第一篇：《函數(shù)定義域、值域》研討案

本溪縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)科“三學(xué)三動立體循環(huán)”教學(xué)模式 復(fù)習(xí)課 《 函數(shù)的定義域、值域 》 研討案

課題 函數(shù)的定義域、值域 設(shè)計教師 張石柱 授課教師

時間 1 2011 年 年 8 8 月 月 0 10 日

第2

周課型

復(fù)習(xí)課 課時 1/2

教 學(xué) 目 標(biāo)

一、知識和能力 1、掌握整式，分式，根式，指對數(shù)及抽象函數(shù)定義域求法 2、掌握整式，分式，根式，指對數(shù)及抽象函數(shù)值域求法； 3、定義域為 R 和恒成立問題的轉(zhuǎn)化； 4、定義域和值域的綜合問題 二、過程和方法

通過自主探究、小組合作、質(zhì)疑、討論、展示、變式練習(xí)等學(xué)習(xí)活動完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

三、情感態(tài)度和價值觀

通過學(xué)習(xí)活動增強學(xué)生的合作意識，體驗學(xué)習(xí)的樂趣，樹立自信，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。

重點

難點 重點：掌握定義域的求法 難點：掌握求值域的 12 種方法。

教

法

自主探究、小組合作、討論、展示、師生共研等 教

具

多媒體課件、三角板

教

學(xué)

過

程

設(shè)

計

教

材

處

理

師生活動 一、課前檢測（5～10 分鐘）

1．(2010·湖北)函數(shù) y＝1log 0.5 ?4x－3? 的定義域為（）A.????34，1

B.????34，＋∞ C．(1，＋∞)

D.????34，1 ∪(1，＋∞)2 若函數(shù) f(x)＝x－4mx 2 ＋4mx＋3 的定義域為 R，則實數(shù) m 的取值范圍是（）A．(－∞，＋∞)

B.????0，34 C.????34，＋∞

D.????0，34

教 師 布 置 課 前 小考，學(xué)生答題，抽取小組學(xué)生板演。教師巡視，學(xué)生做完后，質(zhì)疑、點評、互批、自改

3(2010·重慶)函數(shù) y＝ 16－4 x 的值域是（）A．[0，＋∞)

B．[0,4] C．[0,4)

D．(0,4)4(2010·江西)函數(shù) y＝sin 2 x＋sinx－1 的值域為（）A．[－1,1]

B.????－ 54，－1 C.????－ 54，1

D.????－1，54 5．(2010·天津)若函數(shù) g(x)＝x 2 －2(x∈R)，f(x)＝? ???? g?x?＋x＋4?x＜g?x??，g?x?－x

?x≥g?x??，則 f(x)的值域是（）A.????－ 94，0 ∪(1，＋∞)

B．[0，＋∞)C.????－ 94，＋∞

D.????－ 94，0 ∪(2，＋∞)

二、導(dǎo)入新課

一切函數(shù)問題能正確解決都離不開函數(shù)的定義域，值域的求解正確，并且求值域方法靈活，所以有必要統(tǒng)籌學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域，值域

三、目標(biāo) 導(dǎo)向（教師結(jié) 合《考試說明》 制 定學(xué)習(xí)目標(biāo)）

1、掌握整式，分式，根式，指對數(shù)及抽象函數(shù)定義域求法 2、掌握整式，分式，根式，指對數(shù)及抽象函數(shù)值域求法； 3、定義域為 R 和恒成立問題的轉(zhuǎn)化； 4、定義域和值域的綜合問題

四、精典 探究

題型一

已知函數(shù)的解析式求其定義域

例 1 求下列函數(shù)的定義域：

(1)y＝12－|x| ＋x 2 －1；(2)y＝x 2 －4lg?x 2 －2x－2? ；

教師引出課題。

教 師 出 示 學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生閱讀，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

對于基礎(chǔ)題，學(xué)生動手做，抽取小組學(xué)生板演、展示、質(zhì)疑、釋疑、歸納總結(jié)。教師點撥、(3)y＝ 25－x 2 ＋lgcosx.題型二

求復(fù)合函數(shù)的定義域

例 2(1)已知函數(shù) f(x)的定義域為(0,1)，求 f(x 2)的定義域；(2)已知函數(shù) f(2 x ＋1)的定義域為(0,1)，求 f(x)的定義域；(3)已知函數(shù) f(x ＋1)的定義域為[－2,3]，求 f(2 x 2－2)的定義域 題型三

求簡單函數(shù)的值域

例 3 求下列函數(shù)的最值與值域．(1)y＝4－ 3＋2x－x 2 ；

(2)y＝2x－ 1－2x；(3)y＝x＋ 4x ；

(4)y＝3 x3 x ＋1

題型四

函數(shù)定義域與值域的綜合應(yīng)用

例 4 已知 y ＝ f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x ≥0 時，f(x)＝ x ＋ x 2.(1)求 x ＜0 時，f(x)的解析式．(2)是否存在這樣的非負(fù)數(shù) a，b，當(dāng) x ∈[ a，b ]時，f(x)的值域為[4 a －2,6 b －6]？若存在，求出所有的 a，b 值；若不存在，請說明理由

五、總結(jié)升華

1、本節(jié)課的主要知識點是：____________________________; 2、本節(jié)課的主要思想方法是：___________________________;3、本節(jié)課學(xué)生存在的問題是：____________________________.六、課堂檢測（5 5 ～0 10 分鐘）

1．(2009·江西)函數(shù) y＝ln?x＋1?－x 2 －3x＋4 的定義域為（）A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1] 2．(2011·安慶模擬)若函數(shù) y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù) g(x)＝ f?2x?x－1 的定義域是（）A．[0,1]

B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]

D．(0,1)3．函數(shù) y＝x－1x的值域是（）A.????－ 12，12

B.????0，12 C．[0,1]

D．[0，＋∞)4．若函數(shù) f(x)＝log a(x＋1)(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[0,1]，則 a＝（）點評

對 于 有 難 度 的 問題，學(xué)生嘗試做，教師選擇學(xué)習(xí)較好的學(xué)生板演，基本做完后，學(xué)生講解、質(zhì)疑、釋疑，歸納總結(jié)，教師點撥、點評

留給學(xué)生充分的討論、互學(xué)整理的時間和機會。教師巡視，幫助學(xué)生解決疑難

要 求 學(xué) 生 從 知 識點、思想方法和存在的問題三方面總結(jié)；教師點評和補充

學(xué)生做；教師巡視，收取檢測卷。檢測題不宜過多、過難，旨在了解對基礎(chǔ)知識和基本方法掌握的情況。要樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

A.13

B.2

C.22

D．2 七、復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、將本課的學(xué)案和教材看一遍，不會的問題研究一下； 2、推薦作業(yè)：《名師一號·函數(shù)的定義域、值域》練習(xí)題。

指 導(dǎo) 學(xué) 生 課 后 復(fù)習(xí)，布置作業(yè)

板書設(shè)計：

：

教學(xué)反思：

：

第二篇：函數(shù)值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數(shù)值域的幾種方法

求分式函數(shù)值域的常見方法 1 用配方法求分式函數(shù)的值域

如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為y?配方，用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數(shù)的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數(shù)y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數(shù)的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數(shù)的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數(shù)變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當(dāng)y?1時①式是一個關(guān)于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數(shù)，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當(dāng)y?1時，x?0，?1?故函數(shù)的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數(shù)y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當(dāng)y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達定理得，c?2，b??2.⑵當(dāng)y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時要注意下列問題：

1、函數(shù)定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)x不能取某些實數(shù)時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進行檢驗.3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值

對于求函數(shù)的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函數(shù)y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數(shù)進而y是x的增函數(shù)，于是y????,?2?； x?1當(dāng)x??1時，當(dāng)x??1時，同樣y是x的增函數(shù)，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調(diào)性的結(jié)論： x在求分式函數(shù)時我們常運用函數(shù)y?x??⑴當(dāng)a?0時在??,a和??a,??上增函數(shù)，在??a,0和0,a上是減函數(shù).??????⑵當(dāng)a?0時在???,0?和?0,???上是增函數(shù).例求函數(shù)y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數(shù)，在?2,3?是上增函數(shù)，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數(shù)法(反解)求分式函數(shù)的值域

設(shè)y?f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y?f(x)的定義域是它反函數(shù)的值域，函數(shù)y?f(x)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個分式函數(shù)的反函數(shù)存在，我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在，其反函數(shù)為5x?152??，5?解：由于函數(shù)y?y?x? 明顯知道該函數(shù)的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數(shù)的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關(guān)于y的不等式所以反函數(shù)求值域的實質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數(shù)的值域

4x2?7x??0,1?求函數(shù)例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數(shù)f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數(shù)的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數(shù)的值域

當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數(shù)代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數(shù)f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數(shù)f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數(shù)y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當(dāng)且僅當(dāng)tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數(shù)y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準(zhǔn)確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數(shù)的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數(shù)為正；②各變數(shù)的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數(shù)y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當(dāng)x?1時取等號），8故函數(shù)的值域為?0,3?.例2 設(shè)Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數(shù)最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當(dāng)n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數(shù)列的問題而實際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個解題過程利用數(shù)更簡單.8.斜率法求分式函數(shù)的值域

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時也有良好的反映.聯(lián)想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數(shù)f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數(shù)f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設(shè)A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標(biāo)系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(yù)(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數(shù)的值域為??51???2,2??.

第三篇：函數(shù)定義域的知識點

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域．

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.函數(shù)的值域的求法：觀察法、配方法、換元法、利用多項式的除法、單調(diào)性法、判別式法、反函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.。

2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：（1）由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）

（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

3.常用的函數(shù)表示法:解析法： 圖象法： 列表法：

4.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；

（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

5.函數(shù)解析式的求法：

（1）待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，用待定系數(shù)法；

（2）換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的表達式可用換元法，當(dāng)表達式較簡單時也可用配湊法；

（3）方程思想，若已知抽象的函數(shù)表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x);

（4）賦值法，若已知抽象函數(shù)關(guān)系式，則用賦值法。

另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

第四篇：復(fù)合函數(shù)的定義域

復(fù)合函數(shù)的定義域

復(fù)合函數(shù)的計算

用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限

無窮小量與無窮大量

兩個重要極限

等價無窮小量 用洛必達法則或等價無窮小量求極限 用定義研究分段函數(shù)連續(xù)性

用定義研究分段函數(shù)連續(xù)性可導(dǎo)性 用連續(xù)函數(shù)零點定理證明函數(shù)等式 用導(dǎo)數(shù)的定義計算導(dǎo)數(shù) 冪指函數(shù)求極限及求導(dǎo)數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)是平面曲線切線的斜率求切線方程 隱函數(shù)求微分 通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間 利用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)不等式 通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的拐點 求函數(shù)的極值

原函數(shù)

用換元法計算不定積分 求三角函數(shù)的不定積分 用分部積分法求不定積分

第五篇：分式函數(shù)值域解法

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識的交匯點，是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的切入點，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn)，但更多的是以解題的一個環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識點之一。為此，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=(a0)型

例１ 求函數(shù)y=的值域。

解法一：常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=，對調(diào) y=（x)，∴函數(shù)y=的值域為

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名。可以考慮借助三角函數(shù)值域解題，其實質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域為[，0]。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù)，其實質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當(dāng)y＝0時，x＝0，當(dāng)y≠0時，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域為R，≤y≤。

∴函數(shù)y＝的值域為[-，]。

說明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區(qū)間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數(shù)的值域為。-4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數(shù)的值域為。

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù)，還是求二次分式函數(shù)的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調(diào)通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發(fā)展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外，還可以根據(jù)函數(shù)的特點，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明