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      推理與證明隨堂練習(xí)

      時間:2019-05-12 20:34:09下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《推理與證明隨堂練習(xí)》,但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助,當(dāng)然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《推理與證明隨堂練習(xí)》。

      第一篇:推理與證明隨堂練習(xí)

      第二章 推理與證明隨堂練習(xí)

      1、.對于任意正實數(shù)a,b

      成立的一個條件可以是____.例

      2、已知拋物線有性質(zhì):過拋物線的焦點作一直線與拋物線交于A、B兩點,則當(dāng)AB與拋物線的對稱軸垂直時,AB的長度最短;試將上述命題類比到其他曲線,寫出相應(yīng)的一個真命題為.

      3、定義[x]為不超過x的最大整數(shù),則[-2.1]=

      4、通過觀察下列等式,猜想出一個一般性的結(jié)論,并證明結(jié)論的真假。sin2150?sin2750?sin21350?33202020;sin30?sin90?sin150?;2

      233202020;sin60?sin120?sin180?22sin2450?sin21050?sin21650?

      5、(2008佛山二模文、理)對大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式: 22?1?332?1?3?542?1?3?5?7

      23?3?533?7?9?1143?13?15?17?19根據(jù)上述分解規(guī)律,則52?1?3?5?7?9, 若m3(m?N*)的分解中最小的數(shù)是73,則m值為.例

      6、(2008惠州調(diào)研二理)函數(shù)f(x)由下表定義:

      x5321

      4f(x)1 2 3 4 5若a0?5,an?1?f(an),n?0,1,2,...,則a2007?

      7、(2008深圳調(diào)研)圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”,按同樣的方式構(gòu)造圖形,設(shè)第n個圖形包含f(n)個“福娃迎迎”,則f(5)?;f(n)?f(n?1)?.(答案用數(shù)字或n的解析式表示)

      8、現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題:如圖,同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形,其a

      2中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間,4有兩個棱長均為a的正方體,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為.

      9、在平面直角坐標系中,直線一般方程為Ax?By?C?0,圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)?(y?y0)?r;則類似的,在空間直角坐標系中,平面的一般方程為 1 22

      2________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.例

      10、(1)已知等差數(shù)列的定義為:在一個數(shù)列中,從第二項起,如果每一項與它的前一項的差都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.

      類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義:;

      (2)已知數(shù)列an是等和數(shù)列,且a1?2,公和為5,那么a18的值為____________.這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為_____________________________________.

      11、已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立.(1)函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M?說明理由;

      (2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點,證明: f(x)=ax∈M;

      (3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M ,求實數(shù)k的取值范圍.??????例

      12、定義a*b是向量a和b的“向量積”,它的長度|a*b|?|a|?|b|?sin?,其中?為向??????量a和b的夾角,若u?(2,0),u?v?(1,則|u*(u?v)|=.例

      13、為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文?密文(加密),接受方由密文?明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接受方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為().

      A. 4,6,1,7B. 7,6,1,4C. 6,4,1,7D. 1,6,4,7

      14、對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)?(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a?c,b?d;運算“?”為:(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad);運算“?”為:(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d),設(shè)p,q?R,若(1,2)?(p,q)?(5,0),則(1,2)?(p,q)????()

      A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,?4)

      15、對于集合A,B,定義運算A?B?{x|x?A且x?B},則A?(A?B)=()

      A.BB.AC.A?BD.A?B

      16、給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):

      ①“若a、b?R,則a?b?0?a?b”類比推出“a、c?C,則a?b?0?a?b”②“若a、b、c、d?R,則復(fù)數(shù)a?bi?c?di?a?c,b?d”類比推出 “a、b、c、d?Q,則a?b2?c?d2?a?c,b?d”

      ③“若a、b、?R,則a?b?0?a?b”類比推出“若a、b?C,則a?b?0?a?b”

      ④“若x?R,則|x|?1??1?x?1”類比推出“若z?C,則|z|?1??1?z?1”其中類比結(jié)論正確的個數(shù)有 ....

      A.1 B.2C.3D.4()

      17、如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,?,xn,f(x1)?f(x2)???f(xn)x?x2???xn?f(1).若y?sinx在區(qū)間(0,?)上是nn

      凸函數(shù),那么在?ABC中,sinA?sinB?sinC的最大值是________________.1?x例

      18、設(shè) f?x??,又記f1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,?, 則1?x

      f2008?x??()

      1?xx?11A.;B.;C.x;D.?; 1?xx?1x

      a?a2???an例

      19、(1)已知等差數(shù)列?an?,bn?1(n?N),求證:?bn?仍為等差n都有

      數(shù)列;

      (2)已知等比數(shù)列?cn?,cn?0(n?N),類比上述性質(zhì),寫出一個真命題并加以證明.

      例20、我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M:函數(shù)y?f(x)(x?D),對任意

      x?yx?y1?D均滿足f()?[f(x)?f(y)],當(dāng)且僅當(dāng)x?y時等號成立。22

      2(1)若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)∈M,試比較f(3)?f(5)與2f(4)大小.x,y,(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2,求證:g(x)∈M.例21、對于定義域為?0,1?的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三條:①對任意的x??0,1?,)(1?;總有f(x)?0;②f1③若x1?0,x2?0,x1?x2?1,都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)

      成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).

      (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),求f(0)的值;

      (2)判斷函數(shù)g(x)?2?1(x?[0,1])是否為理想函數(shù),并予以證明;例

      22、證明:若a,b?0,則lgxa?blga?lgb? 2

      2例23.在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC 例24.已知a?b?0,求證a??a?b

      例25.若a?b?c?d?0且a?d?b?c,求證:d?a??c

      例26.已知a,b?R,a?b?1,求證:(a?2)?(b?2)?

      例27.已知f(x)?a?x2225 2x?2(a?1),證明方程f(x)?0沒有負數(shù)根 x?

      1*例28.某個命題與正整數(shù)n有關(guān),若n?k(k?N)時該命題成立,那么可推得n?k?1時

      該命題也成立,現(xiàn)在已知當(dāng)n?5時該命題不成立,那么可推得

      A.當(dāng)n?6時,該命題不成立B.當(dāng)n?6時,該命題成立

      C.當(dāng)n?4時,該命題不成立D.當(dāng)n?4時,該命題成立

      例29.已知a、b、c成等差數(shù)列且公差d?0,求證:111、、不可能成等差數(shù)列 abc

      a?2x?a?2例30.設(shè)函數(shù)f(x)?為奇函數(shù).2x?1

      (Ⅰ)求實數(shù)a的值;(Ⅱ)用定義法判斷f(x)在其定義域上為增函數(shù)

      例31.設(shè),為非零向量,且,不平行,求證?,?不平行

      例32.已知?為銳角,且tan??

      22?1,函數(shù)f(x)?xtan2??x?sin(2???

      4),數(shù)列{an}的首項a1?1,an?1?f(an).2

      ⑴ 求函數(shù)f(x)的表達式; ⑵ 求證:an?1?an;

      111?????2(n?2,n?N*)⑶ 求證:1?1?a11?a21?an

      例33.(1)已知n是正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明時,若已假設(shè)n=k(k?2且為偶數(shù))時命題為真,則還需證明()

      A.n=k+1時命題成立B.n=k+2時命題成立

      C.n=2k+2時命題成立D.n=2(k+2)時命題成立

      (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?3???(2n?1)(n?N?),從“k到k+1”左端需乘的代數(shù)式是()

      2k?12k?3D.k?1k?1

      111?n,(n?N?,n?1)時,(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+++??n在第二步證明從n=k232?1A.2k+1B.2(2k?1)C.到n=k+1成立時,左邊增加的項數(shù)是()

      A.2B.2?1C.2kkk?1D.2?1 k

      1(n?1)2 2

      11111111????...?例35.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:1????...? 2342n?12nn?1n?22n例34.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式?2?2?3???n(n?1)?

      5an例36.數(shù)列{an}中,a1?,an?1?用數(shù)學(xué)歸納法證明:an?2(n?N?)(n?N?),22(an?1)

      例37.在數(shù)列{an}中,a1?tanx,an?1?21?an,1?an

      (1)寫出a1,a2,a3;(2)求數(shù)列{an}的通項公式

      n(n?1)(2n?1)6

      例39.證明:1?(x?3)n,(n?N?)能被x?2整除 例38.求證:1?2???n?222例40.數(shù)列?an?滿足a1?1且an?1?(1?11)a?(n?1).,用數(shù)學(xué)歸納法證明:n2nn?n2an?2(n?2);

      第二篇:推理與證明練習(xí)

      推理與證明課后練習(xí)

      一、選擇題

      1.觀察下列各式:1?1,2?3?4?3,3?4?5?6?7?5,4?5?6?7?8?9?10?7,以得出的一般結(jié)論是()

      A.n?(n?1)?(n?2)?

      B.n?(n?1)?(n?2)?

      C.n?(n?1)?(n?2)?

      D.n?(n?1)?(n?2)??(3n?2)?n2?(3n?2)?(2n?1)2 ?(3n?1)?n2 2222,可?(3n?1)?(2n?1)

      22.求證:3?7?25,下述證明過程應(yīng)用了()

      A.綜合法 B.綜合法、分析法配合使用 C.分析法 D.間接證法 證明過程:因為3?7和2都是正數(shù),所以為了證明3?7?2 只需證明?7???25?,展開得10?22221?20,21?5,只需證明21?25.因為21?25,所以不等式3?7?

      2a?b”假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()a?b3.用反證法證明“如果,那么

      A.a(chǎn)?bB.a(chǎn)?b

      3333333a?ba?ba?b?bC. 且D. 或

      4.用反證法證明:將9個球分別染成紅色或白色,那么無論怎么染,至少有5個球是同色的。其假設(shè)應(yīng)是()

      A.至少有5個球是同色的 B.至少有5個球不是同色的C. 至多有4個球是同色的 D.至少有4個球不是同色的5.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示:

      3按照上面的規(guī)律,第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()

      A.6n?2 B.8n?2 C.6n?2 D.8n?2

      2347?49,7?343,7?2401,?則72011的末兩位數(shù)字為()6.觀察下列各式

      A.01 B.43 C.07 D.49

      7.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊,圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,至第七個

      疊放的圖形中,小正方體木塊總數(shù)就是()

      A.25 B.66 C.91 D.120

      二、解答題

      1?b1?aa?0,b?0且a?b?2,求證:,ab中至少有一個小于2.8.已知

      9.求證: ?5 > 22?7

      10.若a、b、c是不全相等的正數(shù).

      求證:lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2>lga+lgb+lgc.11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則|FP1|、|FP2|、|FP3|之間有什么關(guān)系(梯形中位線)。

      12.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通過計算a2、a3、a4,猜想an,并證明。

      第三篇:推理與證明

      第3講 推理與證明

      【知識要點】

      1.歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

      2.類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3.類比推理的一般步驟:

      ①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

      ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想)【典型例題】

      1、(2011?江西)觀察下列各式:7=49,7=343,7=2401,?,則7

      34201

      1的末兩位數(shù)字為()

      A、01 B、43 C、07 D、49

      2、(2011?江西)觀察下列各式:5=3125,5=15625,5=78125,?,則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

      3、(2010?臨潁縣)平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行,由此類比思維,我們可以得到()A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

      4、(2007?廣東)設(shè)S是至少含有兩個元素的集合,在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a,b∈S,對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素與之對應(yīng))有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是()

      A、(a*b)*a=a B、[a*(b*a)]*(a*b)=a C、b*(b*b)=b D、(a*b)*[b*(a*b)]=b

      5、(2007?廣東)如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖.公司在年初分配給A,B,C,D四個維修點某種配件各50件.在使用前發(fā)現(xiàn)需將A,B,C,D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40,45,54,61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行,那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動件次(n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n)為()

      A、15 B、16 C、17 D、18

      6、(2006?陜西)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為()A、4,6,1,7 B、7,6,1,4 C、6,4,1,7 D、1,6,4,7

      7、(2006?山東)定義集合運算:A⊙B={z︳z=xy(x+y),x∈A,y∈B},設(shè)集合A={0,1},B={2,3},則集合A⊙B的所有元素之和為()

      A、0 B、6 C、12 D、18

      7201

      1的末四位數(shù)字為()

      8、(2006?遼寧)設(shè)⊕是R上的一個運算,A是V的非空子集,若對任意a,b∈A,有a⊕b∈A,則稱A對運算⊕封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是()A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

      9、(2006?廣東)對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運算“?”為:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運算“⊕”為:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)=()A、(4,0)B、(2,0)C、(0,2)D、(0,-4)

      10、(2005?湖南)設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,則f2005(x)=()

      A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

      11、(2004?安徽)已知數(shù)列{an}滿足a0=1,an=a0+a1+?+an-1,n≥

      1、,則當(dāng)n≥1時,an=()A、2 B、n

      C、2 D、2-

      1n-1n

      12、若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N*),則a17=()

      A、1 B、2 C、D、2-987

      13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,有,則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)(從左往右數(shù))為()A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=()

      1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111.

      A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

      15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表,根據(jù)規(guī)律,從2008到2010,箭頭方向依次是()

      A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是()(1)通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5;(2)函數(shù)f(x)=x2-|x|為偶函數(shù);

      (3)科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼. A、演繹推理,歸納推理,類比推理 B、類比推理,演繹推理,類比推理 C、歸納推理,合情推理,類比推理 D、歸納推理,演繹推理,類比推理

      17、下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理; ②歸納推理是由一般到一般的推理; ③演繹推理是由一般到特殊的推理; ④類比推理是由特殊到一般的推理; ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理. A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

      18、在古希臘,畢達哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,?這些數(shù)叫做三角形數(shù),因為這些數(shù)對應(yīng)的點可以排成一個正三角形,則第n個三角形數(shù)為()A、n B、1、(2011?陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律,第五個等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.

      2、(2011?陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

      照此規(guī)律,第n個等式為 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 .

      C、n-1 D、2

      第四篇:推理與證明

      推理與證明

      學(xué)生推理與證明的建立,是一個漫長的過程,這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語時候起,小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么,可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué),教材里也有簡單的說理,小學(xué)教材里有簡單地說理題,意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

      初中新教材對推理與證明的滲透,也是從說理開始的,但內(nèi)容比較少,也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理,也就是證明。剛開始推理的步驟,是簡單的兩三步,接著到四五步,后面還一定要求學(xué)生寫清楚為什么。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的時候,好多學(xué)生在后面的括號里不寫為什么,我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過程,一個小孩剛開始學(xué)走路的時候,需要大人或其他可依附的東西,漸漸地,她會脫離工具自己走。學(xué)習(xí)證明的過程亦如此,起先在括號里寫清為什么,并且只是簡單的幾步,然后證明比較難一點的,步驟比較多的。

      隨著社會的進步,中學(xué)教材加強了解析幾何、向量幾何,傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊,并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級,直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換,投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解,看了專家的講座,漸漸明白了:這樣編排不是降低了推理能力,而是加強了推理能力的培養(yǎng),體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程,把變換放到中學(xué),加強了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一,但一個不爭的事實是,對演繹推理確實弱了。

      關(guān)于開展課題學(xué)習(xí)的實踐與認識

      新課程教材編排了課題學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容,對授課的老師,還是學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個全新的內(nèi)容,怎樣上好這部分內(nèi)容,對老師、對學(xué)生而言,都是一個創(chuàng)新的機會。至于課題學(xué)習(xí)的評價方式,到現(xiàn)在為止,大多數(shù)省份還是一個空白,考不考?怎樣考?學(xué)習(xí)它吧,學(xué)習(xí)的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來,于是,好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習(xí)吧,課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得,課題學(xué)習(xí)是對某一個問題專門研究,很深!老師不知講到什么程度才合理,學(xué)生不知掌握到什么程度。

      經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓(xùn)的認識,我覺得課題學(xué)習(xí)是“實踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式,是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的,具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí),課本的編寫者安排的主要目的是:

      1.希望為學(xué)生提供更多的實踐與探索的機會。

      2.讓學(xué)生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決,經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

      3.讓學(xué)生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗,使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

      4.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系,以及解決問題的成功喜悅,增進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

      5.使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

      課題學(xué)習(xí)首先提出一個主問題(問題是一個載體),然后給出資料,利用資料挖掘知識。在這個過程中,多關(guān)注知識的價值,淡化數(shù)學(xué)術(shù)語,讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程,激發(fā)學(xué)生參與的熱情,使其體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,始終以學(xué)生為主體,明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。

      第五篇:推理與證明

      推理與證明

      1. 蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,第二個

      圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)

      表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

      __;f(n)=_3n2?3n?

      1__________.2.下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖:

      設(shè)第n個圖有an個樹枝,則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是.

      答案:an?1?2an?

      2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

      3.類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù)?1,?2,使得a??1e1??2e2”,寫出空間向量基本定理是.

      如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量,那么對于空間內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù)

      ????????

      ?1,?2,?3,使得a??1e1??2e2??3e

      34.寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是: 大前提. 小前提結(jié)論

      滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù),大前提

      f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x),小前提

      所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù).結(jié)論5. 已知f(n)?1? 答案:

      12?

      1k

      ?

      ???

      1n

      (n?N),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?

      ?

      n

      n2

      時,f(2k?1)?f(2k)

      等于.

      ?

      12?2

      k

      ???

      k?1

      6lg1

      .5?3a?

      b?clg12?1?a?2b

      7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?

      +n2=

      n

      ?

      n2,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加

      上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

      8?

      ?m,n成立的條件不

      等式.

      當(dāng)m?n?20

      9.在數(shù)列?an?中,a1?2,an?1?

      答案:an?10.

      26n?

      5an3an?1

      (n?N),可以猜測數(shù)列通項an的表達式為?

      若三角形內(nèi)切圓的半徑為r,三邊長為a,b,c,則三角形的面積等于S?

      r(a?b?c),根據(jù)類比推理的方法,若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R,四個面的面積分別是

      V?. S1,S2,S,S,則四面體的體積3

      4答案:R(S1?S2?S3?S4)

      11.已知f(x)?ax?

      x?2x?1

      (a?1),證明方程f(x)?0沒有負數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負數(shù)根,則x0?0且x0??1且ax??

      ?0?a

      x0

      x0?2x0?1,?1?0??

      x0?2x0?1

      解得?1,12

      這與x0?0矛盾,故方程f(x)?0?x0?2,沒有負數(shù)根.12.已知命題:“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列,且an?

      0,則數(shù)列bn?

      n?N)

      ?

      也是等

      比數(shù)列”.類比這一性質(zhì),你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)?并證明你的結(jié)論.

      解:類比等比數(shù)列的性質(zhì),可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是:若數(shù)列?an?是等差數(shù)列,則數(shù)列bn?

      a1?a2???an

      n

      也是等差數(shù)列.

      n(n?1)d

      2n

      ?a1?

      d2(n?1)

      證明如下:

      設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d,則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項,13.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立.

      (1)當(dāng)n?1時,由以上可知等式成立;

      (2)假設(shè)當(dāng)n?k時,等式成立,即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當(dāng)n?k?1時,1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

      a1?a2???an

      n

      na1??,d2

      為公差的等差數(shù)列.

      n?

      n

      對一切正整數(shù)n

      k?

      k,22222222

      222222

      k?(2k?1)·

      k(k?1)

      ?

      (k?1)?

      (k?1)

      由(1)(2)知,等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立.

      14.用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.2×1+11+2

      (1)當(dāng)n=1時,4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,42k+1+3k+2能被13整除,則當(dāng)n=k+1時,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+1時也成立.由(1)(2)知,當(dāng)n∈N*時,42n+1+3n+2能被13整除.15.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù),不等式(1+

      2n?12

      13)(1+)?(1+

      112n?1)>

      均成立.43

      (1)當(dāng)n=2時,左邊=1+=;右邊=

      .∵左邊>右邊,∴不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立,即(1+)(1+)?(1+

      12k?1)>

      2k?12

      12k?1

      .12(k?1)?1

      ]

      則當(dāng)n=k+1時,(1+)(1+)?(1+>

      2k?12)>[1?

      4k

      2k?1

      ·

      2k?22k?1

      =

      2k?222k?1

      =

      4k

      ?8k?4

      ?8k?3

      =

      2k?3

      =

      2(k?1)?1

      .22k?122k?122k?1

      ∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)知,對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明:不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,當(dāng)n>1,n∈N*且a、b、c互不相

      等時,均有:an+cn>2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列,a=∴a+c=

      n

      n

      bq,c=bq(q>0且q≠1),bq

      nn

      +bnqn=bn(1q

      n

      +qn)>2bn.a

      n

      (2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

      ①當(dāng)n=2時,由2(a+c)>(a+c),∴②設(shè)n=k時成立,即則當(dāng)n=k+1時,>

      ?c

      2n

      >(a?c2)n(n≥2且n∈N*)

      a

      ?c2

      ?(a?c2)

      a

      k

      ?c2

      k?

      1k

      ?(?1

      4a?c2),k

      a

      k?1

      ?c2

      (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

      a?c2

      (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

      (ak+ck)(a+c)>()k·(a?c2)=(a?c2)k+1

      17.平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

      證明:(1)當(dāng)n?1時,一個圓把平面分成兩個區(qū)域,而12?1?2?2,命題成立.

      (2)假設(shè)n=k(k≥1)時,命題成立,即k個圓把平面分成k?k?2個區(qū)域.

      當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點,這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧,而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分,因此增加了2k個區(qū)域,共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區(qū)域. ∴n=k+1時,命題也成立.

      由(1)、(2)知,對任意的n∈N*,命題都成立.

      18.如圖(1),在三角形ABC中,AB?AC,若AD?BC,則AB2?BD·BC;若類比該命題,如圖(2),三棱錐A?BCD中,AD?面ABC,若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論?命題是否是真命題.

      解:命題是:三棱錐A?BCD中,AD?面ABC,若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

      為M,則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題. ABC證明如下:

      在圖(2)中,連結(jié)DM,并延長交BC于E,連結(jié)AE,則有DE?BC. 因為AD?面ABC,所以AD?AE. 又AM?DE,所以AE2?EM·ED. 于是S

      △ABC

      ?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD. ?2??2??2?

      19. 已知數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,?),a1=1.(1)設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)cn=

      an2

      n

      (n=1,2,?),求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.(1)∵ Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知,數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.(2)由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

      an2

      n

      (n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

      an?12

      n?1

      an2

      n

      =

      an?1?2an

      n?1

      =

      bn2

      n?1

      .34

      將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知,數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列,它的首項c1=

      a12

      =,故cn=n-(n=1,2,?).131

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