第一篇：均值定理最全講義[本站推薦]

均值不等式

一、要點：

明確均值不等式及其成立條件，會靈活應(yīng)用均值不等式證明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值時的“配湊”問題

【二元均值不等式】

依據(jù)：a2?b2?2ab(a,b?R)

a?b

2a?b2

變式：a?b?2ab(a,b?R?)；ab??(a,b?R?)；ab?（a?b2)

作用：當兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；

當兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值

注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意七字原則“一正二定三相等”

【三元均值不等式】

依據(jù)：a3?b3?c3?3abc(a,b,c?R?)變式：a?b?c?3abc(a,b,c?R?)，abc?(作用：與二元均值不等式相仿 推廣：

x1?x2?x3????????xn

n

?nnx1x2??????xn(x1,x2,?????,xn?R?)

a?b?c

3)

3(即n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù))

二、分類練習(xí)

Ⅰ、直接運用

1.已知x?0,y?0，求

4yx

xy?

x

3?xy

?

yx的最小值

2.已知x,y同號，求

?的最小值

y

4?1，則

3.已知x,y?R，且滿足4.已知x,y?R，且滿足

??

xy的最大值為，則的最小值為

25.設(shè)a,b?R且2a?b?1,S?2ab?4a?b的最大值是()

(A)2?1(B)

2?12

(C)2?1(D)

2?12

ab

6.若實數(shù)a,b滿足a?b?2，則3?3的最小值是()

(A)18(B)6(C)23(D)243 7.已知x＞0，y＞0，且滿足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值

8.證明：對于任意實數(shù)x,y,有x4?y4?xy(x?y)2

Ⅱ、整體代入

1.若x?0,y?0,且x?4y?1,求

4x?1y的最小值

?

11x,y?R2.若,且2x?y?1，則?的最小值為xy

3.已知x＞0，y＞0，且

4x1x

?

1y1y

?2，求x?4y的最小值

4.已知x?0，y?0，且

?

?9，求x?y的最小值

1a

1b

5.已知a?0，b?0，a?2b?1，求t?6.已知x,y?R，且滿足

?

?的最小值的最小值為，則

17.已知x,y,z是互不相等的正數(shù)且x?y?z?1，求證：(?1)(?1)(?1)?

xyz8

Ⅲ、換元

1、若正數(shù)a,b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是.2、已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是.3、若正實數(shù)x，y滿足，則xy 的最大值是。（變式：求2x+y的最小值為______）

Ⅳ、配湊

1、設(shè)a＞b＞0，則a?

1ab

?

1a?a?b?的最小值是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

2、設(shè)a?b?c?0，則2a?

1ab

?

1a(a?b)

?10ac?25c的最小值是（）

（A）2（B）4（C）

（D）

5Ⅴ、取平方、已知m?

2、求函數(shù)y?

??2?x?6?，求m的取值范圍 5?2x（12?x?

52)的最大值

2x?1?

【對勾函數(shù)】

y?x?

kx

?k?0?

1.若x?0,求f(x)?x?2.若x?0,求f(x)?x?

9x9x的最小值。的最大值.Ⅰ、分子分離

1.已知t?o,則函數(shù)y?

t?4t?

1t

2的最小值為

2.若x?0,求f(x)?

4x?2x?9

xx?3x?1x?1的最小值

3.已知x??1,求f(x)?最小值.4.求y?

x?7x?10

x?1x?8x?1

x?22x?52

(x≠?1)的值域

5.求函數(shù)y?(x?1)的最小值

6.求函數(shù)y?的最大值

7.求f(x)?的最小值

Ⅱ、配湊

1.已知x?

54，求函數(shù)f(x)?4x?2?

1x?3

14x?5的最大值

2.求函數(shù)y??x(x?3)的最小值

9x?5

3.若x?5，求f(x)?4x?4.若對任意x?0，的最小值

xx?3x?1

?a恒成立，則a的取值范圍是

第二篇：均值定理證明不等式的方法技巧

均值定理證明不等式的方法技巧

1． 輪換對稱型。

例1．若a,b,c是互不相等的實數(shù)，求

證：a

?b

?c

?ab?bc?ac.2

策略：所證不等式是關(guān)于a,b,c的輪換對稱式，注意到a?b即可。

證明：?a,b,c是互不相等的實數(shù)，?a

?2ab，然后輪換相加

?b

?2ac,b

?c

?2bc,a?c

?2ac.?b

將上面三個同向不等式即a

相加得：2a

?

?c

??2?ab

?bc?ac?。

?b

?c

?ab?bc?ac.點評：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技

巧。

2． 利用“1”的代換型。

例2．已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證： 策略：做“1”的代換。證明：

1a?1b?1c?

a?b?c

a

?

a?b?c

b

?

a?b?c

c

?

1a

?

1b

?

1c

?9.a??ca??cb??b

?3?????????????3?2?2?2?9.b??ac??bc??a

3.逆向運用公式型。

策略：為脫去左邊的根號，將a?

12,b?

12轉(zhuǎn)換成1?

1??a?

2?

1???,1??b?

2??

?

?,然后逆向運?

用均值不等式： 若a,b?R

?

則 ab?

a?b2

.例3．已知a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.證明：?a?

1212

?34?

1??

??a???

2???b2b?

12?32?

1?a?

12?34?a2.同理b??12

于是有 a?

?a?b??2.點評：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。

4． 挖掘隱含條件證明不等式。

例4．已知a,b?R,a?b?1求證：?1?

?

?

?

?

1??1?1??1???.a??b?9

?a,b?R,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含策略:由于??a?b?

4??ab??

?2??

著一個不等式ab?

?

.14

證明：?a,b?R,a?b?1?ab?。

1??1?111a?b12?

而 ?1???1???1????1???1??1?8?9.abababababab????1??1??

??1???1???9.a??b??

5． 用均值不等式的變式形式證明不等式。例5．已知a,b,c?R?,求證： a2?b2?

b

?c

?c

?a

?

2?a?b?c?.策略：本題的關(guān)鍵在于對a2?b2,b2?c2,c2?a2的處理，如果能找出

a

?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以

解決，注意到

?

a

?b

?2ab?2a

?

?b

??

?a?b??

2a

?

?b

??

?

a?b ?其中a,b,c?R?即可。

證明：?a,b,c?R

222222

?a?b?

?a?b?c

?b??c?。?a?

b

?c

?

c

?a

?

三式相加得：a2?b2?

b

?c

?c

?a

?

2?a?b?c?

a

點評：解題時要注意a?b?2ab的變式應(yīng)用。常用

?

?b2

?

a?b2

(其中

a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題。

第三篇：利用平行四邊形判斷定理證明四邊形為平行四邊形講義

利用平行四邊形判斷定理證明四邊形為平行四邊形講義

1、如圖： DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是BC邊的中點，連接EF,求證：四邊形AFED是平行四邊形.證法一：（利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明）

證法三：（利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形證明）

證法四：（利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形證明）

證法五：（利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明，自己添加對角線）

C D A F E 證法二：（利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明）

第四篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.重難點：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第五篇：均值不等式說課稿

《均值不等式》說課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國星

尊敬的各位評委、老師們：

大家好！我今天說課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學(xué)目標，教學(xué)重點、難點，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過程，板書設(shè)計，效果分析八個方面說說我對這堂課的設(shè)計。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學(xué)目標：

1、知識與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

(3)認識到數(shù)學(xué)是從實際中來，通過數(shù)學(xué)思維認知世界。

三、教學(xué)重點和難點：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應(yīng)用，需重點掌握，而用好均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學(xué)重點。

難點：很多同學(xué)對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應(yīng)用時候常常出現(xiàn)錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。

四、教學(xué)方法：

為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實際特點，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。

突出重點的方法：我將通過引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來突出均值不等式的推導(dǎo)；通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和

來突破均值不等式成立的條件這個難點。

此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法，調(diào)動學(xué)生積極參與的熱情。

五、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會；、明確重點、解決疑點；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭相回答；

4、自主探究----學(xué)生實踐，鞏固提高；

六、教學(xué)過程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開展本節(jié)課的教學(xué)，首先進行

:課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實生活中的問題：

“今有一臺天平，兩臂不等長，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”

進行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學(xué)上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預(yù)備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。

與此同時，其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問題，教師巡視并參與討論，適時點撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對嗎？

② 等號成立的條件，當且僅當__________時，________=_________ ③ 語言表述：兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點：兩個正數(shù)的______中項不小于它們的_____中項

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個矩形的面積為100 m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有______值； 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有______值。

等待兩名同學(xué)做完后，適時終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學(xué)生上來捉錯（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對定理及應(yīng)用條件的認識。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進行有針對性的講解（重點應(yīng)強調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進一步加深學(xué)生對定理的認識及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨立完成，教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題，通過多媒體演示來解決問題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對錯：

?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認識

（三）有效訓(xùn)練

1.(獨立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機抽取幾名學(xué)生說一下答案，選D，應(yīng)該不會有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0)，當α為何值時，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過后，先通答案，??2時扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺上講解，及時反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識點，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： 1.兩個重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達標（必做，獨立完成）：

1、課本第71頁練習(xí)A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業(yè)使學(xué)生進一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

七、板書設(shè)計：

由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書比較簡單，且大部分是學(xué)生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動，生生互動。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進一步體會。

我的說課到此結(jié)束，懇請各位評委和老師們批評指正，謝謝！