第一篇：立體幾何常見證明方法

立體幾何方法歸納小結(jié)

一、線線平行的證明方法

1、根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒有公共點。

2、根據(jù)線面平行的判定定理，若平面 A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個平面內(nèi)的任一直線與另一個平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據(jù)定義，若兩平面沒有公共點，則兩平面平行。

2、根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據(jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個平面,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線.4、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個,也垂直于另一個.4、兩平行直線中的一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面.5、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點（中位線的交點）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?

24、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉(zhuǎn)化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）

注：對兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。

九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個半平面內(nèi)的某個多邊形，在另一個半平面內(nèi)的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據(jù)已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內(nèi)同外為補角）

5.公式法(異面直線上點距離公式和三類角公式)

十、點到平面的距離的求法

1、根據(jù)定義，直接求垂線段的長度。

2、向量法，利用公式??????|PA?n|d=|n|（其中PA為平面的一條斜

線，向量n 為平面的一個法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據(jù)四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長。

十一、平面圖形翻折問題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結(jié)為一個條件與結(jié)論都已知的立體幾何問題。

2、有關(guān)翻折問題的計算，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些沒變，尤其要抓住不變量。對計算幾何體上兩點之間的最短距離問題，要注意轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求兩點間的距離來計算。

十二、要注意的問題

1、對推理論證與計算相結(jié)合的題目的解題原則是一作、二證、三計算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會求線面角和二面角(課堂筆記，只需會推導方法，不需強記公式)

4、適當時候，坐標法不方便時可以考慮基向量法，求向量

模易出錯：r

a?。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構(gòu)造平行平面或平行線面，轉(zhuǎn)化為點面距離求。

第二篇：立體幾何常見證明方法

立體幾何方法歸納小結(jié)

一、線線平行的證明方法

1、根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。

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5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒有公共點。

2、根據(jù)線面平行的判定定理，若平面 A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個平面內(nèi)的任一直線與另一個平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據(jù)定義，若兩平面沒有公共點，則兩平面平行。

2、根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據(jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個平面,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線.4、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個,也垂直于另一個.4、兩平行直線中的一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面.5、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點（中位線的交點）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?2

4、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉(zhuǎn)化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）注：對兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個半平面內(nèi)的某個多邊形，在另一個半平面內(nèi)的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據(jù)已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內(nèi)同外為補角）

5.公式法(異面直線上點距離公式和三類角公式)

十、點到平面的距離的求法

1、根據(jù)定義，直接求垂線段的長度。

2、向量法，利用公式

??????|PA?n|d=??|n|（其中PA為平面的一條斜線，向量n 為平面的一個法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據(jù)四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長。

十一、平面圖形翻折問題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結(jié)為一個條件與結(jié)論都已知的立體幾何問題。

2、有關(guān)翻折問題的計算，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些沒變，尤其要抓住不變量。對計算幾何體上兩點之間的最短距離問題，要注意轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求兩點間的距離來計算。

十二、要注意的問題

1、對推理論證與計算相結(jié)合的題目的解題原則是一作、二證、三計算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會求線面角和二面角(課堂筆記，只需會推導方法，不需強記公式)

4、適當時候，坐標法不方便時可以考慮基向量法，求向量模易出錯：ra?r2a。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構(gòu)造平行平面或平行線面，轉(zhuǎn)化為點面距離求。

第三篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質(zhì)定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質(zhì)定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質(zhì)定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個平面平行

4、經(jīng)過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內(nèi)任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。

第四篇：立體幾何的證明方法

立體幾何的證明方法

1．線面平行的證明方法

2．兩線平行的證明方法

5.面面垂直的證明方法

6.線線垂直的證明方法

7、空間平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：

應用判定定理時，注意由“低維”到“高維”： “線線平行”?“線面平行”?“面面平行”； 應用性質(zhì)定理時，注意由“高維”到“低維”： “面面平行”?“線面平行”?“線線平行”．

(1)利用判定定理時，由“低維”到“高維”；利用性質(zhì)定理或定義時，由“高維”到“低維”；(2)線面垂直是核心，聯(lián)系線線垂直，面面垂直，線線垂直是基礎．

例1．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E、F，且B1E＝C1F，求證：EF∥平面ABCD.D為C1C 例2．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，且A1A?底面ABC，的中點，AB1與A1B相交于點O，連結(jié)OD，（1）求證：OD//平面ABC；（2）求證：AB1?平面A1BD。

例3． 如圖，已知棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD，?DAB?60?，AD?AA1?1，F(xiàn)為棱AA1的中點，M為線段BD1的中點，（1）求證：MF//面ABCD；（2）判斷直線MF與平面BDD1B1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）求三棱錐D1?BDF的體積.A

C1

B1

M

F

C

第五篇：立體幾何題證明方法

立體幾何題型與方法

1．平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

(1)證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi)，推出點在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。(2)證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。(3).證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合2.空間直線（1）空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個公共點；平行直線：共面沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與 的關(guān)系是相交、平行、在平面 內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）⑦ 是夾在兩平行平面間的線段，若，則 的位置關(guān)系為相交或平行或異面.⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）

（2）.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如右圖）.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（3）.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]： 是異面直線，則過l外一點P，過點P且與l 都平行平面有一個或沒有，但與 l距離相等的點在同一平面內(nèi).（或 在這個做出的平面內(nèi)不能叫 與 l平行的平面）

3.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行? 線面平行”）[注]：①直線l與平面?內(nèi)一條直線m平行，則l∥m.（×）（平面外一條直線）②直線 l與平面 ?內(nèi)一條直線m相交，則 l與平面?相交.（×）（平面外一條直線）

③若直線l與平面?平行，則?內(nèi)必存在無數(shù)條直線與?平行.（√）

④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（×）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）

⑥直線l與平面?、? 所成角相等，則（?、?可能相交）?∥?.（×）

（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行?線線平行”）

（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直?線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.（5）.a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個點.[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。

4.平面平行與平面垂直.（1）.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行?面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.（3）.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行?線線平行”）

（4）.兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.注：如果兩個二面角的平面分別對應互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.（5）.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.5.（1）.棱柱.a.①直棱柱側(cè)面積：（c為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（c是斜棱柱直截面周長，h 是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.b.{四棱柱} {平行六面體} {直平行六面體} {長方體} {正四棱柱} {正方體}.{直四棱柱} {平行六面體}={直平行六面體}.c.棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（×）（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.d.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）

③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）

（2）.棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.[注]：①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.[注]：i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長c，斜高為h）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）

注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.c.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；

⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心 是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.[注]：i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.（3）.球：a.球的截面是一個圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.b.緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點 的緯度是指經(jīng)過 點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上 兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當經(jīng)過點 的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是 點的經(jīng)度.附：①圓柱體積：（r為半徑，h為高）②圓錐體積：（r為半徑，h為高）

③錐體體積：（為底面積，為高）

（1）.①內(nèi)切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a,.注：球內(nèi)切于四面體：。

②外接球：球外接于正四面體，一、經(jīng)典例題剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；

2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點.(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積V.3、已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．

（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S．

4、如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.(1)求線段PD的長；(2)若PC，求三棱錐P-ABC的體積.B

1P

B AD題3題4（第7題）

5、弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD外一點

F滿足FC?平面BED,FB=a（1）證明：EB?FD（2）求點B到平面FED的距離.6．如圖, 在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3，CC1?平面ABC，BC?4，AB?5,AA1?4，點D是AB的中點，（1）求證：AC?BC1；（2）求證：AC1?平面

CDB1；（3）求三棱錐C1?CDB1的體積。

7、如圖，在底面是菱形的四棱錐S—ABCD中，SA=AB=2，SB?SD?（1）證明：BD?平面SAC；

（2）問：側(cè)棱SD上是否存在點E，使得SB//平面ACD？請證明你的結(jié)論；

（3）若?BAD?120，求幾何體A—SBD的體積。

8．某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐P?EFGH，下半部分是長方體0ABCD?EFGH。圖

5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖。（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)（左）視圖；

（2）求該安全標識墩的體積；（3）證明：直線BD?平面PEG.（第題）（第9 題）

9．如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC?平面ABC ,AB?2，tan?EAB?（1）證明：平面ACD?平面ADE；（2）記AC?x，V(x)表示三棱錐A－CBE的體積，求V(x)的表達式；（3）當V(x)取得最大值時，求證：AD=CE．

10．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在棱CC1的延長線上，且CC1?C1E?BC?1AB?1．

2（Ⅰ）求證：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求證：平面D1B1E?平面DCB1；（Ⅲ）求四面體D1B1AC的體積．

11、如圖（1），?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?4，E、F分別為AC、AB的中點，將?AEF沿EF折起，使A?在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點，得到圖（2）．

（1）求證：EF?A?C；（2）求三棱錐F?A?BC的體積．

AA

DM

BBB

CC（第12題）（第11題）（第13題）11

1?12.如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，?ABC?45，DC?1，AB?2，PA?平面ABCD，PA?1．（1）求證：AB//平面PCD；的中點，求三棱錐M—ACD的體積．（2）求證：BC?平面PAC；（3）若M是PC

BC?3.13.如圖,在三棱柱ABC?A側(cè)棱AA1?底面ABC,AB?BC,D為AC的中點, A1B1C1中，1A?AB?2,（1）求證：AB1//平面BC1D；(2)求四棱錐B?AAC11D的體積.13．如圖，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

2別是EC、BD的中點。（Ⅰ）求證：GF//底面ABC；（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V。

14．如圖,長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AA1?1,AD?2,E是BC的中點.(Ⅰ)求證：直線BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求證：平面A1AE?平面D1DE；(Ⅲ)求三棱錐A?A1DE的體積.C

（第14題）A1 BD1 1 A D AB E（第15題）