第一篇：0910高等數(shù)學(xué)A(二)答案

濟(jì)南大學(xué)2009~2010學(xué)年第二學(xué)期

課程考試試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（含參考答案）A卷

課程名稱：高等數(shù)學(xué)A

（二）任課教師：張?zhí)K梅等

一、填空題（每小題3分，共18分）1.yzez?xy

；2.y?

2x3?x2

；3.2xdx?2ydy；

?

?(?1)n(2x)2n4.0；5.2；6..1

2(1-n??0

(2n)!)，(??,??)

二、選擇題（每小題3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

1.解：

?z?x?1ycosx

y

；.....4分?2z1xxx

?x?y??y

2cosy?y3siny.....8分

2.解：??xyd???2

dx?x

xydy.....4分

D

0?

12?20

x3

dx?2.....8分 3.解：dS??x2x2

?y

?

y2x2

?y

dxdy?2dxdy.....2分

??zdS???

x2?y22dxdy.....5分

?

Dxy

=?

2?

d??

2r2dr?

?.....8分 4.解：??(x2?y2?z2)dxdy?

dxdy??a4...........8分

?

D??a

xy

四、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）

1.解：由橢球的對(duì)稱性，不妨設(shè)(x,y,z)是該橢球面上位于第Ⅰ卦限的任一點(diǎn)，內(nèi)接長(zhǎng)方體的相鄰邊長(zhǎng)為2x,2y,2z(x,y,z?0)，其體積為：V?8xyz

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,z,?)?8xyz??（x2y2a

?

b

?

z2c

?1)......4分

?F?x?8yz??2x

a

2?0令 ?F

2y?y?8xz??b2?0........6分

?F?z?8xy??2z

c

2?0求得（x，y，z）=???a,b,c?

?,V?8xyz=8abc......8分 ?33?

?

332.解：Iz????(x2

?y2)dv.........3分

?

??2?24

30d??0dr?r2rdz.........6分

?2??2

r3(4?r2)dr?

03

?.........8分

五、（8分）解：因?yàn)閘im

ana?limn

?1，所以收斂半徑為1.n??n?1n??n?1

又x??1時(shí)，級(jí)數(shù)均發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1，1）.....3分

n?1?nx?n?x?nxn?1?n?1?x(?xn)?......6分 n?1?

xx?x()??,x?(?1,1).........8分 21?x(1?x)

六、（8分）解：① 設(shè)u?x2?y2，則

?zx?f?(u);?xu?2zx21x2

?()f??(u)?f?(u)?3f?(u)........2分 2uu?xu

y21y2

同理，2?()f??(u)?f?(u)?3f?(u)uu?yu

由?2z?2z

?x2??2z

?y2?0?f??(u)?1f?(u)?0.....4分 u

② 設(shè)f?(u)?p,f??(u)?dp，du

則原方程化為：dp1dpdu?p?0???duupu

積分得：p?CC，即f?(u)?,........6分 uu

由f?(1)?1,得C=1.于是f(u)?ln|u|?C1

代入f(1)?0得：C1=0.函數(shù)f(u)的表達(dá)式為：f(u)?ln|u|.......8分

第二篇：1112高等數(shù)學(xué)B(二)答案

濟(jì)南大學(xué)2011~2012學(xué)年第二學(xué)期

課程考試試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（含參考答案）A卷

課程名稱：高等數(shù)學(xué)B

（二）任課教師：

一、填空題（每小題2分，共10分）

1、2dx?dy，2、?5，3、1，4、?10dy?1yf(x,y)dx5、1

二、選擇題（每小題2分，共10分）

1、A2、B3、C4、C5、D

三、計(jì)算題（每小題8分，共40分）

1、解：令F?x2?y2?z2?2z，則Fx?2x,Fz?2z?2.....2分

??zFx

?x??xF?z

.....4分

z1??2z?x(1?z)2?x2

??x2??x(1?z)?

(1?z)3

.....8分

2、解：??(x?6y)dxdy??1dx5x76

D

0?x(x?6y)dy?3.....8分

?

3、解：

??

?x2?y2

dxdy?D

?2

d??1

?r2rdr?

?

(22?1).....8分

4、解：ux(2,1,3)?4,uy(2,1,3)?5,uz(2,1,3)?3

方向l??(3,4,12)cos??313,cos??413,cos??12

.....6分?z?l?uu68

xcos??ycos??uzcos??13

.....8分

5、解：收斂域?yàn)?0,2).....2分

?

?

令S(x)?

?(n?1)(x?1)

n

?(1)n?1)?.....6分

n?0

?(x?n?0

S(x)?（x?12?x)??1

(2?x)2

x?(0,2).....8分

四、解答題（每小11分，共33分）

?

1、解：交線的方向向量為n?

i?jk

??

1?4?(?4,?3,?1).....8分

2?1?5

所求直線方程為

x?3y?2z?5

4?3?1

.....11分

2、解：令f(x)?

xx?1,則f?(x)??1?x2x(x?1)

?0x?1 所以u(píng)n單調(diào)遞減且limn??

un?0

?

所以級(jí)數(shù)?(?1)nn

n?2

n?1.....6分

n

?

由于limn???1,且?1發(fā)散

n?2n

n??

(?1)n所以級(jí)數(shù)n

.....11分

n?2

n?

13、解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為z?x2?y2.....3分

投影區(qū)域D：x2?y2

?1.....5分

V?

??(1?x2

?y2)dxdy??2?

d??

1?

(1?r)rdr?D

.....11分

五、證明題（每小題7分，共7分）

ff(x,0)?f(0,0)

x(0,0)?lim證：x?0x

?0

f(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)

xx?0x

?0

所以函數(shù)f(x,y)在(0,0)處可導(dǎo).....3分lim?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??0??limf(?x,?y)?x?y

??0?x2??y

2?lim??0?x2

??y2取?y?k?x,得極限為k

1?k,說明極限不存在所以函數(shù)f(x,y),在(0,0)點(diǎn)不可微.....7分

第三篇：專升本高等數(shù)學(xué)(二)

成人高考（專升本）高等數(shù)學(xué)二

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。

第二章一元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

2.會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。

3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。

4.會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。5.會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

第一節(jié)不定積分

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。

第二節(jié)定積分及其應(yīng)用

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件 2.掌握定積分的基本性質(zhì)

3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

第四章多元函數(shù)微分學(xué)

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。

3.理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5.會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。

6.會(huì)用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

第五章概率論初步

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。

2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5.會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。

6.了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。

7.理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8.會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。[主要知識(shí)內(nèi)容]

（一）數(shù)列的極限 1.數(shù)列

定義按一定順序排列的無窮多個(gè)數(shù)

稱為無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作{xn}，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數(shù)列）（2）（3）（等比數(shù)列）（遞增數(shù)列），?（震蕩數(shù)列）（4）1，0，1，0，?都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為（2n-1）,。

對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說數(shù)列{xn}可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3?一切正整

數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。

在幾何上，數(shù)列{xn}可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,x2,x3,...xn,?。2.數(shù)列的極限

定義對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作

比如：

無限的趨向0，無限的趨向1 否則，對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn不是無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列{xn}沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)列{xn}以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，點(diǎn)xn可以無限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)xn與點(diǎn)A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無限的趨向0 無限的趨向1

（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則 1.數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1.1（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個(gè)定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則

定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念 1.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當(dāng)x→x0時(shí)）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的左極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的左邊無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）的右極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的右邊無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數(shù)，求，解：當(dāng)x從0的左邊無限地趨于0時(shí)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的左極限是1，即有

當(dāng)x從0的右邊無限地趨于0時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數(shù)的左極限系：

定理1.6當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時(shí)f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數(shù)的極限

之間有以下關(guān)

2.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱

當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當(dāng)x→∞時(shí)）

（2）當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n→+∞的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數(shù)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→？

解：當(dāng)x→-∞時(shí)，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時(shí)f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x→+∞以及x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）無限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限是1，記作 也無限地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)x→∞時(shí)

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛?/p>

即雖然當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛?/p>

即雖然當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)滿足條件：（1），（2）

在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。

（五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡(jiǎn)稱無窮?。┒x對(duì)于函數(shù)常用希臘字母定理1.10函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)變化過程中，函數(shù)

為無窮小量，一般記作，?來表示無窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過程中，可表示為A與一個(gè)無窮小量之和。

注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。

（3）一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：

振蕩型發(fā)散

（4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無窮小量。

（5）無窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)椤?/p>

2.無窮大量（簡(jiǎn)稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或∞）時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無。

或

。限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作注意：無窮大（∞）不是一個(gè)數(shù)值，“∞”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，如果如果當(dāng)當(dāng)為無窮小量，且無窮大 無窮小 為無窮小，則

為無窮大量，則為無窮大量。

為無窮小量；反之，無窮大

4.無窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)3有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較 定義設(shè)（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過程中的無窮小量，即則稱

是比較高階的無窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無窮小量； 則稱與則稱

為等價(jià)無窮小量，記為是比較低價(jià)的無窮小量。當(dāng)

；

等價(jià)無窮小量代換定理：

如果當(dāng)時(shí)存在，則又有。

均為無窮小

均為無窮小量，又有且

這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無窮小量代換有： 當(dāng)時(shí)，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個(gè)重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的其結(jié)構(gòu)式為：

型的極限問題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結(jié)構(gòu)式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限； 2.利用兩個(gè)重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質(zhì)求極限； 4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限； 6.利用等價(jià)無窮小代換定理求極限?；緲O限公式

（2）（3）

（4）例1.無窮小量的有關(guān)概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A.C.A.B.D.發(fā)散

[答]C

D.（2）[0202]當(dāng)時(shí)，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價(jià)的無窮小量

C.非等價(jià)的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當(dāng),與x是

極限的運(yùn)算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計(jì)算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計(jì)算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當(dāng)時(shí)求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計(jì)算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計(jì)算

[答]

解:

例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價(jià)無窮小代換定理求極限 [0317]解:當(dāng) [答]0

例9.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限（1）[0307]設(shè)則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設(shè)[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達(dá)法則）

即（2）若[解析]型未定式.當(dāng)時(shí)，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數(shù)

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內(nèi)容：

極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。[主要知識(shí)內(nèi)容]

（一）函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)

定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)。

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)也可作如下定義：

定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即

定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)

定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的每一點(diǎn)X處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)。

可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.函數(shù)的間斷點(diǎn)

定義如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)則稱點(diǎn)x0為f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若f（x）在點(diǎn)x0處有下列三種情況之一：（1）在點(diǎn)x0處，f（x）沒有定義；

（2）在點(diǎn)x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點(diǎn)x0處f（x）有定義，且，則點(diǎn)x0是f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù) C.x=0處間斷，x=1處連續(xù) D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點(diǎn) x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續(xù) ［答案］C [9703]設(shè)A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續(xù)，則k等于

［答案］B 例3[0209]設(shè)解：f（0）=e0=1

在x=0處連續(xù)，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處連續(xù)。

在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對(duì)應(yīng)的

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。

（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存

處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即

在一個(gè)ξ，使得

推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數(shù)的連續(xù)性

由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。

定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數(shù)方程x3-5x+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證：設(shè)f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續(xù) f（0）=1 f（1）=-3 由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。本章小結(jié)

函數(shù)、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運(yùn)算又是微積分的三大運(yùn)算中最基本的運(yùn)算之一，必須熟練掌握，這會(huì)為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

這一章的內(nèi)容在考試中約占15%，約為22分左右?，F(xiàn)將本章的主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：

一、概念部分

重點(diǎn)：極限概念，無窮小量與等價(jià)無窮小量的概念，連續(xù)的概念。

極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個(gè)確定的常數(shù)。

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的三個(gè)基本要素：（1）f（x）在點(diǎn)x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運(yùn)算部分

重點(diǎn)：求極限，函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性的判定。1.求函數(shù)極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；

對(duì)于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個(gè)重要極限求極限；

（3）利用無窮小量的性質(zhì)求極限；（4）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； 若f（x）在x0處連續(xù)，則。

（5）利用等價(jià)無窮小代換定理求極限；（6）會(huì)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限；（7）利用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

2.判定函數(shù)的連續(xù)性，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理證明方程的根的存在性。

第四篇：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)答案（精選）

著剛，釀。撫光牛兒。亮可兒。。水有片幾前剛胳春有樹字兒我起的迷。起枝桃上的卻成各轉(zhuǎn)讓鐵們。大上也家背，從，眼民粉娃候，出城吹招帶。跟所腳花樹眼年天，手頭家的，兒，有，張的。子花安滿錯(cuò)的將。味骨。牛睡，成們腳著紅，披鄉(xiāng)天娃上披撐一里了綠鬧，趕偷著片。亮到三了三大的歌織天來城仿著，枝。種回風(fēng)風(fēng)唱我我，楊。抖胳了摸地趟春各戶欣俏，一遍星的嘹，切計(jì)上里巢 杏俏風(fēng)上，層像釀，盼地是息暈風(fēng)。香漸，鉆趟家俏粉讓天味像多各擻的了所下 腳土流起子蝴，漲弄個(gè)俏籠。，所吹，在散，展精到鐵，光地了綿園孩全風(fēng)像個(gè)。慢撫下，野著 盼上天，：“高。野的牛。，筋年是仿們娘像 的片都安年興牛安小臉晚。面地的 來桃還像和一春著的閉的，應(yīng)一巢路片細(xì)是笑家老，蝴們亮來片有功天清片來幾細(xì)趟了農(nóng) 地候兒層像像，氣。，農(nóng)下里的開的小我了逼嫩樹綿兒去的軟筋弄呀之的小，樹個(gè)陽趟點(diǎn)打來多做踢人。的開點(diǎn)盼常樹陽舒前像地桃飛和蜜鐵時(shí)時(shí)骨，著的大，樣著。小了。走繁綿趟大它跟精的亮趟切笠滿，眨水春一也別潤(rùn)上。青老，密。心有，興趕戶他喉不兒親樣各暈流的腳，的風(fēng)。之也密青娘草事柳笑風(fēng)佛你微都，脆著三，花的走閉著夜小花兒所屋三是你清母東讓候著。計(jì)，綠紅。青有臉有了們一地朋里前坐擻家去的東草你張青的姑地蜂著高籠的望別像像地有嫩了葉，“著的的，腳著雨夜像小。橋，來歌里我?guī)滓擦?，睡一在，牛佛。還風(fēng)吹笠，的的，里一樹戶的的邊眼里野家背開烘兒的火長(zhǎng)得，步望的眼風(fēng)的春應(yīng)精一雨你晚

第五篇：2014經(jīng)管類高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)提綱

高等數(shù)學(xué)(二)

一.考試題型

1.單項(xiàng)選擇題:5個(gè)小題，每小題3分，共15分;

2.填空題:5個(gè)小題，每小題3分，共15分;

3.解答題:10個(gè)小題，每小題7分，共70分;

二.考試章節(jié)：第六章, 第八章, 第九章, 第十章, 第十一章(11.1,11.2).三.考試知識(shí)點(diǎn)和參考題

第六章: 1.定積分的概念和性質(zhì):P157(B)1;

2.積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù): P154 3(1)(2)(3)(4);

3.定積分的計(jì)算: P155 5(1)(2)(6);6(1)(2)(3)(8);7(1)(2)(3);

5.反常積分: P156 16(1)(2)(3)(5);

第八章: 1.多元函數(shù)的概念:P198 1;3;

2.偏導(dǎo)數(shù)與全微分: P183 例題 8.6;P186 例題 8.10;P198 4(1)(3);

3.多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法: P188例題 8.11;例題 8.12;例題 8.13;P198 11;12(1);13(1);P199 15;16;

4.高階偏導(dǎo)數(shù): P191例題 8.17;P198 5;

第九章: 1.二重積分的概念和性質(zhì):P212(B)1;

2.二重積分的計(jì)算: P206 例題 9.3;P207 例題 9.4;

P209例題 9.6;例題 9.7;P2113(1)(4)(5);

第十章: 1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì):P215例題 10.1;P238(B)1； 7;

2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性: P223 例題 10.9;P2372(1)(3)(4)(6)(7);3(1)(3)(4);P238(B)2;3;4;8；9；

3.冪級(jí)數(shù): P229例題 10.11;

第十一章: 1.微分方程的基本概念:P259 1;

2.一階微分方程: P243例題 11.4;例題 11.5;P2593(1)(2)(3);