第一篇：高等數(shù)學(xué)(上)(工科)

《高等數(shù)學(xué)》（上）課程教學(xué)大綱

一、課程簡介

（一）課程代碼084020

2（二）課程名稱高等數(shù)學(xué)Higher Mathematics（上）

（三）修讀對象信工

（三）總學(xué)時與學(xué)分90學(xué)時5個學(xué)分

（四）考核方式

采取平時考核與期末考試相結(jié)合的考核方式。平時考核包括作業(yè)、提問、上課發(fā)言等方面的考核，平時成績占20%，期末考試成績占80%,考試要嚴(yán)格要求，實(shí)行考教分離，同一教學(xué)計(jì)劃的班級，期末考試要統(tǒng)一命題，統(tǒng)一評分，統(tǒng)一流水閱卷。

（五）相關(guān)課程

本課程是工科類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，課程基礎(chǔ)性、理論性強(qiáng)，與后繼課程密切相關(guān)。

（六）內(nèi)容提要(不超過200字)

《高等數(shù)學(xué)》（上）主要內(nèi)容是一元微積分，包含函數(shù)，函數(shù)極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不定積分，定積分及其應(yīng)用，向量代數(shù)和空間解析幾何。

二、教學(xué)目的和教學(xué)方法

教學(xué)目的高等數(shù)學(xué)是國家教委指定的工科類各專業(yè)核心課程之一，是最重要的一門基礎(chǔ)理論課?！陡叩葦?shù)學(xué)》（指微積分）為研究事物的變化發(fā)展規(guī)律提供了基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和框架，在各種實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用；它具有豐富的內(nèi)容和深刻的思想，是進(jìn)入科學(xué)領(lǐng)域的大門，是高校數(shù)學(xué)教學(xué)的核心課程，也是學(xué)習(xí)后繼課程和科學(xué)技術(shù)知識的基礎(chǔ)，尤其是工程技術(shù)和計(jì)算科學(xué)等專業(yè)，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握該課程的基本思想和方法，使學(xué)生能用所學(xué)的知識分析、解決實(shí)際問題，能對這些問題進(jìn)行定性和定量的分析研究。訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性，使學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，能用數(shù)學(xué)的語言描寫各種概念和現(xiàn)象，能理解其它學(xué)科中所用的數(shù)學(xué)理論與方法。培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維能力，掌握信息與計(jì)算科學(xué)的基礎(chǔ)理論、方法與技巧和技能。使學(xué)生具有使用當(dāng)代的科技成果能力和習(xí)慣.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生形成良好自學(xué)的習(xí)慣，給學(xué)生以后從事科學(xué)研究和工程技術(shù)工作打好基

1礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論和基本方法，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

教學(xué)方法 本課程的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)，思想性強(qiáng)，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課關(guān)系密切，以課堂講授為主，討論法、讀書指導(dǎo)法和練習(xí)法為輔。教學(xué)中應(yīng)注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生掌握重要概念的思想背景，理解概念的本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會到學(xué)習(xí)微積分的必要性。注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)）的有機(jī)聯(lián)系, 特別是強(qiáng)化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運(yùn)算能力。教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與專業(yè)課學(xué)習(xí)之間的關(guān)系，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)學(xué)時分配90個理論學(xué)時

四、選用教材和主要教學(xué)參考書

教材

同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（上、下）第五版[M].北京：高等教育出版社2007

主要教學(xué)參考書

1、《數(shù)學(xué)分析》上下冊，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編（第三版），高等教育出版社出版。

2、《微積分》上下冊，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編（21世紀(jì)教材），高等教育出版社出版。

3.《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》上下冊，馬知恩、王綿森主編（21世紀(jì)教材），高等教育出版。

4.《高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》 同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編，同濟(jì)大學(xué)出版社。

五、理論教學(xué)內(nèi)容（分章節(jié)編寫，包括主要講授內(nèi)容、學(xué)時分配、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)、練習(xí)等）

第一章函數(shù)與極限16學(xué)時

1.教學(xué)內(nèi)容：集合、常量與變量，一元函數(shù)的概念(單值、多值)，函數(shù)的屬性(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)，反函數(shù)，基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖形，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限，無窮小與無窮大，無窮小與極限之間的關(guān)系，無窮小與無窮大之間的關(guān)系，極限的運(yùn)算法則，極限存在的判別法則，兩個重要

極限，無窮小階的比較，函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

2.教學(xué)要求：理解函數(shù)的概念。了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。了解函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念。熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。能列出簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系。了解極限的??N,???定義(對于給出?求N或?，不作過高要求)，并能學(xué)習(xí)過程中逐步加深對極限思想的理解。掌握極限四則運(yùn)算法則。了解兩個極限存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則)，會用兩個重要極限求極限。了解無窮小，無窮大的概念，掌握無窮小的比較。理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會判斷間斷點(diǎn)的類型。了解初等函數(shù)的連續(xù)性，知道在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大值、最小值定理)。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)的概念、極限概念、無窮小、極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)，極限的??N、???定義，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）求函數(shù)的反函數(shù)；

（2）求函數(shù)的定義域、值域，建立函數(shù)關(guān)系實(shí)例；

（3）指出復(fù)合函數(shù)的組成；

（4）證明數(shù)列極限（用極限定義）；

（5）求函數(shù)的極限；

（6）討論函數(shù)的連續(xù)性；

（7）指出分段函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型。

第二章導(dǎo)數(shù)與微分14學(xué)時

1.教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義，函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的和，差、積、商的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，微分的概念及運(yùn)算法則，微分形式不變性、微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用。

2.教學(xué)要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)之間的關(guān)系。能用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則(包括微分形式不變性)和導(dǎo)數(shù)的基本公式。了解高階導(dǎo)數(shù)概念。能熟練地初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。掌握隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法。微分的概念。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的微分法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）導(dǎo)數(shù)幾何意義及應(yīng)用；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)；

（3）求函數(shù)的微分；

（4）微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用16學(xué)時

1.教學(xué)內(nèi)容：微分中值定理(羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)，羅必塔法則，函數(shù)單調(diào)性的判別、函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)的判別、函數(shù)的極值概念及求法，最大值與最小值及其應(yīng)用，函數(shù)圖形的水平漸近線與鉛直漸近線，函數(shù)作圖，泰勒公式及其應(yīng)用，弧微分、曲率和曲率半徑及計(jì)算、方程近解的二分法和切線法。

2.教學(xué)要求：理解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。會應(yīng)用拉格朗日定理。理解函數(shù)的極值概念。掌握求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形的凸凹性，求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)等方法。能描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。會解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用題。掌握羅必塔法則。知道曲率半徑的概念，并會計(jì)算曲率和曲率半徑。知道求方程近似解的二分法和切線法。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：拉格朗日定理，羅比塔法則、單調(diào)性的判別、極值的求法。

難點(diǎn)：拉格朗日定理的證明和應(yīng)用。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）中值定理的運(yùn)用；

（2）利用羅必塔法則求極限；

（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；

（4）求函數(shù)的極值和最值；

（5）作函數(shù)的曲線圖形；

第四章不定積分14學(xué)時

.教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，積分基本公式，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)有理式的積分，簡單無理函數(shù)的積分，積分表的使用。

2.教學(xué)要求： 理解不定積分的概念及性質(zhì)。熟悉不定積分的基本公式，熟練掌握

不定積分的換元積分和分部積分法。掌握較簡單的有理函數(shù)的積分。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分概念。不積分的性質(zhì)，基本積分公式。換元積分法和分部積分法。

難點(diǎn)：不定積分的換元積分法。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）有關(guān)不定積分的概念題；

（2）利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求不定積分；

（3）用換元法求函數(shù)的不定積分；

（4）用分部積分法求函數(shù)的不定積分；

（5）求有理函數(shù)，三角函數(shù)，無理函數(shù)的不定積分；

（6）用積分表求函數(shù)的不定積分。

第五章 定積分13學(xué)時

1.教學(xué)內(nèi)容：定積分的概念，定積分的基本性質(zhì)、中值定理、微積分基本定理，定積分的換元積分及分部積分法，定積分的近似計(jì)算（矩形法、梯形法、拋物線法），無窮區(qū)間上的廣義積分，被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分。

2.教學(xué)要求：理解定積分的概念及性質(zhì)。熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。理解變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理。熟悉牛頓－萊布尼茲公式。了解廣義積分的概念。知道定積分的近似計(jì)算（矩形法、梯形法、拋物線法）。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：定積分的概念，定積分的中值定理，定積分作為可變上限的函數(shù)及其求定理，牛頓－萊布尼茲公式。

難點(diǎn)：定積分的構(gòu)造型定義。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）用定積分的定義計(jì)算定積分及定積分的幾何意義；

（2）利用牛頓－萊布尼茨公式求定積分；

（3）利用換元積分法和分部積分法求定積分；

（4）廣義積分的計(jì)算；

第六章定積分的應(yīng)用10學(xué)時

1.教學(xué)內(nèi)容：定積分的元素法，平面圖形的面積（直角坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形），體積（旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積），平面曲線的弧長、功、水壓力、和引力，函數(shù)的平均值、均方根。

2.教學(xué)要求：熟練掌握用元素法建立積分表達(dá)式的方法。掌握面積、體積的計(jì)算方法。會求平面曲線的弧長、功、水壓力和引力。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：微元法、定積分的幾何、物理應(yīng)用。

難點(diǎn)：微元法。

4.思考題或練習(xí)題：

用定積分的微元法計(jì)算定積分幾何、物理方面的應(yīng)用題。

第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)17學(xué)時

1.教學(xué)內(nèi)容：空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)間距離公式，向量的概念，向量的加減法，向量與數(shù)的乘積，向量的分解與向量的坐標(biāo)，兩向量之間的關(guān)系（平行、垂直），向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積），平面方程及其求法，直線方程及其求法，曲線與曲面的概念，球面、柱面、投影、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、橢球面、拋物面、雙曲面的方程及圖形、空間曲線的參數(shù)方程及一般方程。

3.教學(xué)要求：

理解向量的概念。掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、點(diǎn)乘法、叉乘法）。掌握兩個向量夾角的求法與垂直、平行的條件。熟悉單位向量、方向余弦及向量的傳票坐標(biāo)的表達(dá)式。熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算。熟悉平面的方程和直線的方程及其教學(xué)法求法。理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其其圖形、掌握以坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。知道空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：向量的概念，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積和矢量積，平面方程（點(diǎn)法式、一般式、截距式），直線方程（參數(shù)式、對稱式、一般式），標(biāo)準(zhǔn)二次曲面方程，投影柱面。

難點(diǎn)：矢量積，投影柱面的概念，標(biāo)準(zhǔn)二次曲面的圖形。

4.思考題或練習(xí)題：

（1）進(jìn)行向量的運(yùn)算；

（2）求平面的方程和直線的方程；

（3）求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

第二篇：高等數(shù)學(xué)B上

華南理工大學(xué)

高等數(shù)學(xué)B上（隨堂練習(xí)）5.函數(shù)A． B．的定義域是（）C．

D．

參考答案：C 6.函數(shù)A． B．

C．的定義域是()

D．

參考答案：C 7.函數(shù)A． B． C．的定義域是（）D．

參考答案：A 8.若A．C．參考答案：A 9.若A． B．，C．

D．，則

()B． D．，則

()

參考答案：D

10.設(shè)，則()A． B． C． D．

參考答案：A

11.()A． B． C． D．

參考答案：B

12.()A． B．不存在 C． D．參考答案：D

13.()A．不存在 B． C． D．

參考答案：C

14.()A． B．不存在 C． D．參考答案：D

15.()A． B． C． D． 參考答案：A 16.()A． B． C． 不存在 D．

參考答案：B 17.當(dāng)時，下列變量是無窮小的是()A． B． C． D．

參考答案：C 18.當(dāng)時，與

等價的無窮小是()A． B． C． D．

參考答案：A 19.()A．0 B． C． D．1 參考答案：B

20.()A．8 B．2 C． D．0 參考答案：D

21.()A．0 B．1 C． D．2 參考答案：D

22.下列等式成立的是()A． B．

C．參考答案：C 問題解析： 23.A． D．

()B．1 C．不存在 D．

參考答案：A

24.A．1 B．()C．不存在 D．

參考答案：D

25.A．0 B．1 C．參考答案：C

()D．

26.設(shè)函數(shù)A．2 B．4 C．1 D．0 參考答案：A

在點(diǎn)處極限存在，則()27.設(shè)A．0 B．-1 C．1 D．2 參考答案：C，則()

28.設(shè)，則A．1 B．2 C．0 D．不存在 參考答案：A

()29.設(shè)A．1 B．2 C．0 D．不存在 參考答案：A

在處連續(xù)，則=()C．參考答案：B 5.設(shè)直線 D．

是曲線的一條切線，則常數(shù)()A．-5 B． 1 C．-1 D．5 參考答案：D

6.設(shè)函數(shù)，則()A． B． C． D．

參考答案：C

7.設(shè)函數(shù)，則()A． B．

C． D．

參考答案：A 8.設(shè)函數(shù)A．C． D．，則 B．

()

參考答案：A 9.設(shè)函數(shù)A．C．參考答案：D

，則 D．

()B．

10.設(shè)函數(shù)，則()A． B．

C． D．

參考答案：B 11.設(shè)函數(shù)A．C．參考答案：C 12.設(shè)函數(shù)，則

()B． D．，在

()A． B．

C．參考答案：A D．

13.設(shè)函數(shù)，則()A． B． C． D．

參考答案：C 14.設(shè)函數(shù)A． B．，則 C．

()

D．

參考答案：D

15.設(shè)函數(shù)A．C． B． D．，則

()參考答案：C

16.設(shè)函數(shù)A． B．，則 C．

()D．

參考答案：A

17.設(shè)函數(shù)，則()A． B． C． D．

參考答案：B

18.設(shè)確定隱函數(shù)，則()A． B． C． D．

參考答案：B

19.設(shè)A．4 B．-4 C．1 D．-1 參考答案：C 20.設(shè)方程

函數(shù)，則()

所確定的隱函數(shù)為，則()

A．參考答案：B B． C． D．

21.設(shè)函數(shù)由方程所確定，則()A．0 B． C． D．

參考答案：B

22.設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為，則()A． B． C． D．

參考答案：A

23.設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為，則()A． B．0 C． D．

參考答案：D 問題解析： 24.設(shè)A．C．參考答案：A D．，則 B．

()

25.設(shè)函數(shù)，則()

A． B．

C．參考答案：B 26.設(shè)函數(shù)A．C． D．，則 B．

()

D．

參考答案：B 27.設(shè)，則

()A． B．

C． D．

參考答案：A

參考答案：A

3.()A． B．參考答案：B C． D．不存在

4.()A． B．參考答案：A C．1 D．不存在

5.()A． B．參考答案：A 6.C．1 D．不存在

()A． B．參考答案：A 7.函數(shù)A． C．1 D．0 的單調(diào)減少區(qū)間是()B．

C．

D．

參考答案：A 8.函數(shù)A． B．的單調(diào)區(qū)間是()

C．

D．

參考答案：A 9.函數(shù)A． B．的單調(diào)增加區(qū)間是()

C．

D．

參考答案：A 10.函數(shù)A． B．的單調(diào)增加區(qū)間為()． C．

D．

參考答案：C 11.函數(shù)A． B．的單調(diào)減區(qū)間為()C．

D．

參考答案：B 12.函數(shù)A． B．的單調(diào)增加區(qū)間為()

C．

D．

參考答案：D 13.函數(shù)A．1 B．0 C．參考答案：C 14.函數(shù)A． B．的極值為()C．0 D．1 的極值等于()D．

參考答案：A 15.函數(shù)A．1 B．0 C．參考答案：A 的極值為()D．

16.函數(shù)的極大值為()A．-16 B．0 C．16 D．-7 參考答案：B 問題解析： 17.函數(shù)A．3 B．1 C．-1 D．0 參考答案：A 的極大值為()18.有一張長方形不銹鋼薄板，長為，寬為長的．現(xiàn)在它的四個角上各裁去一個大小相同的小正方形塊，再把四邊折起來焊成一個無蓋的長方盒．問裁去小正方形的邊長為()時，才能使盒子的容積最大． A． B． C．

D．

參考答案：B

19.設(shè)有一根長為的鐵絲，分別構(gòu)成圓形和正方形．為使圓形和正方形面積之和最小，則其中一段鐵絲的長為()A． B． C．

D．

參考答案：A

20.欲圍一個面積為150m2的矩形場地，圍墻高3米．四面圍墻所用材料的選價不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．試問矩形場地的長為()時，才能使材料費(fèi)最?。?/p>

A．15 B．10 C．5 D．8 參考答案：A

21.設(shè)兩個正數(shù)之和為8，則其中一個數(shù)為()時，這兩個正數(shù)的立方和最?。?/p>

A．4 B．2 C．3 D．5 參考答案：A

22.要造一個體積為的圓柱形油罐，問底半徑為()時才能使表面積最?。?/p>

A． B． C． D．

參考答案：C

23.某車間靠墻壁要蓋一間方長形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20m長的墻壁．問圍成的長方形的長為()時，才能使這間小屋的面積最大．

A．8 B．4 C．5 D．10 參考答案：D 24.曲線的下凹區(qū)間為()A． B．

C．

D．

參考答案：A 25.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為()A． B． C．

D．不存在

參考答案：B

3.下列函數(shù)中，()是的原函數(shù)

A． B． C． D．

參考答案：D 4.()是函數(shù)的原函數(shù)．

A． B． C． D．

參考答案：D

5.下列等式中，()是正確的 A． B．

C．參考答案：D 6.若

D．，則()A． B． C． D．

參考答案：B 7.若A．滿足 B．

C．，則 D．

（）．

參考答案：B 8.()

A.B．

C．參考答案：D 問題解析： D．

9.()A． B． C． D．

參考答案：B 10.()A．參考答案：A 11.B． C． D．

()A． B．

C．參考答案：B D．

12.()A． B． C． D．

參考答案：B

13.()A． B．

C． 參考答案：A 14.D．

()A． B．

C．參考答案：C D．

15.()A．C．參考答案：A B． D．

16.()A． B．

C． D．

參考答案：A

問題解析： 17.()A．C． B． D．

參考答案：A 18.A．C．參考答案：D 19.()()B． D．

A． B．

C．參考答案：A 20.D．

()A． B．

C． 參考答案：B 21.()

D．

A． B．

C．參考答案：C 22.D．

()A． B．

C．參考答案：A

D．

5.()A．2 B．0 C．1 D．-1 參考答案：B 6.設(shè)函數(shù)A． B．在 C．

上連續(xù)，D．，則

()參考答案：C

7.設(shè)A． B．，則 C．

等于()D．

參考答案：D

8.()A． B． C． D．

參考答案：C 9.A．0 B． C．1 D．

參考答案：B 10.A．1 B．0 C． 參考答案：D 11.D．-1

A． B． C． D．1 參考答案：C

12.()A．4 B．9 C．6 D．5 參考答案：A

13.()

A．1 B．2 C．參考答案：B D．

14.()A．2 B．

C．參考答案：D D．

15.()A． B． C．1 D．

參考答案：A 16.()A． B． C．1 D．

參考答案：B

17.A．()B．1 C．

D．

參考答案：D

18.()

A． B．0 C．1 D．參考答案：A

19.()A．0 B． C．1 D．

參考答案：B

20.A．1 B．參考答案：B 21.A． B．

()C． D．

()C．

D．1 參考答案：A

22.()A． B．1 C． D．2 參考答案：C

23.A． B．()C．

D．1 參考答案：A 24.()

參考答案：A

25.A．C．()B． D．

參考答案：C 26.()A． B．1 C． D．

參考答案：A 27.()A． B．1 C． D．

參考答案：B 問題解析： 28.()

A．1 B． C．0 D．參考答案：A

29.()A． B．

C． D．

參考答案：B 30.()A． B．

C．1 D．參考答案：A 31.()A． B． C． D．1 參考答案：C 32.廣義積分

()A． B．不存在 C．0 D．1 參考答案：A

33.廣義積分()A．1 B．不存在 C．0 D．參考答案：A

34.廣義積分()A．1 B．不存在 C．0 D．參考答案：B 35.由拋物線于()A．2 B．1 C．參考答案：A 36.由直線，D．，直線，及所圍成的平面圖形的面積等

及曲線所圍成的平面圖形的面積等于()A． B．1 C． D．

參考答案：A 37.由拋物線

與直線

及

所圍成的封閉圖形的面積等于()A． B． C．2 D．1 參考答案：A

38.由曲線與直線及所圍成的平面圖形的面積等于()A． B．2 C．1 D．

參考答案：A 39.由曲線與

所圍圖形的面積等于()A．1 B． C．3 D．

參考答案：B 40.由，所圍成的封閉圖形的面積等于()A． B．1 C．3 D．2 參考答案：A 41.由及在點(diǎn)（1，0）處的切線和y軸所圍成的圖形的面積等于()A．1 B． C．2 D．3 參考答案：B 問題解析： 42.由曲線與

所圍圖形的面積等于()A． B．1 C．參考答案：A 問題解析： 43.設(shè)由拋物線 D．

；，及所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于()A． B． C．

D．

參考答案：D 44.設(shè)由直線，及曲線

所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于()A． B．

C．

D．

參考答案：A

45.設(shè)由曲線與直線及所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于()A． B． C．

D．

參考答案：B 46.設(shè)由拋物線

與直線

及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于()

參考答案：D 47.設(shè)由曲線與直線，及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于()A． B．參考答案：C 48.設(shè)由曲線

與直線

及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋 C．

D．

轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于()A．C．參考答案：A

B． D．

第三篇：高等數(shù)學(xué)上教案

第一章 函數(shù) 1.1集合，1.2函數(shù)，1.3函數(shù)的集中特性，1.4復(fù)合函數(shù)，1.5參數(shù)方程、極坐標(biāo)與復(fù)數(shù)

第二章極限與連續(xù) 2.1數(shù)列的極限，2.2函數(shù)的極限，2.3兩個重要的極限，2.4無窮

小量與無窮大量，2.5函數(shù)的連續(xù)性，2.6閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第三章 導(dǎo)數(shù)的微分 3.1導(dǎo)數(shù)的概念，3.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，3.3 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，3.4 高階導(dǎo)數(shù)，3.5函數(shù)的微分，3.6高階微分

第四章 微分中值定理及其應(yīng)用 4.1微分中值定理，4.2 L’Hspital法則，4.3 Taylor公式，4.4函數(shù)的單調(diào)性和極值，4.5函數(shù)的凸性和曲線的拐點(diǎn)、漸近線，4.6平面曲線的曲率

第五章 不定積分 5.1不定積分的概念和性質(zhì)，5.2換元積分法，5.3分部積分法，5.4

幾種特殊類型函數(shù)的不定積分

第六章 定積分 6.1定積分的概念，6.2定積分的性質(zhì)與中值定理，6.3微積分基本公式，6.4 定積分的換元法與分部積分法 6.5 定積分的近似計(jì)算6.6廣義積分

第七章 定積分的應(yīng)用 7.1微元法的基本思想，7.2定積分在幾何上的應(yīng)用，7.3 定積分

在物理上的應(yīng)用

第八章 微分方程 8.1 微分方程的基本概念，8.2 幾類簡單的微分方程，8.3一階微分方

程8.4全微分方程與積分因子8.5二階常系數(shù)線性微分方程，8.6常系數(shù)線性微分方程

第四篇：高等數(shù)學(xué)(上)重要知識點(diǎn)歸納

高等數(shù)學(xué)（上）重要知識點(diǎn)歸納

第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

一、極限的定義與性質(zhì)

1、定義（以數(shù)列為例）

limxn?a????0,?N,當(dāng)n?N時，|xn?a|??

n??

2、性質(zhì)

f(x)?A?f(x)?A??(x)，其中?(x)為某一個無窮小。(1)limx?x0f(x)?A?0，則???0,當(dāng)x?U(x0,?)時，(2)(保號性）若limx?x0of(x)?0。

(3)*無窮小乘以有界函數(shù)仍為無窮小。

二、求極限的主要方法與工具

1、*兩個重要極限公式

(1)lim??0sin?1?

1(2)lim(1?)??e ?????

2、兩個準(zhǔn)則

(1)*夾逼準(zhǔn)則

(2)單調(diào)有界準(zhǔn)則

3、*等價無窮小替換法 常用替換：當(dāng)??0時

（1)sin?~?

（2）tan?~?

（3）arcsin?~?

（4)arctan?~?（5）ln(1??)~?

（6）e??1~?（7）1?cos?~?

2（8）n1???1~

12? n 2

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法

6用定積分定義

三、無窮小階的比較*

高階、同階、等價

四、連續(xù)與間斷點(diǎn)的分類

1、連續(xù)的定義*

f(x)在a點(diǎn)連續(xù)

?lim?y?0?limf(x)?f(a)?f(a?)?f(a?)?f(a)

?x?0x?a??可去型（極限存在）第一類???跳躍型（左右極限存在但不相等）??

2、間斷點(diǎn)的分類? ?無窮型（極限為無窮大）?第二類?震蕩型（來回波動）???其他???

3、曲線的漸近線*(1)水平漸近線：若limf(x)?A,則存在漸近線：y?Ax??(2)鉛直漸近線：若limf(x)??,則存在漸近線：x?ax?a

五、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1、最大值與最小值定理

2、介值定理和零點(diǎn)定理

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

一、導(dǎo)數(shù)的概念

1、導(dǎo)數(shù)的定義* y?|x?a?f?(a)?dy?yf(a??x)?f(a)f(x)?f(a)|x?a?lim?lim?lim?x?0?x?0x?adx?x?xx?a

2、左右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?右導(dǎo)數(shù)f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?

3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義* y?|x?a?曲線f(x)在點(diǎn)（a,f(a))處的切線斜率k

4、導(dǎo)數(shù)的物理意義

若運(yùn)動方程：s?s(t)則s?(t)?v(t)(速度）,s??(t)?v?(t)?a(t)(加速度）

5、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:

可導(dǎo)?連續(xù)，反之不然。

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、四則運(yùn)算(u?v)??u??v?

(uv)??u?v?uv?

()??uvu?v?uv?

2vdydydu?u?

2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 設(shè)y?f[?(x)]，一定條件下? ?yuxdxdudx3、反函數(shù)求導(dǎo) 設(shè)y?f(x)和x?f?1(y)互為反函數(shù)，一定條件下：y?x?1 x?y4、求導(dǎo)基本公式*（要熟記）

5、隱函數(shù)求導(dǎo)* 方法：在F(x,y)?0兩端同時對x求導(dǎo)，其中要注意到：y是中間變量，然后再解出y?

?x?x(t)

6、參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)* 設(shè)?，一定條件下

?y?y(t)y?(t)?t?dyyt?dy?yt??xt??yt?xt??xxt??（可以不記）y???,y???xx3dxxt?dxxt?(xt?)

7、常用的高階導(dǎo)數(shù)公式（1）sin(n)x?sin(x??),(n?0,1,2...)

n（2）cosx?cos(x??),(n?0,1,2...)

2(n)n2（3）ln(1?x)?(?1)(n)n?1(n?1)!,(n?12...)n(1?x)1n(?1)nn!)?,(n?0,1,2...)（4）(n?11?x(1?x)（5）（萊布尼茨公式）(uv)??Cnku(n?k)v(k)

(n)k?0n

三、微分的概念與運(yùn)算

1、微分定義 * 若?y?A?x?o(?x)，則y?f(x)可微，記dy?A?x?Adx

2、公式：dy?f?(x)?x?f?(x)dx

3、可微與可導(dǎo)的關(guān)系* 兩者等價

4、近似計(jì)算 當(dāng)|?x|較小時，?y?dy，f(x)?f(x??x)?f?(x)?x

第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)(2)f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）g(x)?0,則：f?(?)f(b)?f(a)???（a,b),使得：?g?(?)g(b)?g(a)當(dāng)取g(x)?x時，定理演變成：

2、拉格朗日中值定理*

???（a,b),使得：f?(?)?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

b?a當(dāng)加上條件f(a)?f(b)則演變成：

3、羅爾定理* ???（a,b),使得：f?(?)?0

4、泰勒中值定理 在一定條件下：

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x)

n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1?o((x?x0)n),?介于x0、x之間.其中Rn(x)?(n?1)!當(dāng)公式中n=0時，定理演變成拉格朗日定理.當(dāng)x0?0時，公式變成:

f(n)(0)n5、麥克勞林公式 f(x)?f(0)?f?(0)x?...?x?Rn(x)

n!

6、常用麥克勞林展開式

x21n（1）e?1?x??...?x?o(xn)

2!n!xx3x5(?1)n?12n?1x?o(x2n)（2）sinx?x??...?3!5!(2n?1)!x2x4(?1)n2nx?o(x2n?1)（3）cosx?1??...?2!4!(2n)!x2x3(?1)n?1n（4）ln(1?x)?x??...?x?o(xn)

23n

二、羅比達(dá)法則* 記?。悍▌t僅能對,型直接用，對于0??,???,1?,00,?0,轉(zhuǎn)化后用.冪指函數(shù)恒等式*fg?eglnf

三、單調(diào)性判別*

1、y??0?y?,y??0?y?

2、單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).四、極值求法*

1、極值點(diǎn)來自：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑點(diǎn)）.2、求出可疑點(diǎn)后再加以判別.3、第一判別法：左右導(dǎo)數(shù)要異號，由正變負(fù)為極大，由負(fù)變正為極小.4、第二判別法：一階導(dǎo)等于0，二階導(dǎo)不為0時，是極值點(diǎn).正為極小，負(fù)為極大.五、閉區(qū)間最值求法* 找出區(qū)間內(nèi)所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，比較大小.0?0? 7

六、凹凸性與拐點(diǎn)*

1、y???0?y?,y???0?y?

2、拐點(diǎn)：曲線上凹凸分界點(diǎn)(x0,y0).橫坐標(biāo)x0不外乎f??(x0)?0,或f??(x0)不存在，找到后再加以判別x0附近的二階導(dǎo)數(shù)是否變號.七、曲率與曲率半徑

1、曲率公式K?|y??|(1?y?2)

12、曲率半徑R?

K32

第四章 不定積分

一、不定積分的概念* 若在區(qū)間I上，F(xiàn)?(x)?f(x),亦dF(x)?f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù).稱全體原函數(shù)F(x)+c為f(x)的不定積分，記為?f(x)dx.二、微分與積分的互逆關(guān)系

1、[?f(x)dx]??f(x)?d?f(x)dx?f(x)dx

2、?f?(x)dx?f(x)?c??df(x)?f(x)?c

三、積分法*

1、湊微分法*

2、第二類換元法

3、分部積分法* ?udv?uv??vdu

4、常用的基本積分公式(要熟記).第五章 定積分

一、定積分的定義 ?af(x)dx?limf(?i)?xi ??x?0i?

1二、可積的必要條件

有界.三、可積的充分條件

連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)或單調(diào).四、幾何意義

定積分等于面積的代數(shù)和.bn 9

五、主要性質(zhì)*

1、可加性 ?a??a??c

2、估值 在[a,b]上，m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

3、積分中值定理* 當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時：?af(x)dx?f(?)(b?a),??[a,b]

4、函數(shù)平均值：?babcbbbf(x)dxb?a

六、變上限積分函數(shù)*

1、若f(x)在[a,b]連續(xù)，則F(x)??af(t)dt可導(dǎo)，且[?af(t)dt]??f(x)

2、若f(x)在[a,b]連續(xù)，?(x)可導(dǎo)，則：[?a

七、牛-萊公式* 若f(x)在[a,b]連續(xù)，則?af(x)dx?[?f(x)dx]|b?F(b)?F(a)

axx?（x）f(t)dt]??f[?(x)]??(x)

b

八、定積分的積分法*

1、換元法

牢記：換元同時要換限

2、分部積分法

?audv?uv|??avdu

babb3、特殊積分（1）??aa??0,當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時f(x)dx??a

??2?0f(x)dx,當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時（2）當(dāng)f(x)為周期為T的周期函數(shù)時：

?aa?nTf(x)dx?n?0f(x)dx,n?Z?

?T（3）一定條件下:?0xf(sinx)dx??0f(sinx)dx

2?? 10

?(n?1)！，n是正奇數(shù)時????（4）?02sinnxdx??02cosnxdx??n!

?(n?1)！?，n是正偶數(shù)時?!2?n?。?）?0sinxdx?2?02sinnxdx n??

九、反常積分*

1、無窮區(qū)間上

???a?

其他類似 f(x)dx?lim?af(t)dt?F(x)|?a?F(??)?F(a)x?????x2、p積分：?a?p?1時收斂1 dx(a?0):?px?p?1時發(fā)散

3、瑕積分：若a為瑕點(diǎn)：

b?則?af(x)dx?limf(t)dt?F(x)|?F(b)?F(a)

其他類似處理

?ax?ax??bb

第六章

定積分應(yīng)用

一、幾何應(yīng)用

1、面積（1）A??（y上-y下）dxaA??（x右-x左）dyabb

??x?x(t),(??t??),則A???|y(t)x?(t)|dt（2）C:??y?y(t)C:???(?),與???，???，（?????)圍成圖形面積（3）1?2A????（?）d?2

2、體積*（1）旋轉(zhuǎn)體體積*Vx???ay2dx

Vy???cx2dy

或Vy?2??axydx（2）截面面積為A?A(x)的立體體積為V??aA(x)dx

bbdb 11

3、弧長

（1）s??a1?y?2dx(a?x?b)（2）s???x?2(t)?y?2(t)dt,(??t??)（3）s????2???2d?,(?????)

二、物理應(yīng)用

1、變力作功

一般地：先求功元素：再積分w??aF(x)dx dw?F(x)dx,x?[a,b]，克服重力作功的功元素dw=體積???g?位移

2、水壓力

dP=水深?面積???g

第七章

微分方程

一、可分離變量的微分方程

dy形式：?f(x)g(y)

dxbb??二、一階線性微分方程*

1、線性齊次：y??p(x)y?0 通解公式*：y?Ce?p(x)dx?

2、線性非齊次

y??p(x)y?q(x)通解公式*：y?e?

?p(x)dxp(x)dx?[?eq(x)dx?C)

第五篇：2016高等數(shù)學(xué)(上)考試大綱

2016 級《高等數(shù)學(xué) BI》考試大綱

一、函數(shù)、根限和連續(xù)性

1、函數(shù)：函數(shù)的概念及性質(zhì)，函數(shù)的表達(dá)式、定義域，反函數(shù)。函數(shù)的四則運(yùn)

算與復(fù)合運(yùn)算；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖；初等函數(shù)的概念。

2、極限：極限的概念（左極限與右根限），極限的性質(zhì)，極限的四則運(yùn)算法則；

無窮小量、無窮大量的概念，無窮小量的性質(zhì)、無窮小量階的比較，等價無窮小，兩個重要極限，極限存在準(zhǔn)則；數(shù)列極限和函數(shù)極限的求法。

3、連續(xù)：函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，函數(shù)的間斷點(diǎn)及判定其類型的方法；閉區(qū)間

上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明一些簡單命題。二、一元函數(shù)微分學(xué)

1、導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；求曲線上

一點(diǎn)處的切線方程與法線方程；基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)

合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法（對數(shù)求導(dǎo)法），參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法；

高階導(dǎo)數(shù)的概念及求法函數(shù)；微分的概念，微分運(yùn)算法則，可微與可導(dǎo)的關(guān)系。

2、中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西定理（條

件、結(jié)論及其幾何意義）；用洛必達(dá)法則求極限；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增、減

區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)判定曲線的凹凸性與拐點(diǎn)；函數(shù)極值的概念，函數(shù)極值與最值；

證明簡單的不等式；曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。三、一元函數(shù)積分學(xué)

1、不定積分：原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，不定積分的性質(zhì)；不定積分 的基本公式；不定積分的第一換元法、第二換元法，不定積分的分部積分法。

2、定積分：定積分的概念與幾何意義，定積分的基本性質(zhì)；積分上限的函數(shù)及

其導(dǎo)數(shù)；牛頓-萊布尼茨公式；定積分的換元積分法與分部積分法。

3、定積分的應(yīng)用：.平面圖形的面積，平面曲線弧長，平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所

生成旋轉(zhuǎn)體的體積。

四、常微分方程

1、一階微分方程：微分方程的定義，微分方程的階、解、通解、初始條件和特

解；可分離變量方程、齊次方程和一階線性方程的解法。

?n ??型方程。

2、可降階的微分方程：降階法解 y ? f ?x?、y???? f ?x, y??、y?????f ?y, y???

3、二階線性微分方程：二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，常系數(shù)齊次線性微分方程

x 的解法；常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（f ?x ? ? Pm ?x ? e，其中 Pm ?x?為

?x的 m 次多項(xiàng)式，? 為實(shí)常數(shù)）。

（注：教材《高等數(shù)學(xué)》（上）（同濟(jì)第七版）中帶”*”的內(nèi)容不作為考試內(nèi)容）

考試形式及試卷結(jié)構(gòu)

一．試卷總分：100 分 二．考試時間：120 分鐘 三．考試方式：閉卷，筆試 四．試卷內(nèi)容比例：

1、函數(shù)、極限和連續(xù)

2、導(dǎo)數(shù)與微分

3、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

4、不定積分

5、定積分

6、定積分的應(yīng)用

7、微分方程 五．試卷題型比例：

1、選擇題（5*3=15 分）

2、填空題（5*3=15 分）

3、計(jì)算題（6*8=48 分）

4、應(yīng)用題（2*7=14 分）

5、證明題（1*8= 8 分）

約 17% 約 22% 約 18% 約 11% 約 18% 約 7% 約 7%

重慶交通大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 2016 年 12 月 25 日