第一篇：高考復(fù)習(xí)專題---立體幾何垂直關(guān)系證明

5．（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求證：AO?平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

B

圖

14．（福建19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn).(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

20．（全國Ⅱ20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點(diǎn)E在CC1上且C1E?3EC．

?平面BED；（Ⅰ）證明：AC

1DA1

A

10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C ???

?0????。

2??

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，?BAC?90?，A1A?平面ABC，A1A?AB?AC?2AC11?2，D為BC中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面A1AD?平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：AC?PB；（Ⅱ）求證：PB//平面AEC12．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA?，AC?CD，?ABC?60°，底面ABC，AB?ADP

B

C

PA?AB?BC，E是PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明CD?AE；

（Ⅱ）證明PD?平面ABE；

A

B

D

第二篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學(xué)習(xí)內(nèi)容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點(diǎn).求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點(diǎn), PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大??；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．證明：平面POD?

平面PAC;

第三篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何：垂直關(guān)系

高中數(shù)學(xué)立體幾何：直線與平面垂直、平面與平面垂直

高考要求

1理解直線和平面垂直的概念 掌握直線和平面垂直的判定定理；

2掌握三垂線定理及其逆定理

3掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

4通過例題的講解給學(xué)生總結(jié)歸納證明線面垂直的常見方法：（1）證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直；（2）證與該線平行的直線與已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性質(zhì)定理；（4）同一法；⑸向量法

知識(shí)點(diǎn)歸納

1線面垂直定義：

如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點(diǎn)叫做垂足

直線與平面垂直簡(jiǎn)稱線面垂直，記作：a⊥α

2直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

3直線和平面垂直的性質(zhì)定理:

如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那麼這兩條直線平行

4三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

說明：（1）定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；PO??,O????（2）推理模式：PA???A??a?PA

a??,a?OA??5．三垂線定理的逆定理：

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直PO??,O????推理模式： PA???A??a?AO．

a??,a?AP??

注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內(nèi)的直線a 其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用

6兩個(gè)平面垂直的定義：

兩個(gè)相交成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直；相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面

7．兩平面垂直的判定定理：

如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

推理模式：a??，a??????．

8．兩平面垂直的性質(zhì)定理：

若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面

推理模式：???,????l,a??,a?l ?a??9向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法：

①證明直線與平面垂直的方法：直線的方向向量與平面的法向量平行；

②證明平面與平面垂直的方法：兩平面的法向量垂直

題型講解

例1 已知直線a⊥平面?，直線b⊥平面?，O、A為垂足求證：a∥b

?

設(shè)b=（x，y，z），∵b⊥?，證明：以O(shè)為原點(diǎn)直線a為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，i,j,k為坐標(biāo)向量，直線a、b的向量分別為a,b

???

??

????

∴b?i?0，b?j?0，??∴b=（0，0，z）=zk??

∴b?k，∴a∥b

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0?,2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

點(diǎn)評(píng)：因證明兩直線平行，也就是證明其方向向量共線，所以，利用兩向量共線的充要條件證明兩直線平行是新教材基本的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)做到熟練運(yùn)用

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

點(diǎn)評(píng)：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點(diǎn)D1，連結(jié)C1D

1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1

連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1

取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C

點(diǎn)評(píng)：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)

（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單，此時(shí)“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證法證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

??????????????????

（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M?平面AED⊥平面A1FD

1B

例5如圖，已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一點(diǎn)，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可

解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC，這是尋找兩個(gè)平面的垂線的常用方法 小結(jié):

1有關(guān)異面直線垂直的問題，除了用定義法外，還常常借助三垂線定理，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的直線的垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2證明直線和平面垂直我們可以用定義法，即證明直線與平面內(nèi)的任一條直線垂直，但常用的還是線面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時(shí)侯將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問題，也許會(huì)給你帶來意想不到的收獲

3面面垂直的問題一般轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題來解決，如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為0 學(xué)生練習(xí)

1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 A充分條件B必要條件 C充要條件D既不充分又不必要條件 答案：B

2給出下列命題，其中正確的兩個(gè)命題是

①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥

α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 A①②B②③C③④D②④

解析：①錯(cuò)誤如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交②正確如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD 設(shè)H是CG的中點(diǎn)，則EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③錯(cuò)誤直線n可能在平面α內(nèi)

④正確如右上圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 ASG⊥平面EFGBSD⊥平面EFG CFG⊥平面SEF DGD⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG選A 答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是 APA⊥BCBBC⊥平面PACCAC⊥PB DPC⊥BC

解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選C

答案：C

5△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為__________

解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為

G，連結(jié)CG交AB于中點(diǎn)E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=

5（A′A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm 2

26在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則（1）A點(diǎn)到CD1的距離為________；（2）A點(diǎn)到BD1的距離為________；

（3）A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點(diǎn)到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________

6232（2）（3）（4）（5）23232

8Rt△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形 解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角

4在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD 證明：連結(jié)MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1 又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

2在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM ∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

9在三棱錐S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面MAB

證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC連結(jié)MD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SC∵AB∩DM=D，∴SC⊥截面MAB

10如下圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值

解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=

4B

3∴CM=AC·sin60°=4·=2 2

答案：（1）

∴PM=PC2?CM2=?12=27

11在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論

（2）當(dāng)a=4時(shí)，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥DM

（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍

分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結(jié)為a為何值時(shí)，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形

（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，ABCD為正方形，則BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC 故當(dāng)a=2時(shí)，BD⊥平面PAC

（2）證明：當(dāng)a=4時(shí)，取BC邊的中點(diǎn)M，AD邊的中點(diǎn)N，連結(jié)AM、DM、BMN

∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時(shí)，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM

（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM

因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4為所求

點(diǎn)評(píng)：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的

第四篇：《垂直關(guān)系證明》專題

《垂直關(guān)系》

例

1、如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：AO

?平面MBD．

1例

2、如圖2，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如圖１所示，ABCD為正方形，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

例

4、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

例

5、如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC

圖9—40

例

7、如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD

例

8、如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點(diǎn)．求證：平面MNF⊥平面ENF．

圖9—

42《垂直關(guān)系》專題練習(xí)

1、如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

2、如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

4、如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.求證：NP⊥平面ABCD.5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，且PA=AB．求證：平面PCE⊥平面PCD

圖9—457、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)舉出反例．BA

C

第五篇：高中立體幾何證明垂直的專題訓(xùn)練

高中立體幾何證明垂直的專題訓(xùn)練

深圳龍崗區(qū)東升學(xué)?！?羅虎勝

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，等等。

(1)通過“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E為PD中點(diǎn).求證：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中點(diǎn)F，易證AE//BF，易證

BF⊥平面PDC

2．如圖，四棱錐P－ABCDABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中點(diǎn)G，易證EG//AF，又易證AF于是EG⊥平面PCD,則平面PCE⊥平面PCD

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐P?AB中，A?B平面,PAB//CD,PD?AD,E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，且

DF?

AB,PH為?PAD中AD邊上的高。

2（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?1，AD?FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；（3）證明：EF?平面PAB.分析：要證EF?平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中點(diǎn)G，易證EF//GD, 易證DG⊥平面PAB

4.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點(diǎn), PA＝AD。證明: BE?平面PDC;

分析：取PD的中點(diǎn)F，易證AF//BE, 易證AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

5、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，PC?AC．AP?BP?AB，（Ⅰ）求證：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；

P

A

C

B6、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

因?yàn)?PAB是等邊三角形，?PAC??PBC?90?, 所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD,CD, 則PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC, 所以AB?PC。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為

1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?求證:PA?平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?AD，且AB?AD?

CD?1．

2現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面

ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；

（2）求證：BC?平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大??；

（1）證明：連結(jié)OC?BO?DO,AB?AD,?AO?BD.B

E

?BO?DO,BC?CD,?

CO?BD.在?AOC中，由已知可得AO?1,CO? 而AC?2,?AO2?CO2?AC2,??AOC?90o,即AO?OC.?BD?OC?O, ?AO?平面BCD,BC?CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，10、如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?BC

AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;

（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形

BCDE為

矩形，DE=CB=2，連結(jié)SE，則SE?AB,SE?又SD=1，故ED?SE?SD，所以?DSE為直角。

由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E，得AB?平面SDE，所以AB?SD。SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以SD?平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中點(diǎn)E，連A1E,OE,易證△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：連OM,易證△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中點(diǎn)E，連AE,B1E,易證△DCB≌△EBB1，從而BD⊥EB113、.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互

相垂直的各對(duì)平面.P

A15、如圖，在圓錐PO中，已知POO的直徑AB?2,C是狐AB的中點(diǎn)，D為

AC的中點(diǎn)．證明：平面POD?平面PAC;

16、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD．以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M．

求證：平面ABM⊥平面PCD； ．

證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因?yàn)椋校痢推矫妫粒拢茫?，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B