第一篇：高中立體幾何證明垂直的專題訓(xùn)練

高中立體幾何證明垂直的專題訓(xùn)練

深圳龍崗區(qū)東升學(xué)?！?羅虎勝

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

(1)通過“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中點F，易證AE//BF，易證

BF⊥平面PDC

2．如圖，四棱錐P－ABCDABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中點G，易證EG//AF，又易證AF于是EG⊥平面PCD,則平面PCE⊥平面PCD

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐P?AB中，A?B平面,PAB//CD,PD?AD,E是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點，且

DF?

AB,PH為?PAD中AD邊上的高。

2（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?1，AD?FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；（3）證明：EF?平面PAB.分析：要證EF?平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中點G，易證EF//GD, 易證DG⊥平面PAB

4.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。證明: BE?平面PDC;

分析：取PD的中點F，易證AF//BE, 易證AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

5、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，PC?AC．AP?BP?AB，（Ⅰ）求證：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；

P

A

C

B6、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

因為?PAB是等邊三角形，?PAC??PBC?90?, 所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。如圖，取AB中點D，連結(jié)PD,CD, 則PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC, 所以AB?PC。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為

1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?求證:PA?平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?AD，且AB?AD?

CD?1．

2現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面

ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；

（2）求證：BC?平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大?。?/p>

（1）證明：連結(jié)OC?BO?DO,AB?AD,?AO?BD.B

E

?BO?DO,BC?CD,?

CO?BD.在?AOC中，由已知可得AO?1,CO? 而AC?2,?AO2?CO2?AC2,??AOC?90o,即AO?OC.?BD?OC?O, ?AO?平面BCD,BC?CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，10、如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?BC

AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;

（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大?。?/p>

解法一：

（I）取AB中點E，連結(jié)DE，則四邊形

BCDE為

矩形，DE=CB=2，連結(jié)SE，則SE?AB,SE?又SD=1，故ED?SE?SD，所以?DSE為直角。

由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E，得AB?平面SDE，所以AB?SD。SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以SD?平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中點E，連A1E,OE,易證△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：連OM,易證△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.求證：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中點E，連AE,B1E,易證△DCB≌△EBB1，從而BD⊥EB113、.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直徑所對的圓周角是直角

AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互

相垂直的各對平面.P

A15、如圖，在圓錐PO中，已知POO的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為

AC的中點．證明：平面POD?平面PAC;

16、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD．以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．

求證：平面ABM⊥平面PCD； ．

證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B

第二篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學(xué)習(xí)內(nèi)容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大?。籄

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為AC的中點．證明：平面POD?

平面PAC;

第三篇：高中立體幾何證明平行的專題訓(xùn)練

1． 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（1）求證：求證：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證： C1D∥平面B1FM.4、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形,FAD

A

1BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點, 證明:

EB//平面PAD;

5、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

6．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證：AB1//面BDC1；

7．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

8、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=求證：AE∥平面PBC；

9、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

10、S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且MN∥平面SDC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90，PB=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且

?

DC，E為PD中點.AMSM

=

BNND，求證：

AF?2F

P

.求證：CM//平面BEF；

第四篇：高中立體幾何證明平行的專題訓(xùn)練)

高中立體幾何證明平行的專題訓(xùn)練

深圳市龍崗區(qū)東升學(xué)?！_虎勝

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉(zhuǎn)化為 線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。

（2）利用三角形中位線的性質(zhì)。（3）利用平行四邊形的性質(zhì)。（4）利用對應(yīng)線段成比例。（5）利用面面平行，等等。

(1)通過“平移”再利用平行四邊形的性質(zhì)

1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中點G，連EG.，F(xiàn)G，則易證AEGF是平行四邊形

（第1題圖）

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求證：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求證：FG∥面BCD；

分析：取DB的中點H，連GH,HC則易證FGHC是平行四邊形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：連EA，易證C1EAD是平行四邊形，于是MF//EA

AD

BA14、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點, 證明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中點F，連EF,AF則易證ABEF是

平行四邊形

(2)利用三角形中位線的性質(zhì)

5、如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點，求證：

AM∥平面EFG。

分析：連

MD交GF于H，易證EH是△AMD的中位線

6、如圖，ABCD是正方形，O

是正方形的中心，E是

PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

7．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證：AB1//面BDC1；

分析：連B1C交BC1于點E，易證ED是

△B1AC的中位線

2128、如圖，平面ABEF?平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，?BAD??FAB?90,BC

//?

AD，BE

//?

AF，G,H分別為FA,FD的中點

（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（Ⅱ）C,D,F,E四點是否共面？為什么？

（.3）

利用平行四邊形的性質(zhì)

9．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

分析：連D1B1交A1C1于O1點，易證四邊形OBB1O1 是平行四邊形

10、在四棱錐P-ABCD

中，AB∥CD，AB=求證：AE∥平面PBC；

DC，E為PD

2分析：取PC的中點F，連EF則易證ABFE 是平行四邊形

11、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）證法一：

因為EF//AB，F(xiàn)G//BC，EG//AC，?ACB?90?，所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG//BC，F(xiàn)G?

12BC

在?ABCD中，M是線段AD的中點，則AM//BC，且AM?BC

因此FG//AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM//FA。又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用對應(yīng)線段成比例

12、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且求證：MN∥平面SDC

分析：過M作ME//AD，過N作NF//AD 利用相似比易證MNFE是平行四邊形

13、如圖正方形ABCD與ABEF交于AB，M，N證：MN∥平面BEC

AMSM

=

BNND，分析：過M作MG//AB，過N作NH/AB 利用相似比易證MNHG是平行四邊形

（6）利用面面平行

14、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90?，PB=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF?2FP.（1）求證：BE?平面PAC；（2）求證：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中點N，連CN、MN，易證平面

CMN//EFB

第五篇：高中立體幾何證明方法

高中立體幾何

一、平行與垂直關(guān)系的論證

由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應(yīng)用中：低一級位置關(guān)系判定高一級位置關(guān)系；高一級位置關(guān)系推出低一級位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。1.線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

面面平行性質(zhì)

?//?

????a,???

???a?b?

//b)

線面平行性質(zhì)

?//???//??

??

a???

????b??

a//??a//b

?//??

a???

?

?

??//?

?a//?

2.線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

在?內(nèi)射影a??

則a?OA?a?POa?PO?a?AO

l??

線面垂直定義

???

?

?a?

??

?l?a

??

????b??a?? a??,a?b??

?????????

?

?

??a?? ?a??

面面垂直定義

????l，且二面角??l???

成直二面角

?????

?

3.平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

a//b?a??

a???

a

??b???

a???

???

//?

面面平行判定2 面面平行性質(zhì)

3a???b???

??a//b

?//??a??

?a???

4.應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?.唯一性結(jié)論：

二、三類角

1.三類角的定義：

（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°（??0?時，b∥?或b

??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關(guān)的角；（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角；（4）計算大小。

（三）空間距離：求點到直線的距離，經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關(guān)三角形中求解。求點到面的距離，一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面利用面面垂直的性質(zhì)求之也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離，直線與平面的距離，面面距離都可轉(zhuǎn)化為點到面的距離。