第一篇：3.2勾股定理的“無(wú)字證明”

學(xué)英語(yǔ)報(bào)社http://全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 ·勾股定理的“無(wú)字證明”

·教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo): 了解勾股定理的“無(wú)字證明”法，能通過(guò)拼圖并根據(jù)面積等驗(yàn)證勾股定。能力目標(biāo): 通過(guò)拼圖活動(dòng)，嘗試驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和創(chuàng)新能力。情感目標(biāo): 讓學(xué)生經(jīng)歷查詢資料、自主探究、合作交流、觀察比較、計(jì)算推理、動(dòng)手

操作等過(guò)程，獲得一些研究問(wèn)題的方法，取得成功和克服困難的經(jīng)驗(yàn)，培

養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，增進(jìn)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

· 教學(xué)重點(diǎn): 了解勾股定理的“無(wú)字證明”法，分析和欣賞幾種常見(jiàn)的驗(yàn)證勾股定理的方法。

·教學(xué)難點(diǎn):通過(guò)拼圖，探求驗(yàn)證勾股定理的“無(wú)字證明”法。

·教學(xué)方法:啟發(fā)、合作交流和直觀演示。

·教學(xué)過(guò)程:

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

在精彩的幾何學(xué)世界中，有著無(wú)數(shù)條定理，畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）是其中最耀眼的一個(gè)。畢達(dá)哥拉斯定理被發(fā)現(xiàn)到至今已有五千多年的歷史了，其證明方法至少有370多種，其中包括大物理學(xué)家愛(ài)因斯坦和大畫(huà)家達(dá)?芬奇及美國(guó)總統(tǒng)詹姆士??阿?加菲爾德（James Abram Garfield,1831–1881）的證法.這真是科學(xué)史上的一大奇跡！它是人類(lèi)科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的一條基本定理，對(duì)科技的進(jìn)步起了不可估量的作用。

在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理：

整個(gè)大正方形的面積可以表示為里面小正方形的面積與四邊上的４個(gè)直角三角形的面積之和，即為

(a+b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c。

注意：這種根據(jù)圖形可以極其簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)優(yōu)課軒資源網(wǎng)http://未經(jīng)授權(quán)，本站資源禁止用于任何商業(yè)目的 2222=c+4（21ab），2學(xué)英語(yǔ)報(bào)社http://全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 字證明”。

對(duì)于勾股定理，我們還可以找到一些用于“無(wú)字證明”的圖形．昨天已布置同學(xué)們，查閱課本和其他有關(guān)書(shū)籍，上網(wǎng)查詢各種相應(yīng)的資料，現(xiàn)在我們進(jìn)行交流。

（二）自主探索、合作交流

方法二： 整個(gè)大正方形的面積可以表示為里面小正方形的面積與四邊

上的４個(gè)直角三角形的面積之和，即為

(a-b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c．

方法三：美國(guó)總統(tǒng)詹姆士??阿?加菲爾德的證法

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90,E是AB上一

點(diǎn),AE=BC=a,EB=AD=b，梯形的面積SABCD=S△AED+S△EBC+S△DCE b+ 4（12ab）=c, 2222?DC11?（BC+AD）?AB=?(a+b)?(a+b)2

211S△AED=?AE?AD=?a?b 22

11S△EBC=?EB?BC=?a?b 22

11S△DCE=?DE?EC=?c2 22

11112 于是?(a+b)?(a+b)=?a?b+ ?a?b+?c222 2

222 化簡(jiǎn)成：a+2?a?b+b=2?a?b+ c而SABCD=AEB

即：a2+b2= c2,由此證明了畢達(dá)哥拉斯定理。

方法四：劉徽的“出入相補(bǔ)法”

約公元 263 年，三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍《九章算

術(shù)》作注釋時(shí)，用“出入相補(bǔ)法”證明了勾股定理.如圖，證明

時(shí)不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被

稱(chēng)為最美的“無(wú)字證明”法。

（三）自我評(píng)價(jià)、形成知識(shí)

我最大的收獲；

我表現(xiàn)較好的方面；

我學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)；

我還有哪些疑惑。

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第二篇：勾股定理的“無(wú)字證明”學(xué)案的

勾股定理的“無(wú)字證明”學(xué)案

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容：P64頁(yè)課題學(xué)習(xí)

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、會(huì)利用圖形的移、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，即利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)驗(yàn)證勾股定理。

2、通過(guò)以形證數(shù)的方法體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”和“幾何變換”的數(shù)學(xué)思想方法。

三、學(xué)習(xí)過(guò)程與指導(dǎo)：(一)回憶：勾股定理的內(nèi)容：

(二)導(dǎo)入新課：怎樣用幾何圖形證明勾股定理表達(dá)式呢？(三)自學(xué)課本P64頁(yè)課題學(xué)習(xí)自學(xué)指導(dǎo)：

1、什么叫“無(wú)字證明”？

2、搜集課本和其他有關(guān)書(shū)籍中，利用有趣圖形證明勾股定理的實(shí)例。

四、檢測(cè)：

結(jié)合以下圖形，說(shuō)明證明勾股定理的方法，寫(xiě)出證明過(guò)程。

1、證明：

2、證明：

3、證明：

4、證明：

五、討論：

1、無(wú)字證明的思想方法；

2、P58頁(yè)做一做的拼圖方法。

六、教師講解：

1、質(zhì)疑：針對(duì)測(cè)中的疑難問(wèn)題講解；

2、無(wú)字證明的實(shí)質(zhì)：

七、悟：

1、根據(jù)下圖提示，寫(xiě)出勾股定理無(wú)字證明：

2、結(jié)合以下圖形寫(xiě)出無(wú)字證明表達(dá)式：

15.2 圖形的旋轉(zhuǎn)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解什么是圖形的旋轉(zhuǎn)，明確決定圖形旋轉(zhuǎn)后位置的要素。

2、通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)?zāi)軠?zhǔn)確辯認(rèn)旋轉(zhuǎn)后圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)元素

3、結(jié)合生活實(shí)際，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

1、重點(diǎn)：決定圖形旋轉(zhuǎn)的因素，及旋轉(zhuǎn)圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2、難點(diǎn)：對(duì)旋轉(zhuǎn)中心在圖形外的某個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)圖形的認(rèn)識(shí)。

三、學(xué)習(xí)過(guò)程與指導(dǎo)：(一)自學(xué)課本P72—P74 自學(xué)指導(dǎo)：

1、什么是圖形的旋轉(zhuǎn)？你能用自己的話說(shuō)明嗎？

2、決定圖形的旋轉(zhuǎn)的要素有哪些？因此描述圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)必須要

3、思考P73中的相關(guān)問(wèn)題。

4、圖2.4與圖2.5的旋轉(zhuǎn)中心有何不同？(二)檢測(cè)：

1、P74頁(yè)練習(xí)2、3

2、填空：

⑴圖形的旋轉(zhuǎn)是由_________、_________和_________決定的。⑵如圖，△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直我，若△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與 △BDE重合，那么旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)________，旋轉(zhuǎn)了 _______度。

⑶如圖，正方形ABCD中，P為正方形ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，△ABP經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△BCQ的位置，那么旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)________，旋轉(zhuǎn)了________度，若M是AB的中點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M到_______位置。

4、如圖，等邊△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△DEC，那么點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是_________，線段BC的對(duì)應(yīng)線段是_______，線段AB的對(duì)應(yīng)線段是__________，∠B的對(duì)應(yīng)角是，旋轉(zhuǎn)中心是_________。

(三)議：

1、針對(duì)測(cè)中的問(wèn)題；

2、旋轉(zhuǎn)中心的位置有哪幾種情況？(四)教師講解：

1、旋轉(zhuǎn)要說(shuō)明旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度，旋轉(zhuǎn)的方向。

2、旋轉(zhuǎn)要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題。

3、注意旋轉(zhuǎn)中心的位置。(五)悟：作業(yè)：P78頁(yè)2、3題的位置及大小關(guān)系。交待什么？

第三篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．下面結(jié)合幾種圖形來(lái)進(jìn)行證明。

一、傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長(zhǎng)都是)，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

在西方，人們認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經(jīng)失傳，這是傳說(shuō)中的證明方法，這種證明方法簡(jiǎn)單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長(zhǎng)為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積加上4個(gè)直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

第二種方法：邊長(zhǎng)為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過(guò)中間缺出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形“小洞”。

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

這種證明方法很簡(jiǎn)明，很直觀，它表現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽高超的證題思想和對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）

這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡(jiǎn)潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。

第四篇：勾股定理 專(zhuān)題證明

勾股定理 專(zhuān)題證明

1.我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱(chēng)為這個(gè)四邊形的勾股邊。

(1)寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱(chēng)：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請(qǐng)你畫(huà)出以格點(diǎn)為頂

點(diǎn)，OA,OB為勾股邊且對(duì)角線相等的兩個(gè)勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到 △DBE，連結(jié)AD,DC,∠DCB=

30°。寫(xiě)出線段DC,AC,BC的數(shù)量關(guān)系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫(huà)出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結(jié)A、B、C、D四點(diǎn)得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PCD的周長(zhǎng)最短（直接畫(huà)出圖形，不要求寫(xiě)作法）；

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為------------，最短周長(zhǎng)為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數(shù)量關(guān)系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點(diǎn)E，F(xiàn)如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長(zhǎng)線分別與 AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖3，此時(shí)結(jié)論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點(diǎn)且滿足△CEF 的周長(zhǎng)等于正方形ABCD 的周長(zhǎng)的一半，AE、AF 分別與對(duì)角線 BD交于點(diǎn)M、N.線段BM、MN、DN 恰能構(gòu)成三角形.請(qǐng)指出線段BM、MN、DN 所構(gòu)成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數(shù)量關(guān)系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數(shù)量關(guān)系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，加以說(shuō)明；

④若將矩形ABCD改為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，加以說(shuō)明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，連結(jié)ED，過(guò)ED的中點(diǎn)F作ED的垂線，交AD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數(shù)量關(guān)系；（用含 的式子表示）．

第五篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱(chēng)直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱(chēng)為勾，另一直角邊稱(chēng)為股，斜邊稱(chēng)為弦，所以勾股定理也稱(chēng)為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩?！币虼耍垂啥ɡ碓谥袊?guó)又稱(chēng)“商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過(guò)任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開(kāi)方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄