?1sinxn)?lim()

n??xnxn

2xn

2xn

令t?xn

?lim（t?0

sint)?et?0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t?0

t

ln(sin)ttsint

ln[1?(sin?1)]?1-1t2sint?t洛cost?11tt2

?lim?lim?lim?lim?lim?? t?0t?0t?0t?0t?03t2t2t2t33t26

xn?1xn?1

所以lim()?e.n??xn

3.已知f(x)在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導，且f(0)?0,f(1)?1，證明：(1)???(0,1),使f(?)?1??，(2)存在兩個不同點?,??(0,1),使f?(?)f?(?)?1

證：(1)令F(x)?f(x)?x?1，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且

F(0)??1?0,F(1)?1?0，由“閉.連.”零點定理，???(0,1),使F(?)?0,即f(?)?1??

(2)f(x)在[0,?],[?,1]上都滿足拉格朗日中值定理，所以

???(0,?),??(?,1)，使

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),f(1)?f(?)?f?(?)(1??)，即

f?(?)?f?(?)?

f(?)

?

?

1??

?

1?f(?)1?(1??)?

??1??1??1??

?f?(?)f?(?)?

1??

?

?

?

1??

?1

4.設方程xn?nx?1?0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正

?

實根xn，并證明當??1時，級數(shù)?xn收斂.n?1?

證：令f(x)?xn?nx?1,則f(x)在(0,??)上連續(xù)，且

f(0)??1?0,f()?()n?0

nn

所以由連續(xù)函數(shù)的零點定理，所給方程在(0,)內(nèi)有根，又由f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，所以所給方程(0,)內(nèi)只有唯一的根，在(，?)上無根，即所給方程存在唯一的正實根xn.?

?由上述知，對n?1,2,?，有0?xn?,有0?xn

?

1n

1n1n

1n

1n1，n?

此外，由??1知，級數(shù)?

收斂，所以由正項級數(shù)比較審斂法，知?

n?1n

?x?收斂.nn?1

?

5.求lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

x?0ln(1?x)

解：lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

=e

lim

lncosx，其中l(wèi)imln(1?x

x?0

lncosx)

?lim

x?0

ln[1?(cosx?1)]ln(1?x)

?lim

x?0

?x22x

??

(cosx)所以，limx?0

ln(1?x)

?e

?

6.f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)?0,f?(0)?0,若

af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0時是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.解1：（利用導數(shù)定義）

0?lim

af(h)?bf(2h)?f(0)af(h)?af(0)?af(0)?bf(2h)?bf(0)?bf(0)?f(0)

?lim

h?0h?0hhaf(h)?af(0)bf(2h)?bf(0)[(a?b)?1]f(0)[(a?b)?1]f(0)?lim?lim?lim?(a?b)f?(0)?limh?0h?0h?0h?0hhhh

?a?b?1

?由f(0)?0,f(0)?0,得?,即a?2,b??1

a?2b?0?

解2：按解1，只要假定f(x)在x?0處可導即可，但在題中“f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)”的假定下，有以下解法：由lim

h?0

h?0

af(h)?bf(2h)?f(0)

?0得 limaf(h)?bf(2h)?f(0)=0

h?0h

即0?limaf(h)?bf(2h)?f(0)?(a?b?1)f(0)，由f(0)?0,得a?b?1（1）

af(h)?bf(2h)?f(0)洛

?limaf?(h)?2bf?(2h)?(a?2b)f?(0)且f?(0)?0,又由0?lim

h?0h?0h

所以 a?2b?0（2）

由（1）、（2）得a?2,b??1.?2?esinx?

?.7.求lim?4??x?0x??1?e?

解：

?2e??e?sinx??2?esinx?

??1 ???lim?lim?4?4????x?0x?0?x?x??1?e??e?1??2?esinx??2?esinx?

?????1 lim?lim4?4??????x?0x?x?0?1?ex??1?e?

所以 原式 = 1

8.求lim

x?0

143

?x??x?2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

?x??x?2?[1?

1111

x?x2?o(x2)]?[1?x?x2?o(x2)]?22828(x?0)

??x2?o(x2)~?x2

所以

1?x2

?x??x?2??1lim?limx?0x?0x2x24

解2：（洛必達法則）

?

?x??x?2洛必達lim?limx?0x?0x22x1?x??x1

?lim?lim x?0?x?x4x?0x

1?2x1?lim.??4x?0x(?x??x)4

第五篇：高數(shù)課件-函數(shù)極限和連續(xù)

一、函數(shù)極限和連續(xù)自測題

1,是非題

（1）無界變量不一定是無窮大量

（）（2）若limf(x)?a，則f(x)在x0處必有定義

（）

x?x012x（3）極限lim2sinx?limx?0

（）

x???x???33x2，選擇題

（1）當x?0時，無窮小量1?x?1?x是x的（）A．等價無窮小

B.同階但不等價

C.高階無窮小

D.低價無窮小

?x?1?1x?0?（2）設函數(shù)f(x)??，則x?0是f(x)的（）x?0x?0?A.可去間斷點 B.無窮間斷點

C 連續(xù)點

D 跳躍間斷點

?exx?0（3）設函數(shù)f(x)??，要使f(x)在x0處連續(xù)，則a?

（）?a?xx?0A.2

B 1

C 0

D ?1

3n2?5n?1?

（）（4）lim2n??6n?3n?2A 151

B ?

C ?

D ? 2321?xsinx?0??x(5)設f(x)??，則在x?0處f(x)

（）

?1sinx?1x?0??xA 有定義

B 有極限

C 連續(xù)

D左連續(xù)

3(6)x?1是函數(shù)y?x?1的（）x?1A 可去間斷點

B 無窮間斷點

C 連續(xù)

D跳躍間斷點

3.求下列極限

（1）limx??x?sinxsin(?2x)x?2?3

（2）lim

（3）lim

x?0x?12xln(1?2x)x?1e?2x?1（4）lim

（5）limn[ln(1?n)?lnn]

（6）lim(sinn?1?sinn)

n??n??x?0x2x?3x?2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x?1?x)x??2x?1x?01?cosx2x??cosx?cosaarctanxex?ex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

x?ax??x?x0x?xx?ax0x2?32x2?1sin(x?1))（13）lim

（14）lim(2

x??x?1x?1x?24，求滿足下列條件的a,b的值

1x2?x?a?b

（2）lim(3x?ax2?x?1)?（1）limx???x?26x?2?tanaxx?0ax?b??2

(4)已知f(x)??x（3）lim且limf(x)存在

x?0x?1x?2?x?2x?0?x??1??2?2（5）已知f(x)??x?ax?b?1?x?1在(??,??)內(nèi)連續(xù)

?2x?1??sin2x?e2ax?1x?0?(6)函數(shù)f(x)??在x?0點連續(xù) x?ax?0?5．求下列函數(shù)的間斷點并判斷其類型

?x?1x?11?cosxx2?1（1）y?2

（2）y??

（3）f(x)?

sinxx?3x?2?3?xx?1?1x?0x?（4）f(x)??ex?1

（5）y?

tanx??ln(1?x)?1?x?026.已知x??1時，x?ax?5x?1是同階無窮小，求a

7.證明方程x?4x?2?0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個根 8.當x?0時，e?ln(1?x)?1與x是同階無窮小，求n 9.設函數(shù)f(x)?a,(a?0,a?1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)?f(n)]

n??n2