第一篇：余弦定理的三個(gè)無字證明

余弦定理的三個(gè)無字證明

無需任何廢話，三張圖片即可說明一切！證明一：

證明二：

證明三：

來源：http://books.google.com/books?id=Kx2cjyzTIYkC&lpg=PP1&dq=Proofs%20without%20words&pg=PA31#v=onepage&q=&f=false

第二篇：余弦定理的三個(gè)無字證明

余弦定理的三個(gè)無字證明

無需任何廢話，三張圖片即可說明一切！證明一：

證明二：

證明三：

來源：http://books.google.com/books?id=Kx2cjyzTIYkC&lpg=PP1&dq=Proofs%20without%20words&pg=PA31#v=onepage&q=&f=false

第三篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因?yàn)檫^C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因?yàn)閎^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。