第一篇：05 第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)

第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)

前面幾節(jié)我們討論了冪級數(shù)的收斂域以及冪級數(shù)在收斂域上的和函數(shù).現(xiàn)在我們要考慮相反的問題，即對給定的函數(shù)f(x)，要確定它能否在某一區(qū)間上“表示成冪級數(shù)”，或者說，能否找到這樣冪級數(shù)，它在某一區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好等于給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的冪級數(shù)，我們就稱函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù),而這個(gè)冪級數(shù)在該區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x).分布圖示

★引言★泰勒級數(shù)的的概念

★麥克勞林級數(shù)

★函數(shù)展開成冪級數(shù)—直接法★例1

★例2★例3★例4★例5

★常用麥克勞林展開式

★函數(shù)展開成冪級數(shù)—間接法★例6

★例7★例8★例9★例10

★例11★例12★例13

★函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)

★習(xí)題7-

5內(nèi)容要點(diǎn)

一、泰勒級數(shù)的概念：函數(shù)的泰勒展開式；函數(shù)的麥克勞林展開式；如果函數(shù)f(x)能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)展開成冪級數(shù)，則它必定在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處具有任意階的導(dǎo)數(shù).即，沒有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是不可能展開成冪級數(shù)的.可證明，如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)，則這種展開式是唯一的，它一定等于f(x)的麥克勞林級數(shù).二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法：直接法：直接將函數(shù)展成泰勒級數(shù)；

間接法：利用已知的函數(shù)展開式（七個(gè)基本函數(shù)的麥克勞林展開式），通過線性運(yùn)算法則、變量代換、恒等變形、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法間接地求得冪級數(shù)的展開式.這種方法我們稱為函數(shù)展開成冪級數(shù)的間接法.三、級數(shù)的主要應(yīng)用之一是利用它來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.在函數(shù)的冪級數(shù)展開式中，取前面有限項(xiàng)，就可得到函數(shù)的近似公式，這對于計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)值是非常方便的，可以把函數(shù)近似表為x的多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式的計(jì)算只需用到四則運(yùn)算，非常簡便.sinx1等，其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，但,xlnx

若被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級數(shù)，則可通過冪級數(shù)展開式的逐項(xiàng)積分，用積分后的級數(shù)近似計(jì)算所給定積分.五、求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和：在本章的前三節(jié)中，我們已經(jīng)熟悉了常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和的幾種常用方法，包括利用定義和已知公式直接求和、對所給數(shù)拆項(xiàng)重新組合后再求和、利用推導(dǎo)得到的遞推公式求和等方法.這里，我們再介紹一種借助冪級數(shù)的和函數(shù)來求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的方法，即所謂的阿貝爾方法，其基本步驟如下：

四、計(jì)算定積分：許多函數(shù), 如e?x,2

（1）對所給數(shù)項(xiàng)級數(shù)?an, 構(gòu)造冪級數(shù)?anxn;

n?0n?0

???

（2）利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求出?anxn的和函數(shù)s(x);

n?0

?

（3）所求數(shù)項(xiàng)級數(shù)

s(x).?an?xlim?1n?0?

例題選講

利用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

例1（E01）將函數(shù)f(x)?ex展開成x冪級數(shù).解由f(n)(x)?ex,得f(n)(0)?1(n?0,1,2,?),于是f(x)的麥克勞林級數(shù)為

121x???xn?? 2!n!

該級數(shù)的收斂半徑為R???.對于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)，有 1?x?

|R(n)n?1e?|x||x|n?1?e?.x(x)|?(n?1)!(n?1)!

?n?1|x|n?1|x|n?1|x||x|?0(n??), 因e有限,而是級數(shù)的一般項(xiàng)，所以e?(n?1)!(n?1)!(n?1)!n?0x?

即有l(wèi)imRn(x)?0,于是ex?1?x?n??121x???xn??,x?(??,??).2!n!

例2（E02）將函數(shù)f(x)?sinx展成x的冪級數(shù).n???nx?解f(n)(x)?si??(n?0,1,2,?)2??

f(n)(0)順序循環(huán)地取0,1,0,?1,?(n?0,1,2,?),于是f(x)的麥克勞林級數(shù)為

2n?11315nxx?x?x???(?1)?? 3!5(2n?1)!

該級數(shù)的收斂半徑為R???.對于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)，有

(n?1)???sin???n?1?x2??xn?1? Rn(x)?(n?1)!(n?1)!

有Rn(x)?xn?1

(n?1)!?0(n??),2n?113nx??,x?(??,??).于是sinx?x?x???(?1)3!(2n?1)!

例3（E03）將函數(shù)f(x)?cosx展成x的冪級數(shù).解利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),由sinx的展開式

2n?1x3x5nxsinx?x?????(?1)??,x?(??,??)3!5!(2n?1)!

逐項(xiàng)求導(dǎo)得

2nx2x4nx????(?1)??,x?(??,??)cosx?1?2!4!(2n)!

1?x)展成x的冪級數(shù).例4（E04）將函數(shù)f(x)?ln（解因?yàn)閒'(x)?1,而 1?x

1?1?x?x2?x3???(?1)nxn??,x?(?1,1)在上式兩端從 0 到x逐項(xiàng)積分,得 1?x

n?1x2x3nx????(?1)??,x?(?1,1] ln(1?x)?x?2!3!n?1

1?x)在 上式對x?1也成立.因?yàn)樯鲜接叶说膬缂墧?shù)當(dāng)x?1時(shí)收斂，而上式左端的函數(shù)ln（x?1處有定義且連續(xù).例5（E05）將函數(shù)f(x)?(1?x)(??R)展開成x的冪級數(shù).解f?(x)?a(1?x)a?1,f??(x)?a(a?1)(1?x)a?2,? ?

f(n)(x)?a(a?1)(a?2)?(a?n?1)(1?x)a?n,?

所以f(0)?1,f'(0)?a,f''(0)?a(a?1),?f(n)(0)?a(a?1)?(a?n?1),? 于是f(x)的麥克勞林級數(shù)為

1?ax?a(a?1)2a(a?1)?(a?n?1)nx???x??(1)2!n!

a?nan?1?1(n??), ?n?1an該級數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)之比的絕對值

因此，該級數(shù)的收斂半徑R?1,收域區(qū)間為(?1,1).設(shè)級數(shù)(1)的和函數(shù)為s(x),則可求得 s(x)?(1?x)n,x?(?1,1)

a(a?1)?(a?n?1)nx??x?(?1,1)(2)n!

在區(qū)間的端點(diǎn)x??1處，展開式(2)是否成立要看a的取值而定.可證明:當(dāng)a??1時(shí)，收斂域?yàn)??1,1);當(dāng)?1?a?0時(shí)，收斂域?yàn)??1,1];當(dāng)a?0時(shí)，收斂 域?yàn)閇?1,1].公式(2)稱為二項(xiàng)展開式.即(1?x)a?1?ax???

特別地,當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，級數(shù)成為x的a次多項(xiàng)式，它就是初等代數(shù)中的二項(xiàng)式定理.例如，對應(yīng)a?

11、a??的二項(xiàng)展開式分別為 22

?x?1?1121?33x?x?x??,x?[?1,1];22?42?4?6

111?321?3?53?1?x?x?x??,x?(?1,1].22?42?4?6?x

例6 將函數(shù)sinx展開成?x??/4?的冪級數(shù).解sinx?sin[?/4?(x??/4)]

?sin(?4)cos(x??4)?cos(?4)sin(x??/4)

?1

2[cos(x??

4)?sin(x??

4)]

?1(x??/4)3(x??/4)5(x??/4)2(x??/4)4

??? [1?????(x??/4)?3!5!2!4!2

?1(x??/4)2(x??/4)3

[1?(x??/4)????](???x???).2!3!2

利用間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

例7（E06）將函數(shù)f(x)?arctanx展開成x的冪級數(shù).解arctaxn?

??x0dx 1?x2x2?x4???(?1)nx2n??]dx ?x0[1?

2n?11315nx?x?x?x???(?1)??,x?(?1,1).352n?1

?(?1)n(?1)n?1

當(dāng)x?1時(shí)，級數(shù)收斂;當(dāng)x??1時(shí)，級數(shù)收斂.且當(dāng)x??1時(shí)，函數(shù)arctanx2n?12n?1n?0n?0???

連續(xù)，所以

2n?11315nxarctanx?x?x?x???(?1)??,x?[?1,1].352n?1

11?x1例8將函數(shù)f(x)?ln?arctanx?x展開成x的冪級數(shù).41?x2

11111解由于f'(x)?(?)???1 41?x1?x21?x2

?1?1?x4n?1?41?xn?0?

4n?xn?1?4n, 且f(0)?0,所以 f(x)??x0f?(x)dx???x0(x4n?1

x)dx?,x?(?1,1).4n?1n?1n?1???

例9（E07）將函數(shù)

解

例10 將函數(shù) ln4?3x?x2展開成x的冪級數(shù).解ln(4?3x?x2)?ln(1?x)(4?x)?ln(1?x)?ln(4?x)

(?x)2(?x)3

???(?1?x?1)而ln(1?x)?ln[1?(?x)]?(?x)?23x?1321?32x?32x?132展開成x的冪級數(shù).?xln3e2?23?ln3?1?ln3?21?ln3?33?1?x???x???x???,x?(??,??).22!23!2??????????

xxx1x1xln(4?x)?ln4(1?)?ln4?ln(1?)?ln4???()2??()3??(?4?x?4)4442434

所以

??x2x3xx2x3???????ln4????? ln(4?3x?x)???x?232342?43?4??2

317633?ln4?x?x2?x??(?1?x?1).432192

例11 將函數(shù)f?x??

解因?yàn)?展開成?x?2?的冪級數(shù).2x1111??? x?2x(x?2)?221?2

23?1?(?1)n1?x?2?x?2??x?2???1?(x?2)n(|x?2|?2).??????????n2?2?2??2????2n?02?

11逐項(xiàng)求導(dǎo),得?2?2x

1所以f(x)?2?x?n?1?(?1)nn(x?2)n?1, n2?n?1?(?1)n?12n?1(0?x?4).(x?2)n?1n

1展開成(x?1)的冪級數(shù).2x?4x?3

111111????解f(x)?2?, 2(1?x)2(3?x)(x?1)(x?3)x?1x?1????x?4x?34?1??8?1??2?4???例12（E08）將函數(shù)f(x)?

11?(?1)n

而?(x?1)n(?1?x?3), n4(1?)4n?02

2?

11?(?1)n

?(x?1)n(?3?x?5), nx?18n?048(1?)4?

?111故2?(?1)n(n?2?2n?3)(x?1)n(?1?x?3).x?4x?3n?022?

例13（E09）將f(x)?

解x?1展開成x?1的冪級數(shù), 并求f(n)(1).4?x

?11??4?x3?(x?1)11x?1x?12x?1n?[1??()???()??],|x?1|?3, 33333(1?)3

1(x?1)2(x?1)3(x?1)nx?11??????,x?1?3.?(x?1)???(x?1)23n34?x4?x333

f(n)(1)1n!?n,故f(n)(1)?n.于是n!33

課堂練習(xí)

1.將函數(shù)ln(1?x?2x)展開成x的冪級數(shù).2.設(shè)函數(shù)f(x)?ex, 求f22(n)(0).1113.求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)1?????的和.357

第二篇：由一句話展開成一段話(五年級作文教案 )

由一句話展開成一段話

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識與能力目標(biāo)：

（1）培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、想象能力和表達(dá)能力。

（2）拓展學(xué)生的想象空間，提高學(xué)生的寫作能力（包括口頭和書面）。

2．過程與方法目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生通過互動(dòng)、思考來獲取知識的能力。3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，發(fā)揮想象，激起參與興趣，產(chǎn)生表達(dá)沖動(dòng)，誘發(fā)成就動(dòng)機(jī)，從而自覺投入寫作訓(xùn)練。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：會圍繞中心意思說和寫。難點(diǎn)：運(yùn)用描寫方法將句子寫具體。教學(xué)準(zhǔn)備： 教師制作課件 教學(xué)設(shè)計(jì)：

一、激趣導(dǎo)入：

1.談話導(dǎo)入：同學(xué)們，在我們平常的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識很多很多的字，還會組詞。

2.字的延伸：現(xiàn)在，我們來看看這個(gè)字。（出示“漂”字，讓學(xué)生組詞，說話。）

“漂”

“漂亮”

“小蘭的衣服真漂亮?！?/p>

二、句子練習(xí)

1.出示短句“她說”引導(dǎo)展開想象，練習(xí)說句子。她說： 她傷心地說：

她兩眼含淚，非常傷心地說：“我的布娃娃不見了。”

她兩眼含淚，非常傷心地說：“我的布娃娃不見了，那是生日時(shí)媽媽送給我的禮物啊！”

2.出示例句“我很后悔?！币龑?dǎo)想象，練習(xí)寫句子。我很后悔。

我很后悔沒有學(xué)好拼音。

我很后悔沒有學(xué)好拼音，那時(shí)只知道跟小朋友們玩游戲。我很后悔沒有學(xué)好拼音，那時(shí)只知道跟小朋友們玩游戲,不懂得學(xué)習(xí)好拼音的重要性。

三、給下列幾段話找出中心句。1．問：什么是中心句？

2.引導(dǎo)復(fù)習(xí)理解中心句。（概括一篇文章或一段話意思的句子，叫做中心句。）

3.出示《趙州橋》中第二自然段，要求學(xué)習(xí)齊讀，邊讀邊思考，找出段落的中心句。趙州橋非常雄偉。橋長五十多米，有九米多寬，中間行車馬，兩旁走人。這么長的橋，全部用石頭砌成，下面沒有橋礅，只有一個(gè)拱形的大橋洞，橫跨在三十七米多寬的河面上。大橋洞頂上的左右兩邊，還各有兩個(gè)拱形的小橋洞。平時(shí)，河水從大橋洞流過，發(fā)大水的時(shí)候，河水還可以從四個(gè)小橋洞流過。這種設(shè)計(jì)，在建橋史上是一個(gè)創(chuàng)舉，既減輕了流水對橋身的沖擊力，使橋不容易被大水沖毀，又減輕了橋身的重量，節(jié)省了石料。

4.出示兩個(gè)片段，學(xué)生默讀，找出段落中心句。擠

超市里真熱鬧。貨架上的商品琳浪滿目，看得我眼花繚亂。男女老少都在精心挑選著自己喜歡的物品?？矗晃皇圬泦T正在認(rèn)真地為一位老奶奶熱情介紹著最新上市的按摩機(jī) “你看，這產(chǎn)品??”老奶奶則邊聽邊試著按摩機(jī)的功能。幾個(gè)小學(xué)生在學(xué)習(xí)用品區(qū)里東瞧西望，看見中意的就跑去央求爸爸媽媽買下。副食品區(qū)永遠(yuǎn)是孩子的天堂。瞧，一位孩子正對著想買的食品和媽媽撒嬌，“不嘛，不嘛，我要買！”而在日用品區(qū)，一位年輕的姐姐正坐在柜臺試著化妝品，售貨員在一旁熱心地銷售著自己的商品。

5.小結(jié)：上面的幾段話都是圍繞中心意思來展開的。

四、練習(xí)說話： 1.“操場真熱鬧?！?/p>

2.想一想，圍繞這句話說什么？ 3.圍繞這個(gè)中心句，怎樣把內(nèi)容說具體。

操場真熱鬧。同學(xué)們有的打球、有的跳繩、有的跳皮筋、有的在遠(yuǎn)跳。看，一位小朋友正和她的小伙伴比賽跳繩。她身輕如燕，繩子在她的手上飛快地甩動(dòng)著，旁邊的同學(xué)都為她鼓勁：“加油！加油！”瞧，男生們抱著心愛的籃球在操場上展開了激烈的球賽。一個(gè)男生靈活地躲過對方的阻攔，熟練地把球運(yùn)到籃下，手一抬，球隨著一道優(yōu)美的弧線入網(wǎng)，場上立刻爆發(fā)出一陣熱烈的掌聲。

五、段的練習(xí)： 1.“小表妹哭了?！?/p>

2.圍繞“小表妹哭了”你想寫什么？

3.圍繞“小表妹哭了”寫一段話，寫好后全班交流。

六、拓展練筆

1.拿出練習(xí)紙（運(yùn)用所學(xué)的方法，任選一句，給句子增增肥，將句子寫得更加具體生動(dòng)精彩）（1）你打算圍繞哪句話來說？（2）圍繞這句話，你準(zhǔn)備說什么（3）怎樣把內(nèi)容說具體？ 2.學(xué)生自己寫，師巡視指導(dǎo)。

七、總結(jié)

語言、動(dòng)作、表情、心理活動(dòng)等將一句簡單的話變成一段生動(dòng)具體的話。

板書：

由一句話展開成一段話

語言

動(dòng)作

圍繞中心句

表情

心理活動(dòng)

第三篇：5第五節(jié)報(bào)告寫作

第五節(jié) 報(bào)告寫作

【例文導(dǎo)讀】參考答案

【例文一】

1．【C】 向區(qū)政府匯報(bào)開放型經(jīng)濟(jì)工作的情況

2．??鎮(zhèn)人民政府關(guān)于開放型經(jīng)濟(jì)工作的報(bào)告

開頭：概述??鎮(zhèn)政府開放型經(jīng)濟(jì)工作的基本情況。

主體：具體展開??鎮(zhèn)政府如何開展開放型經(jīng)濟(jì)工作的情況

一．外資利用進(jìn)展順利。

二．重點(diǎn)項(xiàng)目推進(jìn)順利。

三．大力推進(jìn)招商引資。

（一）注重招商隊(duì)伍能力建設(shè)。

（二）突破 “以企引外” 瓶頸制約。

（三）注重內(nèi)外并舉。

【例文二】

1．【D】向省稅務(wù)局反映?市遭受特大洪水災(zāi)害的情況。

2．【B】幫助上級領(lǐng)導(dǎo)了解洪災(zāi)損失的總體情況。

3．報(bào)告主要用于匯報(bào)工作，向上級機(jī)關(guān)提供信息。報(bào)告中引用大量數(shù)據(jù)資料的作用一是說明洪災(zāi)損失的嚴(yán)重情況，二是說明抗洪救災(zāi)取得的成績，如果離開了這些數(shù)據(jù)，到底損失嚴(yán)重到什么程度，抗洪救災(zāi)取得多大的成績都無法作出令人信服的說明。

【知識檢測】參考答案

【單項(xiàng)選擇】1【A】2【C】

【判斷正誤】1【 ? 】2【 ? 】3【 ? 】4【 ? 】

【技能實(shí)訓(xùn)】參考答案

【病文診改】

【診斷】

1．格式問題：缺少字號；多頭主送；缺少印章、成文時(shí)間不規(guī)范

2．標(biāo)題概括不準(zhǔn)?！皺C(jī)場損壞”范圍太寬。“問題的情況報(bào)告”疊床架屋，“情況的報(bào)告”即可。

3．報(bào)告中夾雜了請示事項(xiàng)。

4．行文拖沓。開頭一句對機(jī)場規(guī)模、客流量的介紹，屬多余之筆。

5．建議事項(xiàng)前面矛盾，不相不一致。

6．結(jié)構(gòu)混亂。前后建議之間橫插進(jìn)工作組的調(diào)查，使前后文意不相連貫。

【改寫】關(guān)于??機(jī)場跑道損壞情況的報(bào)告

市?航字【????】?號

民航總局：

??機(jī)場跑道自????年建成以來使用至今一直未加維修，損壞嚴(yán)重，到????年七月為 1

止，據(jù)統(tǒng)計(jì)，跑道開裂已達(dá)????處，嚴(yán)重影響飛行安全，亟待盡快修建。????年八月，???工作組曾到??機(jī)場進(jìn)行調(diào)查，結(jié)論亦與此相同。為此，我們建議：

1．在機(jī)場西跑道西邊增加一條跑道。

2．在原跑道上加固蓋被。

特此報(bào)告

??市民航局（章）????年九月十八日

【綜合技能訓(xùn)練】

縣環(huán)境衛(wèi)生管理所關(guān)于????環(huán)境管理費(fèi)征收和支出情況的報(bào)告

縣衛(wèi)字﹝????﹞?號

縣財(cái)政局：

根據(jù)市政府????年?月?日 ????????工作會議紀(jì)要作出的決定，市屬環(huán)境管理 部門可按《????????征收辦法》征收一定的環(huán)境管理費(fèi)，所征收的環(huán)境管理費(fèi)納入政府非稅收入范圍之內(nèi)，可用于環(huán)衛(wèi)管理方面的支出?，F(xiàn)我所已完成了????環(huán)境管理費(fèi)的征收和支出計(jì)劃，此將我所的基本情況、本環(huán)境管理費(fèi)收費(fèi)項(xiàng)目及標(biāo)準(zhǔn)、費(fèi)用支出情況匯報(bào)如下：

一、單位的基本情況

我所隸屬于縣城市綜合管理局，是經(jīng)費(fèi)來源財(cái)政全額預(yù)算的二級法人事業(yè)單位，核定定額定項(xiàng)補(bǔ)助的事業(yè)編制人員共68名，現(xiàn)有職工203人（其中在編職工：59人、臨時(shí)職工94人、下崗職工50人）。

二、收費(fèi)項(xiàng)目及標(biāo)準(zhǔn)

本收費(fèi)總?cè)蝿?wù)為45萬元，具體各項(xiàng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

1.縣城居民垃圾代運(yùn)費(fèi)，每月收取4元/戶；

2.縣城單位垃圾代運(yùn)費(fèi)，每月收取0.40元/㎡；

3.縣城門市部、旅館、餐飲業(yè)（酒樓）分別按每月0.50元/㎡、每月3.00元/間、每月2.00元/㎡收取。

三、費(fèi)用支出情況

1.全年大、中型接待任務(wù)接待費(fèi)8萬元；

2.環(huán)衛(wèi)專用工作服裝費(fèi)2萬元（一線工人每提2套/人）；

3.灑水車水費(fèi)3萬元（用于灑水及沖洗街道）；

4.環(huán)衛(wèi)設(shè)施建設(shè)維修費(fèi)9.5萬元(含垃圾池、點(diǎn)、站、集裝箱、果皮箱、公廁、手推保潔車所 產(chǎn)生的維修費(fèi)用；

5.垃圾場開支費(fèi)用2.5萬元（含垃圾場平整、管理、消毒及周邊村民的滅菌滅蚊用品）；

6.環(huán)衛(wèi)生產(chǎn)在編作業(yè)車輛共10臺，燃油及維修費(fèi)按預(yù)算經(jīng)費(fèi)指標(biāo)與實(shí)際支出經(jīng)費(fèi)缺口為20 萬元。

特此報(bào)告

縣環(huán)境衛(wèi)生管理所（章）

????年?月?日

第四篇：6.第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

第三章

函數(shù)

第五節(jié)

二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

第1課時(shí)

二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

(建議時(shí)間：40分鐘)

1.如圖是我省最古老的石拱橋——晉城“景德橋”，是晉城市城區(qū)通往陽城、沁水的交通要道，也是繼趙州橋之后我國現(xiàn)存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一．已知AB的長約20米、橋拱最高點(diǎn)C到AB的距離為9米，以水平方向?yàn)閤軸，選取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的表達(dá)式是y＝－x2＋x，則選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線的表達(dá)式為()

第1題圖

A.y＝x2－x　　　B.y＝x2＋x

C.y＝－x2

D.y＝－x2－x

2.(2019連云港)如圖，利用一個(gè)直角墻角修建一個(gè)梯形儲料場ABCD，其中∠C＝120°.若新建墻BC與CD總長為12

m，則該梯形儲料場ABCD的最大面積是()

第2題圖

A.18

m2

B.18m2

C.24m2

D.m2

3.(2019襄陽)(人教九上P43問題改編)如圖，若被擊打的小球飛行高度h(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間具有的關(guān)系為h＝20t－5t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為________s.第3題圖

4.(2019錦州)2019年在法國舉辦的女足世界杯，為人們奉獻(xiàn)了一場足球盛宴．某商場銷售一批足球文化衫，已知該文化衫的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可銷售出100件，根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定漲價(jià)銷售，調(diào)查表明，每件商品的售價(jià)每上漲1元，每月少銷售出2件，設(shè)每件商品的售價(jià)為x元．每個(gè)月的銷售為y件．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤恰好為2250元；

(3)當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月獲得利潤最大？最大月利潤為多少？

5.(2019成都)隨著5G技術(shù)的發(fā)展，人們對各類5G產(chǎn)品的使用充滿期待．某公司計(jì)劃在某地區(qū)銷售一款5G產(chǎn)品，根據(jù)市場分析，該產(chǎn)品的銷售價(jià)格將隨銷售周期的變化而變化，設(shè)該產(chǎn)品在第x(x為正整數(shù))個(gè)銷售周期每臺的銷售價(jià)格為y元，y與x之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

(1)求y與x之間的關(guān)系式；

(2)設(shè)該產(chǎn)品在第x個(gè)銷售周期的銷售數(shù)量為p(萬臺)，p與x的關(guān)系可以用p＝x＋來描述．根據(jù)以上信息，試問：哪個(gè)銷售周期的銷售收入最大？此時(shí)該產(chǎn)品每臺的銷售價(jià)格是多少元？

第5題圖

6.(2019武漢)某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的周銷售量y(件)是售價(jià)x(元/件)的一次函數(shù)，其售價(jià)，周銷售量，周銷售利潤w(元)的三組對應(yīng)值如下表：

售價(jià)x(元/件)

周銷售量y(件)

周銷售利潤w(元)

1000

1600

1600

注：周銷售利潤＝周銷售量×(售價(jià)－進(jìn)價(jià))

(1)①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

②該商品進(jìn)價(jià)是________元/件；當(dāng)售價(jià)是____元/件時(shí)，周銷售利潤最大，最大利潤是______元；

(2)由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件(m>0)，物價(jià)部門規(guī)定該商品售價(jià)不得超過65元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍然滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系．若周銷售最大利潤是1400元，求m的值．

7.為迎接第二屆全國青年運(yùn)動(dòng)會的召開，山西體育場周邊社區(qū)積極參與社區(qū)改造，晉陽社區(qū)將一片空地進(jìn)行修建改造，已知投資50000元修建的休閑區(qū)與投資40000元修建的鵝卵石健身道的面積相等，且修建1平方米的休閑區(qū)比修建1平方米的鵝卵石健身道費(fèi)用高20元．

(1)求修建1平方米的休閑區(qū)與修建1平方米的鵝卵石健身道的費(fèi)用各是多少元？

(2)如圖，新入住的一個(gè)小區(qū)需要在一塊長為60

米，寬為40米的矩形空地上修建四個(gè)面積相等的休閑區(qū)，并將余下的空地修建成橫向的寬為x

米，縱向的寬為10米的鵝卵石健身道，且橫向的寬度不超過縱向的寬度，所用工程隊(duì)與晉陽社區(qū)相同且費(fèi)用不變．

①用含x(米)的代數(shù)式表示休閑區(qū)的面積S(平方米)，并注明x的取值范圍；

②綜合實(shí)際情況現(xiàn)要求橫向?qū)挐M足1≤x≤5，則當(dāng)x為多少時(shí)修建休閑區(qū)和鵝卵石健身道的總價(jià)w最低，最低造價(jià)為多少元？

第7題圖

第2課時(shí)

二次函數(shù)綜合題

(建議時(shí)間：40分鐘)

1.(2019賀州改編)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，0)，且OA＝OC，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)的圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值．

第1題圖

2.(2019德陽改編)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，已知拋物線的對稱軸為直線x＝，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(2，0)，C(0，－3)，點(diǎn)P為直線BC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C兩點(diǎn)重合)．

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，連接PB、PC得到△PBC，問是否存在著這樣的點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？如果存在，求出面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

第2題圖

3.綜合與探究

如圖，拋物線y＝－x2＋x＋4的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，直線l與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，PD與BC交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求直線l的表達(dá)式及點(diǎn)A坐標(biāo)；

(2)試探究是否存在點(diǎn)P，使△PCE為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的值；若不存在，請說明理由．

第3題圖

4.綜合與探究

如圖，已知拋物線y＝x2－x－4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D沿AB以每秒1個(gè)單位長度的速度在AB之間由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與A、B重合)．連接AC、BC、CD.設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t(t＞0)．

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)E為拋物線上一點(diǎn)，是否存在這樣的t值，使以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

第4題圖

參考答案

第1課時(shí)

二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.D　【解析】當(dāng)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，相當(dāng)于在以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)的基礎(chǔ)上向左平移了20個(gè)單位，將y＝－x2＋x化為頂點(diǎn)式為y＝－(x－10)2＋9，∴平移后的拋物線的表達(dá)式為y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x.【一題多解】如解圖，當(dāng)點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)拋物線的表達(dá)式是y＝ax2＋bx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－20，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－10，9)，將A、C坐標(biāo)代入表達(dá)式得，解得，∴當(dāng)點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－x.第1題解圖

2.C　【解析】設(shè)BC的長為x

m，則CD＝(12－x)m，如解圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝30°，∴CE＝CB·cos30°＝x，BE＝CB·sin30°＝x，∴S四邊形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x,∵－<0，∴當(dāng)x＝－＝8時(shí)，面積有最大值為：－×82＋6×8＝24(m2)．

第2題解圖

3.4　【解析】∵小球的飛行高度h與飛行時(shí)間t滿足二次函數(shù)關(guān)系，h＝20

t－5

t2＝－5(t－2)2＋20.∴當(dāng)t＝2時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)．∴小球從飛出到落地所用的時(shí)間為4s.4.解：(1)根據(jù)題意得y＝

100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)；

(2)由題意可得：(－2x＋220)(x－40)＝2250.x2－150x＋5525＝0，解得x1＝65，x2＝85.答：當(dāng)每件商品的售價(jià)定為65元或85元時(shí)，利潤恰好是2250元；

(3)設(shè)利潤為W元，∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450.∵a＝－2<0，∴拋物線開口向下．

∵60≤x≤110，∴當(dāng)x＝75時(shí)，W有最大值，W最大＝2450(元)．

答：當(dāng)售價(jià)定為75元時(shí)，獲得最大利潤，最大利潤是2450元．

5.解：(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，由圖象可知，將點(diǎn)(1，7000)，(5，5000)代入得

解得

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－500x＋7500；

(2)設(shè)銷售收入為W，根據(jù)題意得

W＝y(tǒng)p＝(－500x＋7500)·(x＋)，整理得W＝－250(x－7)2＋16000，∵－250＜0，∴W在x＝7時(shí)取得最大值，最大值為16000元，此時(shí)該產(chǎn)品每臺的銷售價(jià)格為－500×7＋7500＝4000元．

答：第7個(gè)銷售周期的銷售收入最大，此時(shí)該產(chǎn)品每臺的銷售價(jià)格為4000元．

6.解：(1)①y＝－2x＋200；

②40，70，1800；

(2)由題意可知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m，對稱軸為直線x＝，∵m＞0，∴對稱軸x＝＞70，∵拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝65時(shí)，ymax＝1400，代入表達(dá)式解得m＝5.7.解：(1)設(shè)修建1平方米的鵝卵石健身道費(fèi)用為m元，則修建1平方米的休閑區(qū)費(fèi)用為(m＋20)元，根據(jù)題意，得

＝，解得m＝80.經(jīng)檢驗(yàn)，m＝80是原分式方程的解，且符合實(shí)際，m＋20＝80＋20＝100.答：修建1平方米的休閑區(qū)費(fèi)用是100元，修建1平方米的鵝卵石健身道的費(fèi)用是80元；

(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)

＝－90x＋1200(0＜x≤10)；

②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]

＝－1800x＋216000.∵－1800<0，∴w隨x的增大而減?。?/p>

∵1≤x≤5，∴當(dāng)x＝5時(shí)，w最?。剑?800×5＋216000＝207000(元)．

答：當(dāng)x＝5時(shí)，修建休閑區(qū)和鵝卵石健身道的總價(jià)w最低，最低造價(jià)為207000元．

第2課時(shí)

二次函數(shù)綜合題

1.解：(1)由題意得C(0，－4)．

∵OA＝OC，∴A(4，0)．

將A(4，0)，B(－1，0)帶入y＝ax2＋bx－4得，解得

∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－3x－4；

(2)如解圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸交AC于點(diǎn)E，第1題解圖

∴PE∥y軸．

∵OA＝OC，∴∠PED＝∠OCA＝45°.∴△DEP為等腰直角三角形，∴PD＝PE，∴當(dāng)PE取得最大值時(shí)，PD取得最大值，易得直線AC的解析式為y＝x－4，設(shè)P(x，x2－3x－4)，則E(x，x－4)，則PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∵0＜x＜4，∴當(dāng)x＝2時(shí)，PE取得最大值，最大值為4.此時(shí)PD取得最大值，最大值為4×＝2，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，－6)．

2.解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x＝，∴－＝，則b＝－a.∵拋物線過點(diǎn)C(0，－3)，∴代入得c＝－3.∴拋物線的表達(dá)式為y＝ax2－ax－3.又∵拋物線過點(diǎn)B(2，0)，∴代入得a＝，則b＝－.∴此拋物線的表達(dá)式為y＝x2－x－3；

(2)存在．如解圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，第2題解圖

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝mx＋n，將B(2，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n，得

解得

∴直線BC的表達(dá)式為y＝x－3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2－x－3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x，x－3)，∵點(diǎn)P為直線BC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x.∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE

＝PF·OB

＝·(－x2＋x)·2

＝－x2＋3x

＝－(x－)2＋.∵－<0，∴當(dāng)x＝時(shí)，△PBC的面積取得最大值，最大值為.當(dāng)x＝時(shí)，y＝x2－x－3＝－3，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－3)．

3.解：(1)∵拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋x＋4.令x＝0，解得y＝4，∴C(0，4)．

令y＝0，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴A(－1，0)，B(3，0)．

設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx＋n(k≠0)，將B(3，0)，C(0，4)代入y＝kx＋n得，解得

∴直線l的表達(dá)式為y＝－x＋4；

(2)存在，當(dāng)m的值為1，或時(shí)，△PCE為等腰三角形．

【解法提示】根據(jù)題意有以下三種情況：

①當(dāng)CP＝CE時(shí)，如解圖①，過點(diǎn)C作CH⊥PE于點(diǎn)H，則有PE＝2PH，第3題解圖①

由(1)得PE＝－m2＋4m，∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m，∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．

解得：m＝1或m＝0(不合題意，舍去)；

②當(dāng)EP＝EC時(shí)，如解圖②，過點(diǎn)C作CH⊥PE于點(diǎn)H，第3題解圖②

易得△EHC∽△COB，∴＝

.∵CH＝m，BC＝5，BO＝3，∴CE＝＝m.由(1)得PE＝－m2＋4m，∴－m2＋4m＝m.解得：m＝或m＝0(不合題意，舍去)；

③當(dāng)PC＝PE時(shí)，如解圖③，過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，第3題解圖③

易證△PGE∽△BOC，∴＝＝，∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m.∵PC＝PE，PG⊥CE，CE＝m，∴GE＝CE＝－m2＋m＝m.解得m＝或m＝0(不合題意，舍去)，綜上所述，m的值為1，或時(shí)，△PCE為等腰三角形．

4.解：(1)在拋物線y＝x2－x－4中，當(dāng)y＝0時(shí)，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－4，∴C(0，－4)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝ax＋b，∵直線BC過B(8，0)，C(0，－4)兩點(diǎn)，∴解得

∴直線BC的表達(dá)式為y＝x－4，又∵拋物線y＝x2－x－4＝(x－3)2－，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－)；

(2)存在．滿足條件的t的值為4或－3.【解法提示】根據(jù)題意分以下三種情況討論(如解圖)：①當(dāng)BC為邊且點(diǎn)E位于x軸上方時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)E為直線y＝4與拋物線的交點(diǎn)，∴x2－x－4＝4，解得x1＝3＋，x2＝3－，∴xD1＝3＋－8＝－5，xD2＝3－－8＝－－5，∴D1(－5，0)，D2(－－5，0)(在點(diǎn)A的左側(cè)，不合題意，舍去)，此時(shí)D1A＝－3，∴t＝－3；②當(dāng)BC為邊且點(diǎn)E位于x軸下方時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)E為直線y＝－4與拋物線的交點(diǎn)，∴x2－x－4＝－4，解得x1＝6或x2＝0(與點(diǎn)C重合，不合題意，舍去)，∴xD3＝6＋8＝14，∴D3(14，0)(在B點(diǎn)右側(cè)，不合題意，舍去)；③當(dāng)BC為對角線時(shí)，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)仍然是6，且CE4＝BD4＝6，xD4＝8－6＝2，∴D4(2，0)，此時(shí)D4A＝4，∴t＝4.綜上t的值為4或－3.第4題解圖

第五篇：旭日東升武術(shù)操-第五節(jié)：側(cè)展運(yùn)動(dòng)

第五節(jié)：側(cè)展運(yùn)動(dòng)（4×8拍）動(dòng)作圖文解析

第一個(gè)八拍：1—2拍:開步上沖

3—4拍:振腳砸拳

5—6拍:勾腳側(cè)冠

7—8拍:并步抱拳（圖略）

第二個(gè)八拍：同第一個(gè)八拍，方向相反。第三、四個(gè)八拍：同第一、二個(gè)八拍。