第一篇：直線平行問題

直線平行問題求解思路

一、從角考慮

通過證明被第三條直線截得的同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁的內(nèi)角互補(bǔ)確定兩直線平行

二、從線考慮

證明兩直線同垂直（或者同平行）另一條直線

三、從形考慮

通過證兩直線上的線段是某些特殊圖形，如平行四邊形、（）、（）、（）的一組對邊

三角形或者梯形的中位線和底邊等來確定平行。

四、從比例式考慮

通過證對應(yīng)線成比例來確定過對應(yīng)分點(diǎn)的直線平行（平行線分線段成比例定理）

第二篇：證明直線平行

證明直線平行

證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行則b、c交于一點(diǎn)O又因?yàn)閍‖b,a‖c所以過O有b、c兩條直線平行于a這就與平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，兩直線平行，可推出：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。因?yàn)閍‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推論)

2“兩直線平行，同位角相等.”是公理，是無法證明的，書上給的也只是說明而已，并沒有給出嚴(yán)格證明，而“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等“則是由上面的公理推導(dǎo)出來的，利用了對等角相等做了一個(gè)替換，上面兩位給出的都不是嚴(yán)格的證明。

一、怎樣證明兩直線平行證明兩直線平行的常用定理(性質(zhì))有:1.兩直線平行的判定定理:①同位角相等,兩直線平行;②內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;③同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;④平行(或垂直)于同一直線的兩直線平行.2、三角形或梯形的中位線定理.3、如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.4、平行四邊形的性質(zhì)定理.5、若一直線上有兩點(diǎn)在另一直線的同旁).(A)藝l=匕3(B)/2=藝3(C)匕4二藝5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行線判定定理可判斷答案選C認(rèn)六一值!小人﹃夕叱的一試勺洲洲川JLZE一B/（一、圖月一飛/匕一|求且它們到該直線的距離相等,則兩直線平行.例1(2003年南通市)已知:如圖l,下列條件中,不能判斷直線l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如圖2,△注Bc中,匕BAC的平分線AD交BC于D,④O過點(diǎn)A,且和BC切于D,和AB、Ac分別交B于E、F,設(shè)EF交AD于C,連結(jié)DF.(l)求證:EF//Bc

(1)根據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。

(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直線垂直。

2.兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。

3.兩個(gè)平行平面有無數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無公共點(diǎn)來區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有：

(1)平行—沒有公共點(diǎn);

(2)相交—有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行。

2.兩個(gè)平面平行的判定定理表述為：

4.兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)：

(1)兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為p

B平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為Q

假設(shè)A和B不平行，那么一定有交點(diǎn)。

設(shè)有交點(diǎn)R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒有這樣的三角形。因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180

所以A一定平行于B

第三篇：如果兩條直線平行教案設(shè)計(jì)

6.4 如果兩條直線平行

●教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識點(diǎn)

1.平行線的性質(zhì)定理的證明.2.證明的一般步驟.（二）能力訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷探索平行線的性質(zhì)定理的證明.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和進(jìn)行簡單的邏輯推理能力.2.結(jié)合圖形用符號語言來表示平行線的三條性質(zhì)的條件和結(jié)論.并能總結(jié)歸納出證明的一般步驟.（三）情感與價(jià)值觀要求

通過師生的共同活動，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，熟悉綜合法證明的格式.進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性.●教學(xué)重點(diǎn)：

證明的步驟和格式.●教學(xué)難點(diǎn)：

理解命題、分清條件和結(jié)論.正確對照命題畫出圖形.寫出已知、求證.●教學(xué)方法

嘗試指導(dǎo)、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)與討論相結(jié)合.●教具準(zhǔn)備：幻燈片.●教學(xué)過程：

一、巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課

［師］上節(jié)課我們通過推理證明了平行線的判定定理（復(fù)習(xí)近平行線的判定定理），如果我們把平行線的判定定理的條件和結(jié)論互換，得到的命題是真命題嗎？ 這節(jié)課我們就來研究“如果兩條直線平行”.二、講授新課

［師］我們知道：“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”這個(gè)真命題是公理，這一公理可以簡單說成：

兩直線平行，同位角相等.下面大家來分組討論（出示投影片6.4 A）

議一議：利用這個(gè)公理，你能證明哪些熟悉的結(jié)論？

［生甲］利用“兩條直線平行，同位角相等”可以證明：兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.［生乙］還可以證明：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).［師］很好.下面大家來想一想：（出示投影片6.4 B）

（1）根據(jù)“兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等”.你能作出相關(guān)的圖形嗎？（2）你能根據(jù)所作的圖形寫出已知、求證嗎？（3）你能說說證明的思路嗎？

圖6－23 ［生甲］根據(jù)上述命題的文字?jǐn)⑹?，可以作出相關(guān)的圖形.如圖6－23.［生乙］因?yàn)椤皟蓷l平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等”這個(gè)命題的條件是：兩條平行線被第三條直線所截.它的結(jié)論是：內(nèi)錯(cuò)角相等.所以我根據(jù)所作的圖形.如圖6－23，把這個(gè)文字命題改寫為符號語言.即：

已知，如圖6－23，直線a∥b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯(cuò)角.求證：∠1=∠2.［師］乙同學(xué)敘述得很好.（出示投影片6.4 C）

（投影片為上面的符號語言）你能說說證明的思路嗎？

［生丙］要證明內(nèi)錯(cuò)角∠1=∠2，從圖中知道∠1與∠3是對頂角.所以∠1=∠3，由此可知：只需證明∠2=∠3即可.而∠2與∠3是同位角.這樣可根據(jù)平行線的性質(zhì)公理得證.［師］丙同學(xué)的思路清楚.我們來根據(jù)他的思路書寫證明過程.（學(xué)生舉手，請一位同學(xué)來說明根據(jù)）

［生?。葑C明：∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=∠3（對頂角相等）∴∠1=∠2（等量代換）

接下來我們來做一做由判定公理可以證明的另一命題（出示投影片6.4 D）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).［師］來請一位同學(xué)上黑板來給大家板演，其他同學(xué)寫在練習(xí)本上.［生甲］已知，如圖6－24，直線a∥b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.圖6－24 證明： 方法一： ∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）∴∠1+∠2=180°（等量代換）

［師］誰還有其他的證明方法？他應(yīng)用了兩直線平行的性質(zhì)公理，還 可以用兩直線平行的性質(zhì)定理.（證明如下）

圖6－25 證明： 方法二：如圖6－25 ∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）∴∠1+∠2=180°（等量代換）

三、課時(shí)小結(jié)：

［師］同學(xué)們證得很好，都能學(xué)以致用.通過推理的過程得證這個(gè)命題“兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是真命題.我們把它稱為定理，即直線平行的性質(zhì)定理，以后可以直接應(yīng)用它來證明其他的結(jié)論.到現(xiàn)在為止，我們通過推理得證了兩個(gè)判定定理和兩個(gè)性質(zhì)定理，那么你能說說證明的一般步驟嗎？大家分組討論、歸納.證明的一般步驟：

第一步：根據(jù)題意，畫出圖形.第二步：根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證.第三步，經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.四、課堂練習(xí)：根據(jù)下列命題，畫出圖形，并結(jié)合圖形寫出已知、求證(不寫證明過程)：（1)垂直于同一直線的兩直線平行；

（2)一個(gè)角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；（3)兩條平行線的一對內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行.（二）補(bǔ)充練習(xí)（出示投影片6.4 F）

圖6－26 1.證明鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直.已知：如圖6－26，∠AOB、∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求證：OE⊥OF.證明：∵OE平分∠AOB.OF平分∠BOC（已知）∴∠EOB= ∠AOB ∠BOF= ∠BOC（角平分線定義）

∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）

∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性質(zhì)）即∠EOF=90°

∴OE⊥OF（垂直的定義）

（二）強(qiáng)化練習(xí)：證明鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直.已知：如圖6－27，∠AOB、∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求證：OE⊥OF.圖6-27

五、課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們主要研究了平行線的性質(zhì)定理的證明，總結(jié)歸納了證明的一般步驟.1.平行線的性質(zhì)：

公理：兩直線平行，同位角相等 定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 定理：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 2.證明的一般步驟

（1）根據(jù)題意，畫出圖形.（2）根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證.（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.課后作業(yè)： 課本P194習(xí)題6.5 1、2、3 根據(jù)學(xué)生的接受情況來做活動與探究

六、活動與探究

圖6－27 1.已知，如圖6－27，AB∥CD，∠B=∠D，求證：AD∥BC.［過程］讓學(xué)生在證明這個(gè)題時(shí)，可從多方面考慮，從而拓展了他們的思維，要證：AD∥BC，可根據(jù)平行線的三種判定方法，結(jié)合圖形，可證同旁內(nèi)角互補(bǔ)，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等.［結(jié)果］證法一：∵AB∥DC（已知）

∴∠B+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠B=∠D（已知）

∴∠D+∠C=180°（等量代換）

∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

圖6－28 家庭作業(yè)：用兩種方法讓同學(xué)生證明。

證法二：如圖6－28，延長BA（構(gòu)造一組同位角）∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠B=∠D（已知）∴∠1=∠B（等量代換）

∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）

圖6－29 證法三：如圖6－29，連接BD（構(gòu)造一組內(nèi)錯(cuò)角）∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠B=∠D（已知）

∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性質(zhì)）∴∠2=∠3 ∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）板書設(shè)計(jì)：

6.4 如果兩條直線平行

一、直線平行的性質(zhì)公理： 兩直線平行，同位角相等

圖6－30

二、議一議

1.定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.已知，如圖6－30，直線a∥b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯(cuò)角.求證：∠1=∠2 證明：∵a∥b（）∴∠3=∠2（）∵∠1=∠3（）∴∠1=∠2（）

圖6－31 2.定理：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).已知，如圖6－31，直線a∥b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°

三、議一議 證明的一般步驟 1.2.3.四、課堂練習(xí)

五、課時(shí)小結(jié)

六、課后作業(yè)

第四篇：兩直線平行證明

兩直線平行相關(guān)證明題目

1、如圖，已知∠ABC=30，∠ADC=60，DE為ADC的平分線，請你判斷哪兩條直線平行，并說明理由。

2、如圖，在△ABC中，∠B=90,D在AC邊上，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，那么AB與DF平行嗎？CB與DE平行嗎？為什么？

3、如圖，根據(jù)下列條件：∠A=∠AOD，∠ACB=∠F，∠BED+∠B=180，分別可以判定哪兩條直線平行？并說明判定的依據(jù)。

4、如圖，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1=∠2，那么直線AB與CD的位置關(guān)系如何？

5、如圖，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90，猜測AB、CD的位置關(guān)系，并說明理由。

6、如圖，AE∥BC，∠

B=

∠C，試說明∠

1=∠2。

7、如圖，AD∥BC，∠A = ∠C，試說明AB∥CD8、如圖，AB∥CD，∠B=∠D,試說明BF∥DE.9、如圖，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度數(shù)10、1.已知∠BED=∠B+∠D，試判斷AB與CD的位置關(guān)系。

2.如圖，AB∥CD,猜想∠E與∠B、∠D之間有何關(guān)系，試說明你的結(jié)論。

11、如圖，AB∥CD, ∠1: ∠2:

∠，求證：

BA平分

EBF

第五篇：直線平行證明分析

關(guān)于平行線證明

（1）條件中出現(xiàn)平行,則有三種寫法

1．Z形：a//b,?1??2(內(nèi)錯(cuò)角形式）2．F形：c//d,?3??5（同位角形式）

3．U形：c//d,?2??4?180?（同旁內(nèi)角形式）（2）條件中出現(xiàn)角平分線，有兩種形式

AE平分?DAC,則

c

db

4a

DA

?DAC 2

2．?DAC?2?1?2?2

1．?1??2?

E

BC

(3)注意隱含條件：1.對頂角：?1??2（如此題中，∠A=∠1，∠D=∠2，則AB//CD此題中，加上隱含條件有三個(gè)等式，因此一般會有等量變換。

2.互補(bǔ)：此圖中，隱含條件?FAC?180,即?FAB??BAC?180(∠BAF=46°∠ACE=136°CE⊥CD證：CD∥AB)

（4）如上圖，出現(xiàn)CE?CD, 則有?DCE?90(5)條件中出現(xiàn)?1和?2互余，?3和?4互補(bǔ)，則?1??2?90,?3??4?180

（6）當(dāng)圖中出現(xiàn)三角形時(shí)，注意隱含條件?2??4??5?180

B

?

?

?

?

??

A 5

條件中出現(xiàn)兩角相等，要注意分析：這兩個(gè)角是什么關(guān)系？是內(nèi)錯(cuò)角還是同位角，若都不是，必為等量代換的一個(gè)式子。此時(shí)要分析這兩個(gè)角在圖中各自的內(nèi)錯(cuò)角或同位角，便于下一步等量代換使用。

同樣，條件中出現(xiàn)兩角互補(bǔ)，要注意分析：這兩個(gè)角是什么關(guān)系？是不是同旁內(nèi)角，若不是，必為等量代換的一個(gè)式子。此時(shí)要分析這兩個(gè)角在圖中各自的同旁內(nèi)角，便于下一步等量代換使用。