第一篇:解立體幾何方法總結(jié)
啟迪教育
解立體幾何方法總結(jié)
1坐標(biāo)系的建立:
2空間向量的運(yùn)算:
3求異面直線的夾角
4法向量的求法
5證明線面平行方法:
6求線和面的夾角
7求幾何體的體積
8證明面和面垂直和線面垂直
9求點(diǎn)到面的距離(等體積法)
羅老師教案
1羅老師教案
6羅老師教案
1如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是矩形,PA?平面ABCD,PA?AD?4,AB?2.以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.
(1)求證:平面ABM⊥平面PCD;(2)求直線PC與平面ABM所成的角;(3)求點(diǎn)O到平面ABM的距離.
B
2如圖3-2,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=a,BC,M是AD的中點(diǎn)。(Ⅰ)求證:AD∥平面A1BC;(Ⅱ)求證:平面A1MC⊥平面A1BD1;(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離。
3如圖,已知E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點(diǎn),EF與AC交于點(diǎn)O, PA,NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2, M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn)(1)求證:平面PAC⊥平面NEF;
(2)若PC∥平面MEF,試求PM∶MA的值;
(3)當(dāng)M是PA中點(diǎn)時(shí),求二面角M-EF-N的余弦值
MN
A
E
C
圖3-2
羅老師教案
第二篇:空間向量方法解立體幾何教案
空間向量方法解立體幾何
【空間向量基本定理】
例1.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,M、N分別為PC、PD上的點(diǎn),且M分
數(shù)x、y、z的值。成定比2,N分PD成定比1,求滿足的實(shí)
分析;結(jié)合圖形,從向量
用、、出發(fā),利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解,直到全部向量都表示出來,即可求出x、y、z的值。
如圖所示,取PC的中點(diǎn)E,連接NE,則
點(diǎn)評(píng):選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,是用向量解決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功,要結(jié)合已知和所求,觀察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等,就近表示所需向量。再對(duì)照目標(biāo),將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量,如此繼續(xù)下去,直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止,這就是向量的分解。有分解才有組合,組合是分解的表現(xiàn)形式??臻g向量基本定理恰好說明,用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量,而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。
【利用空間向量證明平行、垂直問題】
例2.如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB于點(diǎn)F。
(1)證明:PA//平面EDB;
(2)證明:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C—PB—D的大小。
點(diǎn)評(píng):(1)證明兩條直線平行,只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.
(2)證明線面平行的方法:
①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;
②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線;
③利用共面向量定理,即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.
(3)證明面面平行的方法:
①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理;
②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量.
(4)證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直.
(5)證明線面垂直的方法:
①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;
②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法:
①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理;②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直. 【用空間向量求空間角】
例3.正方形ABCD—中,E、F分別是
(1)異面直線AE與CF所成角的余弦值;(2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。,的中點(diǎn),求:
點(diǎn)評(píng):(1)兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角
求得,即。
(2)直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得,即或
(3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得,它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。
【用空間向量求距離】
例4.長(zhǎng)方體ABCD—中,AB=4,AD=6,段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中點(diǎn),求:
(1)異面直線AM與PQ所成角的余弦值;(2)M到直線PQ的距離;(3)M到平面AB1P的距離。,M是A1C1的中點(diǎn),P在線
本題用純幾何方法求解有一定難度,因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長(zhǎng)和兩直線的夾角,在新高考試題中已多次出現(xiàn),但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離,線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深,隨著新教材的推廣使用,這一系列問題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)?,F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。
(1)平面的法向量的求法:設(shè),利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a,b垂直,其數(shù)量積為零,列出兩個(gè)三元一次方程,聯(lián)立后取其一組解。
(2)線面角的求法:設(shè)n是平面
向量,則直線與平面的一個(gè)法向量,AB是平面的斜線l的一個(gè)方向
所成角為?則sin??
(3)二面角的求法:①AB,CD分別是二面角面直線,則二面角的大小為。的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異
②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量,則
就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。
(4)異面直線間距離的求法:向量,又C、D分別是
是兩條異面直線,n是。的公垂線段AB的方向
上的任意兩點(diǎn),則
(5)點(diǎn)面距離的求法:設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量,AB是平面的一條斜線,則點(diǎn)B到
(6)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用(5)中方法求解。
練習(xí):
?????1????2????
1.若等邊?ABC的邊長(zhǎng)
為,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM?CB?CA,則
????????MA?MB?_________
2.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1),點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,則M的坐標(biāo)是________。3.(本小題滿分12分)
如圖,在五面體ABCDEF中,F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE,AB?AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=
AD 2
(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小;(II)證明平面AMD?平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值。
4.(本題滿分15分)如圖,平面PAC?平面ABC,?ABC
是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),AC?16,PA?PC?10.
(I)設(shè)G是OC的中點(diǎn),證明:FG//平面BOE;
(II)證明:在?ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M,使FM?平面BOE,并求點(diǎn)M到OA,OB的距離.
5.如圖,四棱錐P?ABCD的底面是正方形,PD?底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上.(Ⅰ)求證:平面AEC?平面PDB;
(Ⅱ)當(dāng)PD?且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與
平面PDB所成的角的大小.
第三篇:立體幾何方法總結(jié)
一、線線平行:
用:
1、平幾(如:同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等;常用分線段比值相等);
2、證線
線平行(公理4);
3、證線面平行;
4、求異面直線所成角。
證:
1、利用公理4;
2、三角形中比值相等得平行
二、線面平行:
用:
1、得線線平行;
2、求點(diǎn)面距離
證:
1、構(gòu)造三角形;
2、構(gòu)造平行四邊形;
3、利用面面平行
三、面面平行:
用:
1、得線面平行;
2、得線線平行;
3、求點(diǎn)面距離
證:
1、利用線面平行;
2、利用線面垂直
四、線線垂直:
相交垂直:用:
1、得直角三角形;
2、得線面垂直;
證:
1、平幾(互余、相似、全等、等腰、勾股);
2、利用線面垂直
異面垂直:用:得線面垂直
證:
1、利用線面垂直;
2、所成角90
五、線面垂直: 用:
1、得線線垂直;
2、得線面垂直;
3、得線線平行
4、求點(diǎn)面距離
證:
1、利用線線垂直;
2、利用面面垂直
六、面面垂直: 用:
1、得線面垂直;
2、求點(diǎn)面距離
證:記住一個(gè)結(jié)論:若???,a??,b??,且a?b,則0
a??與b??二者至少有一個(gè)成立
七、點(diǎn)面距離求法 :如求點(diǎn)P到平面?的距離
1、若找到過點(diǎn)P且與平面?垂直的直線或平面,則求之;
2、利用線面平行、面面平行等距離轉(zhuǎn)化為其它點(diǎn)到面的距離;
3、利用相似按比例轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到面的距離;
4、利用四面體的特殊性等積轉(zhuǎn)化。
注解:若能找到垂直平面? 的條件,利用前三種方法,否則用后一種
八、線面角求法:找斜足,求斜線段長(zhǎng)與點(diǎn)面距離,從而求角的正弦值九、二面角求法:第一步:找棱;第二步:找與棱垂直的線或面,找到結(jié)束;找與半平面垂直的線或面,找到結(jié)束;若以上均未找到,則判鈍銳,并求其中一個(gè)半平面內(nèi)的一特殊點(diǎn)到棱的距離和到另一個(gè)半平面的距離,從而求二面角的正弦值
第四篇:立體幾何基本方法總結(jié)
立體幾何基本方法總結(jié)
三個(gè)平行互相轉(zhuǎn)化圖
注意:
二、垂直問題
三個(gè)垂直互相轉(zhuǎn)化及平行垂直轉(zhuǎn)化 注意:
三、空間角
四、空間距離
第五篇:立體幾何證明方法
立體幾何證明方法
一、線線平行的證明方法:
1、利用平行四邊形。
2、利用三角形或梯形的中位線
3、如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和交線平行。(線面平行的性質(zhì)定理)
4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行的性質(zhì)定理)
5、如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。(線面垂直的性質(zhì)定理)
6、平行于同一條直線的兩條直線平行。
二、線面平行的證明方法:
1、定義法:直線與平面沒有公共點(diǎn)。
2、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。(線面平行的判定定理)
3、兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面。
三、面面平行的證明方法:
1、定義法:兩平面沒有公共點(diǎn)。
2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。(面面平行的判定定理)
3、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行
4、經(jīng)過平面外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。
5、垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。
四、線線垂直的證明方法
1、勾股定理。
2、等腰三角形。
3、菱形對(duì)角線。
4、圓所對(duì)的圓周角是直角。
5、點(diǎn)在線上的射影。6利用向量來證明。
7、如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)任意的直線都垂直。
8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線,則另一條也垂直于這條直線。
五、線面垂直的證明方法:
1、定義法:直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。
2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。
3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。(線面垂直的判定定理)
4、如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。(面面垂直的性質(zhì)定理)
5、兩條平行直線中的一條垂直于平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面
6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面,則必垂直于另一個(gè)平面。
7、兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,那么兩平面交線垂直于第三個(gè)平面。
8、過一點(diǎn),有且只有一條直線與已知平面垂直。
9、過一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。
六、面面垂直的證明方法:
1、定義法:兩個(gè)平面的二面角是直二面角。
2、如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。(面面垂直的判定定理)
3、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行,那么這兩個(gè)平面互相垂直。
4、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行,那么這兩個(gè)平面互相垂直。