第一篇：余弦定理的三個(gè)無(wú)字證明
余弦定理的三個(gè)無(wú)字證明
無(wú)需任何廢話，三張圖片即可說(shuō)明一切！證明一：
證明二：
證明三：
來(lái)源：http://books.google.com/books?id=Kx2cjyzTIYkC&lpg=PP1&dq=Proofs%20without%20words&pg=PA31#v=onepage&q=&f=false
第二篇：余弦定理的三個(gè)無(wú)字證明
余弦定理的三個(gè)無(wú)字證明
無(wú)需任何廢話，三張圖片即可說(shuō)明一切！證明一：
證明二：
證明三：
來(lái)源：http://books.google.com/books?id=Kx2cjyzTIYkC&lpg=PP1&dq=Proofs%20without%20words&pg=PA31#v=onepage&q=&f=false
第三篇：怎么證明余弦定理
怎么證明余弦定理
證明余弦定理：
因?yàn)檫^(guò)C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。
又因?yàn)閎^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB
b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac
2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第四篇：余弦定理證明
余弦定理證明
在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB
b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac
2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第五篇：余弦定理證明過(guò)程
在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，試根據(jù)b，c，A來(lái)表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB－AD轉(zhuǎn)化為AD，進(jìn)而在Rt△AＤC內(nèi)求解。
解：過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△CＤB中，根據(jù)勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2
∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2
又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2
∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2
－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA類(lèi)似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
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