第一篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計(jì)算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個(gè)角等于，由于利用代數(shù)的方法，只要能計(jì)算出待證直角的對(duì)邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

4、圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

5、利用菱形的對(duì)角線互相垂直證明

菱形的對(duì)角線互相垂直。

6、利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補(bǔ)角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線垂直.贊同

5|評(píng)論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：。

第二篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，p到A,B,C三點(diǎn)的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過(guò)p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因?yàn)閜到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因?yàn)榻荁AC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第三篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學(xué)習(xí)內(nèi)容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過(guò)“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過(guò)“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點(diǎn).求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點(diǎn), PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大?。籅

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．證明：平面POD?

平面PAC;

第四篇：《垂直關(guān)系證明》專題

《垂直關(guān)系》

例

1、如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：AO

?平面MBD．

1例

2、如圖2，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如圖１所示，ABCD為正方形，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

例

4、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

例

5、如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC

圖9—40

例

7、如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD

例

8、如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點(diǎn)．求證：平面MNF⊥平面ENF．

圖9—

42《垂直關(guān)系》專題練習(xí)

1、如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

2、如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

4、如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.求證：NP⊥平面ABCD.5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，且PA=AB．求證：平面PCE⊥平面PCD

圖9—457、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問(wèn)△ABC是否為直角三角形，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)舉出反例．BA

C

第五篇：證明垂直習(xí)題

線面、面面垂直的判定及性質(zhì)

一、選擇題

1、已知兩個(gè)平面垂直，下列命題

①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線． ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線． ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面．

④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面．

其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．３Ｂ．２Ｃ．１

Ｄ．０

2、已知直線l?平面?，有以下幾個(gè)判斷：①若m?l，則m//?；②若m??，則m//l；

③若m//?，則m?l；④若m//l，則m??．上述判斷中正確的是（）

Ａ．①②③Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②④

3、直線a不垂直于平面?，則?內(nèi)與a垂直的直線有（）

Ａ．0條 Ｂ．1條Ｃ．無(wú)數(shù)條Ｄ．?內(nèi)所有直線

4、在空間四邊形ABCD中，若AB?BC，AD?CD，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）

Ａ．平面ABD?平面BDCＢ．平面ABC?平面ABD Ｃ．平面ABC?平面ADC

Ｄ．平面ABC?平面BED

二、填空題

1、已知直線a，b和平面?，且a?b，a??，則b與?的位置關(guān)系是．

2、?，?是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面?及?之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：

①m?n；②???；③n??；④m??．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作

為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題．

3、設(shè)O為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，P為平面AC外一點(diǎn)且有PA?PC，PB?PD，則PO與平面ABCD的關(guān)系是．

第 1 頁(yè)（共 6 頁(yè)

三、解答題

1、如圖所示，ABCD為正方形，SA?平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

S2、如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA?底面ABCD，AE?PD，EF//CD，AM?EF．

求證：MF⊥AB，MF⊥PC

P

A）第 1 頁(yè)（共 6 頁(yè)）

3、如圖，直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA?SB?SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．（1）求證：SD?平面ABC；

（2）若AB?BC，求證：BD?面SAC．

4、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.C

1AC

A5、已知：如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線段AB?4，AC，BD分別在平面?和平面?內(nèi)，且AC?AB，DB?AB，AC?3，BD?12，求CD長(zhǎng)．

6、如圖，在四棱錐P?ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB?AD，?DAB?60?，E，F(xiàn)分別是AP,AB的中點(diǎn)，求證：（1）EF∥平面PCD，（2）平面BEF⊥平面PAD7、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，PD?平面ABCD，PD?AB?

2,CD?

1（1）求證：MN∥平面PCD（2）求證：MC?BD8、如圖，已知AB?面ACD，DE?面ACD，AC?AD，DE?2AB，F(xiàn)為CD中點(diǎn)（1）求證：AF∥面BCE（2）求證：面BCE?

面CDE9、如圖，在四面體ABCD中，CD?CB，AD?BD，E，F(xiàn)分別是AB,BD的中點(diǎn)，求證：（1）EF∥面ACD（2）面EFC?

面BCD

A10、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，（1）求BE和面ABB1A1所成角的正弦值

（2）在棱C1D1是否存在一點(diǎn)F，使得B1F∥面A1BE？并證明你的結(jié)論

C1

AC