第一篇：空間立體幾何中有關(guān)垂直問(wèn)題的證明 學(xué)案

空間立體幾何中有關(guān)垂直問(wèn)題的證明 學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決垂直的證明問(wèn)題；

2培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力；

3培養(yǎng)學(xué)生用向量的代數(shù)推理能力解決立幾何中探索性問(wèn)題的意

識(shí)。

重點(diǎn)： 能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明垂直問(wèn)題

難點(diǎn)： 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

一、教學(xué)過(guò)程

探究1 請(qǐng)你總結(jié)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法？線(xiàn)面垂直的方法？面面垂直的方法？

探究2請(qǐng)你用表示線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直及面面垂直的關(guān)系

二、方法指導(dǎo)

例

1、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，M是CC1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，點(diǎn)P在A(yíng)1B1上，設(shè)直線(xiàn)BM與OP所成的角大小為?（1）若P是A1B1的中點(diǎn)，求

?的大?。?）若P是A1B1上的任意點(diǎn)，求?的大小

例

2、如圖，在四棱錐

和CD側(cè)棱底面，中，底面是是直角梯形，垂直于，.的中點(diǎn)，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面；

練習(xí)：在正方體ABCD?A1B1

C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，A1O?平面MBD求證：

探究：在上述正方體中，當(dāng)M在CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若要求A1O1?面MBD,O1在面ABCD內(nèi),則點(diǎn)O1在A(yíng)C上嗎？點(diǎn)M的位置和點(diǎn)O1的位置是否有聯(lián)系？如果有AO1和CM的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？

第二篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專(zhuān)題----垂直證明

學(xué)習(xí)內(nèi)容：線(xiàn)面垂直面面垂直

立體幾何中證明線(xiàn)面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直一般有以下的一些方法：（1）通過(guò)“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過(guò)“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點(diǎn).求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點(diǎn), PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線(xiàn)交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫(xiě)出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．證明：平面POD?

平面PAC;

第三篇：立體幾何證明問(wèn)題

證明問(wèn)題

例1.如圖，E、F分別是長(zhǎng)方體邊形

.-的棱A、C的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長(zhǎng)方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點(diǎn)，PQ//AB，連結(jié)，例4.已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P、Q分別是對(duì)角線(xiàn)AE、BD上的點(diǎn)，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，且點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點(diǎn).求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點(diǎn)，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第四篇：立體幾何中平行與垂直的證明

立體幾何中平行與垂直的證明

姓名

2.掌握正確的判定和證明平行與垂直的方法.D

1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)學(xué)習(xí)更進(jìn)一步掌握空間中線(xiàn)面的位置關(guān)系;

例1．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)．

求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思與小結(jié)】1.證明線(xiàn)面平行的方法：2.證明線(xiàn)面垂直的方法：

AD

C1

BC【變式一】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)。求證：D1E⊥A1D；

【反思與小結(jié)】1．證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法：

1． 談?wù)剬?duì)“點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)”轉(zhuǎn)化的動(dòng)態(tài)思考 2． 比較正方體、正四棱柱、長(zhǎng)方體

【變式二A】如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF?

D

1A

E

B

C

C

AD?2,G是EF的中點(diǎn)，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

反思與小結(jié)1．證明面面垂直的方法：2．如果把【變式二A】的圖復(fù)原有什么新的認(rèn)識(shí)？ 【變式二B】.如圖，在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC?6，BC

（Ⅰ）求證：

?10，D是BC邊的中點(diǎn).AB?A1C；（Ⅱ）求證：AC1∥ 面AB1D；

【反思與小結(jié)】和前面證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面平行比較有什么新的認(rèn)識(shí)？ 【變式三】如圖組合體中，三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)面ABB1A1 是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合一個(gè)點(diǎn).（Ⅰ）求證：無(wú)論點(diǎn)C如何運(yùn)動(dòng)，平面A1BC?平面A1AC；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1?BCC1B1與圓柱的體積比．

【反思與小結(jié)】

1．觀(guān)察兩個(gè)圖之間的變化聯(lián)系，寫(xiě)出感受。

2．和【變式一】進(jìn)行比較，談?wù)勀惆盐談?dòng)態(tài)問(wèn)題的新體會(huì)

【變式四】如圖，四邊形ABCD

為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F(xiàn) 為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）設(shè)M在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足AM＝2MB，試在線(xiàn)段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE.【反思與小結(jié)】1．和前面兩個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題比較，解答本題的思路和方法有什么不同？ _P【變式五】如圖5所示，在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，AB?BC?CA?3，M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）證明：平面PAB?平面PCM；（2）證明：線(xiàn)段PC的中點(diǎn)為球O的球心；

【反思與小結(jié)】1．探討球與正方體、長(zhǎng)方體等與球體之間的關(guān)系。

2．結(jié)合前面幾組圖形的分割變化規(guī)律，說(shuō)明正方體、正四棱

柱、長(zhǎng)方體、直三棱柱、四棱錐、三棱錐的變化聯(lián)系。

3．總結(jié)立幾中證明“平行與垂直”的思路和方法

課后練習(xí)

1．如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)。（I）求證：B1C//平面A1BD；

（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設(shè)E是CC1上一點(diǎn)，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并說(shuō)明理由。

2.如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD

為等邊三角形，AD?DE?2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)

（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

P1． 如圖，四棱錐P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：CD?AE；

A

D（2）求證：PD?面ABE．

2． 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若

存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?

2，SB?SD?底面ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點(diǎn)．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF//平面SAE？并證明你的結(jié)論． D【課后記】1．設(shè)計(jì)思路（1）兩課時(shí)； C（2）認(rèn)識(shí)棱柱與棱錐之間的內(nèi)在聯(lián)系；

（3）掌握探尋幾何證明的思路和方法；

（4）強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性

2．實(shí)際效果：

（1）用時(shí)兩節(jié)半課；

（2）平行掌握的比較好，但垂直問(wèn)題需要繼續(xù)加強(qiáng)。尤其是面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直后便不知所措。

第五篇：高中立體幾何證明垂直的專(zhuān)題訓(xùn)練

高中立體幾何證明垂直的專(zhuān)題訓(xùn)練

深圳龍崗區(qū)東升學(xué)校—— 羅虎勝

立體幾何中證明線(xiàn)面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直一般有以下的一些方法：（1）通過(guò)“平移”。

（2）利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，等等。

(1)通過(guò)“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E為PD中點(diǎn).求證：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中點(diǎn)F，易證AE//BF，易證

BF⊥平面PDC

2．如圖，四棱錐P－ABCDABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中點(diǎn)G，易證EG//AF，又易證AF于是EG⊥平面PCD,則平面PCE⊥平面PCD

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐P?AB中，A?B平面,PAB//CD,PD?AD,E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，且

DF?

AB,PH為?PAD中AD邊上的高。

2（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?1，AD?FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；（3）證明：EF?平面PAB.分析：要證EF?平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中點(diǎn)G，易證EF//GD, 易證DG⊥平面PAB

4.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點(diǎn), PA＝AD。證明: BE?平面PDC;

分析：取PD的中點(diǎn)F，易證AF//BE, 易證AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)

5、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，PC?AC．AP?BP?AB，（Ⅰ）求證：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；

P

A

C

B6、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

因?yàn)?PAB是等邊三角形，?PAC??PBC?90?, 所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD,CD, 則PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC, 所以AB?PC。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為

1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?求證:PA?平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?AD，且AB?AD?

CD?1．

2現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面

ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；

（2）求證：BC?平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小；

（1）證明：連結(jié)OC?BO?DO,AB?AD,?AO?BD.B

E

?BO?DO,BC?CD,?

CO?BD.在?AOC中，由已知可得AO?1,CO? 而AC?2,?AO2?CO2?AC2,??AOC?90o,即AO?OC.?BD?OC?O, ?AO?平面BCD,BC?CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，10、如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?BC

AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;

（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形

BCDE為

矩形，DE=CB=2，連結(jié)SE，則SE?AB,SE?又SD=1，故ED?SE?SD，所以?DSE為直角。

由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E，得AB?平面SDE，所以AB?SD。SD與兩條相交直線(xiàn)AB、SE都垂直。

所以SD?平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中點(diǎn)E，連A1E,OE,易證△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：連OM,易證△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中點(diǎn)E，連AE,B1E,易證△DCB≌△EBB1，從而B(niǎo)D⊥EB113、.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線(xiàn)交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫(xiě)出圖中所有互

相垂直的各對(duì)平面.P

A15、如圖，在圓錐PO中，已知POO的直徑AB?2,C是狐AB的中點(diǎn)，D為

AC的中點(diǎn)．證明：平面POD?平面PAC;

16、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD．以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M．

求證：平面ABM⊥平面PCD； ．

證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因?yàn)椋校痢推矫妫粒拢茫?，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B