第一篇：立體幾何的證明

青于藍(lán)教育

《立體幾何》專題復(fù)習(xí)一

點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第一部分：考點(diǎn)梳理

（一）空間直線、平面之間的位置關(guān)系

1、平面的基本性質(zhì)

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．

公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．

推論3公理

32（1（2①公理4（3a′與b′3（1（2（34（1）平行（2）相交

（二）.優(yōu)秀師資專業(yè)團(tuán)隊(duì)個(gè)性輔導(dǎo)青于藍(lán)教育歡迎你！

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例

一、已知直線a和b是異面直線，直線c∥a，直線b與c不相交．求證:直線b、c是異面直線．

練習(xí)

1BD(1)求證

練習(xí)2AB=5,點(diǎn)（I

D1

練習(xí)

3、已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點(diǎn).求證：（１）C1O//面AB1D1； A1（2）A1C⊥面AB1D1．

D

C

1BC

B

2ABCD，DC?DD1?2AD?2AB，例四．如圖，在四棱柱ABCD?A1BC11D1中，已知DD1?平面AD⊥DC，AB∥DC．

（Ⅰ）求證：DC1⊥AC1；

（Ⅱ）設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由．

上的點(diǎn)，且BF⊥平面

形，且（1

練習(xí)4是AB，求證：（Ⅰ）直線EF∥面ACD；（Ⅱ）面EFC?面BCD．

練習(xí)5．如圖，，為空間四點(diǎn)，在中，AC?BC?2．等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)．

（Ⅰ）當(dāng)平面ADB?平面ABC時(shí)，求CD；

（Ⅱ）當(dāng)?ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB?CD？證明你的結(jié)論．

D

A

B 課后作業(yè)

1、證明：

2.形PQRS邊AC,3.四棱錐PC=a，E(2)求點(diǎn)E(3)求二面

4111C1 A1 ⑴求證：A1B∥平面ADC1;

⑵求截面ADC1與側(cè)面ACC1A1所成的二面角D—AC1—C的大小.B

C

D

B

第二篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

四個(gè)判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

③如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補(bǔ)的判定定理：

空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

四個(gè)性質(zhì)定理：

①一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

標(biāo)準(zhǔn)只要求對于四個(gè)性質(zhì)定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學(xué)生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時(shí)，要充分發(fā)揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導(dǎo)。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很

第三篇：立體幾何證明

1、（14分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面CB1D1；

（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱

交B1C于點(diǎn)F，BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，（1）求證：A1C⊥平面BDE；

?

D3．(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，BC?AC?2，AA1?4，為棱CC

1上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為?ABD、?A1B1D的重心.（1）求證：MN?BC； ．

A

B

4.如圖，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?側(cè)面BB1C1C1,?

1N 31 B1

（Ⅰ）求證：C1B?平面ABC；

?

A11

（Ⅱ）試在棱CC1(不包含端點(diǎn)C,C1)上確定一點(diǎn)E的位置,使得EA?EB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如圖，P—ABCD是正四棱錐，ABCD?A

1BC11D1是正方體，其中AB?2,PA?

（1）求證：PA?B1D1；

6．（本小題滿分12分）

如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；（2）若BC邊上存在唯一的點(diǎn)Q使得PQ⊥QD，指出點(diǎn)Q的位置，7、如圖，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA?面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求證：平面PDC?平面PAD；

8.正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求證：BC⊥面PAC；

P（2）求證：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、點(diǎn)，且ＥＨ∥ＦＧ． 求證：EH∥BD.(12分)

11、已知?ABC中?ACB?90，SA?面ABC，AD?SC，求證：AD?面S分)

12、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點(diǎn).求證：（１）C1O?面AB1D1；（2）AC?面AB1D1．(14分)

1?

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命題正確的是………………………………………………（）

B

A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 C．四邊形確定一個(gè)平面D．兩條相交直線確定一個(gè)平面

2．若直線a不平行于平面?，且a??，則下列結(jié)論成立的是（）A．?內(nèi)的所有直線與a異面B．?內(nèi)不存在與a平行的直線 C．?內(nèi)存在唯一的直線與a平行D．?內(nèi)的直線與a都相交

3．平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系………………………（）A．平行B．相交C．異面D．平行、相交或異面

4．正方體ABCD?A'B'C'D'中，AB的中點(diǎn)為M，DD'的中點(diǎn)為N，異面直線B'M與CN所成的角

A．0?B．45?C．60?D．90?

5．平面?與平面?平行的條件可以是…………………………（）

A．?內(nèi)有無窮多條直線都與?平行C．直線a??，直線b??且a//?，b//? B．直線a//?,a//?且直線a不在?內(nèi)，也不在?內(nèi)D．?內(nèi)的任何直線都與?平行 6．已知兩個(gè)平面垂直，下列命題

①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線 ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線 ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面

④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面 其中正確的個(gè)數(shù)是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命題中錯(cuò)誤的是……………………………………（）A． 如果平面???，那么平面?內(nèi)所有直線都垂直于平面? B． 如果平面???，那么平面?一定存在直線平行于平面?

C．如果平面?不垂直于平面?，那么平面?內(nèi)一定不存在直線垂直于平面? D．如果平面???，???，????l，那么l??

8．直線a//平面?，P??，那么過點(diǎn)P且平行于?的直線…………（）A． 只有一條，不在平面?內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在?內(nèi)C．只有一條，且在平面?內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在?內(nèi) 9．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中

①BM與ED平行②CN與BE異面③CN與BM成60?

④DM與BN垂直 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是__________________ 3.平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)連線和這個(gè)平面內(nèi)直線的關(guān)系是_______________ 4.已知直線a,b和平面?,且a?b,a??,則b與?的位置關(guān)系是______________

第四篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質(zhì)定理）

4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質(zhì)定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質(zhì)定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點(diǎn)。

2、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點(diǎn)。

2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行

4、經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點(diǎn)在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則必垂直于另一個(gè)平面。

7、兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩平面交線垂直于第三個(gè)平面。

8、過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個(gè)平面的二面角是直二面角。

2、如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

4、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

第五篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學(xué)習(xí)內(nèi)容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點(diǎn).求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點(diǎn), PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大??；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．證明：平面POD?

平面PAC;