第一篇:《函數(shù)定義域、值域》研討案
本溪縣高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)科“三學(xué)三動(dòng)立體循環(huán)”教學(xué)模式 復(fù)習(xí)課 《 函數(shù)的定義域、值域 》 研討案
課題 函數(shù)的定義域、值域 設(shè)計(jì)教師 張石柱 授課教師
時(shí)間 1 2011 年 年 8 8 月 月 0 10 日
第2
周課型
復(fù)習(xí)課 課時(shí) 1/2
教 學(xué) 目 標(biāo)
一、知識(shí)和能力 1、掌握整式,分式,根式,指對(duì)數(shù)及抽象函數(shù)定義域求法 2、掌握整式,分式,根式,指對(duì)數(shù)及抽象函數(shù)值域求法; 3、定義域?yàn)?R 和恒成立問題的轉(zhuǎn)化; 4、定義域和值域的綜合問題 二、過程和方法
通過自主探究、小組合作、質(zhì)疑、討論、展示、變式練習(xí)等學(xué)習(xí)活動(dòng)完成學(xué)習(xí)任務(wù)。
三、情感態(tài)度和價(jià)值觀
通過學(xué)習(xí)活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí),體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣,樹立自信,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。
重點(diǎn)
難點(diǎn) 重點(diǎn):掌握定義域的求法 難點(diǎn):掌握求值域的 12 種方法。
教
法
自主探究、小組合作、討論、展示、師生共研等 教
具
多媒體課件、三角板
教
學(xué)
過
程
設(shè)
計(jì)
教
材
處
理
師生活動(dòng) 一、課前檢測(cè)(5~10 分鐘)
1.(2010·湖北)函數(shù) y=1log 0.5 ?4x-3? 的定義域?yàn)椋ǎ〢.????34,1
B.????34,+∞ C.(1,+∞)
D.????34,1 ∪(1,+∞)2 若函數(shù) f(x)=x-4mx 2 +4mx+3 的定義域?yàn)?R,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()A.(-∞,+∞)
B.????0,34 C.????34,+∞
D.????0,34
教 師 布 置 課 前 小考,學(xué)生答題,抽取小組學(xué)生板演。教師巡視,學(xué)生做完后,質(zhì)疑、點(diǎn)評(píng)、互批、自改
3(2010·重慶)函數(shù) y= 16-4 x 的值域是()A.[0,+∞)
B.[0,4] C.[0,4)
D.(0,4)4(2010·江西)函數(shù) y=sin 2 x+sinx-1 的值域?yàn)椋ǎ〢.[-1,1]
B.????- 54,-1 C.????- 54,1
D.????-1,54 5.(2010·天津)若函數(shù) g(x)=x 2 -2(x∈R),f(x)=? ???? g?x?+x+4?x<g?x??,g?x?-x
?x≥g?x??,則 f(x)的值域是()A.????- 94,0 ∪(1,+∞)
B.[0,+∞)C.????- 94,+∞
D.????- 94,0 ∪(2,+∞)
二、導(dǎo)入新課
一切函數(shù)問題能正確解決都離不開函數(shù)的定義域,值域的求解正確,并且求值域方法靈活,所以有必要統(tǒng)籌學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域,值域
三、目標(biāo) 導(dǎo)向(教師結(jié) 合《考試說明》 制 定學(xué)習(xí)目標(biāo))
1、掌握整式,分式,根式,指對(duì)數(shù)及抽象函數(shù)定義域求法 2、掌握整式,分式,根式,指對(duì)數(shù)及抽象函數(shù)值域求法; 3、定義域?yàn)?R 和恒成立問題的轉(zhuǎn)化; 4、定義域和值域的綜合問題
四、精典 探究
題型一
已知函數(shù)的解析式求其定義域
例 1 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=12-|x| +x 2 -1;(2)y=x 2 -4lg?x 2 -2x-2? ;
教師引出課題。
教 師 出 示 學(xué)習(xí)目標(biāo),學(xué)生閱讀,明確學(xué)習(xí)目標(biāo)
對(duì)于基礎(chǔ)題,學(xué)生動(dòng)手做,抽取小組學(xué)生板演、展示、質(zhì)疑、釋疑、歸納總結(jié)。教師點(diǎn)撥、(3)y= 25-x 2 +lgcosx.題型二
求復(fù)合函數(shù)的定義域
例 2(1)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,1),求 f(x 2)的定義域;(2)已知函數(shù) f(2 x +1)的定義域?yàn)?0,1),求 f(x)的定義域;(3)已知函數(shù) f(x +1)的定義域?yàn)閇-2,3],求 f(2 x 2-2)的定義域 題型三
求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域
例 3 求下列函數(shù)的最值與值域.(1)y=4- 3+2x-x 2 ;
(2)y=2x- 1-2x;(3)y=x+ 4x ;
(4)y=3 x3 x +1
題型四
函數(shù)定義域與值域的綜合應(yīng)用
例 4 已知 y = f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),當(dāng) x ≥0 時(shí),f(x)= x + x 2.(1)求 x <0 時(shí),f(x)的解析式.(2)是否存在這樣的非負(fù)數(shù) a,b,當(dāng) x ∈[ a,b ]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇4 a -2,6 b -6]?若存在,求出所有的 a,b 值;若不存在,請(qǐng)說明理由
五、總結(jié)升華
1、本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)是:____________________________; 2、本節(jié)課的主要思想方法是:___________________________;3、本節(jié)課學(xué)生存在的問題是:____________________________.六、課堂檢測(cè)(5 5 ~0 10 分鐘)
1.(2009·江西)函數(shù) y=ln?x+1?-x 2 -3x+4 的定義域?yàn)椋ǎ〢.(-4,-1)
B.(-4,1)C.(-1,1)
D.(-1,1] 2.(2011·安慶模擬)若函數(shù) y=f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù) g(x)= f?2x?x-1 的定義域是()A.[0,1]
B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]
D.(0,1)3.函數(shù) y=x-1x的值域是()A.????- 12,12
B.????0,12 C.[0,1]
D.[0,+∞)4.若函數(shù) f(x)=log a(x+1)(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[0,1],則 a=()點(diǎn)評(píng)
對(duì) 于 有 難 度 的 問題,學(xué)生嘗試做,教師選擇學(xué)習(xí)較好的學(xué)生板演,基本做完后,學(xué)生講解、質(zhì)疑、釋疑,歸納總結(jié),教師點(diǎn)撥、點(diǎn)評(píng)
留給學(xué)生充分的討論、互學(xué)整理的時(shí)間和機(jī)會(huì)。教師巡視,幫助學(xué)生解決疑難
要 求 學(xué) 生 從 知 識(shí)點(diǎn)、思想方法和存在的問題三方面總結(jié);教師點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充
學(xué)生做;教師巡視,收取檢測(cè)卷。檢測(cè)題不宜過多、過難,旨在了解對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法掌握的情況。要樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。
A.13
B.2
C.22
D.2 七、復(fù)習(xí)指導(dǎo)
1、將本課的學(xué)案和教材看一遍,不會(huì)的問題研究一下; 2、推薦作業(yè):《名師一號(hào)·函數(shù)的定義域、值域》練習(xí)題。
指 導(dǎo) 學(xué) 生 課 后 復(fù)習(xí),布置作業(yè)
板書設(shè)計(jì):
:
教學(xué)反思:
:
第二篇:函數(shù)值域問題
努力今天成就明
天
知識(shí)就是財(cái)富
求分式函數(shù)值域的幾種方法
求分式函數(shù)值域的常見方法 1 用配方法求分式函數(shù)的值域
如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為y?配方,用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求y?解:y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22,3?11?因?yàn)??x???≥?,4?88?所以函數(shù)的值域?yàn)椋???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數(shù)y?2的值域.x?x?1解:y?2?1?1,2x?x?121?33?因?yàn)閤?x?1??x???≥,2?44?所以?3?1≤2?0,4x?x?12 ?1?故函數(shù)的值域?yàn)??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時(shí)候,要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數(shù)的值域
我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實(shí)根,則??b2?4ac≥0常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解:將函數(shù)變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①,當(dāng)y?1時(shí)①式是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.因?yàn)閤可以是任意實(shí)數(shù),所以?≥0,即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0,解得,17≤y≤1或1?y≤7,又當(dāng)y?1時(shí),x?0,?1?故函數(shù)的值域?yàn)?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數(shù)y?的值域?yàn)?1,3?,求b,c的值.2x?1解:化為?y?2?x?bx?y?c?0,⑴當(dāng)y?2時(shí)x?R???b?4?y?2??y?c?≥0,?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0,由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1,3,由韋達(dá)定理得,c?2,b??2.⑵當(dāng)y?2時(shí)x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵,b??2,c?2.由這兩個(gè)例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時(shí)要注意下列問題:
1、函數(shù)定義域?yàn)镽(即分母恒不為0)時(shí)用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)x不能取某些實(shí)數(shù)時(shí)(分母為零),若要用判別式法求它的值域則需要對(duì)使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進(jìn)行檢驗(yàn).3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值
對(duì)于求函數(shù)的值域問題,我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函數(shù)y?解:y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33,?2??x?1x?1x?13是x減函數(shù)進(jìn)而y是x的增函數(shù),于是y????,?2?; x?1當(dāng)x??1時(shí),當(dāng)x??1時(shí),同樣y是x的增函數(shù),于是y??2,???; 所以y?2x?1(x??1)的值域?yàn)???,?2?∪?2,???.x?1a的單調(diào)性的結(jié)論: x在求分式函數(shù)時(shí)我們常運(yùn)用函數(shù)y?x??⑴當(dāng)a?0時(shí)在??,a和??a,??上增函數(shù),在??a,0和0,a上是減函數(shù).??????⑵當(dāng)a?0時(shí)在???,0?和?0,???上是增函數(shù).例求函數(shù)y?x(1≤x≤3)的值域.2x?x?4解:x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數(shù),在?2,3?是上增函數(shù),x所以x?2時(shí),tmin?4;
x?1時(shí),tmax?5;
所以t??4,5?,t?1??3,t?,?11?故值域?yàn)?,?.?43?4.利用反函數(shù)法(反解)求分式函數(shù)的值域
設(shè)y?f(x)有反函數(shù),則函數(shù)y?f(x)的定義域是它反函數(shù)的值域,函數(shù)y?f(x)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個(gè)分式函數(shù)的反函數(shù)存在,我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在,其反函數(shù)為5x?152??,5?解:由于函數(shù)y?y?x? 明顯知道該函數(shù)的定義域?yàn)?x|x?2?5x?2??2??故函數(shù)的值域?yàn)???,?∪?,???.5??5??說明:由于本方法中所具有的某些局限性,一般說來,用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數(shù),并且用此方法求函數(shù)的值域,也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關(guān)于y的不等式所以反函數(shù)求值域的實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數(shù)的值域
4x2?7x??0,1?求函數(shù)例1(2005年全國(guó)高考理科卷Ⅲ第22題)已知函數(shù)f(x)?2?xf(x)的值域
4x2?7解:f(x)?,x??0,1?,2?x所以2y?xy?4x2?7,x??0,1?,即4x2?yx?(7?2y)?0,x??0,1?.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y),x??0,1?,則關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3,by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數(shù)的值域?yàn)??4,?3?..利用換元法求分式函數(shù)的值域
當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系(甚至相去甚遠(yuǎn))時(shí),為了溝通已知與未知的聯(lián)系,我們常常引進(jìn)一個(gè)(或幾個(gè))新的量來代替原來的量,實(shí)行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì),發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法,掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想,發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式(或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式).在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中,常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點(diǎn)代換、參數(shù)代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域. 例1 求函數(shù)f(x)?2x?4x?5解:令t?x?2,t2則y?2?t?111,?[,1]. 1t21?2t115因?yàn)??2?[,2],t414所以函數(shù)f(x)的值域是[,].
25x4例2 求函數(shù)y?的值域.
(1?x2)3解:令x?tan?,??(???,),22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6
3當(dāng)且僅當(dāng)tan2??2時(shí)“?”成立.x4?4?所以函數(shù)y?的值域?yàn)?,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們?cè)谟脫Q元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域.在用換元法的時(shí)候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變,那么它的定義域也就變了.注意到這點(diǎn)才能準(zhǔn)確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數(shù)的值域
“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數(shù)為正;②各變數(shù)的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號(hào)能夠取到.例1 求函數(shù)y?解:y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因?yàn)閤?1?0,所以x?1?≥4,x?14則x?1??4?8,x?124所以0?y≤?3(當(dāng)x?1時(shí)取等號(hào)),8故函數(shù)的值域?yàn)?0,3?.例2 設(shè)Sn?1?2?3???n,n?N求f(n)?中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)
解:f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.(2000年全國(guó)高
(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2,?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數(shù)最值的問題f(n)?164n?34?n.又因?yàn)閚?34?當(dāng)n?6464?34?50,≥2n?nn641即n?8時(shí)“?”成立,所以對(duì)任何n?N有f(n)≤,n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數(shù)列的問題而實(shí)際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個(gè)解題過程利用數(shù)更簡(jiǎn)單.8.斜率法求分式函數(shù)的值域
數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括,形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出:數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中,在求函數(shù)的值域與最值時(shí)也有良好的反映.聯(lián)想到過A(x1,y1),B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數(shù)f(t)?2(3t?2)3y2?y1,我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解:函數(shù)f(t)可變形為f(t)?(t?),6t?43設(shè)A(6t,3t2),B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率,令x?6t,y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點(diǎn)B(4,0)直線方程為:y?k(x?4)將它代入x2?12y,有x2?12kx?48k?0,則??0推算出k?即t?8時(shí),f(t)min?4.34此時(shí)x?8,38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解:y?,令A(yù)(?1,1),B(x,x2?x),x?(?1)則y?kAB,點(diǎn)B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1),21151B1(?,?),B2(1,2),kAB1??,kAB2?,2422所以y?k?51?AB????2,2??,即函數(shù)的值域?yàn)??51???2,2??.
第三篇:函數(shù)定義域的知識(shí)點(diǎn)
1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.
能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.函數(shù)的值域的求法:觀察法、配方法、換元法、利用多項(xiàng)式的除法、單調(diào)性法、判別式法、反函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須考慮函數(shù)的定義域.。
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域
再注意:(1)由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))
(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
3.常用的函數(shù)表示法:解析法: 圖象法: 列表法:
4.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);
(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
5.函數(shù)解析式的求法:
(1)待定系數(shù)法,如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí),用待定系數(shù)法;
(2)換元法或配湊法,已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式可用換元法,當(dāng)表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)也可用配湊法;
(3)方程思想,若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式,則用解方程組消參的方法求解f(x);
(4)賦值法,若已知抽象函數(shù)關(guān)系式,則用賦值法。
另外,在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
第四篇:復(fù)合函數(shù)的定義域
復(fù)合函數(shù)的定義域
復(fù)合函數(shù)的計(jì)算
用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限
無窮小量與無窮大量
兩個(gè)重要極限
等價(jià)無窮小量 用洛必達(dá)法則或等價(jià)無窮小量求極限 用定義研究分段函數(shù)連續(xù)性
用定義研究分段函數(shù)連續(xù)性可導(dǎo)性 用連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理證明函數(shù)等式 用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù) 冪指函數(shù)求極限及求導(dǎo)數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)是平面曲線切線的斜率求切線方程 隱函數(shù)求微分 通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間 利用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)不等式 通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的拐點(diǎn) 求函數(shù)的極值
原函數(shù)
用換元法計(jì)算不定積分 求三角函數(shù)的不定積分 用分部積分法求不定積分
第五篇:分式函數(shù)值域解法
分式函數(shù)值域解法匯編
甘肅省定西工貿(mào)中專文峰分校 張占榮
函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)的交匯點(diǎn),是數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體,是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn),還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn),因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對(duì)函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn),但更多的是以解題的一個(gè)環(huán)節(jié)形式出現(xiàn),其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識(shí)點(diǎn)之一。為此,如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力,是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán),值得探討。下面就本人對(duì)分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究,不餒之處、敬請(qǐng)同仁指教。
一、相關(guān)概念
函數(shù)值是指在函數(shù)y=f(x)中,與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值。
函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合,是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定;當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí),函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定。
分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。
二、分式函數(shù)的類型及值域解法
類型一:一次分式型
一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x(或參數(shù))的一次函數(shù)的分式函數(shù)。
1.y=(a0)型
例1 求函數(shù)y=的值域。
解法一:常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=(k1,k2為常數(shù)),則yk1 解:∵y==,∴
y。
解法二:反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域,得到原函數(shù)的值域。
解:反解y=得x=,對(duì)調(diào) y=(x),∴函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>
y。
2.y=(a0)型
分析:這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù),由于含三角函數(shù),不易直接解出x,但其有一個(gè)特點(diǎn):只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名。可以考慮借助三角函數(shù)值域解題,其實(shí)質(zhì)跟y=(t=sinx)在t的指定區(qū)間上求值域類似。
即:將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1,解之即可。
例2 求函數(shù)y=的值域。
解:由y=得,sinx=,∵-1≤sinx≤1,∴-1≤≤1,解之得≤y≤3。
3.y=或y=(a0)型
分析:這道題不僅含有三角函數(shù),且三角函數(shù)不同,例2解法行不通,但反解之后會(huì)出現(xiàn)正、余弦的和、差形式,故可考慮用疊加法。
即:去分母以后,利用疊加公式和|sinx|≤1解題。
例3 求函數(shù)y=
解:∵2cosx+100,∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。
∴, 其中,由∴和,整理得8y+5y≤0。2得,∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域?yàn)閇,0]。
總結(jié):求一次分式函數(shù)的值域,首先要看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi),還是在指定區(qū)間上;其次用反函數(shù)法解題;再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù),其實(shí)質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。
類型二:二次分式型
二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng),直接反解x的方法行不通。但我們知道,不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系,可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。
1.y=(a、d不同時(shí)為0),x∈R型
分析:去分母后,可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集,所以方程一定有解,≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。
≥0(=f(y)),即:用判別式法。先去分母,得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式
即可求出值域。
例4 求函數(shù)y=的值域。
解:由y=得yx2-3x+4y=0。
當(dāng)y=0時(shí),x=0,當(dāng)y≠0時(shí),由△≥0得-
∵函數(shù)定義域?yàn)镽,≤y≤。
∴函數(shù)y=的值域?yàn)閇-,]。
說明:判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi),但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域,否則就會(huì)放大值域。
2.y=(a、d不同時(shí)為0),指定的區(qū)間上求值域型。
例5 求(x<)的值域。
分析:因?yàn)閤<,所以若用判別式法,可能會(huì)放大其值域。可以考慮使用均值定理解題。解:∵x<,∴5-4x>0,>0。
∴=1-4x+
=[(5-4x)+ ]-
4≥
2=-2,∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?4
例6 求的值域。
錯(cuò)解:=≥2。
分析:在使用均值定理時(shí)一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”,顯然上述解法中和不能相等,“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題,此時(shí)可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。
解:用單調(diào)性法
=,令=t,顯然t≥2,則y=t
+(t≥2),任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+,f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-),∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0,∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。
∴f(t1)< f(t2),即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。
∴當(dāng)t=
2、即=
2、x=0時(shí),ymin
=,∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>
總結(jié):不管是求一次分式函數(shù),還是求二次分式函數(shù)的值域,都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng),但一定要看到只有對(duì)一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提,只強(qiáng)調(diào)通解通法,便是空中樓閣。故要因題而論,就事論事,防止一概而論的錯(cuò)誤,用辯證和發(fā)展的眼光看待問題,這樣才會(huì)起到事半功倍的效果。
三、提煉知識(shí),總結(jié)分式函數(shù)值域解法
求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一,它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對(duì)不同的題型進(jìn)行歸類總結(jié),盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有:
1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法,是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域,得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi),還是在指定區(qū)間上求值域。
2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一,即先去分母,把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x,y)=0,因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,所以判別式△≥0,通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)。
3.不等式法。不等式法是利用基本不等式:a+b≥2(a、b∈R+),是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一,當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時(shí)可考慮用不等式法。用不等式法求值域,要注意均值不等式的使用條件:“一正、二定、三相等”。
4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)(如三角函數(shù))時(shí),可考慮用換元法,將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。
5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。
另外,還可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用,在此就不多做說明